超積分の公式集
はじめに
今回は、超積分の公式を導いていきます。
説明の文章は少なくなりますがご容赦ください。
2025/2/25追記:公式1の超積分を$\lsint f^`(x)qx$から$\lsint af^`(x)qx$に
超積分の公式
以降、$A,B,C$は積分定数を表します。
また、$f(x)>0,g(x)>0$が常に満たされます。
$$\frac{qf}{qx}=\frac q{qx}f(x)=f^`(x)$$
$$\frac q{qx}\sint f(x)qx=f(x)$$
$$\sint af^`(x)qx=C\{f(x)\}^a\ (a\in\mathbb R)$$
\begin{align} \sint af^`(x)qx&=e^{a\int\frac1x\cdot\frac{xf'(x)}{f(x)}dx}\\ &=e^{a\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx}\\ &=e^{a\log f(x)+A}\\ &=C\{f(x)\}^a \end{align}
$$\sint n\ qx=Cx^n$$
\begin{align} \sint n\ qx&=e^{\int\frac nxdx}\\ &=e^{n(\log x+A)}\\ &=Cx^n \end{align}
$$\sint ax^nqx=Ce^{\frac anx^n}\ (a\in\mathbb{R},n\neq0)$$
\begin{align} \sint ax^nqx&=e^{\int ax^{n-1}dx}\\ &=e^{\frac anx^n+A}\\ &=Ce^{\frac anx^n} \end{align}
$$\sxp(x)=-\frac1{\log x}$$
$$\sint\sxp(x)qx=C\sxp(x)$$
定義より自明。
$$\sint (f(x)+g(x)) qx=\sint f(x)qx\cdot\sint g(x)qx$$
$$\sint (f(x)-g(x)) qx=\frac{\lsint f(x)qx}{\lsint g(x)qx}$$
\begin{align}
\sint (f^`(x)+g^`(x)) qx&=e^{\int\frac{f(x)+g(x)}xdx}\\
&=e^{\int\frac{f(x)}{x}dx}\cdot e^{\int\frac{g(x)}{x}dx}\\
&=\sint f(x)qx\cdot\sint g(x)qx
\end{align}
差の場合も同様に示される
$$\sint f^`(x)g(x)qx=\frac{e^{\log f(x)\cdot g(x)}}{\lsint \log f(x)(e^{g(x)})^`qx}$$
$$(e^{\log f(x)\log g(x)})^`=f^`(x)\log g(x)+g^`(x)\log f(x)$$考えた
より、
\begin{align}
\sint f^`(x)\log g(x) qx&=\sint ((e^{\log f(x)\log g(x)})^`-\log f(x)g^`(x))qx\\
&=\frac{\lsint(e^{\log f(x)\log g(x)})^`qx}{\lsint \log f(x)g^`(x)qx}\\
&=\frac{e^{\log f(x)\log g(x)}}{\lsint \log f(x)g^`(x)qx}
\end{align}
ここで、$\log g(x)$を改めて$g(x)$とすると、
$$\sint f^`(x)g(x) qx=\frac{e^{\log f(x)g(x)}}{\lsint \log f(x)(e^{g(x)})^`qx}$$
$x=g(t)$と置換すると、
$$\sint f(x)qx=\sint f(g(t))\cdot\frac{qx}{qt}qt$$
$f(x)$の超原始関数の一つを$F(x)$とする。
この時、$F(x)$を$t$で超微分すると、
\begin{align}
\frac{q}{qt}F(x)&=\frac{qF}{qx}\cdot\frac{qx}{qt}\\
&=f(x)\cdot\frac{qx}{qt}\\
&=f(g(t))\cdot\frac{qx}{qt}
\end{align}定理
より、両辺$t$で超積分すると
$$\sint \frac q{qt}F(x)qt=\sint f(g(t))\cdot\frac{qx}{qt} qt$$
で、左辺は$CF(x)$となるので、$f(x)$の$x$での超積分に等しくなる。
よって、
$$\sint f(x)qx=\sint f(g(t))\cdot\frac{qx}{qt}qt$$
$$\sint f(x)f^`(x)qx=Ce^{f(x)}$$
$$\sint xf'(x)qx=Ce^{f(x)}$$
$$\{e^{f(x)}\}^`=xf'(x)=f(x)f^`(x)$$
定理
よりそれぞれを超積分すると得られる。
おわりに
今回は超積分の公式を証明しました。積分の際と同様に積の超積分は部分超積分等を使って簡単にしていくしかなさそうです。また、超積分形の接触の公式は部分超積分や置換超積分を使っても証明できそうですが、うまくいかなかったので、もし思いついた方がいたら教えていただけるとありがたいです。
