超積分の公式集

$$\begin{array}{rl}\cancel{{}^{}}\int a{f}^{‘}(x)qx& =e^{a\int \frac{1}{x}\cdot \frac{x{f}^{\prime }(x)}{f(x)}dx}\\ & =e^{a\int \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx}\\ & =e^{a\log f(x)+A}\\ & =C\{f(x){\}}^a\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\cancel{{}^{}}\int nqx& =e^{\int \frac{n}{x}dx}\\ & =e^{n(\log x+A)}\\ & =C{x}^n\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\cancel{{}^{}}\int a{x}^{n}qx& =e^{\int a{x}^{n-1}dx}\\ & =e^{\frac{a}{n}{x}^n+A}\\ & =C{e}^{\frac{a}{n}{x}^n}\end{array}$$

定義より自明。

$$\begin{array}{rl}\cancel{{}^{}}\int (f^{‘}(x)+g^{‘}(x))qx& =e^{\int \frac{f(x)+g(x)}{x}dx}\\ & =e^{\int \frac{f(x)}{x}dx}\cdot e^{\int \frac{g(x)}{x}dx}\\ & =\cancel{{}^{}}\int f(x)qx\cdot \cancel{{}^{}}\int g(x)qx\end{array}$$
差の場合も同様に示される

$$(e^{\log f(x)\log g(x)}{)}^{‘}=f^{‘}(x)\log g(x)+g^{‘}(x)\log f(x)$$[3]
より、
$$\begin{array}{rl}\cancel{{}^{}}\int f^{‘}(x)\log g(x)qx& =\cancel{{}^{}}\int ((e^{\log f(x)\log g(x)}{)}^{‘}-\log f(x)g^{‘}(x))qx\\ & =\frac{\cancel{{}^{}}\int (e^{\log f(x)\log g(x)}{)}^{‘}qx}{\cancel{{}^{}}\int \log f(x)g^{‘}(x)qx}\\ & =\frac{e^{\log f(x)\log g(x)}}{\cancel{{}^{}}\int \log f(x)g^{‘}(x)qx}\end{array}$$
ここで、$\log g(x)$を改めて$g(x)$とすると、
$$\cancel{{}^{}}\int f^{‘}(x)g(x)qx=\frac{e^{\log f(x)g(x)}}{\cancel{{}^{}}\int \log f(x)(e^{g(x)}{)}^{‘}qx}$$

$f(x)$の超原始関数の一つを$F(x)$とする。
この時、$F(x)$を$t$で超微分すると、
$$\begin{array}{rl}\frac{q}{qt}F(x)& =\frac{qF}{qx}\cdot \frac{qx}{qt}\\ & =f(x)\cdot \frac{qx}{qt}\\ & =f(g(t))\cdot \frac{qx}{qt}\end{array}$$[4]
より、両辺$t$で超積分すると
$$\cancel{{}^{}}\int \frac{q}{qt}F(x)qt=\cancel{{}^{}}\int f(g(t))\cdot \frac{qx}{qt}qt$$
で、左辺は$CF(x)$となるので、$f(x)$の$x$での超積分に等しくなる。
よって、
$$\cancel{{}^{}}\int f(x)qx=\cancel{{}^{}}\int f(g(t))\cdot \frac{qx}{qt}qt$$

$$\{e^{f(x)}{\}}^{‘}=x{f}^{\prime }(x)=f(x)f^{‘}(x)$$
[4]
よりそれぞれを超積分すると得られる。