文献あり

レムニスケートっぽい曲線のxy表示と予想

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この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

はじめに

こんにちは、AAGです。私の昔の記事で作った曲線 $r^{n} = \cos n θ$ について考えていた時に、レムニスケート（ $r^{2} = \cos 2 θ$ で表せる曲線）に関する匿(tock) 氏の面白い記事を見つけたので、 $n = 3$ の場合についての検討と一般の場合に関する予想を記事にしてみました。

便宜上、曲線 $r^{n} = \cos n θ$ をn-レム二スケートと呼びます

2-レム二スケートとただのレム二スケートは同じです。

主にただの覚書であまりしっかりとは証明はしません。
というかまともな証明のあるような定理は今のところありません
（計算すればいいものか、他で証明されている事実か、予想です。）

定理と予想

n-レム二スケートは、
「正 $n$ 角形の頂点からの距離の総積が等しく、
その正 $n$ 角形の中心を通る曲線」
である。

この各点のことをn-レム二スケートの焦点と呼ぶことにし、この中心のことをn-レム二スケートの中心と呼ぶことにする。

（概略）

直接計算しても良いが、複素平面を使うと楽
私の昔の記事の最後に証明があります。

1-レム二スケートは $x^{2} + y^{2} = x$
2-レム二スケートは $(x^{2} + y^{2})^{2} = x^{2} - y^{2}$
3-レム二スケートは $(x^{2} + y^{2})^{3} = x (x^{2} - 3 y^{2})$

1,2は明らか。
3-レム二スケートは定理1から
$\sqrt{(x - 1)^{2} + y^{2}} \sqrt{{(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y - \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}} \sqrt{{(x + \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}} = 1$
が、 $(x^{2} + y^{2})^{3} = 2 x (x^{2} - 3 y^{2})$ になることからこれを縮小すれば与式が得られる

n-レム二スケートは $(x^{2} + y^{2})^{n} = Re ((x + y i)^{n})$ と表せる

$\exists r \cos (n r) = 0$ から、
$r^{n} = \cos n θ$ と $r^{2 n} = r^{n} \cos n θ$ は同じ曲線を表す。
$r^{2 n} = (x^{2} + y^{2})^{n}$
$r^{n} \cos n θ = Re (r^{n} \cos n θ + i r^{n} \sin n θ)$
$= Re ((r \cos θ + i r \sin θ)^{n})$
$= Re ((x + y i)^{n})$

n-レム二スケートの回転、拡大は $u^{n} (x^{2} + y^{2})^{n} = Re ((x + y i)^{n}) \cos n θ + Im ((x + y i)^{n}) \sin n θ$ と表せる

系は本来、証明不要だと思ってます

余弦定理らしい

点 $O$ を中心とするレム二スケート $L_{1}, L_{2}$ があり、
$L_{1}$ の焦点を $A, C$ 、 $L_{2}$ の焦点を $B, D$
$A B = x, A D = y$ とする
いま $L_{1}$ 上に $O$ でない点 $P$ をとると、 $O$ を通り $P$ で $L_{1}$ に接する円が、 $L_{2}$ と $O$ でない2点 $X, Y$ で交わった。このとき、 $P$ を中心とし2点 $X, Y$ を通るレム二スケート $L_{3}$ の焦点-中心間の距離はxyである

こちらの記事のメイン

成り立ったらn-余弦定理と呼ぼう

点 $O$ を中心とするn-レム二スケート $L_{1}, L_{2}$ があり、
$L_{1}$ の焦点の1つを $A$ 、 $L_{2}$ の焦点を ${B_{k}}_{k = 1}^{n}$ と置く
このとき、下のいづれかが成り立つ

$L_{1}$ 上に $O$ でない点 $P$ をとると、 $O$ を通り $P$ で $L_{1}$ に接する円が、 $L_{2}$ と $O$ でない2点 $X, Y$ で交わった。このとき、 $P$ を中心とし2点 $X, Y$ を通るレム二スケート $L_{3}$ の焦点-中心間の距離は $\prod_{k = 1}^{n} A B_{k}$ である
$L_{1}$ 上に $O$ でない点 $P$ をとると、 $O$ を通り
$P$ と焦点-中心を通る直線が垂直に交わる、(n-1)-レム二スケート $L_{2}$ と $O$ でない2点 $X, Y$ で交わった。このとき、 $P$ を中心とし2点 $X, Y$ を通るn-レム二スケート $L_{3}$ の焦点-中心間の距離は $\prod_{k = 1}^{n} A B_{k}$ である

（「そのような2点 $X, Y$ が存在する」かもしれないし、n点かもしれない。もしくはnによって決まるがそんな簡単な個数じゃないかも）

終わりに

重要そうな部分に限って一切検証していないので、気になったら確かめてみます。随時更新するかもしれません。テスト一週間前でした。

追記

12/03 n-レム二スケートが $(x^{2} + y^{2})^{n} = f (x, y)$ と表せることを示しました。一意性も示したいです。テスト一日前でした。
12/04 n-レム二スケートが $(x^{2} + y^{2})^{n} = Re ((x + y i)^{n})$ と表せることを示しました。回転も加えました。テスト一日目でした。