Howellの公式のq類似

前の記事 でLaguerre多項式に関するBaileyの公式
\begin{align} L_n^{(a)}(x)L_n^{(b)}(x)&=\frac{(a+1,b+1)_n}{n!}\sum_{j=0}^n\frac{\left(\frac 12\right)_j}{(a+1,b+1)_j(n-j)!}L_{2j}^{(a+b)}(2x)\F32{\frac{a+b+1}2+j,\frac{a+b+2}2+j,j-n}{a+b+1,b+j+1}1 \end{align}
の系としてHowellの公式
\begin{align} L_n^{(a)}(x)^2=\frac{(a+1)_n}{2^{2n}n!}\sum_{k=0}^n\frac{(2k)!(2n-2k)!}{k!(n-k)!^2(a+1)_k}L_{2k}^{(2a)}(2x) \end{align}
を示した. 今回はHowellの公式の$q$類似を示したいと思う.

導出

Laguerre多項式の$q$類似を
\begin{align} L_n^{(a)}(x;q):=\frac{(aq;q)_n}{(q;q)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n};q)_k}{(q,aq;q)_k}x^k \end{align}
と定義する. 前の記事 の定理2において, $a=q^{-n}$とすると
\begin{align} &\sum_{0\leq k}\frac{(1+q^{2k-n})(q^{-2n},b^2,c^2;q^2)_k}{(1+q^{-n})(q^2,q^{2-2n}/b^2,q^{2-2n}/c^2;q^2)_k}\frac{(-q^{1-n}/w,d;q)_k}{(w,-q^{1-n}/d;q)_k}\left(\frac{wq^{2-n}}{b^2c^2d}\right)^k\\ &=\frac{(-q^{1-n},w/d;q)_n}{(-q^{1-n}/d,w;q)_n}\sum_{0\leq k}\frac{(q^{2-2n}/b^2c^2,q^{-n},q^{1-n},d^2,q^{2-2n}/w^2;q^2)_k}{(q^2,q^{2-2n}/b^2,q^{2-2n}/c^2,dq^{1-n}/w,dq^{2-n}/w;q^2)_k}q^{2k} \end{align}
となる. ここで, $d=q^{-n}/a, w=aq,b=q^{-N}$とすると,
\begin{align} &\sum_{0\leq k}\frac{(1+q^{2k-n})(q^{-2n},q^{-2N},c^2,q^{-2n}/a^2;q^2)_k}{(1+q^{-n})(q^2,q^{2+2N-2n},q^{2-2n}/c^2,a^2q^2;q^2)_k}\left(\frac{a^2q^{2N+3}}{c^2}\right)^k\\ &=\frac{(-q^{1-n},a^2q^{n+1};q)_n}{(-aq,aq;q)_n}\sum_{0\leq k}\frac{(q^{2+2N-2n}/c^2,q^{-n},q^{1-n},q^{-2n}/a^2;q^2)_k}{(q^2,q^{2+2N-2n},q^{2-2n}/c^2,q^{1-2n}/a^2;q^2)_k}q^{2k}\\ &=\frac{(-1;q)_n(a^2q;q^2)_{n}}{(a^2q;q)_n}q^{-\binom n2}\sum_{0\leq k}\frac{(q^{2+2N-2n}/c^2,q^{-n},q^{1-n},q^{-2n}/a^2;q^2)_k}{(q^2,q^{2+2N-2n},q^{2-2n}/c^2,q^{1-2n}/a^2;q^2)_k}q^{2k} \end{align}
となる. この左辺は
\begin{align} &\sum_{0\leq k}\frac{(1+q^{2k-n})(q^{-2n},q^{-2N},c^2,q^{-2n}/a^2;q^2)_k}{(1+q^{-n})(q^2,q^{2+2N-2n},q^{2-2n}/c^2,a^2q^2;q^2)_k}\left(\frac{a^2q^{2N+3}}{c^2}\right)^k\\ &=\frac{2}{1+q^n}\frac{(q^2,a^2q^2;q^2)_n}{(q^{-2N},c^2;q^2)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-2N},c^2;q^2)_k(q^{-2N},c^2;q^2)_{n-k}}{(q^2,a^2q^2;q^2)_k(q^2,a^2q^2;q^2)_{n-k}}q^{n-k} \end{align}
と表されるので,
\begin{align} &\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-2N},c^2;q^2)_k(q^{-2N},c^2;q^2)_{n-k}}{(q^2,a^2q^2;q^2)_k(q^2,a^2q^2;q^2)_{n-k}}q^{n-k}\\ &=\frac{(q^{-2N},c^2;q^2)_n}{(a^2q^2;q^2)_n}\frac{(a^2q;q^2)_{n}}{(q,a^2q;q)_n}q^{-\binom n2}\sum_{0\leq k}\frac{(q^{2+2N-2n}/c^2,q^{-n},q^{1-n},q^{-2n}/a^2;q^2)_k}{(q^2,q^{2+2N-2n},q^{2-2n}/c^2,q^{1-2n}/a^2;q^2)_k}q^{2k}\\ &=\frac{(c^2q^{-2N};q^2)_n}{(a^2q;q)_n}q^{-\binom n2}\sum_{0\leq k}\frac{1}{(q^2;q^2)_k(q;q)_{n-2k}}\frac{(q^{-2N},c^2,a^2q;q^2)_{n-k}}{(c^2q^{-2N},a^2q^2;q^2)_{n-k}}(-1)^kq^{2\binom{k}2} \end{align}
となる. 両辺の母関数を考えると,
\begin{align} &\Q21{q^{-2N},c^2}{a^2q^2}{q^2;x}\Q21{q^{-2N},c^2}{a^2q^2}{q^2;xq}\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(c^2q^{-2N};q^2)_{n}}{(a^2q;q)_n}x^nq^{-\binom n2}\sum_{0\leq k}\frac{1}{(q^2;q^2)_k(q;q)_{n-2k}}\frac{(q^{-2N},c^2,a^2q;q^2)_{n-k}}{(c^2q^{-2N},a^2q^2;q^2)_{n-k}}(-1)^kq^{2\binom{k}2}\\ &=\sum_{0\leq n}\sum_{0\leq k}\frac{(c^2q^{-2N};q^2)_{n+k}}{(a^2q;q)_{n+k}}x^{n+k}q^{-\binom{n+k}2}\frac{1}{(q^2;q^2)_k(q;q)_{n-k}}\frac{(q^{-2N},c^2,a^2q;q^2)_{n}}{(c^2q^{-2N},a^2q^2;q^2)_{n}}(-1)^kq^{2\binom{k}2}\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(q^{-2N},c^2,a^2q;q^2)_n}{(a^2q,q;q)_n(a^2q^2;q^2)_n}x^nq^{-\binom n2}\sum_{0\leq k}\frac{(q^{-n};q)_k(c^2q^{2n-2N};q^2)_{k}}{(a^2q^{n+1};q)_{k}(q^2;q^2)_k}x^{k} \end{align}
を得る. ここで, $c\to 0$とすると
\begin{align} &\frac{(q^2;q^2)_N^2}{(a^2q^2;q^2)_N^2}L_N^{(a^2)}(x;q^2)L_N^{(a^2)}(xq;q^2)\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(q^{-2N},a^2q;q^2)_n}{(a^2q,q;q)_n(a^2q^2;q^2)_n}q^{-\binom n2}\sum_{0\leq k}\frac{(q^{-n};q)_{k}}{(a^2q^{n+1};q)_{k}(q^2;q^2)_k}x^{n+k} \end{align}
ここで, $q$二項定理より,
\begin{align} \sum_{j=0}^n\frac{(q^{-n};q)_jq^{nj}}{(a^2q;q)_j}L_j^{(a^2)}(x;q)&=\sum_{j=0}^n\frac{(q^{-n};q)_jq^{nj}}{(q;q)_j}\sum_{i=0}^{j}\frac{(q^{-j};q)_i}{(a^2q,q;q)_i}x^i\\ &=\sum_{0\leq i}\frac{(-1)^iq^{\binom i2}}{(a^2q,q;q)_i}x^i\sum_{j=0}^n\frac{(q^{-n};q)_jq^{(n-i)j}}{(q;q)_{j-i}}\\ &=\sum_{0\leq i}\frac{(-1)^i(q^{-n};q)_iq^{\binom i2+i(n-i)}}{(a^2q,q;q)_i}x^i\delta_{i,n}\\ &=\frac{(-1)^n(q^{-n};q)_nq^{\binom n2}}{(a^2q,q;q)_n}x^n\\ &=\frac{q^{-n}}{(a^2q;q)_n}x^n \end{align}
となる. つまり,
\begin{align} x^n&=(a^2q;q)_nq^n\sum_{j=0}^n\frac{(q^{-n};q)_jq^{nj}}{(a^2q;q)_j}L_j^{(a^2)}(x;q) \end{align}
と表される. これを,
\begin{align} &\frac{(q^2;q^2)_N^2}{(a^2q^2;q^2)_N^2}L_N^{(a^2)}(x;q^2)L_N^{(a^2)}(xq;q^2)\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(q^{-2N},a^2q;q^2)_n}{(a^2q,q;q)_n(a^2q^2;q^2)_n}q^{-\binom n2}\sum_{0\leq k}\frac{(q^{-n};q)_{k}}{(a^2q^{n+1};q)_{k}(q^2;q^2)_k}x^{n+k} \end{align}
に代入すると,
\begin{align} &\frac{(q^2;q^2)_N^2}{(a^2q^2;q^2)_N^2}L_N^{(a^2)}(x;q^2)L_N^{(a^2)}(xq;q^2)\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(q^{-2N},a^2q;q^2)_n}{(a^2q,q;q)_n(a^2q^2;q^2)_n}q^{-\binom n2}\sum_{0\leq k}\frac{(q^{-n};q)_{k}}{(a^2q^{n+1};q)_{k}(q^2;q^2)_k}(a^2q;q)_{n+k}q^{n+k}\sum_{0\leq j}\frac{(q^{-n-k};q)_jq^{(n+k)j}}{(a^2q;q)_j}L_j^{(a^2)}(x;q)\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(q^{-2N},a^2q;q^2)_n}{(q;q)_n(a^2q^2;q^2)_n}q^{n-\binom n2}\sum_{0\leq j}\frac{(-1)^jq^{\binom j2}}{(a^2q;q)_j}L_j^{(a^2)}(x;q)\sum_{0\leq k}\frac{(q^{-n};q^2)_{k}(q;q)_{n+k}}{(q^2;q^2)_k(q;q)_{n+k-j}}q^k\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(q^{-2N},a^2q;q^2)_n}{(q;q)_n(a^2q^2;q^2)_n}q^{n-\binom n2}\sum_{0\leq j}\frac{(q^{-n};q)_jq^{nj}}{(a^2q;q)_j}L_j^{(a^2)}(x;q)\sum_{0\leq k}\frac{(q^{-n},q^{n+1};q)_{k}}{(q,-q,q^{1+n-j};q)}q^k \end{align}
ここで, Andrewsによるterminating $q$-Whippleの和公式 の系
\begin{align} \sum_{0\leq k}\frac{(q^{-n},q^{n+1};q)_k}{(q,-q,e;q)_k}q^k&=\frac{(eq^{-n},eq^{n+1};q^2)_{\infty}}{(e;q)_{\infty}}q^{\binom{n+1}2} \end{align}
より,
\begin{align} \sum_{0\leq k}\frac{(q^{-n},q^{n+1};q)_{k}}{(q,-q,q^{1+n-j};q)}q^k&=\frac{(q^{1-j},q^{2+2n-j};q^2)_{\infty}}{(q^{1+n-j};q)_{\infty}}q^{\binom{n+1}2}\\ &=\begin{cases} \displaystyle\frac{(q;q^2)_m(q;q)_{n-2m}}{(q^2;q^2)_{n-m}}(-1)^mq^{\binom{n+1}2-m^2}&&j=2m:\mathrm{even}\\ 0&&j:\mathrm{odd} \end{cases} \end{align}

であるから,
\begin{align} &\frac{(q^2;q^2)_N^2}{(a^2q^2;q^2)_N^2}L_N^{(a^2)}(x;q^2)L_N^{(a^2)}(xq;q^2)\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(q^{-2N},a^2q;q^2)_n}{(a^2q^2;q^2)_n}q^{2n}\sum_{0\leq m\leq n}\frac{(-1)^m(q;q^2)_m}{(a^2q;q)_{2m}(q^2;q^2)_{n-m}}q^{\binom{2m}2-m^2}L_{2m}^{(a^2)}(x;q)\\ &=\sum_{0\leq m}\frac{(-1)^m(q;q^2)_m}{(a^2q;q)_{2m}}q^{m(m-1)}L_{2m}^{(a^2)}(x;q)\sum_{0\leq n}\frac{(q^{-2N},a^2q;q^2)_n}{(a^2q^2;q^2)_n(q^2;q^2)_{n-m}}q^{2n}\\ &=\sum_{0\leq m}\frac{(-1)^m(q,q^{-2N};q^2)_m}{(a^2q^2;q^2)_m^2}q^{m(m+1)}L_{2m}^{(a^2)}(x;q)\Q21{q^{2m-2N},a^2q^{2m+1}}{a^2q^{2m+2}}{q^2;q^2} \end{align}
を得る. ここで, $q$-Vandermondeの恒等式 より
\begin{align} \Q21{q^{2m-2N},a^2q^{2m+1}}{a^2q^{2m+2}}{q^2;q^2}&=\frac{(q;q^2)_{N-m}}{(a^2q^{2m+2};q^2)_{N-m}}(a^2q^{2m+1})^{N-m} \end{align}
であるから, これを代入すると,
\begin{align} &\frac{(q^2;q^2)_N^2}{(a^2q^2;q^2)_N^2}L_N^{(a^2)}(x;q^2)L_N^{(a^2)}(xq;q^2)\\ &=\sum_{0\leq m}\frac{(-1)^m(q,q^{-2N};q^2)_m}{(a^2q^2;q^2)_m^2}q^{m(m+1)}L_{2m}^{(a^2)}(x;q)\frac{(q;q^2)_{N-m}}{(a^2q^{2m+2};q^2)_{N-m}}(a^2q^{2m+1})^{N-m}\\ &=\frac{(q;q^2)_{N}(a^2q)^N}{(a^2q^2;q^2)_N}\sum_{0\leq m}\frac{(q,q^{-2N};q^2)_m}{(a^2q^2,q^{1-2N};q^2)_ma^{2m}}L_{2m}^{(a^2)}(x;q) \end{align}
を得る. つまり, 以下が得られた.

これは Howellの公式 の$q$類似を与えている.