現代数学議論

超微分係数の一致と微分係数の一致

微分,超微分

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この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

超微分についてはこちら
超微分の記事まとめ :7777777

vunuさんの超Taylor展開の形を何となく推察しようとしてほぼ失敗している事例をみて、
微分よりも超微分のほうがしやすそうだと思い、
超微分係数が一致しているなら微分係数も一致すればおいしいなと思い書いています。

高校数学までの知識しかない

私はまだ大学範囲の数学を勉強していないので何とも言えません。
それでもできるかな
やってみましょう。

仮定を置く

ある1階狭義超微分可能な関数 $f$ と $g$ があり、 $f (x), g (x)$ は任意の実数 $x$ において $f (x) > 0, g (x) > 0$ が成り立つとします。

仮定

ある関数 $f, g$ があり、任意の実数 $a$ に対して、 $f (a) > 0, g (a) > 0$
かつ $f, g$ は一階狭義超微分可能。

いろいろやっていきます。

$0$ 以外の任意の実数 $x$ に対して $f, g$ は $x$ で微分可能

ラグ / Lagu : 超微分で微分っぽいことをするによると、次の定理が成り立ちます。

定理1超微分可能性

f (a) > 0, a \neq 0

のとき、(

f

が

a

で微分可能)

⟺

(

f

が

a

で超微分可能)

任意の実数

a

に対して

f (a) > 0, g (a) > 0

が成り立ち、
かつ仮定より

f, g

は狭義超微分可能なので、
定理1により

0

以外の任意の実数

x

に対して

f, g

は

x

で微分可能であると分かりました。

$0$ 以外の任意の実数 $x$ に対して、
$\begin{array}{r} f^{‘} (x) = \frac{x f^{'} (x)}{f (x)}, g^{‘} (x) = \frac{x g^{'} (x)}{g (x)} \end{array}$ が成り立つ。

7777777氏の超微分の定義と定理の定理2にこうあります。

定理2超導関数の変換公式

f (x)

が微分可能かつ狭義超微分可能であるとする。
この時、

\begin{array}{r} f^{‘} (x) = \frac{x f^{'} (x)}{f (x)} \end{array}

補題1より

0

以外の任意の実数

x

に対して、

f, g

は

x

で微分可能かつ
仮定より

f, g

は狭義超微分可能なので、定理2より

\begin{array}{r} f^{‘} (x) = \frac{x f^{'} (x)}{f (x)}, g^{‘} (x) = \frac{x g^{'} (x)}{g (x)} \end{array}

が成り立ちます。

補題2

$0$ 以外の任意の実数 $x$ に対して、
$\begin{array}{r} f^{'} (x) = \frac{f (x) f^{‘} (x)}{x}, g^{'} (x) = \frac{g (x) g^{‘} (x)}{x} \end{array}$ が成り立つ。

補題2より

\begin{array}{r} g^{‘} (x) = \frac{x g^{'} (x)}{g (x)} \end{array}

なので、

\begin{array}{rcl} g^{‘} (x) & = & \frac{x g^{'} (x)}{g (x)} \\ g^{‘} (x) g (x) & = & x g^{'} (x) \end{array}

x \neq 0

より、

\begin{array}{rcl} g^{‘} (x) g (x) & = & x g^{'} (x) \\ \frac{g (x) g^{‘} (x)}{x} & = & g^{'} (x) \end{array}

よって示せた。

$0$ 以外の任意の実数 $x$ に対して、
$\begin{array}{r} f (x) = g (x) \land f^{‘} (x) = g^{‘} (x) ⟹ f^{'} (x) = g^{'} (x) \end{array}$

補題2の系より、 $0$ 以外の任意の実数 $x$ に対して、
$\begin{array}{r} f^{'} (x) = \frac{f (x) f^{‘} (x)}{x}, g^{'} (x) = \frac{g (x) g^{‘} (x)}{x} \end{array}$ が成り立つ。
かつ、 $0$ 以外の任意の実数 $x$ に対して、
$\begin{array}{r} f (x) = g (x) \\ f^{‘} (x) = g^{‘} (x) \end{array}$ が成り立つので、
$\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & \frac{f (x) f^{‘} (x)}{x} \\ = & \frac{g (x) g^{‘} (x)}{x} \\ = & g^{'} (x) \end{array}$
が $0$ 以外の任意の実数 $x$ について成り立つことが示せた。

ほんまにこれあってんのか????とは思っています。

まとめるとこう。

ある関数 $f, g$ があり、任意の実数 $a$ に対して、 $f (a) > 0, g (a) > 0$
かつ $f, g$ は一階狭義超微分可能ならば、 $0$ 以外の任意の実数 $x$ に対して以下が成り立つ。
$\begin{array}{r} f (x) = g (x) \land f^{‘} (x) = g^{‘} (x) ⟹ f^{'} (x) = g^{'} (x) \end{array}$

ミスを見つけたら言ってもらえると非常に助かります。すぐ直します。

投稿日：2024年11月23日

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