対応 ④
Prop&Proof
$A,B$ を集合とし、$\Gamma=(A,B,R)$ を $A$ から $B$ への対応とする。
また、$S,T\subseteq A$ とする。このとき、
$$
\Gamma(S\cup T)=\Gamma(S)\cup\Gamma(T)
$$
が成り立つ。
まず、$S,T\subseteq A$ であるから、
$$
S\cup T\subseteq A
$$
である(
証明はコチラ
)。
したがって、$\Gamma(S),\ \Gamma(T),\ \Gamma(S\cup T)$ はいずれも定義される。
- $\Gamma(S\cup T)\subseteq\Gamma(S)\cup\Gamma(T)$ を示す。
任意に $b\in\Gamma(S\cup T)$ をとる。集合の像の定義より、
$$ b\in B\land\exists a\in S\cup T\ ((a,b)\in R) $$
である。
したがって、ある $a\in S\cup T$ が存在して、
$$ (a,b)\in R $$
が成り立つ。
ここで、和集合の定義より、
$$ a\in S\cup T \Longleftrightarrow a\in S\lor a\in T $$
である。
ゆえに、次の $2$ つの場合がある。
i) $a\in S$ の場合。
このとき、
$$ b\in B\land\exists a\in S\ ((a,b)\in R) $$
であるから、集合の像の定義より、
$$ b\in\Gamma(S) $$
である。したがって、
$$ b\in\Gamma(S)\cup\Gamma(T) $$
である。
$ $
ii) $a\in T$ の場合。
このとき、
$$ b\in B\land\exists a\in T\ ((a,b)\in R) $$
であるから、集合の像の定義より、
$$ b\in\Gamma(T) $$
である。したがって、
$$ b\in\Gamma(S)\cup\Gamma(T) $$
である。
以上より、いずれの場合も
$$ b\in\Gamma(S)\cup\Gamma(T) $$
である。ゆえに、
$$ \Gamma(S\cup T)\subseteq\Gamma(S)\cup\Gamma(T) $$
である。
$ $ - $\Gamma(S)\cup\Gamma(T)\subseteq\Gamma(S\cup T)$ を示す。
任意に $b\in\Gamma(S)\cup\Gamma(T)$ をとる。和集合の定義より、
$$ b\in\Gamma(S)\lor b\in\Gamma(T) $$
である。
ゆえに、次の $2$ つの場合がある。
i) $b\in\Gamma(S)$ の場合。
集合の像の定義より、
$$ b\in B\land\exists a\in S\ ((a,b)\in R) $$
である。
したがって、ある $a\in S$ が存在して、
$$ (a,b)\in R $$
が成り立つ。また、
$$ S\subseteq S\cup T $$
である( 証明はコチラ )から、
$$ a\in S\cup T $$
である。よって、
$$ b\in B\land\exists a\in S\cup T\ ((a,b)\in R) $$
である。
したがって、集合の像の定義より、
$$ b\in\Gamma(S\cup T) $$
である。
ii) $b\in\Gamma(T)$ の場合。
集合の像の定義より、
$$ b\in B\land\exists a\in T\ ((a,b)\in R) $$
である。したがって、ある $a\in T$ が存在して、
$$ (a,b)\in R $$
が成り立つ。また、
$$ T\subseteq S\cup T $$
である( 証明はコチラ )から、
$$ a\in S\cup T $$
である。よって、
$$ b\in B\land\exists a\in S\cup T\ ((a,b)\in R) $$
である。
したがって、集合の像の定義より、
$$ b\in\Gamma(S\cup T) $$
である。
以上より、いずれの場合も
$$ b\in\Gamma(S\cup T) $$
である。ゆえに、
$$ \Gamma(S)\cup\Gamma(T)\subseteq\Gamma(S\cup T) $$
である。
-以上より、
$$
\Gamma(S\cup T)\subseteq\Gamma(S)\cup\Gamma(T)
\ \text{かつ}\
\Gamma(S)\cup\Gamma(T)\subseteq\Gamma(S\cup T)
$$
である。
したがって、外延性により、
$$
\Gamma(S\cup T)=\Gamma(S)\cup\Gamma(T)
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
集合の像の定義から一気に同値変形で示すと、かなり簡潔になる。
$ $
$S,T\subseteq A$ であるから、
$$
S\cup T\subseteq A
$$
である(
証明はコチラ
)。
したがって、$\Gamma(S)$、$\Gamma(T)$、$\Gamma(S\cup T)$ はいずれも定義される。
任意に $b\in B$ をとる。集合の像の定義より、
$$
\begin{aligned}
b\in\Gamma(S\cup T)
&\Longleftrightarrow
\exists a\in S\cup T\ ((a,b)\in R)\\
&\Longleftrightarrow
\exists a\in A\ (a\in S\cup T\land (a,b)\in R)\\
&\Longleftrightarrow
\exists a\in A\ ((a\in S\lor a\in T)\land (a,b)\in R)\\
&\Longleftrightarrow
\exists a\in A\ ((a\in S\land (a,b)\in R)\lor(a\in T\land (a,b)\in R))\\
&\Longleftrightarrow
\exists a\in S\ ((a,b)\in R)\lor\exists a\in T\ ((a,b)\in R)\\
&\Longleftrightarrow
b\in\Gamma(S)\lor b\in\Gamma(T)\\
&\Longleftrightarrow
b\in\Gamma(S)\cup\Gamma(T)
\end{aligned}
$$
である(
証明はコチラ($5$つ目の等号)
)。
したがって、任意の $b\in B$ に対して、
$$
b\in\Gamma(S\cup T)
\Longleftrightarrow
b\in\Gamma(S)\cup\Gamma(T)
$$
が成り立つ。
また、$\Gamma(S\cup T)\subseteq B$ かつ $\Gamma(S)\cup\Gamma(T)\subseteq B$ であるから、外延性により、
$$
\Gamma(S\cup T)=\Gamma(S)\cup\Gamma(T)
$$
である。
$$ \Box$$
$A,B$ を集合とし、$\Gamma=(A,B,R)$ を $A$ から $B$ への対応とする。
また、$S,T\subseteq A$ とする。このとき、
$$
\Gamma(S\cap T)\subseteq\Gamma(S)\cap\Gamma(T)
$$
が成り立つ。
まず、$S,T\subseteq A$ であるから、
$$
S\cap T\subseteq A
$$
である(
証明はコチラ
)。
したがって、$\Gamma(S),\ \Gamma(T),\ \Gamma(S\cap T)$ はいずれも定義される。
$ $
$\Gamma(S\cap T)\subseteq\Gamma(S)\cap\Gamma(T)$ を示す。
任意に $b\in\Gamma(S\cap T)$ をとる。集合の像の定義より、
$$
b\in B\land \exists a\in S\cap T\ ((a,b)\in R)
$$
である。
したがって、ある $a\in S\cap T$ が存在して、
$$
(a,b)\in R
$$
が成り立つ。共通部分の定義より、
$$
a\in S\cap T
\Longleftrightarrow
a\in S\land a\in T
$$
であるから、
$$
a\in S\land a\in T
$$
が成り立つ。
よって、$a\in S$ かつ $(a,b)\in R$ であるから、
$$
\exists x\in S\ ((x,b)\in R)
$$
である。(
証明はコチラ
)。
また、$b\in B$ であるから、集合の像の定義より、
$$
b\in\Gamma(S)
$$
である。
同様に、$a\in T$ かつ $(a,b)\in R$ であるから、
$$
\exists a\in T\ ((a,b)\in R)
$$
が成り立つ(
証明はコチラ
)。
また、$b\in B$ であるから、集合の像の定義より、
$$
b\in\Gamma(T)
$$
である。したがって、
$$
b\in\Gamma(S)\land b\in\Gamma(T)
$$
である。
共通部分の定義より、
$$
b\in\Gamma(S)\cap\Gamma(T)
$$
である。
ゆえに、任意の $b\in\Gamma(S\cap T)$ に対して、
$$
b\in\Gamma(S)\cap\Gamma(T)
$$
が成り立つ。
したがって、部分集合の定義より、
$$
\Gamma(S\cap T)\subseteq\Gamma(S)\cap\Gamma(T)
$$
である。
$$ \Box$$
一般には、
$$
\Gamma(S\cap T)=\Gamma(S)\cap\Gamma(T)
$$
とは限らない。実際、
$$
A:=\{1,2\},
\quad
B:=\{\alpha\}
$$
とし、
$$
R:=\{(1,\alpha),(2,\alpha)\}
$$
とおく。また、
$$
\Gamma:=(A,B,R)
$$
と定める。さらに、
$$
S:=\{1\},
\quad
T:=\{2\}
$$
とする。このとき、
$$
S\cap T=\varnothing
$$
であるから、
$$
\Gamma(S\cap T)=\Gamma(\varnothing)=\varnothing
$$
である。一方、
$$
\Gamma(S)=\Gamma(\{1\})=\{\alpha\}
$$
であり、
$$
\Gamma(T)=\Gamma(\{2\})=\{\alpha\}
$$
である。したがって、
$$
\Gamma(S)\cap\Gamma(T)
=
\{\alpha\}\cap\{\alpha\}
=
\{\alpha\}
$$
である。よって、
$$
\Gamma(S\cap T)=\varnothing
$$
であるが、
$$
\Gamma(S)\cap\Gamma(T)=\{\alpha\}
$$
である。したがって、
$$
\Gamma(S\cap T)\ne\Gamma(S)\cap\Gamma(T)
$$
である。
この例は、異なる $A$ の元が同じ $B$ の元に対応する場合、$S$ と $T$ に共通する元がなくても、
像どうしは共通部分を持ちうることを示している。
$A,B$ を集合とし、$\Gamma=(A,B,R)$ を $A$ から $B$ への対応とする。
また、$S,T\subseteq A$ とする。このとき、
$$
S\subseteq T
\Longrightarrow
\Gamma(S)\subseteq\Gamma(T)
$$
が成り立つ。
$S,T\subseteq A$ であるから、$\Gamma(S)$ と $\Gamma(T)$ は定義される。
そこで、$S\subseteq T$ と仮定する。$\Gamma(S)\subseteq\Gamma(T)$ を示す。
$ $
任意に $b\in\Gamma(S)$ をとる。集合の像の定義より、
$$
b\in B\land\exists a\in S\ ((a,b)\in R)
$$
である。
したがって、ある $a\in S$ が存在して、
$$
(a,b)\in R
$$
が成り立つ。いま、$S\subseteq T$ であるから、
$$
a\in T
$$
である。
よって、この $a$ は $a\in T$ かつ $(a,b)\in R$ を満たすので、
$$
\exists x\in T\ ((x,b)\in R)
$$
である。また、すでに $b\in B$ である。
したがって、集合の像の定義より、
$$
b\in\Gamma(T)
$$
である。
ゆえに、任意の $b\in\Gamma(S)$ に対して $b\in\Gamma(T)$ が成り立つ。
したがって、部分集合の定義より、
$$
\Gamma(S)\subseteq\Gamma(T)
$$
である。
以上より、
$$
S\subseteq T
\Longrightarrow
\Gamma(S)\subseteq\Gamma(T)
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
この命題は、対応による集合の像が包含関係について単調であることを表している。
すなわち、
$$
S\subseteq T
$$
であれば、$S$ の元と対応している $B$ の元は、すべて $T$ の元と対応している $B$ の元でもある。
したがって、
$$
\Gamma(S)\subseteq\Gamma(T)
$$
が成り立つ。
$A,B$ を集合とし、$\Gamma=(A,B,R)$ を $A$ から $B$ への対応とする。
また、$S,T\subseteq A$ とする。このとき、
$$
\Gamma(S)\setminus\Gamma(T)\subseteq\Gamma(S\setminus T)
$$
が成り立つ。
まず、$S,T\subseteq A$ であるから、
$$
S\setminus T\subseteq A
$$
である(
証明はコチラ
)。
したがって、$\Gamma(S),\ \Gamma(T),\ \Gamma(S\setminus T)$ はいずれも定義される。
$ $
$\Gamma(S)\setminus\Gamma(T)\subseteq\Gamma(S\setminus T)$ を示す。
任意に $b\in\Gamma(S)\setminus\Gamma(T)$ をとる。差集合の定義より、
$$
b\in\Gamma(S)\land b\notin\Gamma(T)
$$
である。特に、$b\in\Gamma(S)$ であるから、集合の像の定義より、
$$
b\in B\land\exists a\in S\ ((a,b)\in R)
$$
である。
したがって、ある $a\in S$ が存在して、
$$
(a,b)\in R
$$
が成り立つ。ここで、
$$
a\notin T
$$
を示す。背理法のために、$a\in T$ と仮定する。
このとき、$a\in T$ かつ $(a,b)\in R$ であるから、
$$
\exists x\in T\ ((x,b)\in R)
$$
である。
また、すでに $b\in B$ であるから、集合の像の定義より、
$$
b\in\Gamma(T)
$$
である。これは、$b\notin\Gamma(T)$ に矛盾する。
したがって、
$$
a\notin T
$$
である。よって、
$$
a\in S\land a\notin T
$$
であるから、差集合の定義より、
$$
a\in S\setminus T
$$
である。また、$(a,b)\in R$ である。
したがって、
$$
\exists a\in S\setminus T\ ((a,b)\in R)
$$
が成り立つ。
さらに、$b\in B$ であるから、集合の像の定義より、
$$
b\in\Gamma(S\setminus T)
$$
である。
ゆえに、任意の $b\in\Gamma(S)\setminus\Gamma(T)$ に対して、
$$
b\in\Gamma(S\setminus T)
$$
が成り立つ。
したがって、部分集合の定義より、
$$
\Gamma(S)\setminus\Gamma(T)\subseteq\Gamma(S\setminus T)
$$
である。
$$ \Box$$
一般には、
$$
\Gamma(S)\setminus\Gamma(T)=\Gamma(S\setminus T)
$$
とは限らない。実際、
$$
A:=\{1,2\},
\quad
B:=\{\alpha\}
$$
とし、
$$
R:=\{(1,\alpha),(2,\alpha)\}
$$
とおく。また、
$$
\Gamma:=(A,B,R)
$$
と定める。さらに、
$$
S:=\{1,2\},
\quad
T:=\{2\}
$$
とする。このとき、
$$
\Gamma(S)=\{\alpha\}
$$
かつ
$$
\Gamma(T)=\{\alpha\}
$$
であるから、
$$
\Gamma(S)\setminus\Gamma(T)
=
\{\alpha\}\setminus\{\alpha\}
=
\varnothing
$$
である。
一方、
$$
S\setminus T=\{1\}
$$
であるから、
$$
\Gamma(S\setminus T)=\Gamma(\{1\})=\{\alpha\}
$$
である。したがって、
$$
\Gamma(S)\setminus\Gamma(T)=\varnothing
$$
であるが、
$$
\Gamma(S\setminus T)=\{\alpha\}
$$
である。ゆえに、
$$
\Gamma(S)\setminus\Gamma(T)\ne\Gamma(S\setminus T)
$$
である。
この例は、$S\setminus T$ の元から得られる $B$ の元が、同時に $T$ の元からも得られる場合には、左辺から消えてしまうことを示している。
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