sup(f(x)-c(x,y))の随伴性といくつかの例

$X$を距離空間とし，その空でない部分集合$A$上で定義された写像$f:A\to\R$と正定数$L>0$について，$f$は$L$-リプシッツ連続，すなわち任意の$a,b\in A$に対して
$$ \abs{f(a)-f(b)}\le Ld_X(a,b) $$
を満たすとする．このとき，次式で定まる写像$\overline{f},\underline{f}:X\to\R$：
$$ \overline{f}(x):=\inf_{a\in A}\Paren{f(a)+Ld_X(a,x)}, \qquad \underline{f}(x):=\sup_{a\in A}\Paren{f(a)-Ld_X(a,x)} \qquad (x\in X) $$
も$L$-リプシッツ連続，すなわち任意の$x,y\in X$に対して
$$ \abs{\overline{f}(x)-\overline{f}(y)}\le Ld_X(x,y), \qquad \abs{\underline{f}(x)-\underline{f}(y)}\le Ld_X(x,y) $$
を満たす．また$\overline{f}|_{A}=\underline{f}|_{A}=f$であり，さらに$g|_{A}=f$を満たす任意の$L$-リプシッツ連続写像$g:X\to\R$と任意の$x\in X$に対して$\underline{f}(x)\le g(x)\le \overline{f}(x)$が成り立つ．

距離空間$X$とその空でない部分集合$A$および正定数$L>0$に対して，写像$c:A\times X\to\R$を
$$ c(a,x):=Ld_X(a,x) \qquad (\pair{a,x}\in A\times X) $$
で定める．このとき$L$-リプシッツ連続写像$f:A\to\R$に対して$\underline{f}:=\upper{c}f$と$\overline{f}:=\lower{c}f$はともに$L$-リプシッツ連続である．

$V$を実ノルム空間とし，$\Phi$を$V^{\ast}$の部分集合とする．このとき，support function$h_\Phi:V\to\extR$
$$ h_\Phi(v):=\sup_{\phi\in\Phi}\phi(v) \qquad (v\in V) $$
の凸共役$h_\Phi^{\ast}:V^{\ast}\to\extR$は汎弱閉凸包$\overline{\operatorname{Conv}(\Phi)}^{w^\ast}$の indicator function
$$ h_\Phi^{\ast}(\phi)=\begin{cases}0&(\phi\in \overline{\operatorname{Conv}(\Phi)}^{w^\ast}),\\\infty&(\phi\not\in \overline{\operatorname{Conv}(\Phi)}^{w^\ast})\end{cases} \qquad (\phi\in V^{\ast})$$
であり，$h_\Phi^{\ast\ast}:V\to\extR$は$h_{\overline{\operatorname{Conv}(\Phi)}^{w^\ast}}$に一致する．

$p,q\in(1,\infty)$が$\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$を満たすとき，写像$f:\R\to\extR$
$$ f(x):=\frac{\abs{x}^p}{p} \qquad (x\in\R) $$
に対して$f^{\ast}:\R^{\ast}\to\extR$は
$$ f^{\ast}(y)=\frac{\abs{y}^q}{q} \qquad (y\in\R^{\ast}) $$
となる．したがって，任意の$a,b\in\R$に対して次式が成り立つ：
$$ ab\le \frac{\abs{a}^p}{p}+\frac{\abs{b}^q}{q}. $$

$A\subset A'\subset X$のとき，$1_{A}\le 1_{A'}$と$\upper{c_{R}}1_A\le \upper{c_{R}}1_{A'}$と$\lower{c_{R}}1_A\le \lower{c_{R}}1_{A'}$が成り立つから，$1_{\pushout{R_\exists}(A)}\le 1_{\pushout{R_\exists}(A')}$と$1_{\pushout{R_\forall}(A)}\le 1_{\pushout{R_\forall}(A')}$，すなわち$\color{red}\pushout{R_\exists}(A)\subset \pushout{R_\exists}(A')$と$\color{red}\pushout{R_\forall}(A)\subset \pushout{R_\forall}(A')$が成り立つ．
全く同様にして，$B\subset B'\subset Y$のとき，$\color{red}\pullback{R_\exists}(B)\subset \pullback{R_\exists}(B')$と$\color{red}\pullback{R_\forall}(B)\subset \pullback{R_\forall}(B')$が成り立つこともわかる．

$X$の部分集合からなる族$\family{A_\lambda}{\lambda\in\Lambda}$について，$1_{\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda}=\sup_{\lambda\in\Lambda}1_{A_\lambda}$と$1_{\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda}=\inf_{\lambda\in\Lambda}1_{A_\lambda}$が成り立つから
\begin{align*} 1_{\pushout{R_\exists}\Paren{\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda}} &=0\vee \upper{c_{R}}1_{\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda} \\ &=0\vee \upper{c_{R}}\Paren{\sup_{\lambda\in\Lambda}1_{A_\lambda}} \\ &=0\vee \Paren{\sup_{\lambda\in\Lambda}\upper{c_{R}}1_{A_\lambda}} \\ &=\sup_{\lambda\in\Lambda}\Paren{0\vee \upper{c_{R}}1_{A_\lambda}} \\ &=\sup_{\lambda\in\Lambda}1_{\pushout{R_\exists}(A_\lambda)} \\ &=1_{\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\pushout{R_\exists}(A_\lambda)}, \\ 1_{\pushout{R_\forall}\Paren{\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda}} &=1\wedge \lower{c_{R}}1_{\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda} \\ &=1\wedge \lower{c_{R}}\Paren{\inf_{\lambda\in\Lambda}1_{A_\lambda}} \\ &=1\wedge \Paren{\inf_{\lambda\in\Lambda}\lower{c_{R}}1_{A_\lambda}} \\ &=\inf_{\lambda\in\Lambda}\Paren{1\wedge \lower{c_{R}}1_{A_\lambda}} \\ &=\inf_{\lambda\in\Lambda}1_{\pushout{R_\forall}(A_\lambda)} \\ &=1_{\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\pushout{R_\forall}(A_\lambda)}, \end{align*}
すなわち
\begin{align*} \color{red}\pushout{R_\exists}\Paren{\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda}&\color{red}{}=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\pushout{R_\exists}(A_\lambda), \\ \color{red}\pushout{R_\forall}\Paren{\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda}&\color{red}{}=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\pushout{R_\forall}(A_\lambda) \end{align*}
を得る．全く同様にして，$Y$の部分集合からなる族$\family{B_\lambda}{\lambda\in\Lambda}$について
\begin{align*} \color{red}\pullback{R_\exists}\Paren{\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_\lambda}&\color{red}{}=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\pullback{R_\exists}(B_\lambda), \\ \color{red}\pullback{R_\forall}\Paren{\bigcap_{\lambda\in\Lambda}B_\lambda}&\color{red}{}=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\pullback{R_\forall}(B_\lambda) \end{align*}
が成り立つこともわかる．

$A\subset X$と$B\subset Y$について
$$ \upper{c_{R}}1_A\le 1_B \iff 1_A\le \lower{c_{R}^\top}1_B $$
より
$$ 0\vee\upper{c_{R}}1_A\le 1_B \iff 1_A\le 1\wedge\lower{c_{R}^\top}1_B, $$
すなわち
$$\color{red} \pushout{R_\exists}(A)\subset B \iff A\subset \pullback{R_\forall}(B) $$
が成り立つ．特に，$\color{red}A\subset \pullback{R_\forall}(\pushout{R_\exists}(A))$と$\color{red}\pushout{R_\exists}(\pullback{R_\forall}(B))\subset B$も得られる．
全く同様にして，
$$ \upper{c_{R}^\top}1_B\le 1_A \iff 1_B\le \lower{c_{R}}1_A $$
より
$$\color{red} \pullback{R_\exists}(B)\subset A \iff B\subset \pushout{R_\forall}(A) $$
が成り立つこともわかる．特に，$\color{red}\pullback{R_\exists}(\pushout{R_\forall}(A))\subset A$と$\color{red}B\subset \pushout{R_\forall}(\pullback{R_\exists}(B))$も得られる．

• $A\subset X$に対して，$f_{!}(X\setminus A)=Y\setminus \pushout{f}(A)$である．
• $B\subset Y$に対して，$\pullback{f}(Y\setminus B)=X\setminus \pullback{f}(B)$である．

• $A\subset A'\subset X$のとき，$\pushout{f}(A)\subset \pushout{f}(A')$と$f_{!}(A)\subset f_{!}(A')$が成り立つ．
• $B\subset B'\subset Y$のとき，$\pullback{f}(B)\subset \pullback{f}(B')$が成り立つ．

• $X$の部分集合からなる族$\family{A_\lambda}{\lambda\in\Lambda}$について，次式が成り立つ：
  $$ \pushout{f}\Paren{\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda}=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\pushout{f}(A_\lambda), \qquad f_{!}\Paren{\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda}=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}f_{!}(A_\lambda). $$
• $Y$の部分集合からなる族$\family{B_\lambda}{\lambda\in\Lambda}$について，次式が成り立つ：
  $$ \pullback{f}\Paren{\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_\lambda}=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\pullback{f}(B_\lambda), \qquad \pullback{f}\Paren{\bigcap_{\lambda\in\Lambda}B_\lambda}=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\pullback{f}(B_\lambda). $$

$A\subset X$と$B\subset Y$に対して，以下が成り立つ：
\begin{align*} \pushout{f}(A)\subset B &\iff A\subset \pullback{f}(B), \\ \pullback{f}(B)\subset A &\iff B\subset f_{!}(A). \end{align*}

$A\subset B\subset S$のとき，$S\setminus A\supset S\setminus B$より
$$ \pushout{{\not\le}_\forall}(S\setminus A)\supset \pushout{{\not\le}_\forall}(S\setminus B), \qquad \pullback{{\not\le}_\forall}(S\setminus A)\supset \pullback{{\not\le}_\forall}(S\setminus B), $$
すなわち$\color{red}A^{\mathrm{u}}\supset B^{\mathrm{u}}$と$\color{red}A^{\mathrm{l}}\supset B^{\mathrm{l}}$が成り立つ．

$S$の部分集合からなる族$\family{A_\lambda}{\lambda\in\Lambda}$について
$$ \pushout{{\not\le}_\forall}\Paren{\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\paren{S\setminus A_\lambda}}=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\pushout{{\not\le}_\forall}(S\setminus A_\lambda) $$
が成り立つから，ド・モルガンの法則より
$$ \color{red}\Paren{\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda}^{\mathrm{u}}=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda^{\mathrm{u}} $$
を得る．全く同様に
$$ \pullback{{\not\le}_\forall}\Paren{\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\paren{S\setminus A_\lambda}}=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\pullback{{\not\le}_\forall}(S\setminus A_\lambda) $$
より
$$ \color{red}\Paren{\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda}^{\mathrm{l}}=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda^{\mathrm{l}} $$
が成り立つこともわかる．

$A,B\subset S$について
$$ \pullback{{\not\le}_\exists}(B)\subset S\setminus A \iff B\subset \pushout{{\not\le}_\forall}(S\setminus A) $$
が成り立つから，$\pullback{{\not\le}_\exists}(B)=S\setminus\pullback{{\not\le}_\forall}(S\setminus B)=S\setminus B^{\mathrm{l}}$にも注意すると
$$ \color{red}B^{\mathrm{l}}\supset A \iff B\subset A^{\mathrm{u}} $$
である．特に$\color{red}A\subset A^{\mathrm{ul}}$と$\color{red}B\subset B^{\mathrm{lu}}$も成り立つ．