Groeneveltの展開公式
$\displaystyle x:=\frac{z+z^{-1}}2$とする. Askey-Wilson多項式を
\begin{align}
p_n(x;a,b,c,d|q):=a^{-n}(ab,ac,ad;q)_n\Q43{q^{-n},abcdq^{n-1},az,a/z}{ab,ac,ad}{q}
\end{align}
と定義する. 今回の展開公式を示す.
$|t|<1$に対し
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(abcd;q)_{2n}p_n(x;a,b,c,d|q)}{(q,ab,ac,bc,abcdq^{n-1};q)_n}\frac{(r/t,abc/r;q)_n}{(abcdt/r,rd;q)_n}t^n\\
&=\frac{(abcd,dt,abctz/r,rz;q)_{\infty}}{(abcdt/r,dr,abcz,tz;q)_{\infty}}{}_8W_7(abcz/q;az,bz,cz,r/t,abc/r;t/z)
\end{align}
が成り立つ.
Askey-Wilson多項式の定義の${}_4\phi_3$による表示に
Watsonの変換公式
を適用すると
\begin{align}
p_n(x;a,b,c,d|q)&=\frac{(ab,ac,bc,d/z;q)_n}{(abcz;q)_n}z^n{}_8W_7(abcz/q;az,bz,cz,abcdq^{n-1},q^{-n};q/dz)
\end{align}
となる. これを代入すると,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(abcd;q)_{2n}p_n(x;a,b,c,d|q)}{(q,ab,ac,bc,abcdq^{n-1};q)_n}\frac{(r/t,abc/r;q)_n}{(abcdt/r,rd;q)_n}t^n\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(1-abcdq^{2n-1})(abcd/q,d/z,r/t,abc/r;q)_n}{(1-abcd/q)(q,abcz,abcdt/r,rd;q)_n}(zt)^n\\
&\qquad\sum_{0\leq k}\frac{(1-abczq^{2k-1})(abcz/q,az,bz,cz,abcdq^{n-1},q^{-n};q)_k}{(1-abcz/q)(q,bc,ac,ab,zq^{1-n}/d,abczq^n;q)_k}\left(\frac{q}{dz}\right)^k\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(1-abczq^{2k-1})(abcz/q,az,bz,cz;q)_k}{(1-abcz/q)(q,bc,ac,ab;q)_k}z^{-2k}\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(1-abcdq^{2n-1})(abcd/q;q)_{n+k}(r/t,abc/r;q)_n(d/z;q)_{n-k}}{(1-abcd/q)(abcdt/r,rd;q)_n(abcz;q)_{n+k}(q;q)_{n-k}}(zt)^n\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(1-abczq^{2k-1})(abcz/q,az,bz,cz;q)_k}{(1-abcz/q)(q,bc,ac,ab;q)_k}\left(\frac tz\right)^k\\
&\qquad\cdot\frac{(abcd;q)_{2k}(r/t,abc/r;q)_k}{(abcdt/r,dr;q)_k(abcz;q)_{2k}}{}_6W_5(abcdq^{2k-1};rq^k/t,abcq^k/r,d/z;zt)
\end{align}
ここで, Rogersの${}_6\phi_5$和公式より
\begin{align}
{}_6W_5(abcdq^{2k-1};rq^k/t,abcq^k/r,d/z;zt)=\frac{(abcdq^{2k},dt,abctzq^k/r,rzq^k;q)_{\infty}}{(abcdtq^k/r,drq^k,abczq^{2k},tz;q)_{\infty}}
\end{align}
となるので, これを代入すると
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(abcd;q)_{2n}p_n(x;a,b,c,d|q)}{(q,ab,ac,bc,abcdq^{n-1};q)_n}\frac{(r/t,abc/r;q)_n}{(abcdt/r,dr;q)_n}t^n\\
&=\frac{(abcd,dt,abctz/r,rz;q)_{\infty}}{(abcdt/r,dr,abcz,tz;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{(1-abczq^{2k-1})(abcz/q,az,bz,cz;q)_k}{(1-abcz/q)(q,bc,ac,ab;q)_k}\left(\frac tz\right)^k\\
&\qquad\cdot\frac{(r/t,abc/r;q)_k}{(abctz/r,rz;q)_k}\\
&=\frac{(abcd,dt,abctz/r,rz;q)_{\infty}}{(abcdt/r,dr,abcz,tz;q)_{\infty}}{}_8W_7(abcz/q;az,bz,cz,r/t,abc/r;t/z)
\end{align}
となって示すべき等式を得る.
Groeneveltの論文において, この公式はapparently newと書かれているが, 実際には Ismail-Rahman-Suslovの公式 からも導出できるようである. それは前の記事( Askey-Wilson関数をAskey-Wilson多項式で展開する )において$e=a/d$の特殊化を行わずに単に$f=C$として同様の議論を行えばよい.
Liuの母関数の導出
定理1において, $r=c$とするとRogersの${}_6\phi_5$和公式より
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(abcd;q)_{2n}(c/t;q)_np_n(x;a,b,c,d|q)}{(q,ac,bc,cd,abcdq^{n-1};q)_n}t^n\\
&=\frac{(abcd,dt,abtz,cz;q)_{\infty}}{(abdt,cd,abcz,tz;q)_{\infty}}{}_6W_5(abcz/q;az,bz,c/t;t/z)\\
&=\frac{(abcd,dt,abtz,cz;q)_{\infty}}{(abdt,cd,abcz,tz;q)_{\infty}}\frac{(abcz,at,bt,c/z;q)_{\infty}}{(ac,bc,abtz,t/z;q)_{\infty}}\\
&=\frac{(abcd,at,bt,dt,cz,c/z;q)_{\infty}}{(ac,bc,cd,abdt,tz,t/z;q)_{\infty}}
\end{align}
$t\mapsto ct$とした後$c,d$を入れ替えると,
前の記事
の定理2が得られる.
