ラグランジュ反転公式の応用(3)

ラグランジュ反転公式
ラグランジュ反転公式の応用(1)
ラグランジュ反転公式の応用(2)

この記事では$f(x)=x-x^p$($p$は整数)の逆関数を考えます．

$\begin{array}{rl}m[x^{-m}]f(x{)}^{-n}& =m[x^{-m}]x^{-n}(1-x^{p-1}{)}^{-n}\\ & =m[x^{n-m}](1-x^{p-1}{)}^{-n}\\ & =m[x^{n-m}]\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+n-1}{k})x^{k(p-1)}\end{array}$

となり，これは$n-m$が$p-1$の倍数のとき以外は値が$0$となるので
$f^{-1}(x{)}^m={\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{m}{k(p-1)+m}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{kp+m-1}{k})x^{k(p-1)+m}}$
を得る．
特に$m=1$として，
$f^{-1}(x)={\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{k(p-1)+1}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{kp}{k})x^{k(p-1)+1}}$
である．

ここで，$g(x)={\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{kp}{k})x^{k(p-1)}}$とおくと，${\displaystyle \frac{d}{dx}}{f}^{-1}(x)=g(x)$である．
また，$$\begin{array}{}\text{(1)}& f^{-1}(x)-f^{-1}(x{)}^p=x\end{array}$$の両辺を$x$で微分すると$g(x)-pg(x)f^{-1}(x{)}^{p-1}=1$となっており，$$\begin{array}{}\text{(2)}& f^{-1}(x{)}^{p-1}={\displaystyle \frac{g(x)-1}{pg(x)}}\end{array}$$を得る．
これら$2$式より，$$x^{p-1}=(f^{-1}(x)-f^{-1}(x{)}^p{)}^{p-1}={\displaystyle \frac{g(x)-1}{pg(x)}}{(1-{\displaystyle \frac{g(x)-1}{pg(x)}})}^{p-1}$$がわかり，整理すると$$p^p{x}^{p-1}g(x{)}^p=(g(x)-1)((p-1)g(x)+1{)}^{p-1}$$となる．$x^{p-1}$を$x$に換えると次の定理が得られる．

この系を用いると， このツイート のような式が得られます．
$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{4n}{n})\frac{4^{3n}}{5^{4n}}=5$$
$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{4n}{n})\frac{5^{3n}}{6^{4n}}=3$$
$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{4n}{n})\frac{7^{3n}}{8^{4n}}=2$$