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微分方程式と保型形式

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はじめに

　この記事では二階線形微分方程式
$\frac{d^{2} u}{d z^{2}} + P (z) \frac{d u}{d z} + Q (z) u = 0$
の保型形式による解について解説していきます。

モノドロミー群の作用と保型形式

　前回の記事では $P, Q$ が領域 $D$ において正則であれば $D$ の普遍被覆面 $\tilde{D}$ 上で正則な解 $\tilde{u} = p^{*} u$ が取れることを紹介したのであった。
　いまある基本解 ${\tilde{u}}_{1}, {\tilde{u}}_{2}$ に関するモノドロミー群 $Γ$ が $S L (2, R)$ の離散部分群で商空間 $Γ ∖ H$ を体積有限とするもの、つまり第一種のFuchs群であるものとする。このとき $\tilde{D}$ 上の有理型関数 $τ : \tilde{D} \to D^{'}$ を
$τ = \frac{{\tilde{u}}_{1} (\tilde{z})}{{\tilde{u}}_{2} (\tilde{z})}$
によって定めると、これは被覆変換 $γ$ の作用によって
$γ^{*} τ = \frac{a {\tilde{u}}_{1} + b {\tilde{u}}_{2}}{c {\tilde{u}}_{1} + d {\tilde{u}}_{2}} = \frac{a τ + b}{c τ + d}$
と変換される。したがって $D^{'}$ は $Γ$ の作用に対して不変となる(参考文献ではこのことから $D^{'}$ は上半平面か下半平面となることがわかるらしいが、そのことは簡単に示せるのだろうか)。
　ここで簡単のため $D^{'} = H$ および $τ : \tilde{D} \to H$ は全単射であるものと仮定する。このとき $τ$ の逆像 $F : H \to \tilde{D}$ と被覆写像 $p : \tilde{D} \to D$ の合成を $f = p \circ F$ とおくと $f (τ) = f (γ * τ) = p (\tilde{z})$ よりこれは
$f (\frac{a τ + b}{c τ + d}) = f (τ)$
を満たす、つまり $Γ$ -保型関数となることがわかる。
　また $\tilde{z} = F (τ)$ とおいて ${\tilde{u}}_{2}$ を $τ$ についての関数とみなすと、これは
${\tilde{u}}_{2} (γ^{*} τ) = c {\tilde{u}}_{1} + d {\tilde{u}}_{2} = (c τ + d) {\tilde{u}}_{2} (τ)$
を満たす、つまり重さ $1$ の $Γ$ -保型形式となることがわかる。

具体例

　例えば超幾何微分方程式
$z (1 - z) \frac{d^{2} u}{d z^{2}} + (1 - 2 z) \frac{d u}{d z} - \frac{1}{4} u = 0$
の基本解として
$u_{1} =_{2} F_{1} (\begin{matrix} \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \\ 1 \end{matrix}; 1 - z), u_{2} =_{2} F_{1} (\begin{matrix} \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \\ 1 \end{matrix}; z)$
を取ったとき
$τ = \frac{i u_{1} (z)}{u_{2} (z)}$
とおくと
$z = \frac{θ_{2} (τ)^{4}}{θ_{3} (τ)^{4}}, u_{2} = θ_{3} (τ)^{2}$
が成り立つことが知られている。ただし
$θ_{2} (τ) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} q^{(n + \frac{1}{2})^{2}}, θ_{3} (τ) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} q^{n^{2}} (q = e^{π i τ})$
とした(この公式についてはこの記事にて証明している)。

　また例えば超幾何微分方程式
$z (1 - z) \frac{d^{2} u}{d z^{2}} + (1 - 2 z) \frac{d u}{d z} - \frac{2}{9} u = 0$
の基本解として
$u_{1} =_{2} F_{1} (\begin{matrix} \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \\ 1 \end{matrix}; 1 - z), u_{2} =_{2} F_{1} (\begin{matrix} \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \\ 1 \end{matrix}; z)$
を取ったとき
$τ = \frac{2}{\sqrt{3}} \frac{i u_{1} (z)}{u_{2} (z)}$
とおくと
$z = \frac{c (τ)^{3}}{a (τ)^{3}}, u_{2} = a (τ)$
が成り立つことが知られている。ただし
$\begin{aligned} a (τ) & = \sum_{m, n = - \infty}^{\infty} q^{m^{2} + m n + n^{2}} \\ c (τ) & = \sum_{m, n = - \infty}^{\infty} q^{(m + \frac{1}{3})^{2} + (m + \frac{1}{3}) (n + \frac{1}{3}) + (n + \frac{1}{3})^{2}} (q = e^{π i τ}) \end{aligned}$
とした(この公式についてはこの記事にて紹介している。ただし上の式とは $q$ の置き方が異なることに注意する)。

　ちなみにラマヌジャンは超幾何関数
$F_{s} (z) =_{2} F_{1} (\begin{matrix} \frac{1}{s}, 1 - \frac{1}{s} \\ 1 \end{matrix}; z) (s = 2, 3, 4, 6)$
に対し
$τ = \frac{1}{\sin \frac{π}{s}} \frac{i F_{s} (1 - z)}{F_{s} (z)}$
および $q = e^{π i τ}$ とおくといい感じの理論が展開できることを予想していたが、実際それは上のような理論によって裏付けられることがわかる。