引き戻しと逆像

終対象とは0項関係の最大元の表示のことであったが、それはつまり0項積のことである。

引き戻しの存在について。射$f\colon A \to C,g\colon B\to C$が任意に与えられたとする。$(E;e)$を$f\circ \pi_A,g\circ \pi_B$のイコライザとするとき、次の図式の $(E;\pi_A\circ e,\pi_B \circ e)$ は引き戻しである。
引き戻しを構成

実際、$A,B$ 上の任意の2-span $(X;x,y)$ で $f \circ x = g \circ y$ を満たすものは、$f \circ \pi_A \circ \langle x,y \rangle = g \circ \pi_B \circ \langle x,y \rangle$ をも満たすので、イコライザの普遍性より次が成り立つ。
二項積とイコライザの併せ技で引き戻しの普遍性を錬成

イコライザの普遍性が、引き戻しの普遍性を与える。

引き戻しと終対象を持つ圏を任意に考える。

まず有限積について、0項積とは終対象のことであるから、仮定より0項積は存在している。また対象 $A$ の1項積とは、$A$ 上の1項関係（つまり $A$ の部分対象）の最大元の表示であるから、$(A;1_A)$ が標準的に与えられる。よって1項積は存在している。

$n \geq 2$ を満たす任意の自然数 $n$ に対し、$A_1,A_2,\cdots,A_n$ の $n$ 項積とは、2項積を $n-1$ 回繰り返した $(\cdots((A_1\times A_2)\times A_3) \times \cdots )\times A_n$ によって与えられるから、2項積の存在を示せば有限積の存在が言えたことになる。そして2項積は次の図のように構成できる。
二項積の構成

実際、$A,B$ 上の任意のspan $(X;x,y)$ に対し、終対象の普遍性から $p_A \circ x = p_B \circ y$ が成り立つから、$(X;x,y)$ から $p_A,p_B$ の引き戻しに対してspanの射が一意に取れる。これは $p_A,p_B$ の引き戻しが積の普遍性を満たすことを示している。

次にイコライザについて。次の図式の $(P;l)$ は $f,g$ のイコライザである。
イコライザの構成

実際、$\pi_A \circ \langle 1_A,f \rangle \circ l = \pi_A \circ \langle 1_A,g \rangle\circ r$ より $l = r$ が成立し、$\pi_B \circ \langle 1_A,f \rangle\circ l = \pi_B \circ \langle 1_A,g \rangle \circ r$ より $f \circ l = g \circ r = g \circ l$、よって $f \circ l = g \circ l$。引き戻しの普遍性が、イコライザの普遍性を与える。

こちらの記事を参照してもらいたい。

https://mathlog.info/articles/LTGQvlzdOlJQTLskshmK

次が成り立つ。
画像の名前

$\theta,\theta'\colon X \to P$ を任意に取り、$r \circ \theta = r \circ \theta'$ と仮定。このとき $g \circ r \circ \theta = g \circ r \circ \theta'$ より、$f \circ l \circ \theta = f \circ l \circ \theta'$。$f$ はmonicと仮定したので、$l\circ \theta = l \circ \theta'$。よって引き戻しの普遍性より、$\theta = \theta'$ であり、$r$ はmonicの定義を満たす。

射 $f\colon A \to B,g\colon B \to A$ は $g \circ f = 1_A$ を満たすとする。さらに $g$ がmonicだとすると、$g \circ f \circ g = 1_A \circ g = g \circ 1_B$ より $f \circ g = 1_B$ が従う。よって $f,g$ は互いに逆射であり、$g$ は同型射。

$(P;l,r)$ を $f\colon A \to C,g\colon B \to C$ の引き戻しとする。次が成り立つ。
引き戻しは同型を引き戻す

同型射はmonicであるから、pullbackOfmonicより、$r$ はmonic。また、$1_B = r \circ \theta$ より、$r$ は分裂epicであるから、monicandsplitepiより $r$ は同型射。

単純計算により普遍性が確かめられる。

なお、終対象 $1$ を持つ圏ならば次の図式が成り立つ。
右側に図式を隣接させる

$1$ に向かう射同士の引き戻しは二項積と一致したので、大外の長方形図式と右側の四角形図式が引き戻しであるから、pasting lemmaより左側の四角形図式も引き戻しである。

$m\colon M \to B,m'\colon M' \to B$ をそれぞれmonicとし、$(M;m)\simeq (M';m')$、則ちある $\theta \colon M \overset{\sim}{\to} M'$ で $m = m'\circ \theta$ を満たすものが存在すると仮定する。$\theta,m'$ の各々を引き戻して、pasting lemmaを用いる。このとき次の図式が成り立つ。
1-table間の同型をも引き戻す

$\theta$ が同型であるから、pullbackOfisomより $l^*\theta$ は同型射。$f^{*}m = f^{*}m' \circ l^* \theta$ かつ $l^*\theta$ は同型射なので、$(f^{*}M;f^{*}m)\simeq (f^{*}M';f^{*}m')$ が成立。したがって逆像は1-tableの同型を保存し、部分対象系の間の写像を与える。

$$ f^{*} \colon \mathrm{Sub}(B) \to \mathrm{Sub}(A),\quad [(M;m)] \mapsto [(f^{*}M;f^{*}m)] $$

まず、$[(f^{*}(M \cap N) ; f^*\mu)] \subseteq [(f^{*}M;f^{*}m)] \cap [(f^{*}N;f^{*}n)]$ は直ちに従う。実際、$[(M \cap N; \mu)] \subseteq [(M;m)]$ かつ $[(M \cap N;\mu)] \subseteq [(N;n)]$ であるから、preservationorder及び最大下界性より成立。

逆向きの包含関係について。まず次の図式が成り立つ。
pasting lemmaが使えそうで使えない

この図式から引き戻しの普遍性を読み取って、ある $\theta \colon f^{*}M \cap f^{*} N \to M \cap N$ が存在して次が成り立つ。
$f^*M \cap f^*N$から$M\cap N$への射

したがって次が成立する。
$(f^* M \cap f^* N; f^*\mu \circ \eta) \sqsubseteq (f^*(M \cap N);f^* \mu)$

$f^{*}\mu \circ \eta$ がmonicなので、$\eta$ はmonic。したがって、$[(f^{*}M \cap f^{*}N ; f^{*}\mu \circ \eta)] \subseteq [(f^{*}(M\cap N); f^{*}\mu)]$ が成立。

集合論の直積集合が圏論的な二項積を与えることは直ちに確かめられるし、終対象としては一元集合$\{\emptyset\}$が存在するから、有限積が存在している。また、写像 $f,g\colon A \to B$ に対し集合 $E \overset{\mathrm{def}}{=} \{ a \in A \mid f(a) = g(a) \}$ を与えると、包含写像 $e\colon E \hookrightarrow A$ とセットで $A$ 上の1-table $(E;e)$ が $f,g$ のイコライザであることを確かめるのは容易い。