Baileyの6ψ6和公式からDougallの2H2和公式のq類似を導出する

まず, 古典的な場合として Dougallの${}_2H_2$和公式 は Dougallの${}_5H_5$和公式 から導出できることを見る.

\begin{align} &\H55{1+\frac a2,b,c,d,e}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e}1\\ &=\frac{\Gamma(1-b)\Gamma(1-c)\Gamma(1-d)\Gamma(1-e)\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+2a-b-c-d-e)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1-a)\Gamma(1+a-b-c)\Gamma(1+a-b-d)\Gamma(1+a-b-e)\Gamma(1+a-c-d)\Gamma(1+a-c-e)\Gamma(1+a-d-e)} \end{align}
において, $d,\mapsto 1+a-d,e\mapsto 1+a-e$として,
\begin{align} &\H55{1+\frac a2,b,c,1+a-d,1+a-e}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,d,e}1\\ &=\frac{\Gamma(1-b)\Gamma(1-c)\Gamma(d)\Gamma(e)\Gamma(d+e-b-c-1)}{\Gamma(d-b)\Gamma(e-b)\Gamma(d-c)\Gamma(e-c)}\cdot\frac{\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-b-c)}{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)}\cdot\frac{\Gamma(d-a)\Gamma(e-a)}{\Gamma(1-a)\Gamma(d+e-a-1)} \end{align}
ここで, $a\to i\infty$とすると, Stirlingの公式より
\begin{align} &\frac{\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-b-c)}{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)}\to1\\ &\frac{\Gamma(d-a)\Gamma(e-a)}{\Gamma(1-a)\Gamma(d+e-a-1)}\to 1 \end{align}
である. よって,
\begin{align} \H22{b,c}{d,e}1&=\frac{\Gamma(1-b)\Gamma(1-c)\Gamma(d)\Gamma(e)\Gamma(d+e-b-c-1)}{\Gamma(d-b)\Gamma(e-b)\Gamma(d-c)\Gamma(e-c)} \end{align}
となる. これはDougallの${}_2H_2$和公式である.

さて, 次はDougallの${}_5H_5$和公式の$q$類似である Baileyの${}_6\psi_6$和公式
\begin{align} &\BQ66{\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e}{\frac{a^2q}{bcde}}\\ &=\frac{(aq,aq/bc,aq/bd,aq/be,aq/cd,aq/ce,aq/de,q,q/a;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,q/b,q/c,q/d,q/e,a^2q/bcde;q)_{\infty}} \end{align}
から同様の方法を用いるとどうなるのかについて考察する. まず, $d\mapsto aq/d, e\mapsto aq/e$とすると,

\begin{align} &\BQ66{\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,aq/d,aq/e}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,d,e}{\frac{de}{bcq}}\\ &=\frac{(d/b,e/b,d/c,e/c,q;q)_{\infty}}{(d,e,q/b,q/c,de/bcq;q)_{\infty}}\frac{(aq,aq/bc;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c;q)_{\infty}}\frac{(q/a,de/aq;q)_{\infty}}{(d/a,e/a;q)_{\infty}} \end{align}
となる. $q$類似の場合にはここで, $a$をどの方向の$\infty$に近づけても右辺の積が収束しないという問題が生じる. よって工夫として, $N$を非負整数として$a=aq^{-2N}$としてから$N\to\infty$とすることを考えてみる.
\begin{align} &\BQ66{\sqrt aq^{1-N},-\sqrt aq^{-N},b,c,aq^{1-2N}/d,aq^{1-2N}/e}{\sqrt aq^{-N},-\sqrt aq^{-N},aq^{1-2N}/b,aq^{1-2N}/c,d,e}{\frac{de}{bcq}}\\ &=\frac{(d/b,e/b,d/c,e/c,q;q)_{\infty}}{(d,e,q/b,q/c,de/bcq;q)_{\infty}}\frac{(aq^{1-2N},aq^{1-2N}/bc;q)_{\infty}}{(aq^{1-2N}/b,aq^{1-2N}/c;q)_{\infty}}\frac{(q^{2N+1}/a,deq^{2N-1}/a;q)_{\infty}}{(dq^{2N}/a,eq^{2N}/a;q)_{\infty}} \end{align}
左辺は
\begin{align} &\BQ66{\sqrt aq^{1-N},-\sqrt aq^{-N},b,c,aq^{1-2N}/d,aq^{1-2N}/e}{\sqrt aq^{-N},-\sqrt aq^{-N},aq^{1-2N}/b,aq^{1-2N}/c,d,e}{\frac{de}{bcq}}\\ &=\sum_{n\leq N}\frac{(\sqrt aq^{1-N},-\sqrt aq^{1-N},b,c,aq^{1-2N}/d,aq^{1-2N}/e;q)_n}{(\sqrt aq^{-N},-\sqrt aq^{-N},aq^{1-2N}/b,aq^{1-2N}/c,d,e;q)_n}\left(\frac{de}{bcq}\right)^n\\ &\qquad+\sum_{-N\leq n}\frac{(\sqrt aq^{1-N},-\sqrt aq^{-N},b,c,aq^{1-2N}/d,aq^{1-2N}/e;q)_{n+2N}}{(\sqrt aq^{-N},-\sqrt aq^{-N},aq^{1-2N}/b,aq^{1-2N}/c,d,e;q)_{n+2N}}\left(\frac{de}{bcq}\right)^{n+2N}\\ &=\sum_{n\leq N}\frac{(\sqrt aq^{1-N},-\sqrt aq^{1-N},b,c,aq^{1-2N}/d,aq^{1-2N}/e;q)_n}{(\sqrt aq^{-N},-\sqrt aq^{-N},aq^{1-2N}/b,aq^{1-2N}/c,d,e;q)_n}\left(\frac{de}{bcq}\right)^n\\ &\qquad+\frac{1-aq^{2N}}{q^{2N}-a}\frac{(b,c,d/a,e/a;q)_{2N}}{(b/a,c/a,d,e;q)_{2N}}\\ &\qquad\cdot\sum_{-N\leq n}\frac{(\sqrt aq^{1+N},-\sqrt aq^{1+N},bq^{2N},cq^{2N},aq/d,aq/e;q)_{n}}{(\sqrt aq^{N},-\sqrt aq^{N},aq/b,aq/c,dq^{2N},eq^{2N};q)_{n}}\left(\frac{de}{bcq}\right)^{n}\\ &\to\BQ22{b,c}{d,e}q-\frac 1a\frac{(b,c,d/a,e/a;q)_{\infty}}{(b/a,c/a,d,e;q)_{\infty}}\BQ22{aq/d,aq/e}{aq/b,aq/c}{\frac{de}{bcq}}\qquad N\to\infty\\ &=\BQ22{b,c}{d,e}q-\frac 1a\frac{(b,c,d/a,e/a;q)_{\infty}}{(b/a,c/a,d,e;q)_{\infty}}\BQ22{b/a,c/a}{d/a,e/a}{q} \end{align}
となる. 一方右辺は
\begin{align} &\frac{(d/b,e/b,d/c,e/c,q;q)_{\infty}}{(d,e,q/b,q/c,de/bcq;q)_{\infty}}\frac{(aq^{1-2N},aq^{1-2N}/bc;q)_{\infty}}{(aq^{1-2N}/b,aq^{1-2N}/c;q)_{\infty}}\frac{(q^{2N+1}/a,deq^{2N-1}/a;q)_{\infty}}{(dq^{2N}/a,eq^{2N}/a;q)_{\infty}}\\ &=\frac{(aq^{1-2N},aq^{1-2N}/bc;q)_{2N}}{(aq^{1-2N}/b,aq^{1-2N}/c;q)_{2N}}\frac{(d/b,e/b,d/c,e/c,q;q)_{\infty}}{(d,e,q/b,q/c,de/bcq;q)_{\infty}}\frac{(aq,aq/bc;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c;q)_{\infty}}\frac{(q^{2N+1}/a,deq^{2N-1}/a;q)_{\infty}}{(dq^{2N}/a,eq^{2N}/a;q)_{\infty}}\\ &=\frac{(1/a,bc/a;q)_{2N}}{(b/a,c/a;q)_{2N}}\frac{(d/b,e/b,d/c,e/c,q;q)_{\infty}}{(d,e,q/b,q/c,de/bcq;q)_{\infty}}\frac{(aq,aq/bc;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c;q)_{\infty}}\frac{(q^{2N+1}/a,deq^{2N-1}/a;q)_{\infty}}{(dq^{2N}/a,eq^{2N}/a;q)_{\infty}}\\ &\to\frac{(1/a,aq,bc/a,aq/bc;q)_{\infty}}{(b/a,c/a,aq/b,aq/c;q)_{\infty}}\frac{(d/b,e/b,d/c,e/c,q;q)_{\infty}}{(d,e,q/b,q/c,de/bcq;q)_{\infty}}\qquad N\to\infty \end{align}
となる. よって,
\begin{align} &\BQ22{b,c}{d,e}q-\frac 1a\frac{(b,c,d/a,e/a;q)_{\infty}}{(b/a,c/a,d,e;q)_{\infty}}\BQ22{b/a,c/a}{d/a,e/a}{q}\\ &=\frac{(1/a,aq,bc/a,aq/bc;q)_{\infty}}{(b/a,c/a,aq/b,aq/c;q)_{\infty}}\frac{(d/b,e/b,d/c,e/c,q;q)_{\infty}}{(d,e,q/b,q/c,de/bcq;q)_{\infty}} \end{align}
を得る. これは 前の記事 で示したDougallの${}_2H_2$和公式の$q$類似である.