素数計数関数の恒等式と素数計数関数

　まず$S_\ell(x)$は次のように定義される。
\begin{align} S_\ell(x)\coloneqq \sum_{m=1}^{\lfloor x \rfloor}\frac{\mu_{\ell m}}{\sqrt[\ell]{m}}=\mu_{\ell 1}+\frac{\mu_{\ell2}}{\sqrt[\ell]{2}}+\cdots. \end{align}
prinfの命題8より、反転係数$\mu_{\ell1}$は展開の仕方に依らず
\begin{align} \mu_{\ell 1}=\frac{\mu(\ell)}{\ell} \end{align}
と定まる。そこで新たな関数$S_\ell^*(x)$を導入する。
\begin{align} S_\ell(x)=:\frac{\mu(\ell)}{\ell}S_\ell^*(x). \end{align}
これをprin2の定理3で示した$\tilde{\pi}_{1/2}(N)$の表式に代入する。
\begin{align} \tilde{\pi}_{1/2}(N)&=\sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor}\biggl(\frac{1}{2}S_\ell\biggl( \frac{N}{2^\ell}\biggr)\sqrt[\ell]{\frac{N}{2^\ell}}+\frac{3}{2\ell}\int_{1}^{ N/2^\ell }S_\ell(t)t^{1/\ell-1}dt\biggr)\\ &=\sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor}\frac{\mu(\ell)}{\ell}\biggl(\frac{1}{2}S_\ell^*\biggl( \frac{N}{2^\ell}\biggr)\sqrt[\ell]{\frac{N}{2^\ell}}+\frac{3}{2\ell}\int_{1}^{ N/2^\ell }S_\ell^*(t)t^{1/\ell-1}dt\biggr) \\ &=:\sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor}\frac{\mu(\ell)}{\ell}f_\ell(N). \end{align}
最後の行で$\mu(\ell)/\ell$以外の部分を$f_\ell(N)$とした。
　ところで、リーマンは$\pi_0(x)$の有名な近似式
\begin{align} \pi_0(x)\approx R(x)=\sum_{\ell=1}^\infty \frac{\mu(\ell)}{\ell}\mathrm{li}\bigl(x^{1/\ell}\bigr) \end{align}
を得たRiesel。ここで$\pi_0(x)$は
\begin{align} \pi_0(x)\coloneqq \frac{\pi(x+0)+\pi(x-0)}{2} \end{align}
と定義され、$x$が素数のとき$\pi(x)-1/2$、それ以外では$\pi(x)$と等しい関数である。
このリーマンの近似式と$\tilde{\pi}_{1/2}(N)$を比較して
\begin{align} f_\ell(N) \approx f_1\bigl(\sqrt[\ell]{N}\bigr) \end{align}
と仮定することができる。
　ここからは$f_\ell(N)$と$f_1\bigl(\sqrt[\ell]{N}\bigr)$を具体的に計算する。
\begin{align} f_\ell(N)&=\frac{1}{2}S_\ell^*\biggl( \frac{N}{2^\ell}\biggr)\sqrt[\ell]{\frac{N}{2^\ell}}+\frac{3}{2\ell}\int_{1}^{ N/2^\ell }S_\ell^*(t)t^{1/\ell-1}dt, \\ f_1\bigl(\sqrt[\ell]{N}\bigr)&=\frac{1}{2}S_1^*\biggl( \frac{\sqrt[\ell]{N}}{2}\biggr)\frac{\sqrt[\ell]{N}}{2}+\frac{3}{2}\int_{1}^{ \sqrt[\ell]{N}/2 }S_1^*(t)dt. \end{align}
1項目を比較すると、1以上の実数$x$について
\begin{align} S_\ell^*\biggl(\frac{N}{2^\ell}\biggr)&\approx S_1^*\biggl(\sqrt[\ell]{\frac{N}{2^\ell}}\biggr)\\ \to S_\ell^*(x)&\approx S_1^*\bigl(\sqrt[\ell]{x}\bigr) \end{align}
が得られる。
2項目を比較するため、$f_\ell(N)$の積分変数を$u=t^{1/\ell}$と変数変換する。$du=t^{1/\ell-1}dt/\ell$であり、$u$は$1$から$\sqrt[\ell]{N/2^\ell}$まで動くので、
\begin{align} \frac{1}{\ell}\int_{1}^{ N/2^\ell }S_\ell^*(t)t^{1/\ell-1}dt=\int_1^\sqrt[\ell]{N/2^\ell}S_\ell^*\bigl(u^\ell\bigr)du \end{align}
となる。被積分関数を比較して
\begin{align} S_\ell^*\bigl(t^\ell\bigr)&\approx S_1^*(t) \\ \to S_\ell^*(t)&\approx S_1^*\bigl(\sqrt[\ell]{t}\bigr) \end{align}
が得られる。すなわち$f_\ell(N) \approx f_1\bigl(\sqrt[\ell]{N}\bigr)$の仮定から
\begin{align} S_\ell^*(x)\approx S_1^*\bigl(\sqrt[\ell]{x}\bigr) \end{align}
が導かれる。これは$\tilde{\pi}_{1/2}(N)$だけでなく$\tilde{\pi}_0(N)$や$\tilde{\pi}_1(N)$として計算しても同様である。
　$S_\ell(x)$の表式に戻すと
\begin{align} S_\ell(x)=\frac{\mu(\ell)}{\ell}S_\ell^*(x)\approx\frac{\mu(\ell)}{\ell}S_1\bigl(\sqrt[\ell]{x}\bigr) \end{align}
となり、目的の近似式が得られる。ここで、$S_1^*\bigl(\sqrt[\ell]{x}\bigr)=S_1\bigl(\sqrt[\ell]{x}\bigr)$を用いた。

　$\ell=1$のときは、Harmonicより$N$番目の調和数は漸近的に
\begin{align} H(N)\approx\ln N+\gamma+\frac{1}{2N}+\cdots \end{align}
で与えられる。よって十分大きい$N$に対し、
\begin{align} H(N)\approx\ln N+\gamma \end{align}
と近似できる。
　$\ell \ge2$のときは、定義から$H_\ell(N)$を次のように書き直せる。
\begin{align} H_\ell(N)&=\sum_{n=1}^N\frac{1}{n^\ell}\\ &=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^\ell}-\sum_{n=\lfloor N \rfloor+1}^\infty \frac{1}{n^\ell} \\ &=\zeta(\ell)-\sum_{n=\lfloor N \rfloor+1}^\infty \frac{1}{n^\ell}. \end{align}
2項目の評価を行う。各$n$について
\begin{align} \int_{n}^{n+1}\frac{dx}{x^\ell}\le\frac{1}{n^\ell}\le \int_{n-1}^n\frac{dx}{x^\ell} \end{align}
の不等式が成り立つ。$\lfloor N \rfloor+1$から$\infty$まで足し上げて
\begin{align} \int_{\lfloor N \rfloor+1}^\infty\frac{dx}{x^\ell}\le\sum_{n=\lfloor N \rfloor+1}^\infty \frac{1}{n^\ell}\le\int_{\lfloor N \rfloor}^\infty \frac{dx}{x^\ell} \end{align}
となり、計算して
\begin{align} \frac{1}{(\ell-1)(\lfloor N \rfloor+1)^{\ell-1}}\le\sum_{n=\lfloor N \rfloor+1}^\infty \frac{1}{n^\ell}\le\frac{1}{(\ell-1)\lfloor N \rfloor^{\ell-1}} \end{align}
を得る。両辺に$(\ell-1)N^{\ell-1}$を掛けると
\begin{align} \biggl(\frac{N}{\lfloor N \rfloor+1}\biggr)^{\ell-1}\le(\ell-1)N^{\ell-1}\sum_{n=\lfloor N \rfloor+1}^\infty \frac{1}{n^\ell}\le\biggl(\frac{N}{\lfloor N \rfloor}\biggr)^{\ell-1} \end{align}
となる。$N\to \infty$で両辺とも1に収束するため、はさみうちの原理から
\begin{align} \lim_{N \to \infty}(\ell-1)N^{\ell-1}\sum_{n=\lfloor N \rfloor+1}^\infty \frac{1}{n^\ell}=1 \end{align}
が成り立ち、十分大きい$N$に対して
\begin{align} \sum_{n=\lfloor N \rfloor+1}^\infty \frac{1}{n^\ell}\approx\frac{1}{(\ell-1)N^{\ell-1}} \end{align}
と近似できる。
これを$H_\ell(N)$の2項目に代入し、十分大きい$N$での近似式
\begin{align} H_\ell(N)\approx\zeta(\ell)-\frac{1}{(\ell-1)N^{\ell-1}} \end{align}
を得る。

　prin2の命題7で示した$s$乗に一般化された恒等式の反転式の$s=1$の場合を考える。2以上の$N$に対し、
\begin{align} q(N)&=\sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2N\rfloor}\sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell \rfloor}\frac{\mu_{\ell m}}{m}\Bigl(H_\ell\Bigl(\sqrt[\ell]{N/m}\Bigr)-1\Bigr) \\ &=\sum_{m=1}^{\lfloor N/2 \rfloor}\frac{\mu_{1m}}{m}(H(N/m)-1)+\sum_{\ell =2}^{\lfloor \log_2 N\rfloor}\sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell \rfloor}\frac{\mu_{\ell m}}{m}\Bigl(H_\ell\Bigl(\sqrt[\ell]{N/m}\Bigr)-1\Bigr) \end{align}
が成り立ち、後の都合のため$\ell=1$と$\ell\ge2$を分けた。
補題2の$H(N)\approx\ln N+\gamma$,$H_{\ell\ge2}(N)\approx\zeta(\ell)-\frac{1}{(\ell-1)N^{\ell-1}}$で置き換えても、この反転式が近似的に成り立つと仮定する(近似3)。
$\ell=1,\ell\ge2$の場合に分け、具体的に計算する。

・$\ell=1$のとき
\begin{align} &\sum_{m=1}^{\lfloor N/2 \rfloor}\frac{\mu_{1m}}{m}(\ln N-\ln m+\gamma-1) \\ &=(\ln N+\gamma-1)\sum_{m=1}^{\lfloor N/2\rfloor}\frac{\mu_{1m}}{m}-\sum_{m=1}^{\lfloor N/2 \rfloor}\frac{\mu_{1m}}{m}\ln m. \end{align}
1項目の$\sum_{m=1}^{\lfloor N/2 \rfloor}\mu_{1m}/m$は定義から$S_1(N/2)$である。
2項目には 第4回 と 第5回 で登場したアーベルの総和公式を用いる。

Apostolのp.77,p.78より任意の数論的関数$a(n)$に対し、
\begin{equation} A(x)=\sum_{n\le x}a(n) \end{equation}
とする。ここで$x<1$では$A(x)=0$である。
$0< y< x$のとき、$f$が$[y,x]$の範囲で連続な導関数を持つと仮定して、
\begin{equation} \sum_{y< n\le x}a(n)f(n)=A(x)f(x)-A(y)f(y)-\int_y^xA(t)f'(t)dt \end{equation}
が成り立つ。

初項を分離してから適用することで、
\begin{align} \sum_{m=1}^{\lfloor N/2 \rfloor}\frac{\mu_{1m}}{m}\ln m &=\frac{\mu_{11}}{1}\ln 1+\sum_{1< m\le N/2}\frac{\mu_{1m}}{m}\ln m\\ &=S_1\biggl(\frac{N}{2}\biggr)\ln\biggl(\frac{N}{2}\biggr)-\int_1^{N/2}\frac{S_1(t)}{t}dt \end{align}
と書ける。よって$\ell=1$の項は
\begin{align} &(\ln N+\gamma-1)S_1\biggl(\frac{N}{2}\biggr)-\biggl(S_1\biggl(\frac{N}{2}\biggr)\ln\biggl(\frac{N}{2}\biggr)-\int_1^{N/2}\frac{S_1(t)}{t}dt\biggr) \\ &=(\gamma-1+\ln2)S_1\biggl(\frac{N}{2}\biggr)+\int_1^{N/2}\frac{S_1(t)}{t}dt \end{align}
となる。

・$\ell \ge2$のとき
\begin{align} &\sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell\rfloor} \frac{\mu_{\ell m}}{m}\Bigl(H_\ell\Bigl(\sqrt[\ell]{N/m}\Bigr)-1\Bigr) \\ &=\sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell\rfloor} \frac{\mu_{\ell m}}{m}\Biggl(\zeta(\ell)-\frac{1}{(\ell-1)(N/m)^{\frac{\ell-1}{\ell}}}-1\Biggr) \\ &=(\zeta(\ell)-1)\sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell \rfloor}\frac{\mu_{\ell m}}{m}-\frac{1}{(\ell-1)N^{\frac{\ell-1}{\ell}}}\sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell \rfloor}\frac{\mu_{\ell m}}{m}m^{\frac{\ell-1}{\ell}}. \end{align}
1項目の総和は$S_\ell(x)\coloneqq \sum_{m=1}^{\lfloor x \rfloor}\mu_{\ell m}/\sqrt[\ell]{m}$とアーベルの総和公式を用いて
\begin{align} \sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell \rfloor}\frac{\mu_{\ell m}}{m^{1/\ell}}\frac{1}{m^{\frac{\ell-1}{\ell}}}&=\frac{\mu_{11}}{1}\frac{1}{1}+\sum_{1< m\le N/2^\ell}\frac{\mu_{\ell m}}{m^{1/\ell}}m^{-\frac{\ell-1}{\ell}}\\ &=S_\ell\biggl(\frac{N}{2^\ell}\biggr)\biggl(\frac{N}{2^\ell}\biggr)^{-\frac{\ell-1}{\ell}}+\frac{\ell-1}{\ell}\int_1^{N/2^\ell}S_\ell(t)t^{-\frac{2\ell-1}{\ell}}dt \end{align}
と書ける。ここで、$f(m)=m^{-(\ell-1)/\ell}、f'(m)=-\frac{\ell-1}{\ell}m^{-(2\ell-1)/\ell}$を用いた。
2項目の総和は
\begin{align} \sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell \rfloor}\frac{\mu_{\ell m}}{m^{1/\ell}}\frac{m^{\frac{\ell-1}{\ell}}}{m^{\frac{\ell-1}{\ell}}}=\sum_{m=1}^{\lfloor N/2^\ell \rfloor}\frac{\mu_{\ell m}}{m^{1/\ell}}=S_\ell\biggl(\frac{N}{2^\ell}\biggr) \end{align}
と簡単になる。よって$\ell\ge2$の項は
\begin{align} (\zeta(\ell)-1)\Biggl(S_\ell\biggl(\frac{N}{2^\ell}\biggr)\biggl(\frac{N}{2^\ell}\biggr)^{-\frac{\ell-1}{\ell}}+\frac{\ell-1}{\ell}\int_1^{N/2^\ell}\frac{S_\ell(t)}{t\cdot t^\frac{\ell-1}{\ell}}dt\Biggr)-\frac{1}{(\ell-1)N^{\frac{\ell-1}{\ell}}}S_\ell\biggl(\frac{N}{2^\ell}\biggr) \end{align}
となる。$\ell=1$の式と合わせて目的の式が得られる。

　DLMFの$\S$6.2の式6.2.1より指数積分$E_1(z)$を導入する。
\begin{align} E_1(z)\coloneqq \int_z^\infty \frac{e^{-t}}{t}dt, \quad z\neq0. \end{align}
この関数について漸近展開が知られており、DLMFの$\S$6.12の式6.12.1
\begin{align} E_1(z)\sim\frac{e^{-z}}{z}\biggl(1-\frac{1!}{z}+\frac{2!}{z^2}-\frac{3!}{z^3}+\cdots\biggr), \quad z\to \infty,\:|\mathrm{ph}\:z|\le \frac{3}{2}\pi-\delta\biggl(<\frac{3}{2}\pi\biggr) \end{align}
である。これを利用するため、対数積分$\mathrm{li}(x)$を指数積分$E_1(x)$で表す。
\begin{align} \mathrm{li}(x)&=\int_0^x\frac{dt}{\ln t}\\ &=-\int_{-\ln x}^\infty\frac{e^{-u}}{u}du \\ &=-E_1(-\ln x). \end{align}
1行目から2行目の式変形で$-\ln t=u$と変数変換した。$dt=-e^{-u}du$の関係があり、その負符号で積分区間を入れ替えることにより、$u$は$-\ln x$から$+\infty$まで動く。
　$x\to0^+$で$-\ln x\to+\infty$となるので、さきほどの漸近展開が使えて
\begin{align} \mathrm{li}(x)&=-E_1(-\ln x) \\ &\sim-\frac{e^{\ln x}}{-\ln x}\biggl(1-\frac{1!}{-\ln x}+\frac{2!}{(-\ln x)^2}-\frac{3!}{(-\ln x)^3}+\cdots\biggr)\\ &=\frac{x}{\ln x}\biggl(1+\frac{1!}{\ln x}+\frac{2!}{(\ln x)^2}+\frac{3!}{(\ln x)^3}+\cdots\biggr)\\ &\approx\frac{x}{\ln x} \end{align}
を得る。

　まず発見論的に$S_1(x)$の近似式を推測する。
Mertensのメルテンスの第二定理より、素数の逆数和$q(N)$は
\begin{align} q(N)\approx\ln\ln N+b \end{align}
と書くことができ、$b$はMeissel-Mertens定数である。
十分大きい$N$について、$q(N)$は積分を用いて
\begin{align} q(N)\approx \int_2^N \frac{dx}{x\ln x} +\ln \ln2 +b \end{align}
と表せる。一方で、命題3で示した$q(N)$の近似式の$S_1(t)$を含む積分に注目すると
\begin{align} \int_{1}^{N/2}\frac{S_1(t)}{t}dt&=\int_{2}^N \frac{S_1(u/2)}{u/2}\frac{du}{2}\\ &=\int_{2}^{N}\frac{S_1(u/2)}{u}du \end{align}
となる。ここで$u=2t$と変数変換した。このとき$du=2dt$の関係があり、$u$は2から$N$まで動く。比較することで
\begin{align} S_1(x) \approx \frac{1}{\ln 2x} \end{align}
と推測できる。
　この近似式が、命題3の$q(N)$の近似式の解となるかを確かめる。比較した項は
\begin{align} \int_2^N \frac{S_1(u/2)}{u}du \approx\int_2^N \frac{1}{u\ln u}du=\ln\ln N-\ln\ln2 \end{align}
となる。それ以外の$\ell=1$の残りの項と、$\ell\ge2$の場合に分けて計算を進める。

・$\ell=1$の残りの項
\begin{align} (\gamma-1+\ln2)S_1\biggl(\frac{N}{2}\biggr)\approx(\gamma-1+\ln2)\frac{1}{\ln N}=O\biggl(\frac{1}{\ln N}\biggr). \end{align}
ここでHardyのp.5より$O(\phi)$はランダウの記号であり、ある関数$f(x)$に対して
\begin{align} |f(x)|< K\phi(x) \end{align}
を満たすものである。$K$は正の定数で、$\phi$は$x$の正の関数とする。

・$\ell\ge2$の場合
$q(N)$の近似式に命題1の$S_\ell(x)\approx\mu(\ell)/\ell ・S_1\bigl(\sqrt[\ell]{x}\bigr)$の近似を用いる。
\begin{align} \sum_{\ell=2}^{\lfloor \log_2{N}\rfloor}\frac{\mu(\ell)}{\ell}\Biggl[(\zeta(\ell)-1)\Biggl(S_1\Biggl(\sqrt[\ell]{\frac{N}{2^\ell}}\Biggr)\biggl(\frac{N}{2^\ell}\biggr)^{-\frac{\ell-1}{\ell}}+\frac{\ell-1}{\ell}\int_1^{N/2^\ell}\frac{S_1\bigl(\sqrt[\ell]{t}\bigr)}{t\cdot t^{\frac{\ell-1}{\ell}}}dt\Biggr)-\frac{1}{(\ell-1)N^{\frac{\ell-1}{\ell}}}S_1\Biggl(\sqrt[\ell]{\frac{N}{2^\ell}}\Biggr)\Biggr]. \end{align}
2項目は$u=2\sqrt[\ell]{t}$と変数変換する。$t^{\frac{1-\ell}{\ell}}dt/\ell=du/2$の関係があり、$u$は2から$\sqrt[\ell]{N}$まで動く。すなわち
\begin{align} \sum_{\ell=2}^{\lfloor \log_2{N}\rfloor}\frac{\mu(\ell)}{\ell}\Biggl[(\zeta(\ell)-1)\Biggl(S_1\Biggl(\sqrt[\ell]{\frac{N}{2^\ell}}\Biggr)\biggl(\frac{N}{2^\ell}\biggr)^{-\frac{\ell-1}{\ell}}+(\ell-1)\int_2^{\sqrt[\ell]{N}}\frac{S_1(u/2)}{(u/2)^\ell}\frac{du}{2}\Biggr)-\frac{1}{(\ell-1)N^{\frac{\ell-1}{\ell}}}S_1\Biggl(\sqrt[\ell]{\frac{N}{2^\ell}}\Biggr)\Biggr] \end{align}
となる。次に、各項に対し$S_1(x)\approx 1/\ln2x$の近似をし、式を整理する。

・1項目
\begin{align} \frac{\mu(\ell)}{\ell}(\zeta(\ell)-1)S_1\Biggl(\sqrt[\ell]{\frac{N}{2^\ell}}\Biggr)\biggl(\frac{N}{2^\ell}\biggr)^{-\frac{\ell-1}{\ell}}&\approx \frac{\mu(\ell)}{\ell}(\zeta(\ell)-1)\frac{1}{\ln \sqrt[\ell]{N}}\biggl(\frac{N}{2^\ell}\biggr)^{-\frac{\ell-1}{\ell}}\\ &=\frac{\mu(\ell)}{\ell}(\zeta(\ell)-1)\frac{\ell\cdot2^{\ell-1}}{N^{\frac{\ell-1}{\ell}}\ln N} \end{align}

・2項目
\begin{align} &\frac{\mu(\ell)}{\ell}(\zeta(\ell)-1)(\ell-1)2^{\ell-1}\int_{2}^{\sqrt[\ell]{N}}\frac{S_1(u/2)}{u^\ell}du\\ &\approx \frac{\mu(\ell)}{\ell}(\zeta(\ell)-1)(\ell-1)2^{\ell-1}\int_{2}^{\sqrt[\ell]{N}} \frac{1}{u^\ell \ln u}du. \end{align}
ここで積分変数を$s=u^{1-\ell}$と変数変換する。$ds=(1-\ell)u^{-\ell}du$の関係があり、$s$は$2^{1-\ell}$から$N^\frac{1-\ell}{\ell}$まで動く。すると
\begin{align} &\frac{\mu(\ell)}{\ell}(\zeta(\ell)-1)(\ell-1)2^{\ell-1}\int_{2^{1-\ell}}^{N^{\frac{1-\ell}{\ell}}} \frac{1}{\ln s^{1/(1-\ell)}}\frac{ds}{1-\ell} \\ &=\frac{\mu(\ell)}{\ell}(\zeta(\ell)-1)(\ell-1)2^{\ell-1}\int_{2^{1-\ell}}^{N^{\frac{1-\ell}{\ell}}} \frac{1}{\ln s}ds \\ &=\frac{\mu(\ell)}{\ell}(\zeta(\ell)-1)(\ell-1)2^{\ell-1}\bigl(\mathrm{li}\bigl(N^{\frac{1-\ell}{\ell}}\bigr)-\mathrm{li}\bigl(2^{1-\ell}\bigr)\bigr) \end{align}
のように対数積分$\mathrm{li}(x)$を用いて表せる。
補題4より$x\to0^+$で$\mathrm{li}(x)\approx x/\ln x$と近似できるので
\begin{align} &\frac{\mu(\ell)}{\ell}(\zeta(\ell)-1)(\ell-1)2^{\ell-1}\biggl(\frac{1}{N^{\frac{\ell-1}{\ell}} \ln N^{\frac{1-\ell}{\ell}}} -\mathrm{li}\bigl(2^{1-\ell}\bigr)\biggr) \\ &=-\frac{\mu(\ell)}{\ell}(\zeta(\ell)-1)\frac{\ell \cdot 2^{\ell-1}}{N^{\frac{\ell-1}{\ell}} \ln N} -\frac{\mu(\ell)}{\ell}(\zeta(\ell)-1)(\ell-1)2^{\ell-1}\mathrm{li}\bigl(2^{1-\ell}\bigr) \end{align}
となる。

・3項目
\begin{align} -\frac{\mu(\ell)}{\ell}\frac{1}{(\ell-1)N^{\frac{\ell-1}{\ell}}}S_1\Biggl(\sqrt[\ell]{\frac{N}{2^\ell}}\Biggr)&\approx-\frac{\mu(\ell)}{\ell}\frac{1}{(\ell-1)N^{\frac{\ell-1}{\ell}}}\frac{1}{\ln\sqrt[\ell]{N}} \\ &=-\frac{\mu(\ell)}{\ell-1}\frac{1}{N^{\frac{\ell-1}{\ell}}\ln N}. \end{align}

以上の結果をまとめて、$q(N)$の近似式は
\begin{align} &\ln\ln N-\ln\ln2+O\biggl(\frac{1}{\ln N}\biggr)+\sum_{\ell=2}^{\lfloor \log_2 N \rfloor}\Biggl[\frac{\mu(\ell)}{\ell}(\zeta(\ell)-1)\Biggl(\frac{\ell\cdot2^{\ell-1}}{N^{\frac{\ell-1}{\ell}}\ln N}-\frac{\ell\cdot2^{\ell-1}}{N^{\frac{\ell-1}{\ell}}\ln N}-(\ell-1)2^{\ell-1}\mathrm{li}\bigl(2^{1-\ell}\bigr)\Biggr)-\frac{\mu(\ell)}{\ell-1}\frac{1}{N^{\frac{\ell-1}{\ell}}\ln N} \Biggr]\\ &=\ln\ln N-\ln\ln2+O\biggl(\frac{1}{\ln N}\biggr)+\sum_{\ell=2}^{\lfloor \log_2 N \rfloor}\Biggl[-\frac{\mu(\ell)}{\ell}(\zeta(\ell)-1)(\ell-1)2^{\ell-1}\mathrm{li}\bigl(2^{1-\ell}\bigr)-\frac{\mu(\ell)}{\ell-1}\frac{1}{N^{\frac{\ell-1}{\ell}}\ln N} \Biggr] \end{align}
と書ける。
　最後に$\ell$の総和について評価を行う。メビウス関数の大きさ$|\mu(\ell)|\le1$と$\zeta(\ell)-1\approx 2^{-\ell}$、補題4より$\mathrm{li}\bigl(2^{1-\ell}\bigr)\approx 2^{1-\ell}/\ln2^{1-\ell}$が成り立つ。これらを用いて、1項目の絶対値は
\begin{align} &\Biggl|\sum_{\ell=2}^{\lfloor \log_2 N \rfloor}-\frac{\mu(\ell)}{\ell}(\zeta(\ell)-1)(\ell-1)2^{\ell-1}\mathrm{li}\bigl(2^{1-\ell}\bigr) \Bigg|\\ &\approx \sum_{\ell=2}^{\lfloor \log_2 N \rfloor}\frac{1}{\ell}2^{-\ell}(\ell-1)2^{\ell-1}\frac{2^{1-\ell}}{|1-\ell|\ln2}\\ &=\sum_{\ell=2}^{\lfloor \log_2 N \rfloor}\frac{1}{\ell\cdot 2^\ell \ln2} \end{align}
と整理できる。これは
\begin{align} \sum_{\ell=2}^{\infty}\frac{1}{2^\ell}=\frac{1}{2} \end{align}
で上から抑えられるため、1項目は$O(1)$と評価できる。

2項目の絶対値は
\begin{align} \Biggl| \sum_{\ell=2}^{\lfloor \log_2 N \rfloor}\frac{\mu(\ell)}{\ell-1}\frac{1}{N^{\frac{\ell-1}{\ell}}\ln N}\Biggr|<\sum_{\ell=2}^{\lfloor \log_2 N \rfloor}\frac{1}{(\ell-1)N^{\frac{\ell-1}{\ell}}\ln N} \end{align}
で抑えられる。さらに
\begin{align} \frac{1}{N^{\frac{\ell-1}{\ell}} \ln N} \le \frac{1}{\sqrt{N} \ln N} \end{align}
を用いて
\begin{align} \sum_{\ell=2}^{\lfloor \log_2 N \rfloor}\frac{1}{(\ell-1)N^{\frac{\ell-1}{\ell}}\ln N} &< \sum_{\ell=2}^{\lfloor \log_2 N \rfloor}\frac{1}{\sqrt{N}\ln N}\\ &\approx \frac{\ln N}{\ln2}\frac{1}{\sqrt{N}\ln N}\\ &=O\biggl(\frac{1}{\sqrt{N}}\biggr) \end{align}
と上から抑えられる。ここで1行目から2行目の式変形では$\lfloor \log_2 N\rfloor \approx \log_2 N =\ln N/\ln2$を用いた。

　最終的に$q(N)$の近似式は
\begin{align} &\ln\ln N-\ln\ln2+O\biggl(\frac{1}{\ln N}\biggr)+O(1)+O\biggl(\frac{1}{\sqrt{N}}\biggr) \\ &=\ln\ln N+O(1) \end{align}
となり、主項がメルテンスの第二定理と一致する。
したがって、$S_1(x)\approx1/\ln 2x$は命題3で示した$q(N)$の近似式の近似解である。

　prin2の定理3の結果より$\tilde{\pi}_0(N),\tilde{\pi}_1(N),\tilde{\pi}_{1/2}(N)$はそれぞれ
\begin{align} \tilde{\pi}_0(N)&=\sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor}\biggl(S_\ell\biggl( \frac{N}{2^\ell}\biggr)\sqrt[\ell]{\frac{N}{2^\ell}}+\frac{1}{\ell}\int_{1}^{ N/2^\ell }S_\ell(t)t^{1/\ell-1}dt\biggr), \\ \tilde{\pi}_1(N)&=\sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2{N} \rfloor}\frac{2}{\ell}\int_{1}^{ N/2^\ell }S_\ell(t)t^{1/\ell-1}dt, \\ \tilde{\pi}_{1/2}(N)&=\frac{\pi_0(N)+\pi_1(N)}{2} \end{align}
と書ける。 具体例として$\tilde{\pi}_0(N)$について考える。
　まず命題1の$S_\ell(x)\approx\mu(\ell)/\ell ・S_1\bigl(\sqrt[\ell]{x}\bigr)$の近似を用いて
\begin{align} \tilde{\pi}_0(N)\approx\sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2 N \rfloor}\frac{\mu(\ell)}{\ell}\Biggl(S_1\biggl(\sqrt[\ell]{\frac{N}{2^\ell}}\biggr)\sqrt[\ell]{\frac{N}{2^\ell}}+\frac{1}{\ell}\int_1^{N/2^\ell}S_1\bigl(\sqrt[\ell]{t}\bigr)t^{1/\ell-1}dt\Biggr) \end{align}
となる。積分変数を$u=2\sqrt[\ell]{t}$と変数変換する。$t^{1/\ell-1}dt/\ell=du/2$の関係があり、$u$は2から$\sqrt[\ell]{N}$まで動く。つまり
\begin{align} \tilde{\pi}_0(N)\approx\sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2 N \rfloor}\frac{\mu(\ell)}{\ell}\Biggl(S_1\biggl(\sqrt[\ell]{\frac{N}{2^\ell}}\biggr)\frac{\sqrt[\ell]{N}}{2}+\int_2^{\sqrt[\ell]{N}}S_1\Bigl(\frac{u}{2}\Bigr)\frac{du}{2} \Biggr) \end{align}
と書ける。
　次に命題5の近似式$S_1(x)\approx1/\ln 2x$を用いる。
\begin{align} \tilde{\pi}_0(N)&\approx \sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2 N \rfloor}\frac{\mu(\ell)}{\ell}\biggl(\frac{1}{\ln \sqrt[\ell]{N}}\frac{\sqrt[\ell]{N}}{2}+\frac{1}{2}\int_2^\sqrt[\ell]{N} \frac{du}{\ln u}\biggr)\\ &=\sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2 N\rfloor}\frac{\mu(\ell)}{\ell}\biggl(\frac{1}{2}\frac{\sqrt[\ell]{N}}{\ln\sqrt[\ell]{N}}+\frac{1}{2}\mathrm{Li}\bigl(\sqrt[\ell]{N}\bigr)\biggr). \end{align}
2行目の式変形では、補正対数積分$\mathrm{Li}(x)$を用いた。同様にして$\tilde{\pi}_1(N),\tilde{\pi}_{1/2}(N)$は
\begin{align} \tilde{\pi}_1(N) &\approx\sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2 N \rfloor}\frac{\mu(\ell)}{\ell}\mathrm{Li}\bigl(\sqrt[\ell]{N}\bigr), \\ \tilde{\pi}_{1/2}(N)&=\frac{\tilde{\pi}_0(N)+\tilde{\pi}_1(N)}{2}\approx\sum_{\ell=1}^{\lfloor\log_2 N\rfloor}\frac{\mu(\ell)}{\ell}\biggl(\frac{1}{4}\frac{\sqrt[\ell]{N}}{\ln \sqrt[\ell]{N}}+\frac{3}{4}\mathrm{Li}\bigl(\sqrt[\ell]{N}\bigr)\biggr) \end{align}
と近似できる。
　図1では$\tilde{\pi}_{1/2}(N)$が$\pi(N)$をよく近似していたため、素数計数関数の近似式の基準とする。
\begin{align} \tilde{\pi}(N)\coloneqq\tilde{\pi}_{1/2}(N). \end{align}
そして$\tilde{\pi}(N)$と$\tilde{\pi}_1(N),\tilde{\pi}_0(N)$の差$\pm\delta\tilde{\pi}(N)$は
\begin{align} \delta\tilde{\pi}(N)&\coloneqq\tilde{\pi}_1(N)-\tilde{\pi}(N) \\ &=\tilde{\pi}(N)-\tilde{\pi}_0(N)\\ &=\sum_{\ell=1}^{\lfloor \log_2 N \rfloor} \frac{\mu(\ell)}{\ell}\biggl(-\frac{1}{4}\frac{\sqrt[\ell]{N}}{\ln\sqrt[\ell]{N}}+\frac{1}{4}\mathrm{Li}\bigl(\sqrt[\ell]{N}\bigr)\biggr) \end{align}
と書ける。以上より目的の近似式が得られた。