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クリフォード代数の構造と表現

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実数・複素数・四元数と分解型の代数を基本構造として、テンソル積による拡張公式を繰り返し適用することで、クリフォード代数$\operatorname{Cl}_{p,q}(\mathbb R)$を行列環として分類します。

概要

クリフォード代数$\operatorname{Cl}_{p,q}(\mathbb R)$は、計量の符号数$(p,q)$を持つ実線形空間から構成される代数ですが、結合代数としては実数・複素数・四元数上の全行列環やその直和と同型になります。幾何代数やスピン表現を体系的に理解するためには、どの符号数がどの行列環に対応するのかを網羅的に分類することが基礎となります。

本記事では、低次元の代数から出発して拡張公式を繰り返し適用し、実クリフォード代数の完全な分類表を導出します。

前提知識として、実数・複素数・四元数の基本的な演算とテンソル積の初歩を仮定します。また、先行記事から以下を引き継ぎます。

四元数$\mathbb H$および分解型四元数$\mathbb H'$とのテンソル積によるクリフォード代数の拡張公式。7shi-qt
パウリ行列と双四元数の対応$\mathbb C \otimes \mathbb H \cong M_2(\mathbb C)$。7shi-bq

断りのない限り、テンソル積は実数上のものとし、同型は単位的実結合代数としての同型です（グレードの保存は要求しません）。

本記事は次のように進めます。

基本構造の確認：生成元が2個以下の代数を実数・複素数・四元数およびその分解型（$\mathbb C', \mathbb H'$）として整理し、冪等元による直和分解$\mathbb C' \cong 2\mathbb R$と行列表現$\mathbb H' \cong M_2(\mathbb R)$を確認します（代数$A$の直和$A \oplus A$を$2A$と略記します）。
拡張公式の反復：基本構造に2つの拡張公式を交互に適用して分類表の第1行・第1列を決定し、対角線方向の充填によって分類表全体を完成させます。
8周期性と型の判別：表に現れるボット周期性を導出し、擬スカラーの中心性と2乗の符号から直和型や複素型が出現する理由を解明します。
偶部分代数と複素化：偶部分代数の次元半減と同型、および係数を複素数に拡張した複素クリフォード代数の2周期性を導きます。
ピノルとスピノル：分類された行列環が作用する表現空間としてピノル・スピノルを位置づけます。

本記事では代数構造の分類と同型関係の導出を扱い、特定の幾何代数系（時空代数や共形幾何代数など）における具体的な幾何学的応用や、物理的な場の方程式への適用は扱いません。

基本的な代数構造

クリフォード代数を系統的に構成するために、まず生成元が2個以下の基本的な数体系が、どのようなクリフォード代数に対応しているかを観察します。

5つの基本構造

$$ \begin{alignedat}{3} &\mathbb{R} &&\cong \operatorname{Cl}_{0,0}(\mathbb{R}) &&\quad\text{（実数）} \\ &\mathbb{C} &&\cong \operatorname{Cl}_{0,1}(\mathbb{R}) &&\quad\text{（複素数）} \\ &\mathbb{C}' &&\cong \operatorname{Cl}_{1,0}(\mathbb{R}) &&\quad\text{（分解型複素数）} \\ &\mathbb{H} &&\cong \operatorname{Cl}_{0,2}(\mathbb{R}) &&\quad\text{（四元数）} \\ &\mathbb{H}' &&\cong \operatorname{Cl}_{2,0}(\mathbb{R}) \cong \operatorname{Cl}_{1,1}(\mathbb{R}) &&\quad\text{（分解型四元数）} \end{alignedat} $$

$$ \begin{array}{|c|ccc|} \hline p \backslash q & 0 & 1 & 2 \\ \hline 0 & \mathbb{R} & \mathbb{C} & \mathbb{H} \\ 1 & \mathbb{C}' & \mathbb{H}' & \\ 2 & \mathbb{H}' & & \\ \hline \end{array} $$

$\mathbb H,\mathbb H'$とクリフォード代数の対応は、以前の記事で確認しました。7shi-qt

$\mathbb C,\mathbb C'$は生成元が1個のクリフォード代数に対応します。$i^2=-1$となる虚数単位$i$を生成元とすれば$\operatorname{Cl}_{0,1}(\mathbb R)$、$j^2=1$となる虚数単位$j$を生成元とすれば$\operatorname{Cl}_{1,0}(\mathbb R)$が得られます。

これらの基本構造は、より高次のクリフォード代数を構成する際の基礎となります。分解型の2つの代数は実数の直和や実行列環として表せるため、以下で確認します。

分解型複素数の直和分解

分解型複素数 $\mathbb{C}'$ は、通常の複素数とは異なる性質を持ちます。その最も基本的な特徴は、虚数単位 $j$ が $j^2 = +1$ を満たすことです（通常の虚数単位 $i$ は $i^2 = -1$ を満たす）。

この代数は、2つの冪等元を用いて直和分解することができます。

$$ e = \frac{1+j}{2},\quad e^* = \frac{1-j}{2} $$

ここで$*$は共役$x+jy\mapsto x-jy$を表します。

この冪等元は以下の重要な性質を持ちます。

冪等性 $e^2 = e,\ (e^*)^2 = e^*$
直交性 $ee^* = e^*e = 0$
完全性 $e + e^* = 1$

これにより、任意の分解型複素数 $z = x + jy$ は以下のように一意的に分解できます。

$$ z = (x+jy)(e+e^*) = (x+y)e + (x-y)e^* $$

この直和分解を用いると、2つの分解型複素数の積は簡単に計算できます。

$$ (a_1e + a_2e^*)(b_1e + b_2e^*) = a_1b_1e + a_2b_2e^* $$

この計算規則は成分ごとの積に対応しており、分解型複素数が実数の直和と同型であることを示しています。

分解型複素数の直和分解

$$ \mathbb{C}' \cong \mathbb{R} \oplus \mathbb{R} \cong 2\mathbb{R} $$

代数$A$の直和$A \oplus A$を$2A$と略記します。

分解型四元数の行列表現

分解型四元数 $\mathbb{H}'$ は2次の実行列環と同型です。

分解型四元数の行列表現

$$ \mathbb{H}' \cong M_2(\mathbb{R}) $$

その生成元は以下の行列で表されます。

$$ i \mapsto \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad j \mapsto \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad k = ij \mapsto \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

複素数と分解型複素数

$i^2=-1$より$i$は複素数の虚数単位、$j^2=1$より$j$は分解型複素数の虚数単位です。上で選んだ行列は$ij=-ji$を満たします。そこで$k=ij$と置くと、$k^2=1$が従います。反交換性は、$i^2=-1,\ j^2=1$という条件だけから従うわけではありません。

この行列表現により、任意の分解型四元数 $q = a + bi + cj + dk$ は以下の2×2実行列として具体的に表現できます。

$$ q \mapsto \begin{pmatrix} a-d & -b+c \\ b+c & a+d \end{pmatrix} $$

この表現により、分解型四元数の演算は2×2実行列の演算として具体的に計算することができます。

テンソル積による拡張公式

クリフォード代数は、$\mathbb H,\mathbb H'$とのテンソル積によって拡張できます。7shi-qt

クリフォード代数の$⊗\mathbb H$による拡張

$$ \operatorname{Cl}_{p,q}(\mathbb R) ⊗ \mathbb H \cong \operatorname{Cl}_{q,p+2}(\mathbb R) $$

クリフォード代数の$⊗\mathbb H'$による拡張

$$ \operatorname{Cl}_{p,q}(\mathbb R) ⊗ \mathbb H' \cong \operatorname{Cl}_{q+2,p}(\mathbb R) \cong \operatorname{Cl}_{p+1,q+1}(\mathbb R) $$

テンソル積によって、クリフォード代数としての生成元は2個増えます。$(q,p+2)$と$(q+2,p)$の形で$p,q$の位置が入れ替わるのは、拡張時に元の生成元の2乗の符号が反転することに由来します。$(p+1,q+1)$の形では元の符号が維持され、正負の生成元が1個ずつ追加されます。7shi-qt

これらの公式を基本構造に繰り返し適用すれば、より高次のクリフォード代数を系統的に構成できます。

テンソル積の計算規則

公式を適用した結果を行列環として表すために、以下の同型を使用します。本節の代数はすべて実代数で、テンソル積は断りのない限り実数上の$\otimes_{\mathbb R}$です。

可換性

$$ A \otimes B \cong B \otimes A $$

行列環とのテンソル積

$$ M_m(\mathbb{F}) \otimes M_n(\mathbb{G}) \cong M_{mn}(\mathbb{F} \otimes \mathbb{G}) $$
特に$\mathbb F \otimes \mathbb R \cong \mathbb F$より$M_m(\mathbb{F}) \otimes M_n(\mathbb{R}) \cong M_{mn}(\mathbb{F})$となるため、$\mathbb H' \cong M_2(\mathbb R)$とのテンソル積は行列表現の次数を2倍にする。

直和との分配性

$$ 2A \otimes B \cong 2(A \otimes B) $$

四元数とのテンソル積

$$ \begin{aligned} \mathbb{H} \otimes \mathbb{H} &\cong \mathbb{H}' \otimes \mathbb{H}' \cong M_4(\mathbb{R}) \\ \mathbb{H}' \otimes \mathbb{H} &\cong M_2(\mathbb{R}) \otimes \mathbb{H} \cong M_2(\mathbb{H}) \\ \mathbb{C} \otimes \mathbb{H} &\cong \mathbb{C} \otimes \mathbb{H}' \cong M_2(\mathbb{C}) \end{aligned} $$

1行目：$\mathbb{H} \otimes \mathbb{H} \cong \mathbb{H}' \otimes \mathbb{H}'$は以前の記事で確認しました。$\mathbb H' \cong M_2(\mathbb R)$より、$\mathbb{H}' \otimes \mathbb{H}' \cong M_2(\mathbb{R}) \otimes M_2(\mathbb{R}) \cong M_4(\mathbb{R})$と計算できます。7shi-qt

3行目：$\mathbb{C} \otimes \mathbb{H}$は双四元数であり、パウリ行列との対応によって$M_2(\mathbb{C})$と同型になることを以前の記事で確認しました。一方、$\mathbb{C} \otimes \mathbb{H}' \cong \mathbb{C} \otimes M_2(\mathbb{R}) \cong M_2(\mathbb{C})$となるため、両者は同型です。7shi-bq

これらの規則は組み合わせて使用できます。

計算規則の組み合わせ

$$M_2(\mathbb{H}) \otimes \mathbb{H} \cong M_2(\mathbb{H} \otimes \mathbb{H}) \cong M_2(M_4(\mathbb{R})) \cong M_8(\mathbb{R})$$

系列による代数構造の導出

基本構造に2つの公式を交互に適用して、分類表の第1行（$p=0$）と第1列（$q=0$）を導出します。符号数$(p,0)$にfml-ext-hを適用すると$(0,p+2)$へ、$(0,q)$にfml-ext-hsを適用すると$(q+2,0)$へ移るため、交互に適用することで$p$軸と$q$軸を往復しながら次数が上がっていきます。

複素数の系列

複素数 $\mathbb{C} \cong \operatorname{Cl}_{0,1}(\mathbb{R})$ を出発点として、テンソル積による拡張を繰り返すと、以下の系列が得られます。

$$ \begin{aligned} \operatorname{Cl}_{0,1}(\mathbb{R}) &\cong \mathbb{C} \\ \operatorname{Cl}_{3,0}(\mathbb{R}) &\cong \operatorname{Cl}_{0,1}(\mathbb{R}) \otimes \mathbb{H}' \cong \mathbb{C} \otimes M_2(\mathbb{R}) \cong M_2(\mathbb{C}) \\ \operatorname{Cl}_{0,5}(\mathbb{R}) &\cong \operatorname{Cl}_{3,0}(\mathbb{R}) \otimes \mathbb{H} \cong M_2(\mathbb{C}) \otimes \mathbb{H} \cong M_4(\mathbb{C}) \\ \operatorname{Cl}_{7,0}(\mathbb{R}) &\cong \operatorname{Cl}_{0,5}(\mathbb{R}) \otimes \mathbb{H}' \cong M_4(\mathbb{C}) \otimes M_2(\mathbb{R}) \cong M_8(\mathbb{C}) \end{aligned} $$

分解型複素数の系列

分解型複素数 $\mathbb{C}' \cong \operatorname{Cl}_{1,0}(\mathbb{R})$ からは、以下の系列が導かれます。

$$ \begin{aligned} \operatorname{Cl}_{1,0}(\mathbb{R}) &\cong \mathbb{C}' \cong 2\mathbb{R} \\ \operatorname{Cl}_{0,3}(\mathbb{R}) &\cong \operatorname{Cl}_{1,0}(\mathbb{R}) \otimes \mathbb{H} \cong 2\mathbb{R} \otimes \mathbb{H} \cong 2\mathbb{H} \\ \operatorname{Cl}_{5,0}(\mathbb{R}) &\cong \operatorname{Cl}_{0,3}(\mathbb{R}) \otimes \mathbb{H}' \cong 2\mathbb{H} \otimes M_2(\mathbb{R}) \cong 2M_2(\mathbb{H}) \\ \operatorname{Cl}_{0,7}(\mathbb{R}) &\cong \operatorname{Cl}_{5,0}(\mathbb{R}) \otimes \mathbb{H} \cong 2M_2(\mathbb{H}) \otimes \mathbb{H} \cong 2M_8(\mathbb{R}) \end{aligned} $$

四元数の系列

四元数 $\mathbb{H} \cong \operatorname{Cl}_{0,2}(\mathbb{R})$ からは、以下の系列が生成されます。

$$ \begin{aligned} \operatorname{Cl}_{0,2}(\mathbb{R}) &\cong \mathbb{H} \\ \operatorname{Cl}_{4,0}(\mathbb{R}) &\cong \operatorname{Cl}_{0,2}(\mathbb{R}) \otimes \mathbb{H}' \cong \mathbb{H} \otimes M_2(\mathbb{R}) \cong M_2(\mathbb{H}) \\ \operatorname{Cl}_{0,6}(\mathbb{R}) &\cong \operatorname{Cl}_{4,0}(\mathbb{R}) \otimes \mathbb{H} \cong M_2(\mathbb{H}) \otimes \mathbb{H} \cong M_8(\mathbb{R}) \\ \operatorname{Cl}_{8,0}(\mathbb{R}) &\cong \operatorname{Cl}_{0,6}(\mathbb{R}) \otimes \mathbb{H}' \cong M_8(\mathbb{R}) \otimes M_2(\mathbb{R}) \cong M_{16}(\mathbb{R}) \end{aligned} $$

分解型四元数の系列

分解型四元数 $\mathbb{H}' \cong \operatorname{Cl}_{2,0}(\mathbb{R})$ からは、以下の系列が得られます。

$$ \begin{aligned} \operatorname{Cl}_{2,0}(\mathbb{R}) &\cong \mathbb{H}' \cong M_2(\mathbb{R}) \\ \operatorname{Cl}_{0,4}(\mathbb{R}) &\cong \operatorname{Cl}_{2,0}(\mathbb{R}) \otimes \mathbb{H} \cong M_2(\mathbb{R}) \otimes \mathbb{H} \cong M_2(\mathbb{H}) \\ \operatorname{Cl}_{6,0}(\mathbb{R}) &\cong \operatorname{Cl}_{0,4}(\mathbb{R}) \otimes \mathbb{H}' \cong M_2(\mathbb{H}) \otimes M_2(\mathbb{R}) \cong M_4(\mathbb{H}) \\ \operatorname{Cl}_{0,8}(\mathbb{R}) &\cong \operatorname{Cl}_{6,0}(\mathbb{R}) \otimes \mathbb{H} \cong M_4(\mathbb{H}) \otimes \mathbb{H} \cong M_{16}(\mathbb{R}) \end{aligned} $$

系列の整理

これらの系列をまとめると、以下の表が得られます。

この表の空白部分は、fml-ext-hsの$\operatorname{Cl}_{p+1,q+1}(\mathbb{R})$の形を用いて埋めることができます。

分類表の完成

対角線方向の充填

fml-ext-hsは、$\mathbb H'$とのテンソル積によって符号数が$(p,q)$から$(p+1,q+1)$へ拡張できることを示しています。$\mathbb H' \cong M_2(\mathbb R)$なので、次の式が成り立ちます。

対角線方向の充填

$$\operatorname{Cl}_{p+1,q+1}(\mathbb{R}) \cong \operatorname{Cl}_{p,q}(\mathbb{R}) \otimes M_2(\mathbb{R})$$

つまり、表を対角線（右下）方向に1つ進むごとに行列の次数が2倍になり、型（$\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H}$の種別と直和の有無）は変わりません。系列によって得られた第1行と第1列を起点として、対角線方向に空白部分を埋めることができます。

空白部分の充填

$p=1, q=1$ の場合
$\operatorname{Cl}_{1,1}(\mathbb{R}) \cong \operatorname{Cl}_{0,0}(\mathbb{R}) \otimes \mathbb{H}' \cong \mathbb{R} \otimes M_2(\mathbb{R}) \cong M_2(\mathbb{R})$
$p=1, q=2$ の場合
$\operatorname{Cl}_{1,2}(\mathbb{R}) \cong \operatorname{Cl}_{0,1}(\mathbb{R}) \otimes \mathbb{H}' \cong \mathbb{C} \otimes M_2(\mathbb{R}) \cong M_2(\mathbb{C})$
$p=2, q=1$ の場合
$\operatorname{Cl}_{2,1}(\mathbb{R}) \cong \operatorname{Cl}_{1,0}(\mathbb{R}) \otimes \mathbb{H}' \cong 2\mathbb{R} \otimes M_2(\mathbb{R}) \cong 2M_2(\mathbb{R})$

完全な分類表

このようにして得られる完全な分類表は以下のとおりです。

$$ \begin{array}{|c|ccccccccc|} \hline p \backslash q & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline 0 & \mathbb{R} & \mathbb{C} & \mathbb{H} & 2\mathbb{H} & M_2(\mathbb{H}) & M_4(\mathbb{C}) & M_8(\mathbb{R}) & 2M_8(\mathbb{R}) & M_{16}(\mathbb{R}) \\ 1 & 2\mathbb{R} & M_2(\mathbb{R}) & M_2(\mathbb{C}) & M_2(\mathbb{H}) & 2M_2(\mathbb{H}) & M_4(\mathbb{H}) & M_8(\mathbb{C}) & M_{16}(\mathbb{R}) & 2M_{16}(\mathbb{R}) \\ 2 & M_2(\mathbb{R}) & 2M_2(\mathbb{R}) & M_4(\mathbb{R}) & M_4(\mathbb{C}) & M_4(\mathbb{H}) & 2M_4(\mathbb{H}) & M_8(\mathbb{H}) & M_{16}(\mathbb{C}) & M_{32}(\mathbb{R}) \\ 3 & M_2(\mathbb{C}) & M_4(\mathbb{R}) & 2M_4(\mathbb{R}) & M_8(\mathbb{R}) & M_8(\mathbb{C}) & M_8(\mathbb{H}) & 2M_8(\mathbb{H}) & M_{16}(\mathbb{H}) & M_{32}(\mathbb{C}) \\ 4 & M_2(\mathbb{H}) & M_4(\mathbb{C}) & M_8(\mathbb{R}) & 2M_8(\mathbb{R}) & M_{16}(\mathbb{R}) & M_{16}(\mathbb{C}) & M_{16}(\mathbb{H}) & 2M_{16}(\mathbb{H}) & M_{32}(\mathbb{H}) \\ 5 & 2M_2(\mathbb{H}) & M_4(\mathbb{H}) & M_8(\mathbb{C}) & M_{16}(\mathbb{R}) & 2M_{16}(\mathbb{R}) & M_{32}(\mathbb{R}) & M_{32}(\mathbb{C}) & M_{32}(\mathbb{H}) & 2M_{32}(\mathbb{H}) \\ 6 & M_4(\mathbb{H}) & 2M_4(\mathbb{H}) & M_8(\mathbb{H}) & M_{16}(\mathbb{C}) & M_{32}(\mathbb{R}) & 2M_{32}(\mathbb{R}) & M_{64}(\mathbb{R}) & M_{64}(\mathbb{C}) & M_{64}(\mathbb{H}) \\ 7 & M_8(\mathbb{C}) & M_8(\mathbb{H}) & 2M_8(\mathbb{H}) & M_{16}(\mathbb{H}) & M_{32}(\mathbb{C}) & M_{64}(\mathbb{R}) & 2M_{64}(\mathbb{R}) & M_{128}(\mathbb{R}) & M_{128}(\mathbb{C}) \\ 8 & M_{16}(\mathbb{R}) & M_{16}(\mathbb{C}) & M_{16}(\mathbb{H}) & 2M_{16}(\mathbb{H}) & M_{32}(\mathbb{H}) & M_{64}(\mathbb{C}) & M_{128}(\mathbb{R}) & 2M_{128}(\mathbb{R}) & M_{256}(\mathbb{R}) \\ \hline \end{array} $$

Wikipediaにも同様な行列表現の一覧表がありますが、三角形に並べる独特な形をしています。$n=p+q$を行、$p-q$を列とする配置で、上の表の対角線方向（$p-q$が一定）が1列にまとまります。対角線上に並ぶのは同じ型で次元の異なる代数なので、同型ではありません。一方、同じ行には次元が等しい代数が並び、型が同じもの（$p-q$が8異なるものなど）は同型です。この配置には、同型な代数が横に並ぶという利点があります。wiki-clif-class

8周期性

対角線方向に型が変わらないことから、型は$p-q$だけで決まります。さらに、fml-ext-hとfml-ext-hsを続けて適用します。

$$ \begin{alignedat}{3} \operatorname{Cl}_{p,q}(\mathbb R) ⊗ \mathbb H ⊗ \mathbb H' &\cong \operatorname{Cl}_{q,p+2}(\mathbb R) ⊗ \mathbb H' &&\cong \operatorname{Cl}_{p+4,q}(\mathbb R) \\ \operatorname{Cl}_{p,q}(\mathbb R) ⊗ \mathbb H' ⊗ \mathbb H &\cong \operatorname{Cl}_{q+2,p}(\mathbb R) ⊗ \mathbb H &&\cong \operatorname{Cl}_{p,q+4}(\mathbb R) \end{alignedat} $$

$\mathbb H ⊗ \mathbb H' \cong M_2(\mathbb H)$より、$p$または$q$を$4$増やすことは$M_2(\mathbb H)$とのテンソル積に対応します。

符号数を4増やす拡張

$$ \operatorname{Cl}_{p+4,q}(\mathbb{R}) \cong \operatorname{Cl}_{p,q+4}(\mathbb{R}) \cong \operatorname{Cl}_{p,q}(\mathbb{R}) \otimes M_2(\mathbb{H}) $$

これをもう一度適用すれば、$M_2(\mathbb H) ⊗ M_2(\mathbb H) \cong M_4(\mathbb H ⊗ \mathbb H) \cong M_{16}(\mathbb R)$より、周期$8$で同じ型に戻ります。

8周期性

$$ \operatorname{Cl}_{p+8,q}(\mathbb{R}) \cong \operatorname{Cl}_{p,q+8}(\mathbb{R}) \cong \operatorname{Cl}_{p,q}(\mathbb{R}) \otimes M_{16}(\mathbb{R}) $$

したがって、型は$p-q \pmod 8$のみで決まり、行列の次数は全体の次元$2^{p+q}$から定まります。分類表から型を読み取ると、以下のようになります。

分類表に見られる規則性、すなわち対角線に沿った同一パターンの繰り返し、右下に向かう次数の指数的な増大、$2\mathbb{R},2\mathbb{H}$のような直和の規則的な出現は、すべて対角線方向の充填とこの8周期性から説明できます。直和や$\mathbb C$型がこの位置に現れる構造的な理由は、次節で擬スカラーを用いて説明します。

この周期性は実クリフォード代数のボット周期性と呼ばれ、K理論におけるボット周期性定理と対応することが知られています。wiki-clif

擬スカラーと型の判別

分類表の型の並びには、$2\mathbb R,2\mathbb H$（直和型）が$p-q\equiv1\pmod4$に、$\mathbb C$型が$p-q\equiv3\pmod4$に現れるという規則性があります。これは最高グレードの基底の性質から説明できます。

擬スカラー

クリフォード代数$\operatorname{Cl}_{p,q}(\mathbb R)$の生成元をすべて掛け合わせた最高グレードの基底を擬スカラーと呼ぶ。
$$\omega = e_1e_2\cdots e_n \quad (n=p+q)$$

型の判別に用いるのは、$\omega$の中心性（すべての元と可換かどうか）と$\omega^2$の符号です。

生成元$e_i$を$\omega$の中を通り抜けさせると、自分自身とは可換で、残りの$n-1$個の生成元とは反交換するため

$$e_i\,\omega=(-1)^{n-1}\omega\,e_i$$

となります。つまり$n$が奇数のとき、$\omega$はすべての生成元と可換、すなわち中心的です。一方、$\omega^2$は生成元を並べ替えて計算できます。並べ替えに必要な交換数は$n(n-1)/2$なので、次のようになります。

$$\omega^2=(-1)^{n(n-1)/2}\,e_1^2e_2^2\cdots e_n^2=(-1)^{n(n-1)/2+q}$$

この符号は$p-q \pmod 4$だけで決まります。

擬スカラーの2乗

$$ \omega^2= \begin{cases} +1 & \bigl(p-q\equiv0,1 \pmod 4\bigr)\\ -1 & \bigl(p-q\equiv2,3 \pmod 4\bigr) \end{cases} $$

符号数を$(p,q)\to(p+1,q+1)$と変えると、$n\to n+2$より指数の変化は$\{(n+2)(n+1)-n(n-1)\}/2+1=2n+2$で偶数となり、符号は変わらない。また$(p,q)\to(p+4,q)$では指数の変化は$\{(n+4)(n+3)-n(n-1)\}/2=4n+6$で偶数となり、やはり符号は変わらない。したがって符号は$p-q \pmod 4$のみに依存し、代表例$\operatorname{Cl}_{0,0},\operatorname{Cl}_{1,0},\operatorname{Cl}_{2,0},\operatorname{Cl}_{3,0}$での値$+1,+1,-1,-1$から上式が得られる。

中心（すべての元と可換な元のなす部分代数）全体は、基底単項式$e_{i_1}\cdots e_{i_k}$と各生成元との可換性を調べて決まります。各生成元による共役$x\mapsto e_jxe_j^{-1}$は、それぞれの基底単項式をその符号倍に写します。したがって、すべての生成元と可換な元には、すべての共役で符号が変わらない基底単項式だけが現れます。次数$k$（$0< k< n$）の単項式は、含まれる生成元との交換で$(-1)^{k-1}$、含まれない生成元との交換で$(-1)^k$を生じるため、両方が$+1$になることはありません。残るのはスカラー$1$と、$n$が奇数の場合の$\omega$だけです。したがって、中心は$n$の偶奇と$\omega^2$の符号によって決まります。

$n$が正の偶数：$\omega$は生成元と反交換するため中心に入らず、中心は$\mathbb R$のみです（$n=0$では$\omega=1$で、代数が$\mathbb R$なので結論は同じです）。型は$\mathbb R$か$\mathbb H$ですが、どちらになるか（$p-q \pmod 8$の区別）は中心だけでは決まりません。
$n$が奇数で$\omega^2=-1\ (p-q\equiv3\pmod4)$：中心は$\mathbb R+\mathbb R\omega\cong\mathbb C$です。分類表と合わせると、代数全体が複素行列環となり、$\mathbb C$型が現れます。
$n$が奇数で$\omega^2=+1\ (p-q\equiv1\pmod4)$：中心は$\mathbb R+\mathbb R\omega\cong\mathbb C'\cong2\mathbb R$です。分解型複素数と同じ冪等元$(1\pm\omega)/2$によって代数全体が直和分解され、分類表と合わせると$2\mathbb R$型・$2\mathbb H$型が現れます。

型の表に中心を並べると、直和型と$\mathbb C$型の出現位置が中心の構造とちょうど一致していることが確認できます。

$$ \begin{array}{c|cccccccc} p-q \pmod 8 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline \text{型} & \mathbb{R} & 2\mathbb{R} & \mathbb{R} & \mathbb{C} & \mathbb{H} & 2\mathbb{H} & \mathbb{H} & \mathbb{C} \\ \text{中心} & \mathbb R & 2\mathbb R & \mathbb R & \mathbb C & \mathbb R & 2\mathbb R & \mathbb R & \mathbb C \end{array} $$

冪等元による直和分解

最小の例は$\mathbb C'\cong\operatorname{Cl}_{1,0}(\mathbb R)$である。擬スカラー$\omega=j$は$\omega^2=+1$を満たし、冒頭で確認した冪等元$e=(1+j)/2,\ e^*=(1-j)/2$による直和分解$\mathbb C'\cong2\mathbb R$は、この仕組みの現れである。

次の例は$\operatorname{Cl}_{0,3}(\mathbb R)\cong2\mathbb H\ \bigl(p-q\equiv5\pmod8\bigr)$である。擬スカラー$\omega=e_1e_2e_3$は中心的で$\omega^2=+1$となり、冪等元$(1\pm\omega)/2$によって$\mathbb H\oplus\mathbb H$へ直和分解される。

偶部分代数

偶数グレードの元は積について閉じており、偶部分代数$\operatorname{Cl}_{p,q}^0(\mathbb R)$をなします。$n\ge1$のとき、次元は全体の半分の$2^{n-1}$です（$n=0$では$\operatorname{Cl}_{0,0}^0(\mathbb R)=\mathbb R$で次元は1です）。偶部分代数は、生成元が1つ少ないクリフォード代数と同型になります。

偶部分代数の同型

$$ \begin{aligned} \operatorname{Cl}_{p,q}^0(\mathbb R) &\cong \operatorname{Cl}_{p,q-1}(\mathbb R) &&(q\ge1) \\ \operatorname{Cl}_{p,q}^0(\mathbb R) &\cong \operatorname{Cl}_{q,p-1}(\mathbb R) &&(p\ge1) \end{aligned} $$

$e_n^2=-1$となる生成元$e_n$を1つ選び（$q\ge1$より存在する）、残りの生成元との積$f_i=e_ie_n$（$i=1,\dots,n-1$）を新たな生成元とする。$f_i$はグレード2なので偶部分代数に属し、2乗と反交換関係は

$$ f_i^2=e_ie_ne_ie_n=-e_i^2e_n^2=e_i^2,\quad f_if_j=e_ie_ne_je_n=-e_ie_je_n^2=e_ie_j=-f_jf_i\ (i\ne j) $$

となる。すなわち$f_i$は元の$e_i$と同じ2乗を持ち互いに反交換するため、符号数$(p,q-1)$のクリフォード代数を生成する。$f_i$の偶数個の積は$e_n$を含まない偶グレードの基底、奇数個の積は$e_n$を含む偶グレードの基底を（符号を除いて）与えるため、生成される代数は偶部分代数全体と一致し、次元$2^{n-1}$も一致する。

$e_n^2=+1$となる生成元を選んだ場合（$p\ge1$）は、$f_i^2=-e_i^2$とすべての2乗の符号が反転するため、符号数$(q,p-1)$のクリフォード代数が得られる。

2つの公式を組み合わせると、分類表の対称性が得られます。

$$ \operatorname{Cl}_{p,q}(\mathbb R) \cong\operatorname{Cl}_{p,q+1}^0(\mathbb R) \cong\operatorname{Cl}_{q+1,p-1}(\mathbb R) \quad(p\ge1) $$

分類表の対称性

$$\operatorname{Cl}_{p,q}(\mathbb R)\cong\operatorname{Cl}_{q+1,p-1}(\mathbb R)\quad(p\ge1)$$

例えば$\operatorname{Cl}_{4,0}(\mathbb R)\cong\operatorname{Cl}_{1,3}(\mathbb R)\cong M_2(\mathbb H)$です。また、符号数を反転した$\operatorname{Cl}_{p,q}(\mathbb R)$と$\operatorname{Cl}_{q,p}(\mathbb R)$は一般には同型ではありませんが（例：$\mathbb H'\not\cong\mathbb H$）、偶部分代数は共通です。

偶部分代数の符号反転対称性

$$\operatorname{Cl}_{p,q}^0(\mathbb R)\cong\operatorname{Cl}_{q,p}^0(\mathbb R)$$

偶部分代数の代数構造は分類表から読み取ることができます。

偶部分代数の読み取り

$$ \begin{alignedat}{2} \operatorname{Cl}_{3,0}^0(\mathbb R)&\cong\operatorname{Cl}_{0,2}(\mathbb R)&&\cong\mathbb H \\ \operatorname{Cl}_{4,0}^0(\mathbb R)&\cong\operatorname{Cl}_{0,3}(\mathbb R)&&\cong2\mathbb H \end{alignedat} $$

回転群の二重被覆であるスピン群は偶部分代数に含まれており、この同型は$\operatorname{Spin}(3)\cong\mathrm{SU}(2)$（単位四元数）や$\operatorname{Spin}(4)\cong\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2)$（単位四元数の対）の置き場所を与えます。

複素化と2周期性

係数を複素数に拡張すると、分類は大幅に単純になります。複素数上では生成元$e$を$ie$に置き換えることで$e^2$の符号を反転できるため、計量の符号の区別が消え、複素クリフォード代数$\operatorname{Cl}_n(\mathbb C)$は生成元の個数$n$だけで決まります。

複素化

$$\operatorname{Cl}_{p,q}(\mathbb R)\otimes_{\mathbb R}\mathbb C\cong\operatorname{Cl}_{p+q}(\mathbb C)$$

係数体が変わると結果も変わるため（たとえば$\mathbb C \otimes_{\mathbb R} \mathbb C \cong 2\mathbb C$に対して$\mathbb C \otimes_{\mathbb C} \mathbb C \cong \mathbb C$）、ここでは体を明示しています。

複素化の計算規則は以下のとおりです。

複素化の計算規則

$$ \mathbb R\otimes_{\mathbb R}\mathbb C\cong\mathbb C,\quad \mathbb C\otimes_{\mathbb R}\mathbb C\cong2\mathbb C,\quad \mathbb H\otimes_{\mathbb R}\mathbb C\cong M_2(\mathbb C) $$

3つ目は双四元数として確認済みです。7shi-bq

2つ目（双複素数）では、$u=i\otimes i$が$u^2=1$を満たすため、分解型複素数と同じ冪等元$(1\pm u)/2$による直和分解が起こります。

拡張公式$\operatorname{Cl}_{p,q}(\mathbb R)\otimes_{\mathbb R}\mathbb H\cong\operatorname{Cl}_{q,p+2}(\mathbb R)$の両辺を複素化すると、次の周期性が得られます。

2周期性

$$ \operatorname{Cl}_{n+2}(\mathbb C) \cong\operatorname{Cl}_n(\mathbb C)\otimes_{\mathbb C} M_2(\mathbb C) $$

拡張公式の左辺を複素化すると、テンソル積の順序を入れ替えて次のように整理できる。複素化した代数どうしのテンソル積は、複素数上の$\otimes_{\mathbb C}$になることに注意する。

$$ (\operatorname{Cl}_{p,q}(\mathbb R)\otimes_{\mathbb R}\mathbb H)\otimes_{\mathbb R}\mathbb C \cong(\operatorname{Cl}_{p,q}(\mathbb R)\otimes_{\mathbb R}\mathbb C) \otimes_{\mathbb C}(\mathbb H\otimes_{\mathbb R}\mathbb C) $$

ここで$\operatorname{Cl}_{p,q}(\mathbb R)\otimes_{\mathbb R}\mathbb C\cong\operatorname{Cl}_n(\mathbb C)$（$n=p+q$）、$\mathbb H\otimes_{\mathbb R}\mathbb C\cong M_2(\mathbb C)$である。一方、右辺$\operatorname{Cl}_{q,p+2}(\mathbb R)$の複素化は$\operatorname{Cl}_{n+2}(\mathbb C)$となる。両者を比較すれば主張を得る。

$\operatorname{Cl}_0(\mathbb C)\cong\mathbb C$と$\operatorname{Cl}_1(\mathbb C)\cong\mathbb C\otimes_{\mathbb R}\mathbb C\cong2\mathbb C$を出発点として、複素の分類表が完成します。

$$ \begin{array}{c|ccccccc} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \cdots \\ \hline \operatorname{Cl}_n(\mathbb C) & \mathbb C & 2\mathbb C & M_2(\mathbb C) & 2M_2(\mathbb C) & M_4(\mathbb C) & 2M_4(\mathbb C) & \cdots \end{array} $$

実の場合の8周期性に対して、複素では周期2で同じ型に戻り、型は$n \pmod 2$のみで決まります。

擬スカラーによる説明もそのまま通用します。複素数上では$\omega^2=-1$であっても$i\omega$と取り直せば2乗が$+1$になるため、$n$が奇数なら必ず中心が$2\mathbb C$型となり、直和分解が起こります。実の8周期性が実K理論、複素の2周期性が複素K理論のボット周期性に対応します。wiki-clif

ピノルとスピノル

分類表の行列環$M_n(\mathbb F)$は、$n$次元の列ベクトル空間$\mathbb F^n$に作用します。この作用に自明でない不変部分空間はなく、クリフォード代数の既約表現を与えます。以下では実線形表現を同型を除いて数えます。$\mathbb F^n$の実次元は$n\dim_{\mathbb R}\mathbb F$で、$\mathbb F=\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H$に応じて$n,2n,4n$です。行列の次数と表現空間の実次元を区別してください。

単純型 $M_n(\mathbb F)$：既約表現は$\mathbb F^n$のただ1つです。
直和型 $2M_n(\mathbb F)$：2つの直和成分がそれぞれ$\mathbb F^n$に作用するため、既約表現は2つあります。両者は中心的な擬スカラーが$\omega=+1,-1$のどちらとして作用するか（冪等元$(1\pm\omega)/2$のどちらの成分か）で区別されます。

ピノルとスピノル

本記事では、クリフォード代数全体の既約表現の空間の元をピノル、偶部分代数の既約表現の空間の元をスピノルと呼び分ける。名称は、鏡映を含む直交群$\mathrm O(p,q)$の二重被覆である$\operatorname{Pin}(p,q)$群と、回転群$\mathrm{SO}(p,q)$の二重被覆である$\operatorname{Spin}(p,q)$群に由来する。不定符号では、$\mathrm{SO}(p,q)$の恒等成分$\mathrm{SO}_0(p,q)$の二重被覆を$\operatorname{Spin}(p,q)$とする規約もある。

用語の慣習

物理の文献では、この区別を緩めて、クリフォード代数全体の既約表現の元も慣例的にスピノルと呼ぶことがよくあります。ピノル空間を偶部分代数に制限すると、既約のままスピノル表現になる場合と、2つの既約スピノル表現に分解する場合があります。この2つは、互いに同型の場合も非同型の場合もあります。たとえば$\operatorname{Cl}_{0,1}(\mathbb R)\cong\mathbb C$の実既約表現$\mathbb C$を偶部分代数$\mathbb R$に制限すると、同型な1次元実表現2つに分かれます。

例えば$\operatorname{Cl}_{3,0}(\mathbb R)\cong M_2(\mathbb C)$のピノル空間は$\mathbb C^2$です。これはパウリ行列が作用する空間であり、偶部分代数$\operatorname{Cl}_{3,0}^0(\mathbb R)\cong\mathbb H$に制限すれば、$\mathrm{SU}(2)$（単位四元数）が作用する2成分スピノル（パウリスピノル）となります。7shi-bq

まとめ

本記事では、5つの基本構造から出発し、テンソル積による2つの拡張公式を繰り返し適用することで、クリフォード代数$\operatorname{Cl}_{p,q}(\mathbb R)$を行列環として分類しました。

基本構造

$$ \begin{alignedat}{2} &\mathbb{C}' &&\cong 2\mathbb{R} \\ &\mathbb{H}' &&\cong M_2(\mathbb{R}) \end{alignedat} $$

拡張公式

$$ \begin{alignedat}{2} \operatorname{Cl}_{p,q}(\mathbb R) &\otimes_{\mathbb R} \mathbb H &&\cong \operatorname{Cl}_{q,p+2}(\mathbb R) \\ \operatorname{Cl}_{p,q}(\mathbb R) &\otimes_{\mathbb R} \mathbb H' &&\cong \operatorname{Cl}_{q+2,p}(\mathbb R) \cong \operatorname{Cl}_{p+1,q+1}(\mathbb R) \end{alignedat} $$

8周期性

$$ \operatorname{Cl}_{p+8,q}(\mathbb{R}) \cong \operatorname{Cl}_{p,q+8}(\mathbb{R}) \cong \operatorname{Cl}_{p,q}(\mathbb{R}) \otimes_{\mathbb R} M_{16}(\mathbb{R}) $$

偶部分代数

$p,q\ge1$のとき、次の同型が成り立つ。
$$ \operatorname{Cl}_{p,q}^0(\mathbb R) \cong\operatorname{Cl}_{p,q-1}(\mathbb R) \cong\operatorname{Cl}_{q,p-1}(\mathbb R) $$

複素化と2周期性

$$ \operatorname{Cl}_{p,q}(\mathbb R)\otimes_{\mathbb R}\mathbb C\cong\operatorname{Cl}_{p+q}(\mathbb C),\quad \operatorname{Cl}_{n+2}(\mathbb C)\cong\operatorname{Cl}_n(\mathbb C)\otimes_{\mathbb C} M_2(\mathbb C) $$

完成した分類表では、型（$\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H}$の種別と直和の有無）は$p-q \pmod 8$のみで決まり、行列の次数は全体の次元$2^{p+q}$から定まります。直和型と$\mathbb C$型の出現位置は擬スカラー$\omega$の中心性と$\omega^2$の符号に対応します。さらに、行列環が作用する列ベクトル空間はピノル・スピノルとして、スピン群を通じて回転群の表現論につながります。