直積集合 ⑫

Prop & Proof

まず、$A_1,A_2\subseteq X$ かつ $B_1,B_2\subseteq Y$ より、
$$ A_1\times B_1\subseteq X\times Y $$
かつ
$$ A_2\times B_2\subseteq X\times Y $$
である( 証明はコチラ )。したがって、
$$ (A_1\times B_1)\cap(A_2\times B_2)\subseteq X\times Y $$
である( 証明はコチラ )。また、
$$ A_1\cap A_2\subseteq X $$
かつ
$$ B_1\cap B_2\subseteq Y $$
である( 証明はコチラ )から、
$$ (A_1\cap A_2)\times(B_1\cap B_2)\subseteq X\times Y $$
である( 証明はコチラ )。ゆえに、両辺はともに $X\times Y$ の部分集合である。
したがって、外延性の原理を $X\times Y$ の部分集合に対して用いれば、任意の $(x,y)\in X\times Y$ について
$$ (x,y)\in (A_1\times B_1)\cap(A_2\times B_2) \ \Leftrightarrow\ (x,y)\in (A_1\cap A_2)\times(B_1\cap B_2) $$
を示せばよい。
$ $
任意の $(x,y)\in X\times Y$ をとる。

1. 左辺について、共通部分と直積集合の定義より
   $$ (x,y)\in (A_1\times B_1)\cap(A_2\times B_2) \ \Leftrightarrow\ ((x,y)\in A_1\times B_1\ \land\ (x,y)\in A_2\times B_2) $$
   また直積集合の定義より
   $$ (x,y)\in A_1\times B_1\ \Leftrightarrow\ (x\in A_1\ \land\ y\in B_1) $$
   $$ (x,y)\in A_2\times B_2\ \Leftrightarrow\ (x\in A_2\ \land\ y\in B_2) $$
   であるから
   $$ (x,y)\in (A_1\times B_1)\cap(A_2\times B_2) \ \Leftrightarrow\ (x\in A_1\ \land\ y\in B_1\ \land\ x\in A_2\ \land\ y\in B_2) $$
   従って
   $$ (x,y)\in (A_1\times B_1)\cap(A_2\times B_2) \ \Leftrightarrow\ (x\in A_1\ \land\ x\in A_2\ \land\ y\in B_1\ \land\ y\in B_2)\quad \because\ \text{連言の可換律・結合律} $$
   である。
   $ $
2. 右辺について、直積集合と共通部分の定義より
   $$ (x,y)\in (A_1\cap A_2)\times(B_1\cap B_2) \ \Leftrightarrow\ (x\in A_1\cap A_2\ \land\ y\in B_1\cap B_2) $$
   さらに共通部分の定義より
   $$ x\in A_1\cap A_2\ \Leftrightarrow\ (x\in A_1\ \land\ x\in A_2) $$
   $$ y\in B_1\cap B_2\ \Leftrightarrow\ (y\in B_1\ \land\ y\in B_2) $$
   であるから
   $$ (x,y)\in (A_1\cap A_2)\times(B_1\cap B_2) \ \Leftrightarrow\ (x\in A_1\ \land\ x\in A_2\ \land\ y\in B_1\ \land\ y\in B_2) $$
   となる。
   $ $

-以上より任意の $(x,y)\in X\times Y$ について左辺と右辺は同値である。
従って
$$ (A_1\times B_1)\cap(A_2\times B_2)=(A_1\cap A_2)\times(B_1\cap B_2) $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

$ (A_1\times B_1)\cup(A_2\times B_2)\subseteq (A_1\cup A_2)\times(B_1\cup B_2)$ を示すため、任意の $(x,y)\in (A_1\times B_1)\cup(A_2\times B_2)$ をとる。
和集合の定義より
$$ (x,y)\in A_1\times B_1\ \text{または}\ (x,y)\in A_2\times B_2 $$
である。
$ $
場合分けをすると、

1. $(x,y)\in A_1\times B_1$ の場合
   直積集合の定義より $x\in A_1$ かつ $y\in B_1$ である。
   和集合の定義より $x\in A_1\cup A_2$ かつ $y\in B_1\cup B_2$ が従う。
   従って直積集合の定義より
   $$ (x,y)\in (A_1\cup A_2)\times(B_1\cup B_2) $$
   である。
   $ $
2. $(x,y)\in A_2\times B_2$ の場合
   同様に直積集合の定義より $x\in A_2$ かつ $y\in B_2$ である。
   よって和集合の定義より $x\in A_1\cup A_2$ かつ $y\in B_1\cup B_2$ であり、直積集合の定義より
   $$ (x,y)\in (A_1\cup A_2)\times(B_1\cup B_2) $$
   が従う。
   $ $

-以上より任意の $(x,y)\in (A_1\times B_1)\cup(A_2\times B_2)$ について $(x,y)\in (A_1\cup A_2)\times(B_1\cup B_2)$ が成り立つ。
従って
$$ (A_1\times B_1)\cup(A_2\times B_2)\subseteq (A_1\cup A_2)\times(B_1\cup B_2) $$
が成り立つ。
$$ \Box$$