Jacobi関数をJacobi多項式で展開する

前の記事 で, 第1種超球関数の超球多項式による展開
\begin{align} C_{\nu}^{(a)}(x)&=\frac{\sin\pi\nu}{\pi}\sum_{0\leq n}(-1)^n\left(\frac 1{\nu-n}-\frac 1{n+2a+\nu}\right)C_n^{(a)}(x) \end{align}
を与えた. 別の記事 で第1種, 第2種のJacobi関数を定義したので, 今回はそれらのJacobi関数による展開を与えたいと思う.

第1種Jacobi関数

第1種Jacobi関数を
\begin{align} P^{(a,b)}_{\nu}(x)&:=\frac{\Gamma(a+\nu+1)}{\Gamma(a+1)\Gamma(\nu+1)}\F21{-\nu,a+b+\nu+1}{a+1}{\frac{1-x}2} \end{align}
と定義する. 前の記事 の定理2
\begin{align} \F32{b,c,-N}{a,b+c-N-a}{x}&=\frac{(1+a-b,1+a-c)_N}{(a)_{N+1}(1+a-b-c)_N}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(2n+a)(a,b,c,-N)_n}{n!(1+a-b,1+a-c,1+a+N)_n}\F21{-n,a+n}{a}{x} \end{align}
から始める. $a\mapsto \alpha+\beta+1, x^n\mapsto \frac{(\alpha+\beta+1)_n}{(\alpha+1)_n}\left(\frac{1-x}2\right)^n$として,
\begin{align} &\F32{b,c,-N}{\alpha+1,b+c-N-\alpha-\beta-1}{\frac{1-x}2}\\ &=\frac{(2+\alpha+\beta-b,2+\alpha+\beta-c)_N}{(\alpha+\beta+1)_{N+1}(2+\alpha+\beta-b-c)_N}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(2n+\alpha+\beta+1)(\alpha+\beta+1,b,c,-N)_n}{n!(2+\alpha+\beta-b,2+\alpha+\beta-c,2+\alpha+\beta+N)_n}\F21{-n,\alpha+\beta+n+1}{\alpha+1}{\frac{1-x}2}\\ &=\frac{(2+\alpha+\beta-b,2+\alpha+\beta-c)_N}{(\alpha+\beta+1)_{N+1}(2+\alpha+\beta-b-c)_N}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(2n+\alpha+\beta+1)(\alpha+\beta+1,b,c,-N)_n}{(\alpha+1,2+\alpha+\beta-b,2+\alpha+\beta-c,2+\alpha+\beta+N)_n}P^{(\alpha,\beta)}_n(x) \end{align}
となる. ここで, $N\to\infty$とすると
\begin{align} &\F21{b,c}{\alpha+1}{\frac{1-x}2}\\ &=\frac{\Gamma(\alpha+\beta+1)\Gamma(2+\alpha+\beta-b-c)}{\Gamma(2+\alpha+\beta-b)\Gamma(2+\alpha+\beta-c)}\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(2n+\alpha+\beta+1)(\alpha+\beta+1,b,c)_n}{(\alpha+1,2+\alpha+\beta-b,2+\alpha+\beta-c)_n}P^{(\alpha,\beta)}_n(x) \end{align}
ここで, $b=-\nu,c=\alpha+\beta+\nu+1$とすると,
\begin{align} &\F21{-\nu,\alpha+\beta+\nu+1}{\alpha+1}{\frac{1-x}2}\\ &=\frac{\Gamma(\alpha+\beta+1)}{\Gamma(2+\alpha+\beta+\nu)\Gamma(1-\nu)}\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(2n+\alpha+\beta+1)(\alpha+\beta+1,-\nu,\alpha+\beta+\nu+1)_n}{(\alpha+1,2+\alpha+\beta+\nu,1-\nu)_n}P^{(\alpha,\beta)}_n(x)\\ &=\frac{\Gamma(\alpha+\beta+1)}{\Gamma(1+\alpha+\beta+\nu)\Gamma(-\nu)}\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(2n+\alpha+\beta+1)(\alpha+\beta+1)_n}{(\alpha+1)_n(n-\nu)(n+\alpha+\beta+\nu+1)}P^{(\alpha,\beta)}_n(x)\\ &=\frac{\Gamma(\alpha+\beta+1)\Gamma(\nu+1)\sin\pi\nu}{\Gamma(1+\alpha+\beta+\nu)\pi}\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(\alpha+\beta+1)_n}{(\alpha+1)_n}\left(\frac 1{\nu-n}-\frac 1{n+\alpha+\beta+\nu+1}\right)P^{(\alpha,\beta)}_n(x) \end{align}
よって, 両辺に$\frac{\Gamma(\alpha+\nu+1)}{\Gamma(\alpha+1)\Gamma(\nu+1)}$を掛けて
\begin{align} P_{\nu}^{(\alpha,\beta)}(x)&=\frac{\Gamma(\alpha+\nu+1)\Gamma(\alpha+\beta+1)\sin\pi\nu}{\Gamma(\alpha+1)\Gamma(\alpha+\beta+\nu+1)\pi}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(\alpha+\beta+1)_n}{(\alpha+1)_n}\left(\frac 1{\nu-n}-\frac 1{n+\alpha+\beta+\nu+1}\right)P^{(\alpha,\beta)}_n(x) \end{align}
を得る.

前の記事 で見たように,
\begin{align} P_{\nu}^{(a,a)}(x)&=\frac{\Gamma(a+\nu+1)\Gamma(2a+1)}{\Gamma(a+1)\Gamma(2a+1+\nu)}C_{\nu}^{\left(a+\frac 12\right)}(x) \end{align}
であるので, これは冒頭で述べた超球関数の場合の結果の一般化である. 逆に, 定理1を超球関数の場合の両辺を積分することで示すこともできるので, 本質的には同じようなものである.

第2種Jacobi関数

第2種Jacobi関数を
\begin{align} Q_{\nu}^{(a,b)}(x)&:=\frac{\Gamma(a+\nu+1)\Gamma(-a)\cos\pi a}{\pi\Gamma(\nu+1)}\F21{-\nu,a+b+\nu+1}{a+1}{\frac{1-x}2}\\ &\qquad+\frac{\Gamma(a)\Gamma(b+\nu+1)}{\pi\Gamma(a+b+\nu+1)}\left(\frac{1-x}2\right)^{-a}\F21{-\nu-a,\nu+b+1}{1-a}{\frac{1-x}2} \end{align}
と定義する. 定理1において, $x\mapsto -x$として 前の記事 で示したJacobi関数の対称性を用いると,
\begin{align} &P_{\nu}^{(b,a)}(x)\cos\pi\nu-Q_{\nu}^{(b,a)}(x)\sin\pi\nu\\ &=\frac{\Gamma(a+\nu+1)\Gamma(a+b+1)\sin\pi\nu}{\Gamma(a+1)\Gamma(a+b+\nu+1)\pi}\sum_{0\leq n}\frac{(a+b+1)_n}{(a+1)_n}\left(\frac 1{\nu-n}-\frac 1{n+a+b+\nu+1}\right)P^{(b,a)}_n(x) \end{align}
を得る. $a,b$を入れ替えると,
\begin{align} &P_{\nu}^{(a,b)}(x)\cos\pi\nu-Q_{\nu}^{(a,b)}(x)\sin\pi\nu\\ &=\frac{\Gamma(b+\nu+1)\Gamma(a+b+1)\sin\pi\nu}{\Gamma(b+1)\Gamma(a+b+\nu+1)\pi}\sum_{0\leq n}\frac{(a+b+1)_n}{(b+1)_n}\left(\frac 1{\nu-n}-\frac 1{n+a+b+\nu+1}\right)P^{(a,b)}_n(x) \end{align}
となる. これより, 定理1を用いると,
\begin{align} Q_{\nu}^{(a,b)}(x)&=P_{\nu}^{(a,b)}(x)\cot\pi\nu\\ &\qquad-\frac{\Gamma(b+\nu+1)\Gamma(a+b+1)}{\pi\Gamma(b+1)\Gamma(a+b+\nu+1)}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(a+b+1)_n}{(b+1)_n}\left(\frac 1{\nu-n}-\frac 1{n+a+b+\nu+1}\right)P^{(a,b)}_n(x)\\ &=\frac{\Gamma(a+\nu+1)\Gamma(a+b+1)\cos\pi\nu}{\pi\Gamma(a+1)\Gamma(a+b+\nu+1)}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(a+b+1)_n}{(a+1)_n}\left(\frac 1{\nu-n}-\frac 1{n+a+b+\nu+1}\right)P^{(a,b)}_n(x)\\ &\qquad-\frac{\Gamma(b+\nu+1)\Gamma(a+b+1)}{\pi\Gamma(b+1)\Gamma(a+b+\nu+1)}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(a+b+1)_n}{(b+1)_n}\left(\frac 1{\nu-n}-\frac 1{n+a+b+\nu+1}\right)P^{(a,b)}_n(x) \end{align}
となる. つまり以下を得る.

実際に用いる際は
\begin{align} &P_{\nu}^{(a,b)}(x)\cot\pi\nu-Q_{\nu}^{(a,b)}(x)\\ &=\frac{\Gamma(b+\nu+1)\Gamma(a+b+1)}{\pi\Gamma(b+1)\Gamma(a+b+\nu+1)}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(a+b+1)_n}{(b+1)_n}\left(\frac 1{\nu-n}-\frac 1{n+a+b+\nu+1}\right)P^{(a,b)}_n(x)\\ \end{align}
の形の方が扱い使いやすい場合も多いかもしれない.

第2種超球関数

前の記事 で見たように, Jacobi関数と超球関数の間には
\begin{align} P_{\nu}^{(a,a)}(x)&=\frac{\Gamma(a+\nu+1)\Gamma(2a+1)}{\Gamma(a+1)\Gamma(2a+1+\nu)}C_{\nu}^{\left(a+\frac 12\right)}(x)\\ Q_{\nu}^{(a,a)}(x)&=\frac{\Gamma(a+\nu+1)\Gamma(2a+1)}{\Gamma(a+1)\Gamma(2a+1+\nu)}D_{\nu}^{\left(a+\frac 12\right)}(x) \end{align}
の関係がある. よって定理2において$b=a$とすると

\begin{align} D_{\nu}^{\left(a+\frac 12\right)}(x) &=\frac{\cos\pi\nu}{\pi}\sum_{0\leq n}(-1)^n\left(\frac 1{\nu-n}-\frac 1{n+2a+\nu+1}\right)C_n^{\left(a+\frac 12\right)}(x)\\ &\qquad-\frac{1}{\pi}\sum_{0\leq n}\left(\frac 1{\nu-n}-\frac 1{n+2a+\nu+1}\right)C_n^{\left(a+\frac 12\right)}(x) \end{align}
つまり, 以下を得る.

特に第1種, 第2種のLegendre関数を
\begin{align} P_{\nu}(x)&:=C_{\nu}^{\left(\frac 12\right)}(x)\\ Q_{\nu}(x)&:=D_{\nu}^{\left(\frac 12\right)}(x) \end{align}
とすると, 系1より以下を得る.