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中央二項係数付きの多重ゼータ値と多重t値の関係式

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1.はじめに

反復ベータ積分(参考文献[1]参照)を用いて級数の関係式を出せるため、それについて最近考えたことを少し書こうと思う。
$$\int_{0}^{x}\frac{t^{2n}}{\sqrt{1-t^2}}dt=\beta_{n}\sum_{n< m}\frac{x^{2m-1}\sqrt{1-x^2}}{2m\beta_{m}}\qquad(\beta_n:=\frac{(\frac{1}{2})_n}{n!}=\frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}})$$
↑今回使った反復ベータ積分 

2.本題①

過去記事にも書いた内容だが、念のためもう一度書いておく。

多重$t$

許容インデックス$\boldsymbol{k}=(k_1,k_2,\cdots,k_r)$に対し、多重$t$値を次のように定める。
$$t(\boldsymbol{k})=\sum_{0\leq n_1\lt n_2<\cdots< n_r}\frac{1}{(2n_1+1)^{k_1}(2n_2+1)^{k_2}\cdots(2n_r+1)^{k_r}}$$

また、次のような級数も定義しておく。

中央二項係数付き多重ゼータ値

許容インデックス$\boldsymbol{k}=(k_1,k_2,\cdots,k_r)$に対し、
$$\xi(\boldsymbol{k}):=\frac{1}{2^{wt(\boldsymbol{k})}}\sum_{0< n_1\lt n_2<\cdots< n_r}\frac{2^{2n_r}}{n^{k_1}_1n^{k_2}_2\cdots n^{k_r}_r\binom{2n_r}{n_r}}$$
$(wt{(\boldsymbol{k})=k_1+k_2+\cdots+k_r})$

上の級数を表す記号は自分が使っているだけで、一般的な表記ではないことに注意をしてほしい。

双対性

$\boldsymbol{k}$の双対インデックスを$\boldsymbol{k}^{\dagger}$と書くことにする。
$$t(\boldsymbol{k})=\xi(\boldsymbol{k}^{\dagger})$$
が成立する。

詳しくは過去記事に書いた。 多重ゼータ値の双対性2 コネクターと級数
(多少記号の使い方は違ったりするので注意)

3.本題②

次の級数を表す記号も自分が使っているだけで、一般的な表記ではないことに注意をしてほしい。

$\beta_n:=\frac{(\frac{1}{2})_n}{n!}=\frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}}$
$(a_1,\cdots,a_m)\in(\mathbb{Z}_{>0})^m$
$\boldsymbol{k}=(\lbrace 1\rbrace^{a_1-1},2,\lbrace 1\rbrace^{a_2-1},2,\cdots ,\lbrace 1\rbrace^{a_m-1},2)$とおく
$$ \Xi(\boldsymbol{k}) :=\frac{1}{2^{wt(\boldsymbol{k})}}\sum_{\boldsymbol{n}\in \boldsymbol{S}}\prod_{i=1}^{m} \frac{\beta_{n^{(i)}_{a_i-1}}}{n^{(i)}_1\cdots n^{(i)}_{a_i-1}(n^{(i)}_{a_i})^2\beta_{n^{(i)}_{a_i}}} =\frac{1}{2^{wt(\boldsymbol{k})}}\sum_{\boldsymbol{n}\in \boldsymbol{S}}\frac{\beta_{n^{(1)}_{a_1-1}}}{n^{(1)}_1\cdots n^{(1)}_{a_1-1}(n^{(1)}_{a_1})^2\beta_{n^{(1)}_{a_1}}} \frac{\beta_{n^{(2)}_{a_2-1}}}{n^{(2)}_1\cdots n^{(2)}_{a_2-1}(n^{(2)}_{a_2})^2\beta_{n^{(2)}_{a_2}}} \cdots \frac{\beta_{n^{(m)}_{a_m-1}}}{n^{(m)}_1\cdots n^{(m)}_{a_m-1}(n^{(m)}_{a_m})^2\beta_{n^{(m)}_{a_m}}}$$
$$\boldsymbol{n}=(n^{(1)}_1,\cdots, n^{(1)}_{a_1} n^{(2)}_1 ,\cdots, n^{(2)}_{a_2} ,\cdots, n^{(m)}_1 ,\cdots, n^{(m)}_{a_m}) $$
$$ \boldsymbol{S}=\lbrace \boldsymbol{n}\in (\mathbb{Z}_{>0})^{a_1+a_2+\cdots +a_m}|n^{(1)}_1<\cdots< n^{(1)}_{a_1}< n^{(2)}_1<\cdots< n^{(2)}_{a_2}<\cdots< n^{(m)}_1<\cdots< n^{(m)}_{a_m}\rbrace$$

たとえば
$$\Xi(1,1,2)=\frac{1}{2^4}\sum_{0< n_1< n_2< n_3}\frac{\beta_{n_2}}{n_1n_2n^2_3\beta_{n_3}}=\frac{1}{2^4}\sum_{0< n_1< n_2< n_3}\frac{1}{n_1}\frac{\binom{2n_2}{n_2}}{n_22^{2n_2}}\frac{2^{2n_3}}{n^2_3\binom{2n_3}{n_3}} $$
$$\Xi(1,2,1,2)=\frac{1}{2^6}\sum_{0< n_1< n_2< n_3< n_4}\frac{\beta_{n_1}}{n_1n^2_2\beta_{n_2}}\frac{\beta_{n_3}}{n_3n^2_4\beta_{n_4}}=\frac{1}{2^6}\sum_{0< n_1< n_2< n_3< n_4}\frac{\binom{2n_1}{n_1}}{n_12^{2n_1}}\frac{2^{2n_2}}{n^2_2\binom{2n_2}{n_2}}\frac{\binom{2n_3}{n_3}}{n_32^{2n_3}}\frac{2^{2n_4}}{n^2_4\binom{2n_4}{n_4}}$$

ただし、インデックスに$2$が連続して含まれる場合は、末尾の$2$$\beta_n$をつけることにしておく。

$$\Xi(2,2)=\frac{1}{2^4}\sum_{0< n_1< n_2}\frac{1}{n^2_1n^2_2\beta_{n_2}}=\frac{1}{2^4}\sum_{0< n_1< n_2}\frac{2^{2n_2}}{n^2_1n^2_2\binom{2n_2}{n_2}}$$
$$\Xi(1,1,2,2)=\frac{1}{2^6}\sum_{0< n_1< n_2< n_3< n_4}\frac{\beta_{n_2}}{n_1n_2n^2_3n^2_4\beta_{n_4}}=\frac{1}{2^6}\sum_{0< n_1< n_2< n_3< n_4}\frac{1}{n_1}\frac{\binom{2n_2}{n_2}}{n_22^{2n_2}}\frac{1}{n^2_3}\frac{2^{2n_4}}{n^2_4\binom{2n_4}{n_4}}$$

$$\omega_0(t)=\frac{dt}{t},\omega_1(t)=\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}},\omega_2(t)=\frac{t}{1-t^2}dt$$
$ \epsilon_i\in\lbrace 0,1,2 \rbrace, \ k\in \mathbb{Z}_{\gt0}$に対して、次のような積分を定める。
$$I(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_k)=\int_{0\lt t_1 \lt t_2 \lt \cdots \lt t_k \lt 1}\omega_{\epsilon_1}(t_1)\omega_{\epsilon_2}(t_2)\cdots\omega_{\epsilon_k}(t_k)$$

$\xi$の反復積分表示

$\boldsymbol{k}$をすべての要素が$2$以上のインデックスとする
$$\xi({\boldsymbol{k}})=I(1,1,\lbrace 0 \rbrace^{k_1-2},1,1,\lbrace 0 \rbrace^{k_2-2},\cdots,1,1,\lbrace 0 \rbrace^{k_r-2})$$
が成り立つ。

反復ベータ積分から分かる。

$\Xi$の反復積分表示

$\boldsymbol{k}=(\lbrace 1\rbrace^{a_1-1},2,\lbrace 1\rbrace^{a_2-1},2,\cdots ,\lbrace 1\rbrace^{a_m-1},2)$とおくと
$$\Xi(\boldsymbol{k})=I(\lbrace 2\rbrace^{a_1-1},1,1,\lbrace 2\rbrace^{a_2-1},1,1,\cdots ,\lbrace 2\rbrace^{a_m-1},1,1)$$
が成り立つ

反復ベータ積分から分かる。

$\boldsymbol{k}$はすべての要素が$2$以上のインデックスとする。このとき、次の等式が成り立つ。
$$t(\boldsymbol{k}^{\dagger})=\Xi(\boldsymbol{k}^{\dagger})$$

($\boldsymbol{k}$の要素がすべて$2$以上なので、$\boldsymbol{k}^{\dagger}$$(\lbrace 1\rbrace^{a_1-1},2,\lbrace 1\rbrace^{a_2-1},2,\cdots ,\lbrace 1\rbrace^{a_m-1},2)$の形で書けることに注意)

$\boldsymbol{k}=(k_1,k_2,\cdots,k_r) \ ,2\leq k_i\\(i=1,2,\cdots,r)$とおく。
まず定理1から、$\xi(\boldsymbol{k})=t(\boldsymbol{k}^{\dagger})$である。$\cdots①$
$\\$

次に、反復積分表示において$t_i=\sqrt{1-x^2_{i}}$と変数変換することを考える。
$$\omega_0(t_i)=\frac{dt_i}{t_i}=\frac{x_i}{1-x^2_i}dx_i=\omega_2(x_i)$$
$$\omega_1(t_i)=\frac{dt_i}{\sqrt{1-t^2_i}}=\frac{dx_i}{\sqrt{1-x^2_i}}=\omega_1(x_i)$$
とそれぞれ変換され、

積分範囲は
$0\lt t_1 \lt t_2 \lt \cdots \lt t_k \lt 1$から$0\lt x_k \lt x_{k-1} \lt \cdots \lt x_1 \lt 1$に移される。したがって、
\begin{align} \xi(\boldsymbol{k})&=I(1,1,\lbrace 0 \rbrace^{k_1-2},1,1,\lbrace 0 \rbrace^{k_2-2},\cdots,1,1,\lbrace 0 \rbrace^{k_r-2})\\ &=I(\lbrace 2\rbrace^{k_r-2},1,1,\lbrace 2\rbrace^{k_{r-1}-2},1,1,\cdots ,\lbrace 2\rbrace^{k_1-2},1,1)\\ &=\Xi(\lbrace 1\rbrace^{k_r-2},2,\lbrace 1\rbrace^{k_{r-1}-2},2,\cdots ,\lbrace 1\rbrace^{k_1-2},2)\\ &=\Xi(\boldsymbol{k}^{\dagger})\cdots②\\ \end{align}

①②より
$$\xi(\boldsymbol{k})=t(\boldsymbol{k}^{\dagger})=\Xi(\boldsymbol{k}^{\dagger})\blacksquare$$

これによって、たとえば
$$\sum_{0< n}\frac{2^{2n}}{n^3\binom{2n}{n}}=\sum_{0\leq n< m}\frac{1}{(n+\frac{1}{2})(m+\frac{1}{2})^2}=\sum_{0< n< m}\frac{\binom{2n}{n}}{n2^{2n}}\frac{2^{2m}}{m^2\binom{2m}{m}}\Big(=\pi^2\ln2-\frac{7}{2}\zeta(3)\Big)$$
このツイート のような等式が分かる。

4.おわりに

おわり。特に書くことがない。ぷえ

5.参考文献

  1. 反復ベータ積分の応用:楕円積分のモーメントを計算する
投稿日:13日前
更新日:13日前

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余余余
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