中央二項係数付きの多重ゼータ値と多重t値の関係式

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1.はじめに

反復ベータ積分(参考文献[1]参照)を用いて級数の関係式を出せるため、それについて最近考えたことを少し書こうと思う。
$\int_{0}^{x} \frac{t^{2 n}}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t = β_{n} \sum_{n < m} \frac{x^{2 m - 1} \sqrt{1 - x^{2}}}{2 m β_{m}} (β_{n} := \frac{(\frac{1}{2})_{n}}{n!} = \frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n}})$
↑今回使った反復ベータ積分　

2.本題①

過去記事にも書いた内容だが、念のためもう一度書いておく。

多重

t

値

許容インデックス $k = (k_{1}, k_{2}, \dots, k_{r})$ に対し、多重 $t$ 値を次のように定める。
$t (k) = \sum_{0 \leq n_{1} < n_{2} < \dots < n_{r}} \frac{1}{(2 n_{1} + 1)^{k_{1}} (2 n_{2} + 1)^{k_{2}} \dots (2 n_{r} + 1)^{k_{r}}}$

また、次のような級数も定義しておく。

中央二項係数付き多重ゼータ値

許容インデックス $k = (k_{1}, k_{2}, \dots, k_{r})$ に対し、
$ξ (k) := \frac{1}{2^{w t (k)}} \sum_{0 < n_{1} < n_{2} < \dots < n_{r}} \frac{2^{2 n_{r}}}{n_{1}^{k_{1}} n_{2}^{k_{2}} \dots n_{r}^{k_{r}} (\binom{2 n_{r}}{n_{r}})}$
$(w t (k) = k_{1} + k_{2} + \dots + k_{r})$

上の級数を表す記号は自分が使っているだけで、一般的な表記ではないことに注意をしてほしい。

双対性

$k$ の双対インデックスを $k^{†}$ と書くことにする。
$t (k) = ξ (k^{†})$
が成立する。

詳しくは過去記事に書いた。多重ゼータ値の双対性2 、コネクターと級数
(多少記号の使い方は違ったりするので注意)

3.本題②

次の級数を表す記号も自分が使っているだけで、一般的な表記ではないことに注意をしてほしい。

$β_{n} := \frac{(\frac{1}{2})_{n}}{n!} = \frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n}}$
$(a_{1}, \dots, a_{m}) \in (Z_{> 0})^{m}$
$k = ({1}^{a_{1} - 1}, 2, {1}^{a_{2} - 1}, 2, \dots, {1}^{a_{m} - 1}, 2)$ とおく
$Ξ (k) := \frac{1}{2^{w t (k)}} \sum_{n \in S} \prod_{i = 1}^{m} \frac{β_{n_{a_{i} - 1}^{(i)}}}{n_{1}^{(i)} \dots n_{a_{i} - 1}^{(i)} (n_{a_{i}}^{(i)})^{2} β_{n_{a_{i}}^{(i)}}} = \frac{1}{2^{w t (k)}} \sum_{n \in S} \frac{β_{n_{a_{1} - 1}^{(1)}}}{n_{1}^{(1)} \dots n_{a_{1} - 1}^{(1)} (n_{a_{1}}^{(1)})^{2} β_{n_{a_{1}}^{(1)}}} \frac{β_{n_{a_{2} - 1}^{(2)}}}{n_{1}^{(2)} \dots n_{a_{2} - 1}^{(2)} (n_{a_{2}}^{(2)})^{2} β_{n_{a_{2}}^{(2)}}} \dots \frac{β_{n_{a_{m} - 1}^{(m)}}}{n_{1}^{(m)} \dots n_{a_{m} - 1}^{(m)} (n_{a_{m}}^{(m)})^{2} β_{n_{a_{m}}^{(m)}}}$
$n = (n_{1}^{(1)}, \dots, n_{a_{1}}^{(1)} n_{1}^{(2)}, \dots, n_{a_{2}}^{(2)}, \dots, n_{1}^{(m)}, \dots, n_{a_{m}}^{(m)})$
$S = {n \in (Z_{> 0})^{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{m}} | n_{1}^{(1)} < \dots < n_{a_{1}}^{(1)} < n_{1}^{(2)} < \dots < n_{a_{2}}^{(2)} < \dots < n_{1}^{(m)} < \dots < n_{a_{m}}^{(m)}}$

たとえば
$Ξ (1, 1, 2) = \frac{1}{2^{4}} \sum_{0 < n_{1} < n_{2} < n_{3}} \frac{β_{n_{2}}}{n_{1} n_{2} n_{3}^{2} β_{n_{3}}} = \frac{1}{2^{4}} \sum_{0 < n_{1} < n_{2} < n_{3}} \frac{1}{n_{1}} \frac{(\binom{2 n_{2}}{n_{2}})}{n_{2} 2^{2 n_{2}}} \frac{2^{2 n_{3}}}{n_{3}^{2} (\binom{2 n_{3}}{n_{3}})}$
$Ξ (1, 2, 1, 2) = \frac{1}{2^{6}} \sum_{0 < n_{1} < n_{2} < n_{3} < n_{4}} \frac{β_{n_{1}}}{n_{1} n_{2}^{2} β_{n_{2}}} \frac{β_{n_{3}}}{n_{3} n_{4}^{2} β_{n_{4}}} = \frac{1}{2^{6}} \sum_{0 < n_{1} < n_{2} < n_{3} < n_{4}} \frac{(\binom{2 n_{1}}{n_{1}})}{n_{1} 2^{2 n_{1}}} \frac{2^{2 n_{2}}}{n_{2}^{2} (\binom{2 n_{2}}{n_{2}})} \frac{(\binom{2 n_{3}}{n_{3}})}{n_{3} 2^{2 n_{3}}} \frac{2^{2 n_{4}}}{n_{4}^{2} (\binom{2 n_{4}}{n_{4}})}$

ただし、インデックスに $2$ が連続して含まれる場合は、末尾の $2$ に $β_{n}$ をつけることにしておく。
例
$Ξ (2, 2) = \frac{1}{2^{4}} \sum_{0 < n_{1} < n_{2}} \frac{1}{n_{1}^{2} n_{2}^{2} β_{n_{2}}} = \frac{1}{2^{4}} \sum_{0 < n_{1} < n_{2}} \frac{2^{2 n_{2}}}{n_{1}^{2} n_{2}^{2} (\binom{2 n_{2}}{n_{2}})}$
$Ξ (1, 1, 2, 2) = \frac{1}{2^{6}} \sum_{0 < n_{1} < n_{2} < n_{3} < n_{4}} \frac{β_{n_{2}}}{n_{1} n_{2} n_{3}^{2} n_{4}^{2} β_{n_{4}}} = \frac{1}{2^{6}} \sum_{0 < n_{1} < n_{2} < n_{3} < n_{4}} \frac{1}{n_{1}} \frac{(\binom{2 n_{2}}{n_{2}})}{n_{2} 2^{2 n_{2}}} \frac{1}{n_{3}^{2}} \frac{2^{2 n_{4}}}{n_{4}^{2} (\binom{2 n_{4}}{n_{4}})}$

$ω_{0} (t) = \frac{d t}{t}, ω_{1} (t) = \frac{d t}{\sqrt{1 - t^{2}}}, ω_{2} (t) = \frac{t}{1 - t^{2}} d t$
$ϵ_{i} \in {0, 1, 2}, k \in Z_{> 0}$ に対して、次のような積分を定める。
$I (ϵ_{1}, ϵ_{2}, \dots, ϵ_{k}) = \int_{0 < t_{1} < t_{2} < \dots < t_{k} < 1} ω_{ϵ_{1}} (t_{1}) ω_{ϵ_{2}} (t_{2}) \dots ω_{ϵ_{k}} (t_{k})$

ξ

の反復積分表示

$k$ をすべての要素が $2$ 以上のインデックスとする
$ξ (k) = I (1, 1, {0}^{k_{1} - 2}, 1, 1, {0}^{k_{2} - 2}, \dots, 1, 1, {0}^{k_{r} - 2})$
が成り立つ。

反復ベータ積分から分かる。

Ξ

の反復積分表示

$k = ({1}^{a_{1} - 1}, 2, {1}^{a_{2} - 1}, 2, \dots, {1}^{a_{m} - 1}, 2)$ とおくと
$Ξ (k) = I ({2}^{a_{1} - 1}, 1, 1, {2}^{a_{2} - 1}, 1, 1, \dots, {2}^{a_{m} - 1}, 1, 1)$
が成り立つ

反復ベータ積分から分かる。

$k$ はすべての要素が $2$ 以上のインデックスとする。このとき、次の等式が成り立つ。
$t (k^{†}) = Ξ (k^{†})$

( $k$ の要素がすべて $2$ 以上なので、 $k^{†}$ は $({1}^{a_{1} - 1}, 2, {1}^{a_{2} - 1}, 2, \dots, {1}^{a_{m} - 1}, 2)$ の形で書けることに注意)

$k = (k_{1}, k_{2}, \dots, k_{r}), 2 \leq k_{i} (i = 1, 2, \dots, r)$ とおく。
まず定理1から、 $ξ (k) = t (k^{†})$ である。 $\dots ①$

次に、反復積分表示において $t_{i} = \sqrt{1 - x_{i}^{2}}$ と変数変換することを考える。
$ω_{0} (t_{i}) = \frac{d t_{i}}{t_{i}} = \frac{x_{i}}{1 - x_{i}^{2}} d x_{i} = ω_{2} (x_{i})$
$ω_{1} (t_{i}) = \frac{d t_{i}}{\sqrt{1 - t_{i}^{2}}} = \frac{d x_{i}}{\sqrt{1 - x_{i}^{2}}} = ω_{1} (x_{i})$
とそれぞれ変換され、

積分範囲は
$0 < t_{1} < t_{2} < \dots < t_{k} < 1$ から $0 < x_{k} < x_{k - 1} < \dots < x_{1} < 1$ に移される。したがって、
$\begin{aligned} ξ (k) & = I (1, 1, {0}^{k_{1} - 2}, 1, 1, {0}^{k_{2} - 2}, \dots, 1, 1, {0}^{k_{r} - 2}) \\ = I ({2}^{k_{r} - 2}, 1, 1, {2}^{k_{r - 1} - 2}, 1, 1, \dots, {2}^{k_{1} - 2}, 1, 1) \\ = Ξ ({1}^{k_{r} - 2}, 2, {1}^{k_{r - 1} - 2}, 2, \dots, {1}^{k_{1} - 2}, 2) \\ = Ξ (k^{†}) \dots ② \end{aligned}$

①②より
$ξ (k) = t (k^{†}) = Ξ (k^{†}) ◼$

これによって、たとえば
$\sum_{0 < n} \frac{2^{2 n}}{n^{3} (\binom{2 n}{n})} = \sum_{0 \leq n < m} \frac{1}{(n + \frac{1}{2}) (m + \frac{1}{2})^{2}} = \sum_{0 < n < m} \frac{(\binom{2 n}{n})}{n 2^{2 n}} \frac{2^{2 m}}{m^{2} (\binom{2 m}{m})} (= π^{2} \ln 2 - \frac{7}{2} ζ (3))$
やこのツイートのような等式が分かる。