四元数とホップファイブレーション2

前回[1]、四元数の回転でホップファイブレーションを導出しました。その続きとして、具体的に成分を計算します。

シリーズ: ホップファイブレーション

パラメーターの調整

単位四元数による回転子$\omega$と$q$を定義します。

$\omega q$を計算します。

$$\begin{array}{rl}\omega q& =\{({\alpha }_0-{\alpha }_1\mathbf{k})+\mathbf{j}({\beta }_0-{\beta }_1\mathbf{k})\}(u+v\mathbf{k})\\ & =({\alpha }_0-{\alpha }_1\mathbf{k})(u+v\mathbf{k})+\mathbf{j}({\beta }_0-{\beta }_1\mathbf{k})(u+v\mathbf{k})\end{array}$$

$u,v$を調整すれば、$\mathbf{k}$を消すことができます。

$$\begin{array}{rlrl}{\alpha }_0-{\alpha }_1\mathbf{k}& =\gamma ({\alpha }_0^{\prime }-{\alpha }_1^{\prime }\mathbf{k})& & ({\alpha }_0^{\prime 2}+{\alpha }_1^{\prime 2}=1)\\ u+v\mathbf{k}& ={\alpha }_0^{\prime }+{\alpha }_1^{\prime }\mathbf{k}\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}\omega q& =\gamma ({\alpha }_0^{\prime }-{\alpha }_1^{\prime }\mathbf{k})({\alpha }_0^{\prime }+{\alpha }_1^{\prime }\mathbf{k})+\mathbf{j}({\beta }_0-{\beta }_1\mathbf{k})({\alpha }_0^{\prime }+{\alpha }_1^{\prime }\mathbf{k})\\ & =\gamma ({\alpha }_0^{\prime 2}+{\alpha }_1^{\prime 2})+\mathbf{j}\{({\beta }_0{\alpha }_0^{\prime }+{\beta }_1{\alpha }_1^{\prime })+({\beta }_0{\alpha }_1^{\prime }-{\beta }_1{\alpha }_0^{\prime })\mathbf{k}\}\\ & =\gamma +({\beta }_0{\alpha }_0^{\prime }+{\beta }_1{\alpha }_1^{\prime })\mathbf{j}+({\beta }_0{\alpha }_1^{\prime }-{\beta }_1{\alpha }_0^{\prime })\mathbf{i}\end{array}$$

つまり$\omega$と同じ回転を表す$\omega q$のうち、$\mathbf{k}$の項がないものが存在します。

三角関数表示

成分計算だけではイメージが湧きにくいため、三角関数でパラメーター表示します。[2]

$\omega q$を計算します。

$$\begin{array}{rl}\omega q& =(\cos \theta e^{-a\mathbf{k}}+\sin \theta \mathbf{j}{e}^{-b\mathbf{k}})e^{c\mathbf{k}}\\ & =\cos \theta e^{(c-a)\mathbf{k}}+\sin \theta \mathbf{j}{e}^{(c-b)\mathbf{k}}\end{array}$$

$a=c$のとき

$$\begin{array}{rl}\omega q& =\cos \theta +\sin \theta \mathbf{j}{e}^{(a-b)\mathbf{k}}\\ & =\cos \theta +\sin \theta \mathbf{j}\{\cos (a-b)-\sin (a-b)\mathbf{k}\}\\ & =\cos \theta +\sin \theta \{\cos (a-b)\mathbf{j}-\sin (a-b)\mathbf{i}\}\end{array}$$

よって、$q$が$e^{-a\mathbf{k}}$を打ち消すとき、$\mathbf{k}$の項が消えます。これを${\omega }^{\prime }$とします。

回転

${\omega }^{\prime }$で$\mathbf{k}$を回転させます。

$$\begin{array}{rl}{\omega }^{\prime }\mathbf{k}{\omega }^{\prime \ast }& =(\cos \theta +\sin \theta \mathbf{j}{e}^{(a-b)\mathbf{k}})\mathbf{k}(\cos \theta +\sin \theta \mathbf{j}{e}^{(a-b)\mathbf{k}}{)}^{\ast }\\ & =(\cos \theta +\sin \theta \mathbf{j}{e}^{(a-b)\mathbf{k}})\mathbf{k}(\cos \theta -\sin \theta \mathbf{j}{e}^{(a-b)\mathbf{k}})\\ & =(\cos \theta +\sin \theta \mathbf{j}{e}^{(a-b)\mathbf{k}}{)}^2\mathbf{k}\\ & =({\cos }^2\theta +2\cos \theta \sin \theta \mathbf{j}{e}^{(a-b)\mathbf{k}}+{\sin }^2\theta \mathbf{j}{e}^{(a-b)\mathbf{k}}\mathbf{j}{e}^{(a-b)\mathbf{k}})\mathbf{k}\\ & =({\cos }^2\theta +2\cos \theta \sin \theta \mathbf{j}{e}^{(a-b)\mathbf{k}}+{\sin }^2\theta {\mathbf{j}}^2{e}^{-(a-b)\mathbf{k}}{e}^{(a-b)\mathbf{k}})\mathbf{k}\\ & =2\cos \theta \sin \theta \mathbf{i}\{\cos (a-b)+\sin (a-b)\mathbf{k}\}+({\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta )\mathbf{k}\\ & =\sin 2\theta \{\cos (a-b)\mathbf{i}-\sin (a-b)\mathbf{j}\}+\cos 2\theta \mathbf{k}\\ & =\sin 2\theta \{\cos (b-a)\mathbf{i}+\sin (b-a)\mathbf{j}\}+\cos 2\theta \mathbf{k}\end{array}$$

左右から回転子で挟むため、回転角が2倍の$2\theta$になります。

三角関数の引数を$b-a$とした理由は、次で説明します。

内積と外積

複素数$e^{i(b-a)}$を計算します。

$$\begin{array}{rl}{e}^{i(b-a)}& =e^{ib}{e}^{-ia}\\ & =(e^{ia}{)}^{\ast }{e}^{ib}\\ & =(\cos a-i\sin a)(\cos b+i\sin b)\\ & =(\cos a\cos b+\sin a\sin b)+i(\cos a\sin b-\sin a\cos b)\end{array}$$

これは加法定理ですが、様子を見るため実部を$x$座標、虚部を$y$座標に割り当てます。

$$\begin{array}{rlrl}{e}^{ia}& =\cos a+i\sin a& & =a_x+i{a}_y\\ e^{ib}& =\cos b+i\sin b& & =b_x+i{b}_y\end{array}$$
$$e^{i(b-a)}=(a_x{b}_x+a_y{b}_y)+i(a_x{b}_y-a_y{b}_x)$$

位相差$b-a$を計算することで、実部は内積、虚部は（ウェッジ積の意味での）外積が得られると解釈できます。

外積は演算の順序で符号が変わります。偏角を昇順で並べたものを順方向とします。偏角$a,b$を昇順とすれば、位相差は$b-a$として計算するのが自然です。

状態ベクトルとパウリ行列

同じことを状態ベクトルとパウリ行列で計算します。

$$\begin{array}{rl}\omega & =\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_0+i{\alpha }_1\\ {\beta }_0+i{\beta }_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\cos \frac{\theta }{2}{e}^{ia}\\ \sin \frac{\theta }{2}{e}^{ib}\end{array}\right)=e^{ia}\left(\begin{array}{c}\cos \frac{\theta }{2}\\ \sin \frac{\theta }{2}{e}^{i(b-a)}\end{array}\right)\\ q& =e^{-ia}\\ \omega q& =\left(\begin{array}{c}\cos \frac{\theta }{2}\\ \sin \frac{\theta }{2}{e}^{i(b-a)}\end{array}\right)=:{\omega }^{\prime }\end{array}$$

$\omega q$は括り出した係数の消去に相当することが、形式的な操作から浮き彫りになります。

パウリ行列でブロッホ球上の座標に変換します。

$$\begin{array}{rl}{\omega }^{\prime †}{\sigma }_x{\omega }^{\prime }& =\left(\begin{array}{cc}\cos \frac{\theta }{2}& \sin \frac{\theta }{2}{e}^{-i(b-a)}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\cos \frac{\theta }{2}\\ \sin \frac{\theta }{2}{e}^{i(b-a)}\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}\cos \frac{\theta }{2}& \sin \frac{\theta }{2}{e}^{-i(b-a)}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\sin \frac{\theta }{2}{e}^{i(b-a)}\\ \cos \frac{\theta }{2}\end{array}\right)\\ & =\cos \frac{\theta }{2}\sin \frac{\theta }{2}{e}^{i(b-a)}+\sin \frac{\theta }{2}{e}^{-i(b-a)}\cos \frac{\theta }{2}\\ & =\cos \frac{\theta }{2}\sin \frac{\theta }{2}(e^{i(b-a)}+e^{-i(b-a)})\\ & =\cos \frac{\theta }{2}\sin \frac{\theta }{2}\{\cos (b-a)+i\sin (b-a)+\cos (b-a)-i\sin (b-a)\}\\ & =2\cos \frac{\theta }{2}\sin \frac{\theta }{2}\cos (b-a)\\ & =\sin \theta \cos (b-a)\\ {\omega }^{\prime †}{\sigma }_y{\omega }^{\prime }& =\left(\begin{array}{cc}\cos \frac{\theta }{2}& \sin \frac{\theta }{2}{e}^{-i(b-a)}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\cos \frac{\theta }{2}\\ \sin \frac{\theta }{2}{e}^{i(b-a)}\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}\cos \frac{\theta }{2}& \sin \frac{\theta }{2}{e}^{-i(b-a)}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-i\sin \frac{\theta }{2}{e}^{i(b-a)}\\ i\cos \frac{\theta }{2}\end{array}\right)\\ & =-i\cos \frac{\theta }{2}\sin \frac{\theta }{2}{e}^{i(b-a)}+i\sin \frac{\theta }{2}{e}^{-i(b-a)}\cos \frac{\theta }{2}\\ & =-i\cos \frac{\theta }{2}\sin \frac{\theta }{2}(e^{i(b-a)}-e^{-i(b-a)})\\ & =-i\cos \frac{\theta }{2}\sin \frac{\theta }{2}\{\cos (b-a)+i\sin (b-a)-\cos (b-a)+i\sin (b-a)\}\\ & =2\cos \frac{\theta }{2}\sin \frac{\theta }{2}\sin (b-a)\\ & =\sin \theta \sin (b-a)\\ {\omega }^{\prime †}{\sigma }_z{\omega }^{\prime }& =\left(\begin{array}{cc}\cos \frac{\theta }{2}& \sin \frac{\theta }{2}{e}^{-i(b-a)}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\cos \frac{\theta }{2}\\ \sin \frac{\theta }{2}{e}^{i(b-a)}\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}\cos \frac{\theta }{2}& \sin \frac{\theta }{2}{e}^{-i(b-a)}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\cos \frac{\theta }{2}\\ -\sin \frac{\theta }{2}{e}^{i(b-a)}\end{array}\right)\\ & ={\cos }^2\frac{\theta }{2}-{\sin }^2\frac{\theta }{2}{e}^{-i(b-a)}{e}^{i(b-a)}\\ & =\cos \theta \end{array}$$

四元数は全成分を一度に計算するためごちゃごちゃしますが、こちらは成分ごとに計算するため冗長になります。どちらが簡単だとは一概には言えませんが、結果だけまとめるのにベクトルはシンプルです。

$$\begin{array}{rl}{\omega }^{\prime }& =\left(\begin{array}{c}\cos \frac{\theta }{2}\\ \sin \frac{\theta }{2}{e}^{i(b-a)}\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{c}\sin \theta \cos (b-a)\\ \sin \theta \sin (b-a)\\ \cos \theta \end{array}\right)\end{array}$$

$\theta$が2倍になって、指数関数が表す$\cos$と$\sin$が別成分に分離されました。これをブロッホベクトルと呼びます。

$\omega$を計算しても同じ結果になります。

$$\begin{array}{rl}\omega & =\left(\begin{array}{c}\cos \frac{\theta }{2}{e}^{ia}\\ \sin \frac{\theta }{2}{e}^{ib}\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{c}\sin \theta \cos (b-a)\\ \sin \theta \sin (b-a)\\ \cos \theta \end{array}\right)\end{array}$$

このように、ブロッホベクトルには$a,b$個々の位相ではなく、位相差$b-a$だけが現れます。量子情報では位相差だけが観測されるという重要な事実を反映しています。

まとめて計算

パウリ行列を使った方法でも、全成分をまとめて計算することはできます。

$A,B$を複素ベクトルとして、$A^{†}B$は内積となります。エルミート共役を逆にした$A{B}^{†}$は外積と呼ばれます。

（テンソル積の意味での）外積はベクトルから行列を作る計算で、自身との外積は複素共役との積を列挙したものとなります。

$$\begin{array}{rl}\omega & =\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\cos \frac{\theta }{2}{e}^{ia}\\ \sin \frac{\theta }{2}{e}^{ib}\end{array}\right)\\ \omega {\omega }^{†}& =\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{\alpha }^{\ast }& {\beta }^{\ast }\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}\alpha {\alpha }^{\ast }& \alpha {\beta }^{\ast }\\ \beta {\alpha }^{\ast }& \beta {\beta }^{\ast }\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}\cos \frac{\theta }{2}{e}^{ia}\cos \frac{\theta }{2}{e}^{-ia}& \cos \frac{\theta }{2}{e}^{ia}\sin \frac{\theta }{2}{e}^{-ib}\\ \sin \frac{\theta }{2}{e}^{ib}\cos \frac{\theta }{2}{e}^{-ia}& \sin \frac{\theta }{2}{e}^{ib}\sin \frac{\theta }{2}{e}^{-ib}\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}{\cos }^2\frac{\theta }{2}& \cos \frac{\theta }{2}\sin \frac{\theta }{2}{e}^{-i(b-a)}\\ \cos \frac{\theta }{2}\sin \frac{\theta }{2}{e}^{i(b-a)}& {\sin }^2\frac{\theta }{2}\end{array}\right)\end{array}$$

成分に見覚えのある形が現れています。半角公式[3]などを使って計算を進めます。

$$\begin{array}{rl}\omega {\omega }^{†}& =\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1+\cos \theta & \sin \theta \{\cos (b-a)-i\sin (b-a)\}\\ \sin \theta \{\cos (b-a)+i\sin (b-a)\}& 1-\cos \theta \end{array}\right)\end{array}$$

対角成分と非対角成分で、それぞれ符号が異なる項が現れています。これらを分離すれば、パウリ行列の線形結合が現れます。

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}\omega {\omega }^{†}& =\frac{1}{2}\{\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right) \\ +\sin \theta \cos (b-a)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right) \\ +\sin \theta \sin (b-a)\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right) \\ +\cos \theta \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\}\\ & =\frac{1}{2}\{\mathrm{I}+\sin \theta \cos (b-a){\sigma }_x+\sin \theta \sin (b-a){\sigma }_y+\cos \theta {\sigma }_z\}\end{array} \end{gathered}$$

これは密度行列と呼ばれます。スケールを$2$倍してパウリ行列の係数を抜き出せば、ブロッホベクトルと一致します。

$$\begin{array}{rl}\omega & =\left(\begin{array}{c}\cos \frac{\theta }{2}{e}^{ia}\\ \sin \frac{\theta }{2}{e}^{ib}\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{c}\sin \theta \cos (b-a)\\ \sin \theta \sin (b-a)\\ \cos \theta \end{array}\right)\end{array}$$

まとめ

四元数での回転によるモデルを導入して、線形代数でその結果を利用する流れを示しました。量子情報への導入とすることを意識しています。

他にも射影平面による定式化があり、こちらの方がより一般的です。[8]