一般線型群の位相について
$\mathbb{K} \in \{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$とし，$G = GL(n;\mathbb{K})$とおく．このとき，$G \subset \mathbb{K}^{n^{2}}$とも$G \subset C(\mathbb{K}^{n})$とも見做せる（cf. 補題1）．したがって（少なくとも）以下の3つの位相空間が考えられる：
- $G_{\mathrm{euclid}} \subset \mathbb{K}^{n^{2}}$;
- $G_{co} \subset C_{co}(\mathbb{K}^{n})$;
- $G_{p} \subset C_{p}(\mathbb{K}^{n})$.
（[1, 命題4]より，Euclid空間上のノルムは互いに同値であることを注意しておく．）
- 作用$G \times \mathbb{K}^{n} \to \mathbb{K}^{n};\ (g,x) \mapsto gx$は効果的である；
- $G_{\mathrm{euclid}}$は位相群である．
- $g \in \bigcap_{x} G_{x}$とする．$(e_{j})_{j}$を$\mathbb{K}^{n}$の標準基底とすると，各$j \in [n]$について$g_{j} = ge_{j} = e_{j}$となるので，$g = I_{n}$を得る．
-
- 各$(i,j) \in [n] \times [n]$に対して$(gh)_{ij} = \sum_{k} g_{ik}h_{kj}$は$(g,h)$の連続函数なので，$(g,h) \mapsto gh$は連続である．
- 行列$g$の余因子行列を$\tilde{g}$とすると，$g^{-1} = \tilde{g}/\det{g}$であるから，$g \mapsto g^{-1}$は連続である．
$\id_{G} \colon G_{\mathrm{euclid}} \to G_{co}$は連続である．
各$i \in [n]$に対して$(gx)_{i} = \sum_{j}g_{ij}x_{j}$は$(g,x)$の連続函数なので，$G_{\mathrm{euclid}} \times \mathbb{K}^{n} \to \mathbb{K}^{n};\ (g,x) \mapsto gx$は連続である．したがって，補題1と[2, 命題20]より
$$
G_{\mathrm{euclid}} \to C_{co}(\mathbb{K}^{n})$$
は単射連続写像である．よって$\id_{G} \colon G_{\mathrm{euclid}} \to G_{co}$は連続である．
$\id_{G} \colon G_{co} \to G_{p}$は連続である．
$\id \colon C_{co}(\mathbb{K}^{n}) \to C_{p}(\mathbb{K}^{n})$が連続であることからしたがう．
$\id_{G} \colon G_{p} \to G_{\mathrm{euclid}}$は連続である．
$g \in G, \varepsilon > 0$とする．このとき
$$
\bigcap_{j} [e_{j},B^{n}(ge_{j};\varepsilon/\sqrt{n})] \cap G \subset B^{n^{2}}(g;\varepsilon) \cap G$$
が成り立つことを示せばよい．そこで$f \in \mathrm{LHS}$とすると，各$j \in [n]$に対して
$$
\sum_{i} |f_{ij} - g_{ij}|^{2} < \frac{\varepsilon^{2}}{n}$$
となるので，
$$
\sum_{i,j} |f_{ij} - g_{ij}|^{2} < \varepsilon^{2}$$
が成り立つ．
