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一般線型群の位相について

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$K \in {R, C}$ とし， $G = G L (n; K)$ とおく．このとき， $G \subset K^{n^{2}}$ とも $G \subset C (K^{n})$ とも見做せる（cf. 補題1）．したがって（少なくとも）以下の3つの位相空間が考えられる：

$G_{euclid} \subset K^{n^{2}}$ ;
$G_{c o} \subset C_{c o} (K^{n})$ ;
$G_{p} \subset C_{p} (K^{n})$ .

（[1, 命題4]より，Euclid空間上のノルムは互いに同値であることを注意しておく．）

作用 $G \times K^{n} \to K^{n}; (g, x) \mapsto g x$ は効果的である；
$G_{euclid}$ は位相群である．

$g \in ⋂_{x} G_{x}$ とする． $(e_{j})_{j}$ を $K^{n}$ の標準基底とすると，各 $j \in [n]$ について $g_{j} = g e_{j} = e_{j}$ となるので， $g = I_{n}$ を得る．
- 各 $(i, j) \in [n] \times [n]$ に対して $(g h)_{i j} = \sum_{k} g_{i k} h_{k j}$ は $(g, h)$ の連続函数なので， $(g, h) \mapsto g h$ は連続である．
- 行列 $g$ の余因子行列を $\tilde{g}$ とすると， $g^{- 1} = \tilde{g} / \det g$ であるから， $g \mapsto g^{- 1}$ は連続である．

${id}_{G} : G_{euclid} \to G_{c o}$ は連続である．

各 $i \in [n]$ に対して $(g x)_{i} = \sum_{j} g_{i j} x_{j}$ は $(g, x)$ の連続函数なので， $G_{euclid} \times K^{n} \to K^{n}; (g, x) \mapsto g x$ は連続である．したがって，補題1と[2, 命題20]より
$G_{euclid} \to C_{c o} (K^{n})$
は単射連続写像である．よって ${id}_{G} : G_{euclid} \to G_{c o}$ は連続である．

${id}_{G} : G_{c o} \to G_{p}$ は連続である．

$id : C_{c o} (K^{n}) \to C_{p} (K^{n})$ が連続であることからしたがう．

${id}_{G} : G_{p} \to G_{euclid}$ は連続である．

$g \in G, ε > 0$ とする．このとき
$⋂_{j} [e_{j}, B^{n} (g e_{j}; ε / \sqrt{n})] \cap G \subset B^{n^{2}} (g; ε) \cap G$
が成り立つことを示せばよい．そこで $f \in LHS$ とすると，各 $j \in [n]$ に対して
$\sum_{i} | f_{i j} - g_{i j} |^{2} < \frac{ε^{2}}{n}$
となるので，
$\sum_{i, j} | f_{i j} - g_{i j} |^{2} < ε^{2}$
が成り立つ．