集合 ⑫
Prop & Proof
集合 $U$ を全体集合とし、$A\subseteq U$ とする。このとき次が成り立つ。
$$
A\setminus\varnothing=A
$$
集合の等号の定義より、任意の $x\in U$ について
$$
x\in A\setminus\varnothing\ \Leftrightarrow\ x\in A
$$
を示せばよい。
$ $
任意の $x\in U$ をとる。
差集合の定義より
$$
x\in A\setminus\varnothing\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land\ x\notin\varnothing)
$$
が成り立つ。
ここで空集合の定義より、任意の $x\in U$ について $x\in\varnothing$ は偽である。したがって任意の $x\in U$ について
$$
x\notin\varnothing
$$
は真である。
よって命題論理の恒真式
$$
P\land \top\ \Leftrightarrow\ P
$$
を用いれば、$P=(x\in A)$ とおくことで
$$
(x\in A\ \land\ x\notin\varnothing)\ \Leftrightarrow\ x\in A
$$
が成り立つ。
ここでは、命題論理の恒真式
$$
P\land \top\ \Leftrightarrow\ P
$$
を使っている。ここで、$\top$ は「真（True）」を表す命題定数であり、常に真である命題を表す。
したがって、$P\land\top$ は「$P$ が真であり、かつ真が真である」という命題であるが、
後者は常に成り立つので、結局 $P\land\top$ は $P$ と同値になる。
$ $
実際、次の真理表により $P\land\top$ と $P$ が常に同じ真理値をとることが分かる（よって同値であり、恒真式である）。
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
P & \top & P\land \top & (P\land \top)\Leftrightarrow P \\
\hline
T & T & T & T \\
\hline
F & T & F & T \\
\hline
\end{array}
$$
空集合の定義より任意の $x\in U$ について $x\in\varnothing$ は偽であるから、任意の $x\in U$ について
$$
x\notin\varnothing
$$
は真である。従って
$$
x\notin\varnothing\ \Leftrightarrow\ \top
$$
が成り立つ。したがって
$$
(x\in A\ \land\ x\notin\varnothing)
\ \Leftrightarrow\
(x\in A\ \land\ \top)
\ \Leftrightarrow\
x\in A
$$
が成り立つ。
従って
$$
x\in A\setminus\varnothing\ \Leftrightarrow\ x\in A
$$
が任意の $x\in U$ について成り立つので、集合の等号の定義より
$$
A\setminus\varnothing=A
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
集合 $U$ を全体集合とし、$A\subseteq U$ とする。このとき次が成り立つ。
$$
\varnothing\setminus A=\varnothing
$$
集合の等号の定義より、任意の $x\in U$ について
$$
x\in \varnothing\setminus A\ \Leftrightarrow\ x\in\varnothing
$$
を示せばよい。
$ $
任意の $x\in U$ をとる。差集合の定義より
$$
x\in \varnothing\setminus A\ \Leftrightarrow\ (x\in\varnothing\land x\notin A)
$$
が成り立つ。
ここで空集合の定義より、任意の $x\in U$ について $x\in\varnothing$ は偽である。したがって命題論理の恒真式
$$
P\land \bot\ \Leftrightarrow\ \bot
$$
を用いれば
$$
(x\in\varnothing\land x\notin A)\ \Leftrightarrow\ x\in\varnothing
$$
が成り立つ。
ここでは、命題論理の恒真式
$$
P\land \bot\ \Leftrightarrow\ \bot
$$
を使っている。ここで、$\bot$ は「偽（False）」を表す命題定数であり、常に偽である命題を表す。
したがって、$P\land\bot$ は「$P$ が真であり、かつ偽が真である」という命題であるが、
後者は常に成り立たないので、結局 $P\land\bot$ は常に偽となり、$\bot$ と同値になる。
$ $
実際、次の真理表により $P\land\bot$ と $\bot$ が常に同じ真理値をとることが分かる（よって同値であり、恒真式である）。
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
P & \bot & P\land \bot & (P\land \bot)\Leftrightarrow \bot \\
\hline
T & F & F & T \\
F & F & F & T \\
\hline
\end{array}
$$
空集合の定義より任意の $x\in U$ について $x\in\varnothing$ は偽であるから、
$$
x\in\varnothing\ \Leftrightarrow\ \bot
$$
が成り立つ。したがって
$$
(x\in\varnothing\land x\notin A)
\ \Leftrightarrow\
(\bot\land x\notin A)
\ \Leftrightarrow\
\bot
\ \Leftrightarrow\
x\in\varnothing
$$
が成り立つ。
従って
$$
(x\in\varnothing\land x\notin A)\ \Leftrightarrow\ x\in\varnothing
$$
が成り立つ。
以上より任意の $x\in U$ について
$$
x\in \varnothing\setminus A\ \Leftrightarrow\ x\in\varnothing
$$
が成り立つので、集合の等号の定義より
$$
\varnothing\setminus A=\varnothing
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
集合$U$を全体集合とし、$A\subseteq U$とする。このとき次が成り立つ。
$$
A\setminus A=\varnothing
$$
集合の等号の定義より、任意の$x\in U$について
$$
x\in A\setminus A\ \Leftrightarrow\ x\in\varnothing
$$
を示せばよい。
$ $
任意の$x\in U$をとる。差集合の定義より
$$
x\in A\setminus A\ \Leftrightarrow\ (x\in A\land x\notin A)
$$
が成り立つ。
ここで命題$P:\ (x\in A)$とおくと、右辺は$P\land\neg P$である。従って命題論理の恒真式
$$
P\land\neg P\ \Leftrightarrow\ \bot
$$
より
$$
(x\in A\land x\notin A)\ \Leftrightarrow\ \bot
$$
が成り立つ。
また空集合の定義より任意の$x\in U$について$x\in\varnothing$は偽であるから
$$
x\in\varnothing\ \Leftrightarrow\ \bot
$$
が成り立つ。よって
$$
x\in A\setminus A
\ \Leftrightarrow\
(x\in A\land x\notin A)
\ \Leftrightarrow\
\bot
\ \Leftrightarrow\
x\in\varnothing
$$
が成り立つ。
以上より任意の$x\in U$について
$$
x\in A\setminus A\ \Leftrightarrow\ x\in\varnothing
$$
が成り立つので、集合の等号の定義より
$$
A\setminus A=\varnothing
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
ここでは、命題論理の恒真式
$$
P\land\neg P\ \Leftrightarrow\ \bot
$$
を使っている。$P\land\neg P$は「$P$が真であり、かつ$P$が偽である」という命題であり、
同時に成り立つことはないので常に偽である。
実際、次の真理表により$P\land\neg P$は常に$F$となり、$\bot$と同値である。
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
P & \neg P & P\land\neg P & (P\land\neg P)\Leftrightarrow \bot \\
\hline
T & F & F & T \\
\hline
F & T & F & T \\
\hline
\end{array}
$$
また空集合の定義より任意の$x\in U$について$x\in\varnothing$は常に偽であるから
$$
x\in\varnothing\ \Leftrightarrow\ \bot
$$
が成り立つ。従って$P=(x\in A)$とおけば
$$
(x\in A\land x\notin A)
\ \Leftrightarrow\
(P\land\neg P)
\ \Leftrightarrow\
\bot
\ \Leftrightarrow\
x\in\varnothing
$$
が成り立つ。
集合 $U$ を全体集合とし、$A\subseteq U$ とする。このとき次が成り立つ。
$$
A\setminus U=\varnothing
$$
集合の等号の定義より、任意の $x\in U$ について
$$
x\in A\setminus U\ \Leftrightarrow\ x\in\varnothing
$$
を示せばよい。
$ $
任意の $x\in U$ をとる。差集合の定義より
$$
x\in A\setminus U\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land\ x\notin U)
$$
が成り立つ。
ここで $x\in U$ は真であるから、命題 $x\notin U$ は偽である。従って
$$
(x\in A\ \land\ x\notin U)\ \Leftrightarrow\ \bot
$$
が成り立つ。さらに空集合の定義より $x\in\varnothing$ は偽、すなわち
$$
x\in\varnothing\ \Leftrightarrow\ \bot
$$
であるから
$$
x\in A\setminus U\ \Leftrightarrow\ x\in\varnothing
$$
が成り立つ。
$ $
よって任意の $x\in U$ について $x\in A\setminus U\Leftrightarrow x\in\varnothing$ が成り立つので、集合の等号の定義より
$$
A\setminus U=\varnothing
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
ここでは、命題論理の恒真式
$$
P\land \bot\ \Leftrightarrow\ \bot
$$
を使っている。ここで、$\bot$ は「偽（False）」を表す命題定数であり、常に偽である命題を表す。
任意の $x\in U$ について、$x\in U$ は真であるから
$$
x\notin U
$$
は偽であり、
$$
x\notin U\ \Leftrightarrow\ \bot
$$
が成り立つ。
したがって
$$
(x\in A\ \land\ x\notin U)
\ \Leftrightarrow\
(x\in A\ \land\ \bot)
\ \Leftrightarrow\
\bot
$$
となる。
また空集合の定義より任意の $x\in U$ について $x\in\varnothing$ は偽、すなわち
$$
x\in\varnothing\ \Leftrightarrow\ \bot
$$
であるから、
$$
(x\in A\ \land\ x\notin U)\ \Leftrightarrow\ x\in\varnothing
$$
が従う。
$ $
実際、次の真理表により $P\land\bot$ は常に偽であることが分かる。
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
P & \bot & P\land\bot & (P\land\bot)\Leftrightarrow\bot \\
\hline
T & F & F & T \\
\hline
F & F & F & T \\
\hline
\end{array}
$$
従って $P\land\bot$ と $\bot$ は常に同じ真理値をとるので同値であり、
$$
P\land \bot\ \Leftrightarrow\ \bot
$$
は恒真式である。
集合 $U$ を全体集合とし、$A\subseteq U$ とする。このとき次が成り立つ。
$$
U\setminus A=A^c
$$
集合の等号の定義より、任意の $x\in U$ について
$$
x\in U\setminus A\ \Leftrightarrow\ x\in A^c
$$
を示せばよい。
$ $
任意の $x\in U$ をとる。
差集合の定義より
$$
x\in U\setminus A\ \Leftrightarrow\ (x\in U\ \land\ x\notin A)
$$
が成り立つ。
一方、補集合の定義より
$$
x\in A^c\ \Leftrightarrow\ (x\in U\ \land\ x\notin A)
$$
が成り立つ。
従って
$$
x\in U\setminus A\ \Leftrightarrow\ x\in A^c
$$
が任意の $x\in U$ について成り立つので、集合の等号の定義より
$$
U\setminus A=A^c
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
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