集合 ⑪

Prop & Proof

集合の等号の定義より、任意の $x\in U$ について
$$ x\in A\setminus B\ \Leftrightarrow\ x\in A\cap B^c $$
を示せばよい。
$ $
任意の $x\in U$ をとる。
差集合の定義より
$$ x\in A\setminus B\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land\ x\notin B) $$
が成り立つ。
一方、共通部分と補集合の定義より
$$ x\in A\cap B^c\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land\ x\in B^c) $$
$$ x\in B^c\ \Leftrightarrow\ x\notin B $$
が成り立つから、
$$ x\in A\cap B^c\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land\ x\notin B) $$
が成り立つ。
以上より任意の $x\in U$ について
$$ x\in A\setminus B\ \Leftrightarrow\ x\in A\cap B^c $$
が成り立つので、集合の等号の定義より
$$ A\setminus B=A\cap B^c $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

集合の等号の定義より、任意の$x\in U$について
$$ x\in(A\setminus B)^c\ \Leftrightarrow\ x\in A^c\cup B $$
を示せばよい。
任意の$x\in U$をとる。補集合の定義より
$$ x\in(A\setminus B)^c\ \Leftrightarrow\ x\notin A\setminus B $$
が成り立つ。
また、差集合の定義より
$$ x\in A\setminus B\ \Leftrightarrow\ x\in A\land x\notin B $$
であるから、
$$ x\notin A\setminus B\ \Leftrightarrow\ \neg(x\in A\land x\notin B) $$
が成り立つ。
ここで命題論理のド・モルガンの法則より
$$ \neg(x\in A\land x\notin B)\ \Leftrightarrow\ x\notin A\lor x\in B $$
が成り立つ。
さらに、補集合の定義より
$$ x\notin A\ \Leftrightarrow\ x\in A^c $$
であるから、
$$ x\notin A\lor x\in B\ \Leftrightarrow\ x\in A^c\lor x\in B $$
が成り立つ。
また、和集合の定義より
$$ x\in A^c\cup B\ \Leftrightarrow\ x\in A^c\lor x\in B $$
であるから、
$$ x\in A^c\lor x\in B\ \Leftrightarrow\ x\in A^c\cup B $$
が成り立つ。
以上をつなげると、任意の$x\in U$について
$$ x\in(A\setminus B)^c\ \Leftrightarrow\ x\in A^c\cup B $$
が成り立つ。
従って、集合の等号の定義より
$$ (A\setminus B)^c=A^c\cup B $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

集合の等号の定義より、任意の$x\in U$について
$$ x\in A^c\setminus B^c\Leftrightarrow x\in B\setminus A $$
を示せばよい。
任意の$x\in U$をとる。

1. $\ x\in A^c\setminus B^c\Rightarrow x\in B\setminus A$を示す。
   $x\in A^c\setminus B^c$を仮定する。
   差集合の定義より
   $$ x\in A^c\setminus B^c\Leftrightarrow x\in A^c\land x\notin B^c $$
   であるから、$x\in A^c$かつ$x\notin B^c$が成り立つ。
   補集合の定義より、$x\in A^c\Leftrightarrow x\notin A$であるから、$x\notin A$が従う。
   次に$x\in B$を示す。
   背理法により$x\notin B$と仮定する。
   補集合の定義より、$x\in B^c\Leftrightarrow x\notin B$であるから、$x\in B^c$が成り立つ。
   これは$x\notin B^c$に矛盾する。
   よって$x\notin B$は成り立たず、$x\in B$が成り立つ。
   したがって$x\in B$かつ$x\notin A$が成り立つので、差集合の定義より
   $$ x\in B\setminus A $$
   が従う。
2. $\ x\in B\setminus A\Rightarrow x\in A^c\setminus B^c$を示す。
   $x\in B\setminus A$を仮定する。
   差集合の定義より
   $$ x\in B\setminus A\Leftrightarrow x\in B\land x\notin A $$
   であるから、$x\in B$かつ$x\notin A$が成り立つ。
   補集合の定義より、$x\notin A\Leftrightarrow x\in A^c$であるから、$x\in A^c$が従う。
   次に$x\notin B^c$を示す。
   背理法により$x\in B^c$と仮定する。
   補集合の定義より、$x\in B^c\Leftrightarrow x\notin B$であるから、$x\notin B$が成り立つ。
   これは$x\in B$に矛盾する。
   よって$x\in B^c$は成り立たず、$x\notin B^c$が成り立つ。
   したがって$x\in A^c$かつ$x\notin B^c$が成り立つので、差集合の定義より
   $$ x\in A^c\setminus B^c $$
   が従う。
   $ $

-以上より(1.2.)より、任意の$x\in U$について
$$ x\in A^c\setminus B^c\Leftrightarrow x\in B\setminus A $$
が成り立つ。従って集合の等号の定義より
$$ A^c\setminus B^c=B\setminus A $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

まず$1.)$を示す。集合の等号の定義より、任意の $x\in U$ について
$$ x\in (A\cup B)^c\ \Leftrightarrow\ x\in A^c\cap B^c $$
を示せばよい。
$ $
任意の $x\in U$ をとる。すると
$$ \begin{align} x\in (A\cup B)^c &\iff x\notin A\cup B &&\because\text{補集合の定義}\\ &\iff \lnot\bigl(x\in A\cup B\bigr)\\ &\iff \lnot\bigl(x\in A\lor x\in B\bigr) &&\because\text{和集合の定義}\\ &\iff \lnot(x\in A)\land \lnot(x\in B) &&\because\lnot(P\lor Q)\ \Leftrightarrow\ \lnot P\land\lnot Q\\ &\iff x\notin A\land x\notin B\\ &\iff x\in A^c\land x\in B^c &&\because\text{補集合の定義と }x\in U\\ &\iff x\in A^c\cap B^c &&\because\text{共通部分の定義} \end{align} $$
が成り立つ。よって任意の $x\in U$ について $x\in (A\cup B)^c\Leftrightarrow x\in A^c\cap B^c$ が成り立つ。従って集合の等号の定義より
$$ (A\cup B)^c=A^c\cap B^c $$
が成り立つ。
$$ \Box$$
$ $
次に$2.)$を示す。集合の等号の定義より、任意の $x\in U$ について
$$ x\in (A\cap B)^c\ \Leftrightarrow\ x\in A^c\cup B^c $$
を示せばよい。
$ $
任意の $x\in U$ をとる。すると
$$ \begin{align} x\in (A\cap B)^c &\iff x\notin A\cap B &&\because\text{補集合の定義}\\ &\iff \lnot\bigl(x\in A\cap B\bigr)\\ &\iff \lnot\bigl(x\in A\land x\in B\bigr) &&\because\text{共通部分の定義}\\ &\iff \lnot(x\in A)\lor \lnot(x\in B) &&\because\lnot(P\land Q)\ \Leftrightarrow\ \lnot P\lor\lnot Q\\ &\iff x\notin A\lor x\notin B\\ &\iff x\in A^c\lor x\in B^c &&\because\text{補集合の定義と }x\in U\\ &\iff x\in A^c\cup B^c &&\because\text{和集合の定義} \end{align} $$
が成り立つ。よって任意の $x\in U$ について $x\in (A\cap B)^c\Leftrightarrow x\in A^c\cup B^c$ が成り立つ。従って集合の等号の定義より
$$ (A\cap B)^c=A^c\cup B^c $$
が成り立つ。
$$ \Box$$