Al-Salam-Chihara多項式の母関数
$x=\cos\theta$とする. Al-Salam-Chihara多項式は
\begin{align}
Q_n(x;a,b|q):=a^{-n}(ab;q)_n\Q32{q^{-n},ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{ab,0}q
\end{align}
によって定義される. 今回はこの多項式の以下の母関数表示を示す.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(c;q)_n}{(q,ab;q)_n}Q_n(x;a,b|q)t^n&=\frac{(ab/c,cte^{i\theta},cte^{-i\theta};q)_{\infty}}{(ab,te^{i\theta},te^{-i\theta};q)_{\infty}}\Q32{ct/a,ct/b,c}{cte^{i\theta},cte^{-i\theta}}{\frac{ab}{c}}\\ &=\frac{(c,at,bt;q)_{\infty}}{(ab,te^{i\theta},te^{-i\theta};q)_{\infty}}\Q32{ab/c,te^{i\theta},te^{-i\theta}}{at,bt}{c}\\ &=\frac{(at,ct/a;q)_{\infty}}{(te^{i\theta},te^{-i\theta};q)_{\infty}}\Q32{ab/c,ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{ab,at}{\frac{ct}a} \end{align}
$q$積分を
\begin{align}
\int_a^bf(t)\,d_qt:=\sum_{0\leq n}(bq^nf(bq^n)-aq^nf(aq^n))
\end{align}
と定義する.
前の記事
で示した表示
\begin{align}
Q_n(x;a,b|q)&=\frac{2i\sin\theta (ae^{i\theta},ae^{-i\theta},be^{i\theta},be^{-i\theta};q)_{\infty}(ab;q)_n}{(q,ab,e^{2i\theta},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}\frac{(e^{i\theta}uq,e^{-i\theta}uq;q)_{\infty}}{(au,bu;q)_{\infty}}u^n\,d_qu
\end{align}
と$q$二項定理を用いると,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(c;q)_n}{(q,ab;q)_n}Q_n(x;a,b|q)t^n\\
&=\frac{2i\sin\theta (ae^{i\theta},ae^{-i\theta},be^{i\theta},be^{-i\theta};q)_{\infty}}{(q,ab,e^{2i\theta},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}\frac{(e^{i\theta}uq,e^{-i\theta}uq;q)_{\infty}}{(au,bu;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(c;q)_n}{(q;q)_n}(tu)^n\,d_qu\\
&=\frac{2i\sin\theta (ae^{i\theta},ae^{-i\theta},be^{i\theta},be^{-i\theta};q)_{\infty}}{(q,ab,e^{2i\theta},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}\frac{(e^{i\theta}uq,e^{-i\theta}uq,ctu;q)_{\infty}}{(au,bu,tu;q)_{\infty}}\,d_qu
\end{align}
と表される. ここで, non-terminating $q$-Whippleの変換公式の系(
前の記事
の系2)より,
\begin{align}
&\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}\frac{(e^{i\theta}uq,e^{-i\theta}uq,ctu;q)_{\infty}}{(au,bu,tu;q)_{\infty}}\,d_qu\\
&=e^{-i\theta}\frac{(cte^{i\theta},cte^{-i\theta},e^{2i\theta},e^{-2i\theta}q,ab/c,q;q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},ae^{-i\theta},be^{i\theta},be^{-i\theta},te^{i\theta},te^{-i\theta};q)_{\infty}}\Q32{ct/a,ct/b,c}{cte^{i\theta},cte^{-i\theta}}{\frac{ab}{c}}\\
&=\frac 1{2i\sin\theta}\frac{(cte^{i\theta},cte^{-i\theta},e^{2i\theta},e^{-2i\theta},ab/c,q;q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},ae^{-i\theta},be^{i\theta},be^{-i\theta},te^{i\theta},te^{-i\theta};q)_{\infty}}\Q32{ct/a,ct/b,c}{cte^{i\theta},cte^{-i\theta}}{\frac{ab}{c}}
\end{align}
であるから, 1つ目の表示
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(c;q)_n}{(q,ab;q)_n}Q_n(x;a,b|q)t^n&=\frac{(ab/c,cte^{i\theta},cte^{-i\theta};q)_{\infty}}{(ab,te^{i\theta},te^{-i\theta};q)_{\infty}}\Q32{ct/a,ct/b,c}{cte^{i\theta},cte^{-i\theta}}{\frac{ab}{c}}
\end{align}
を得る.
Sears-Thomaeの変換公式
より,
\begin{align}
\Q32{ct/a,ct/b,c}{cte^{i\theta},cte^{-i\theta}}{\frac{ab}{c}}&=\frac{(c,at,bt;q)_{\infty}}{(cte^{i\theta},cte^{-i\theta},ab/c;q)_{\infty}}\Q32{te^{i\theta},te^{-i\theta},ab/c}{at,bt}{c}
\end{align}
であるから, 2つ目の表示
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(c;q)_n}{(q,ab;q)_n}Q_n(x;a,b|q)t^n&=\frac{(c,at,bt;q)_{\infty}}{(ab,te^{i\theta},te^{-i\theta};q)_{\infty}}\Q32{ab/c,te^{i\theta},te^{-i\theta}}{at,bt}{c}
\end{align}
を得る. さらに, Sears-Thomaeの変換公式を用いることにより,
\begin{align}
\Q32{ab/c,te^{i\theta},te^{-i\theta}}{at,bt}{c}&=\frac{(ct/a,ab;q)_{\infty}}{(bt,c;q)_{\infty}}\Q32{ab/c,ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{at,ab}{\frac{ct}a}
\end{align}
であるから, となって3つ目の表示も得られる.
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(c;q)_n}{(q,ab;q)_n}Q_n(x;a,b|q)t^n&=\frac{(at,ct/a;q)_{\infty}}{(te^{i\theta},te^{-i\theta};q)_{\infty}}\Q32{ab/c,ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{at,ab}{\frac{ct}a}
\end{align}
2つ目の表示において特に$c=ab$として以下の系を得る.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{t^n}{(q;q)_n}Q_n(x;a,b|q)&=\frac{(at,bt;q)_{\infty}}{(te^{i\theta},te^{-i\theta};q)_{\infty}} \end{align}
これは 前の記事 においても証明を与えたものである.
