q-Mellin-Barnes積分から従う三角関数の積分
Askey-Wilson積分
$|a|,|b|,|c|,|d|<1$とする.
Askey-Wilson積分
は
\begin{align}
&\int_{0}^{\pi}\prod_{0\leq n}\frac{1-2q^n\cos 2\theta+q^{2n}}{(1-2aq^{n}\cos\theta+a^2q^{2n})(1-2bq^{n}\cos\theta+b^2q^{2n})(1-2cq^{n}\cos\theta+c^2q^{2n})(1-2dq^{n}\cos\theta+d^2q^{2n})}\,d\theta\\
&=\frac{2\pi(abcd;q)_{\infty}}{(q,ab,ac,ad,bc,bd,cd;q)_{\infty}}
\end{align}
と表される. 今回はこのようなタイプの$q$-Mellin-Barnes積分において$q=0$とすることを考える. Askey-Wilson積分の場合, $q=0$とすると$(a;0)_{\infty}=1-a$であることから以下を得る.
\begin{align}
&\int_{0}^{\pi}\frac{2-2\cos 2\theta}{(1-2a\cos\theta+a^2)(1-2b\cos\theta+b^2)(1-2c\cos\theta+c^2)(1-2d\cos\theta+d^2)}\,d\theta\\
&=\frac{2\pi(1-abcd)}{(1-ab)(1-ac)(1-ad)(1-bc)(1-bd)(1-cd)}
\end{align}
両辺を4で割って半角の公式を用いると以下を得る.
$|a|,|b|,|c|,|d|<1$のとき,
\begin{align}
&\int_{0}^{\pi}\frac{\sin^2\theta}{(1-2a\cos\theta+a^2)(1-2b\cos\theta+b^2)(1-2c\cos\theta+c^2)(1-2d\cos\theta+d^2)}\,d\theta\\
&=\frac{\pi(1-abcd)}{2(1-ab)(1-ac)(1-ad)(1-bc)(1-bd)(1-cd)}
\end{align}
が成り立つ.
Nassrallah-Rahman積分
次に, Askey-Wilson積分の一般化である
Nassrallah-Rahman積分
\begin{align}
&\int_0^{\pi}\prod_{0\leq n}\frac{(1-2q^n\cos 2\theta+q^{2n})(1-2Atq^n\cos\theta+A^2t^2 q^{2n})}{(1-2aq^{n}\cos\theta+a^2q^{2n})(1-2bq^{n}\cos\theta+b^2q^{2n})(1-2cq^{n}\cos\theta+c^2q^{2n})(1-2dq^{n}\cos\theta+d^2q^{2n})(1-2tq^{n}\cos\theta+t^2q^{2n})}\,d\theta\\
&=\frac{2\pi(abcd;q)_{\infty}}{(q,ab,ac,ad,bc,bd,cd;q)_{\infty}}\frac{(acdt,Aat,Act,Adt;q)_{\infty}}{(Aacdt,at,ct,dt;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\Q87{Aacdt/q,q\sqrt{Aacdt/q},-q\sqrt{Aacdt/q},At/b,A,ac,ad,cd}{\sqrt{Aacdt/q},-\sqrt{Aacdt/q},abcd,acdt,Aat,Adt,Act}{bt}
\end{align}
でも同じことを試してみる. ${}_8\phi_7$のパラメーターの分母に$q$が含まれていることが要注意であるが,
\begin{align}
&\Q87{Aacdt/q,q\sqrt{Aacdt/q},-q\sqrt{Aacdt/q},At/b,A,ac,ad,cd}{\sqrt{Aacdt/q},-\sqrt{Aacdt/q},abcd,acdt,Aat,Adt,Act}{bt}\\
&=1+\sum_{0< n}\frac{1-Aacdtq^{2n-1}}{1-Aacdt/q}\frac{(Aacdt/q,At/b,A,ac,ad,cd;q)_n}{(q,abcd,acdt,Aat,Adt,Act;q)_n}(bt)^n\\
&=1+\sum_{0< n}\frac{(1-Aacdtq^{2n-1})(Aacdt;q)_{n-1}(At/b,A,ac,ad,cd;q)_n}{(q,abcd,acdt,Aat,Adt,Act;q)_n}(bt)^n\\
&\to 1+\frac{(1-At/b)(1-A)(1-ac)(1-ad)(1-cd)}{(1-abcd)(1-acdt)(1-Aat)(1-Act)(1-Adt)}\left(bt+(1-Aacdt)\sum_{1< n}(bt)^n\right)\qquad q\to 0\\
&=1+bt\frac{(1-At/b)(1-A)(1-ac)(1-ad)(1-cd)}{(1-abcd)(1-acdt)(1-Aat)(1-Act)(1-Adt)}\left(1+bt\frac{1-Aacdt}{1-bt}\right)\\
&=1+bt\frac{(1-At/b)(1-A)(1-ac)(1-ad)(1-cd)(1-Aabcdt^2)}{(1-abcd)(1-acdt)(1-Aat)(1-Act)(1-Adt)(1-bt)}
\end{align}
となる. よって,
\begin{align}
&\int_0^{\pi}\frac{(1-2At\cos\theta+A^2t^2)\sin^2\theta}{(1-2a\cos\theta+a^2)(1-2b\cos\theta+b^2)(1-2c\cos\theta+c^2)(1-2d\cos\theta+d^2)(1-2t\cos\theta+t^2)}\,d\theta\\
&=\frac{\pi(1-abcd)}{2(1-ab)(1-ac)(1-ad)(1-bc)(1-bd)(1-cd)}\frac{(1-acdt)(1-Aat)(1-Act)(1-Adt)}{(1-Aacdt)(1-at)(1-ct)(1-dt)}\\
&\qquad\cdot\left(1+bt\frac{(1-At/b)(1-A)(1-ac)(1-ad)(1-cd)(1-Aabcdt^2)}{(1-abcd)(1-acdt)(1-Aat)(1-Act)(1-Adt)(1-bt)}\right)\\
&=\frac{\pi}{2(1-ab)(1-ac)(1-ad)(1-bc)(1-bd)(1-cd)(1-at)(1-bt)(1-ct)(1-dt)(1-Aacdt)}\\
&\qquad\cdot\left((1-abcd)(1-acdt)(1-Aat)(1-Act)(1-Adt)(1-bt)+bt(1-At/b)(1-A)(1-ac)(1-ad)(1-cd)(1-Aabcdt^2)\right)
\end{align}
ここで, $t\to e,At\to f$と文字を置き換えると,
\begin{align}
&\int_0^{\pi}\frac{(1-2f\cos\theta+f^2)\sin^2\theta}{(1-2a\cos\theta+a^2)(1-2b\cos\theta+b^2)(1-2c\cos\theta+c^2)(1-2d\cos\theta+d^2)(1-2e\cos\theta+e^2)}\,d\theta\\
&=\frac{\pi}{2(1-ab)(1-ac)(1-ad)(1-bc)(1-bd)(1-cd)(1-ae)(1-be)(1-ce)(1-de)(1-acdf)}\\
&\qquad\cdot\left((1-abcd)(1-acde)(1-af)(1-cf)(1-df)(1-be)+(b-f)(e-f)(1-ac)(1-ad)(1-cd)(1-abcdef)\right)
\end{align}
ここで, 多項式の部分は$f$に関して整理すると,
\begin{align}
&(1-abcd)(1-acde)(1-af)(1-cf)(1-df)(1-be)+(b-f)(e-f)(1-ac)(1-ad)(1-cd)(1-abcdef)\\
&=(1-acdf)(A-Bf+Af^2)\\
A&:=1+abcde(a+b+c+d+e-a^{-1}-b^{-1}-c^{-1}-d^{-1}-e^{-1})-(abcde)^2\\
B&:=a+b+c+d+e-abc-abd-abe-acd-ace-ade-bcd-bce-bde-cde\\
&\qquad+abcde(ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de)-(abcde)^2(a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}+d^{-1}+e^{-1})
\end{align}
となるようである. よって以下を得る.
$|a|,|b|,|c|,|d|,|e|<1$のとき,
\begin{align}
&\int_0^{\pi}\frac{(1-2f\cos\theta+f^2)\sin^2\theta}{(1-2a\cos\theta+a^2)(1-2b\cos\theta+b^2)(1-2c\cos\theta+c^2)(1-2d\cos\theta+d^2)(1-2e\cos\theta+e^2)}\,d\theta\\
&=\frac{\pi(A+Bf+Af^2)}{2(1-ab)(1-ac)(1-ad)(1-ae)(1-bc)(1-bd)(1-be)(1-cd)(1-ce)(1-de)}
\end{align}
が成り立つ. ここで,
\begin{align}
A&:=1+abcde(a+b+c+d+e-a^{-1}-b^{-1}-c^{-1}-d^{-1}-e^{-1})-(abcde)^2\\
B&:=a+b+c+d+e-abc-abd-abe-acd-ace-ade-bcd-bce-bde-cde\\
&\qquad+abcde(ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de)-(abcde)^2(a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}+d^{-1}+e^{-1})
\end{align}
である.
$f=abcde$の場合, Nassrallah-Rahman積分は以下のような積の形で表される
\begin{align}
&\int_0^{\pi}\prod_{0\leq n}\frac{(1-2q^n\cos 2\theta+q^{2n})(1-2abcdeq^n\cos\theta+(abcde)^2 q^{2n})}{(1-2aq^{n}\cos\theta+a^2q^{2n})(1-2bq^{n}\cos\theta+b^2q^{2n})(1-2cq^{n}\cos\theta+c^2q^{2n})(1-2dq^{n}\cos\theta+d^2q^{2n})(1-2tq^{n}\cos\theta+t^2q^{2n})}\,d\theta\\
&=\frac{2\pi(abcd,abce,abde,acde,bcde;q)_{\infty}}{(q,ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de;q)_{\infty}}
\end{align}
よってここから先ほどと全く同様に以下を得る.
$|a|,|b|,|c|,|d|,|e|<1$のとき,
\begin{align}
&\int_0^{\pi}\frac{(1-2abcde\cos\theta+(abcde)^2)\sin^2\theta}{(1-2a\cos\theta+a^2)(1-2b\cos\theta+b^2)(1-2c\cos\theta+c^2)(1-2d\cos\theta+d^2)(1-2e\cos\theta+e^2)}\,d\theta\\
&=\frac{\pi(1-abcd)(1-abce)(1-abde)(1-acde)(1-bcde)}{2(1-ab)(1-ac)(1-ad)(1-ae)(1-bc)(1-bd)(1-be)(1-cd)(1-ce)(1-de)}
\end{align}
が成り立つ.
$e=0$とすると定理1を得ることができる. この積分をNassrallah-Rahman積分を用いずにより直接的に示すのはそれほど簡単ではなさそうである.
Askey-Royによる$q$-Barnesの補題
以下, $e$を自然対数の底とする.
Askey-Royによる$q$-Barnesの補題
は$|a|,|b|,|c|,|d|<1$として,
\begin{align}
\int_{-\pi}^{\pi}\frac{(wce^{-i\theta},e^{i\theta}q/wc,we^{i\theta}/d,de^{-i\theta}q/w;q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{-i\theta},de^{-i\theta};q)_{\infty}}\,d\theta&=\frac{2\pi(w,q/w,wc/d,dq/wc,abcd;q)_{\infty}}{(q,ac,ad,bc,bd;q)_{\infty}}
\end{align}
である. $q=0$とすると, 以下を得る.
$|a|,|b|,|c|,|d|<1$のとき,
\begin{align}
\int_{-\pi}^{\pi}\frac{(1-wce^{-i\theta})(1-we^{i\theta}/d)}{(1-ae^{i\theta})(1-be^{i\theta})(1-ce^{-i\theta})(1-de^{-i\theta})}\,d\theta&=\frac{2\pi(1-w)(1-wc/d)(1-abcd)}{(1-ac)(1-ad)(1-bc)(1-bd)}
\end{align}
が成り立つ.
Gasperによる$q$-Barnesの補題
前の記事
で示したように, Askey-Royによる$q$-Barnesの補題はGasperによって一般化されている. $|a|,|b|,|c|,|\alpha|,|\beta|<1, \delta=abc\alpha\beta$として, それは以下のようになる.
\begin{align}
&\int_{-\pi}^{\pi}\frac{(\delta e^{i\theta},e^{i\theta}q/\gamma,\gamma e^{i\theta}/\alpha\beta,\gamma e^{-i\theta},\alpha\beta e^{-i\theta }q/\gamma;q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta},\alpha e^{-i\theta},\beta e^{-i\theta};q)_{\infty}}\,d\theta\\
&=\frac{2\pi(\gamma/\alpha,\alpha q/\gamma,\gamma/\beta,\beta q/\gamma,\delta/a,\delta/b,\delta/c;q)_{\infty}}{(q,\alpha a,\alpha b,\alpha c,\beta a,\beta b,\beta c;q)_{\infty}}
\end{align}
ここで, $q=0$とすると以下を得る.
$|a|,|b|,|c|,|\alpha|,|\beta|<1, \delta=abc\alpha\beta$のとき,
\begin{align}
&\int_{-\pi}^{\pi}\frac{(1-\delta e^{i\theta})(1-\gamma e^{i\theta}/\alpha\beta)(1-\gamma e^{-i\theta})}{(1-ae^{i\theta})(1-be^{i\theta})(1-ce^{i\theta})(1-\alpha e^{-i\theta})(1-\beta e^{-i\theta})}\,d\theta\\
&=\frac{2\pi(1-\gamma/\alpha)(1-\gamma/\beta)(1-\delta/a)(1-\delta/b)(1-\delta/c)}{(1-\alpha a)(1-\alpha b)(1-\alpha c)(1-\beta a)(1-\beta b)(1-\beta c)}
\end{align}
が成り立つ.
まとめ
他にもこのようなタイプの$q$-Mellin-Barnes積分があれば, $q=0$とすることによって三角関数の積分を得ることができる. 逆にこのような三角関数の積分が綺麗に積に分解できるような場合を探すことによって, 新たに$q$-Mellin-Barnes積分が積表示を持つようなものが見つかるかもしれないという期待ができる.
