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部分の和と全体

群の場合：その1

$G$ を有限群とする．このとき，任意の真部分群 $H ⪇ G$ に対して
$⋃_{g \in G} g H g^{- 1} \neq G$
が成り立つ．

$H < G$ の正規化群を $N$ とおくと，
$# {g H g^{- 1} ∣ g \in G} = \frac{# G}{# N}$
であるから（cf. action例34），
$\begin{aligned} # (⋃_{g \in G} g H g^{- 1}) & \leq 1 + \frac{# G}{# N} (# H - 1) \\ \leq 1 + \frac{# G}{# H} (# H - 1) \\ = 1 + # G (1 - \frac{1}{# H}) \\ < 1 + # G (1 - \frac{1}{# G}) \\ = # G \end{aligned}$
が成り立つ．

無限群 $G : = GL (n; C)$ とその真部分群
$H : = {g \in G ∣ \forall i > j, g_{i, j} = 0}$
とに対して，
$⋃_{g \in G} g H g^{- 1} = G$
が成り立つ（cf. arima定理(6.3.4)）．

$G$ を群とする．このとき，指数有限な任意の真部分群 $H ⪇ G$ に対して
$⋃_{g \in G} g H g^{- 1} \neq G$
が成り立つ．

群 $G$ による集合 $G / H$ への作用 $α : G \to Sym (G / H)$ を考える（cf. action例21）．

仮定より $Sym (G / H)$ は有限群であるから，準同型定理より， $G / Ker α$ は有限群である．
$Ker α \subset H$ が成り立つ．実際， $g \in Ker α$ とすると，
$H = α (g) (H) = g H$
より， $g \in H$ を得る．
よって，有限群 $G / Ker α$ の真部分群 $H / Ker α$ に対して，finより，
$⋃_{\bar{g} \in G / Ker α} \bar{g} (H / Ker α) {\bar{g}}^{- 1} \neq G / Ker α$
が成り立つ．
そこで， $g_{0} \in G$ であって
$g_{0} Ker α \notin ⋃_{\bar{g} \in G / Ker α} \bar{g} (H / Ker α) {\bar{g}}^{- 1} = ⋃_{g \in G} (g H g^{- 1}) / Ker α$
なるものを取ると，
$g_{0} \notin ⋃_{g \in G} g H g^{- 1}$
が成り立つ．

群の場合：その2

$G$ を群とする．このとき，任意の真部分群 $H, K ⪇ G$ に対して
$H \cup K \neq G$
が成り立つ．

もし $H \cup K = G$ となったとすると， $H ⊄ K, K ⊄ H$ であるから
$h \in H ∖ K, k \in K ∖ H$
が取れるが，
$h k \in G = H \cup K$
より

$h k \in H$ のとき， $k = h^{- 1} (h k) \in H$ ;
$h k \in K$ のとき， $h = (h k) k^{- 1} \in K$ ;

となって，不合理である．

$G$ を群とする．このとき次は同値である：

$G$ は（いくつかの）真部分群の合併に等しい；
$G$ は巡回群ではない．

(i) $⟹$ (ii)

仮定より
$G = ⋃ {H ∣ H ⪇ G}$
となるので，任意の $g \in G$ に対して
$g \in {}^{\exists}H ⪇ G ⇝ ⟨ g ⟩ \neq G$
が成り立つ．

(ii) $⟹$ (i)

仮定より，各 $g \in G$ に対して $⟨ g ⟩ < G$ は真部分群であり，明らかに
$G = ⋃_{g \in G} ⟨ g ⟩$
が成り立つ．

（非巡回）群 $(Z / 2 Z) \times (Z / 2 Z)$ は，3つの真部分群
${(0, 0), (1, 0)}, {(0, 0), (0, 1)}, {(0, 0), (1, 1)}$
の合併に等しい．

線型空間の場合

$n \in Z_{\geq 2}$ とし， $K$ を $# K \geq n$ を満たす体， $V$ を $K$ 線型空間とする．このとき，任意の真部分空間 $W_{1}, \dots, W_{n} ⊊ V$ に対して
$⋃_{i = 1}^{n} W_{i} \neq V$
が成り立つ．

各 $i \in {1, \dots, n}$ に対して
$W_{i} ⊄ ⋃_{j \neq i} W_{j}$
が成り立つとしてよい．そこで， $v_{0} \in V ∖ W_{1}$ および
$v_{1} \in W_{1} ∖ ⋃_{j = 2}^{n} W_{j}$
を取り，部分集合
$L : = {v_{0} + v_{1} s ∣ s \in K}$
を考える．このとき
$L \cap W_{1} = \emptyset$
であり，各 $j \in {2, \dots, n}$ に対して，
$v_{0} + v_{1} s = v_{0} + v_{1} t \in W_{j} ⟹ s = t$
より，
$# (L \cap W_{j}) \leq 1$
となる．よって
$# (L \cap ⋃_{i = 1}^{n} W_{i}) \leq n - 1 < n \leq # L$
が成り立つので，
$⋃_{i = 1}^{n} W_{i} = V$
とはなり得ない．

$K : = Z / 2 Z$ 上の線型空間 $K^{2}$ は，3つの真部分空間
${(0, 0), (1, 0)}, {(0, 0), (0, 1)}, {(0, 0), (1, 1)}$
の合併に等しい．

$R$ 上の線型空間 $R [t]$ は，可算無限個の真部分空間
${f \in R [t] ∣ \deg f \leq n}, n \in N$
の合併に等しい．

Banach空間の場合

$E$ をBanach空間とする．このとき，任意の真閉部分空間族 $(F_{n})_{n \in N}$ に対して
$⋃_{n \in N} F_{n} \neq E$
が成り立つ．

$E$ の任意の真部分空間 $F ⊊ E$ に対して $Int (F) = \emptyset$ が成り立つことが示せれば，Baireの範疇定理より結論を得る（cf. baire定理3系3（とその上の注意））．

そこで，部分空間 $F \subset E$ が $Int (F) \neq \emptyset$ を満たすとし $y \in Int (F)$ を取ると， $r \in R_{> 0}$ であって
${x \in E ∣ ∥ x - y ∥ < r} \subset F$
を満たすものが存在する．このとき，任意の $x \in E ∖ {0}$ に対して，
$\bar{x} : = y + \frac{r}{2 ∥ x ∥} x \in E$
とおくと $∥ \bar{x} - y ∥ < r$ より $\bar{x} \in F$ となるので，
$x = \frac{2 ∥ x ∥}{r} (\bar{x} - y) \in F$
が成り立つ．よって $F = E$ を得る．