交換子作用と3点交換
本記事はrubikの「数学的準備：交換子による作用について」を書き改めて独立させたものです．
交換子による作用
以下，$G$を群とし$X$を右$G$集合とする．
台と擬台
各$g \in G$に対して，
$$
X^{g} := \{x \in X \mid x \cdot g = x\}$$
を$g$の不動点集合といい，
$$
X_{g} := X \smallsetminus X^{g} = \{x \in X \mid x \cdot g \neq x\}$$
を$g$の台という．
各$(g,h) \in G \times G$に対して，
$$
X_{g,h} := X_{g} \cap X_{h} = X \smallsetminus (X^{g} \cup X^{h})$$
とおき，
$$
X(g,h) := X_{g,h} \cup (X_{g,h} \cdot g^{-1}) \cup (X_{g,h} \cdot h^{-1})$$
を$(g,h)$の擬台という（ことにする）．
- $X_{g,h} = X_{h,g}$より
$$ X(g,h) = X(h,g)$$
が成り立つ． - action定理1系1より
$$ X^{g} = X^{\langle g \rangle} = X^{g^{-1}}$$
となるので，
$$ X_{g} = X_{g^{-1}}\ \leadsto\ X_{g,h} = X_{g^{\pm 1},h^{\pm 1}}$$
が成り立つ． - 任意の部分集合$Y \subset X$に対して
$$ (Y \cap X^{g}) \cdot g^{\pm 1} = Y \cap X^{g}$$
が成り立つ．とくに$X^{g} \cdot g = X^{g}$となるので
$$ X_{g} \cdot g = (X \cdot g) \smallsetminus (X^{g} \cdot g) = X \smallsetminus X^{g} = X_{g}$$
が成り立つ．
任意の$g, h \in G$に対して次が成り立つ：
- $X^{g} \cap X_{g,h} = \varnothing$;
- $X^{g} \cap (X_{g,h} \cdot g^{-1}) = \varnothing$;
- $(X_{g,h} \cdot g^{-1}) \smallsetminus X_{g,h} = (X_{g,h} \cdot g^{-1}) \cap X^{h}$;
- $X_{g,h} \smallsetminus (X_{g,h} \cdot h) = X_{g,h} \smallsetminus (X_{g} \cdot h)$;
- $X_{g} \smallsetminus (X_{g,h} \cdot g^{-1}) \subset X^{h} \cdot g^{-1}$;
- $X_{g} \cap X^{h} \subset X_{g^{-1}} \cdot h^{-1}$.
- 定義より
$$ X^{g} \cap X_{g,h} \subset X^{g} \cap X_{g} = \varnothing$$
が成り立つ． - (1)より
$$ X^{g} \cap (X_{g,h} \cdot g^{-1}) = (X^{g} \cap X_{g,h}) \cdot g^{-1} \textcolor{orange}{=} \varnothing$$
が成り立つ． - (2)より
\begin{align} (X_{g,h} \cdot g^{-1}) \smallsetminus X_{g,h} &= (X_{g,h} \cdot g^{-1}) \cap (X \smallsetminus X_{g,h})\\ &= (X_{g,h} \cdot g^{-1}) \cap (X^{g} \cup X^{h})\\ &\textcolor{orange}{=} (X_{g,h} \cdot g^{-1}) \cap X^{h}\\ \end{align}
が成り立つ． - (3)より
\begin{align} X_{g,h} \smallsetminus (X_{g,h} \cdot h) &= ((X_{h,g} \cdot h^{-1}) \smallsetminus X_{h,g}) \cdot h\\ &\textcolor{orange}{=} ((X_{h,g} \cdot h^{-1}) \cap X^{g}) \cdot h\\ &= X_{h,g} \cap (X \smallsetminus (X_{g} \cdot h))\\ &= X_{g,h} \smallsetminus (X_{g} \cdot h) \end{align}
が成り立つ． - 台の定義より
\begin{align} X_{g} \smallsetminus (X_{g,h} \cdot g^{-1}) &= (X_{g} \smallsetminus X_{g,h}) \cdot g^{-1}\\ &= (X_{g} \smallsetminus X_{h}) \cdot g^{-1}\\ &\subset (X \smallsetminus X_{h}) \cdot g^{-1}\\ &= X^{h} \cdot g^{-1} \end{align}
が成り立つ． - $X^{h} \cdot h^{-1} = X^{h}$より
$$ X_{g} \cap X^{h} \textcolor{orange}{=} (X_{g} \cap X^{h}) \cdot h^{-1} \subset X_{g} \cdot h^{-1} = X_{g^{-1}} \cdot h^{-1}$$
を得る．
各$(g,h) \in G \times G$に対して，
$$
[g,h] := ghg^{-1}h^{-1}$$
を$(g,h)$の交換子という．
$[h,g] = [g,h]^{-1}$が成り立つ：
\begin{align}
[g,h][h,g] &= (ghg^{-1}h^{-1})(hgh^{-1}g^{-1}) = e;\\
[h,g][g,h] &= (hgh^{-1}g^{-1})(ghg^{-1}h^{-1}) = e.
\end{align}
任意の$g,h \in G$に対して次が成り立つ：
-
- $X^{g} \cap X^{h} \subset X^{[g,h]}$;
- $X^{g} \cap (X^{g} \cdot h^{-1}) \subset X^{[g,h]}$;
- $X^{h} \cap (X^{h} \cdot g^{-1}) \subset X^{[g,h]}$;
-
- $(X^{g} \cap X^{h}) \cap X(g,h) = \varnothing$;
- $(X^{g} \cap (X^{g} \cdot h^{-1})) \cap X(g,h) = \varnothing$;
- $(X^{h} \cap (X^{h} \cdot g^{-1})) \cap X(g,h) = \varnothing$.
-
- 明らか．
- $x \in \mathrm{LHS}$とすると，$x \in X^{g}$より$x \cdot g = x$であり，$x \cdot h \in X^{g} = X^{g^{-1}}$より
$$ x \cdot ghg^{-1} = (x \cdot g) \cdot hg^{-1} = (x \cdot h) \cdot g^{-1} = x \cdot h$$
であるから，
$$ x \cdot [g,h] = (x \cdot ghg^{-1}) \cdot h^{-1} = (x \cdot h) \cdot h^{-1} = x$$
が成り立つ． - 前段より
$$ \mathrm{LHS} \subset X^{[h,g]} = X^{[g,h]^{-1}} = X^{[g,h]}$$
が成り立つ．
-
- fixed-pt(1),(2)より
\begin{align} (X^{g} \cap X^{h}) \cap X(g,h) &= ((X^{g} \cap X^{h}) \cap X_{g,h}) \cup ((X^{g} \cap X^{h}) \cap (X_{g,h} \cdot g^{-1})) \cup ((X^{g} \cap X^{h}) \cap X_{g,h} \cdot h^{-1}) \\ &\subset (X^{g} \cap X_{g,h}) \cup (X^{g} \cap (X_{g,h} \cdot g^{-1})) \cup (X^{h} \cap (X_{h,g} \cdot h^{-1})) \\ &\textcolor{orange}{=} \varnothing \end{align}
が成り立つ． - fixed-pt(1),(2)より
\begin{align} (X^{g} \cap (X^{g} \cdot h^{-1})) \cap X(g,h) &\subset (X^{g} \cap X_{g,h}) \cup (X^{g} \cap (X_{g,h} \cdot g^{-1})) \cup ((X^{g} \cdot h^{-1}) \cap (X_{g,h} \cdot h^{-1})) \\ &\textcolor{orange}{=} (X^{g} \cap X_{g,h}) \cdot h^{-1} \\ &\textcolor{orange}{=} \varnothing \end{align}
が成り立つ． - 前段より
$$ (X^{h} \cap (X^{h} \cdot g^{-1})) \cap X(g,h) = (X^{h} \cap (X^{h} \cdot g^{-1})) \cap X(h,g) \textcolor{orange}{=} \varnothing$$
が成り立つ．
- fixed-pt(1),(2)より
任意の$g,h \in G$に対して
$$
X_{[g,h]} \subset X(g,h)$$
が成り立つ．
$X \smallsetminus X(g,h) \subset X^{[g,h]}$を示せばよい．
- 擬台の定義より
$$ X \smallsetminus X(g,h) = (X \smallsetminus X_{g,h}) \cap (X \smallsetminus (X_{g,h} \cdot g^{-1})) \cap (X \smallsetminus (X_{h,g} \cdot h^{-1}))$$
が成り立つ．また，
\begin{align} X \smallsetminus X_{g,h} &= X^{g} \cup X^{h} \\ &= (X^{g} \cap X^{h}) \cup (X^{g} \smallsetminus X^{h}) \cup (X^{h} \smallsetminus X^{g}) \end{align}
が成り立つ． - fixed-pt(5)より
\begin{align} (X^{g} \smallsetminus X^{h}) \cap (X \smallsetminus (X_{g,h} \cdot g^{-1})) \cap (X \smallsetminus (X_{h,g} \cdot h^{-1})) &\subset X^{g} \cap (X \smallsetminus X^{h}) \cap (X \smallsetminus (X_{h,g} \cdot h^{-1})) \\ &= X^{g} \cap (X_{h} \smallsetminus (X_{h,g} \cdot h^{-1})) \\ &\textcolor{orange}{\subset} X^{g} \cap (X^{g} \cdot h^{-1}) \end{align}
が成り立つ．同様に
$$ (X^{h} \smallsetminus X^{g}) \cap (X \smallsetminus (X_{g,h} \cdot g^{-1})) \cap (X \smallsetminus (X_{h,g} \cdot h^{-1})) \subset X^{h} \cap (X^{h} \cdot g^{-1})$$
が成り立つ． - よって，fixed-pt-of-comm(1)より，
\begin{align} X \smallsetminus X(g,h) &\subset (X^{g} \cap X^{h}) \cup (X^{g} \cap (X^{g} \cdot h^{-1})) \cup (X^{h} \cap (X^{h} \cdot g^{-1})) \\ &\textcolor{orange}{\subset} X^{[g,h]} \end{align}
が成り立つ．
fixed-pt-of-comm(2)より
$$
(X^{g} \cap X^{h}) \cup (X^{g} \cap (X^{g} \cdot h^{-1})) \cup (X^{h} \cap (X^{h} \cdot g^{-1})) \subset X \smallsetminus X(g,h)$$
が成り立つので，上の証明と合わせて
$$
X \smallsetminus X(g,h) = (X^{g} \cap X^{h}) \cup (X^{g} \cap (X^{g} \cdot h^{-1})) \cup (X^{h} \cap (X^{h} \cdot g^{-1}))$$
を得る．
交換子による作用
$g,h \in G$とする．このとき，全単射$\cdot [g,h] \colon X \to X$は，全単射
$$
X(g,h) \to X(h,g);\ x \mapsto x \cdot [g,h]$$
を誘導する．
supp-comm-qsuppより
$$
X(g,h) = (X(g,h) \cap X^{[g,h]}) \sqcup (X(g,h) \cap X_{[g,h]}) \textcolor{orange}{=} (X(g,h) \cap X^{[g,h]}) \sqcup X_{[g,h]}$$
が成り立つので，inv-set(2)と合わせて
\begin{align}
X(g,h) \cdot [g,h]
&= ((X(g,h) \cap X^{[g,h]}) \cdot [g,h]) \sqcup (X_{[g,h]} \cdot [g,h]) \\
&= (X(g,h) \cap X^{[g,h]}) \sqcup X_{[g,h]} \\
&= X(g,h) \\
&= X(h,g)
\end{align}
を得る．
$g,h \in G$とする．（天下り的だが）以下のように$X(g,h)$の部分集合を定める：
\begin{align}
X(g,h)^{1101} &:= (X_{g,h} \smallsetminus (X_{g,h} \cdot h^{-1})) \cdot g^{-1};\\
X(g,h)^{1011} &:= X_{g,h} \smallsetminus (X_{g,h} \cdot g^{-1});\\
X(g,h)^{0110} &:= (X_{g,h} \smallsetminus ((X_{g,h} \cdot h) \cup (X_{g,h} \cdot g))) \cdot h^{-1};\\
X(g,h)^{1110} &:= (((X_{g,h} \cdot hg^{-1}) \cap (X_{g,h} \cdot g^{-1})) \smallsetminus X_{g,h}) \cdot gh^{-1}g^{-1};\\
X(g,h)^{0111} &:= ((X_{g,h} \cdot gh^{-1}) \cap (X_{g,h} \cdot h^{-1})) \smallsetminus X_{g,h};\\
X(g,h)^{1111} &:= ((X_{g,h} \cdot h) \cap X_{g,h} \cap (X_{g,h} \cdot g)) \cdot h^{-1}g^{-1}.
\end{align}
$x \in X(g,h)$とすると，complement-of-qsuppより
$$
x \notin (X^{g} \cap X^{h}) \cup (X^{g} \cap (X^{g} \cdot h^{-1})) \cup (X^{h} \cap (X^{h} \cdot g^{-1}))$$
であるから，自明な関係
\begin{align}
x \in X &= X_{g} \sqcup X^{g};\\
x \cdot g \in X &= X_{h} \sqcup X^{h};\\
x \cdot gh \in X &= X_{g^{-1}} \sqcup X^{g^{-1}};\\
x \cdot ghg^{-1} \in X &= X_{h^{-1}} \sqcup X^{h^{-1}};
\end{align}
において台に属することを$1$で，不動点集合に属することを$0$で表わして並べると，ありうる列は
$$
1101,1011,0110,1110,0111,1111$$
のみであることがわかる：
- $x \notin X^{g} \cap X^{h}$より$00\ast\ast$となることはない．また，
$$ (X^{h} \cdot g^{-1}) \cap (X^{g^{-1}} \cdot h^{-1}g^{-1}) = (X^{h} \cap X^{g}) \cdot h^{-1}g^{-1} = X^{g} \cap X^{h}$$
より$\ast\ 00\ \ast$となることはない．同様に
$$ (X^{g^{-1}} \cdot h^{-1}g^{-1}) \cap (X^{h^{-1}} \cdot gh^{-1}g^{-1}) = (X^{g} \cap X^{h}) \cdot gh^{-1}g^{-1} = X^{g} \cap X^{h}$$
より$\ast\ast 00$となることはない； - $x \notin X^{g} \cap (X^{g} \cdot h^{-1})$より$010\ \ast$となることはない；
- $x \notin X^{h} \cap (X^{h} \cdot g^{-1})$より$\ast\ 0\ast0$となることはない．
$1101$
fixed-pt(6)より
\begin{align}
(X_{h} \cdot g^{-1}) \cap (X^{g^{-1}} \cdot h^{-1}g^{-1})
&= (X_{h} \cap X^{g^{-1}}) \cdot h^{-1}g^{-1} \\
&\textcolor{orange}{\subset} (X_{h^{-1}} \cdot g) \cdot h^{-1}g^{-1} \\
&= X_{h^{-1}} \cdot gh^{-1}g^{-1}
\end{align}
となるので，fixed-pt(3)より
\begin{align}
X_{g} \cap (X_{h} \cdot g^{-1}) \cap (X^{g^{-1}} \cdot h^{-1}g^{-1}) \cap (X_{h^{-1}} \cdot gh^{-1}g^{-1})
&= X_{g} \cap (X_{h} \cdot g^{-1}) \cap (X^{g^{-1}} \cdot h^{-1}g^{-1})\\
&= (X_{g} \cap X_{h} \cap (X^{g^{-1}} \cdot h^{-1})) \cdot g^{-1}\\
&= (X_{g,h} \cap (X^{g} \cdot h^{-1})) \cdot g^{-1}\\
&= ((X_{h^{-1},g} \cdot h) \cap X^{g}) \cdot h^{-1}g^{-1}\\
&\textcolor{orange}{=} ((X_{h^{-1},g} \cdot h) \smallsetminus X_{h^{-1},g}) \cdot h^{-1}g^{-1}\\
&= (X_{g,h} \smallsetminus (X_{g,h} \cdot h^{-1})) \cdot g^{-1} \\
&= X(g,h)^{1101}
\end{align}
が成り立つ．
$1011$
fixed-pt(6)より
\begin{align}
X_{g} \cap (X^{h} \cdot g^{-1})
&= (X_{g} \cap X^{h}) \cdot g^{-1} \\
&\textcolor{orange}{\subset} (X_{g^{-1}} \cdot h^{-1}) \cdot g^{-1}\\
&= X_{g^{-1}} \cdot h^{-1}g^{-1}
\end{align}
となる．また，inv-setより
$$
X^{h} \cap (X_{h^{-1}} \cdot gh^{-1}) = (X^{h} \cap (X_{h^{-1}} \cdot g)) \cdot h^{-1} = X^{h} \cap (X_{h^{-1}} \cdot g)$$
が成り立つ．よって，fixed-pt(3)より
\begin{align}
X_{g} \cap (X^{h} \cdot g^{-1}) \cap (X_{g^{-1}} \cdot h^{-1}g^{-1}) \cap (X_{h^{-1}} \cdot gh^{-1}g^{-1})
&= X_{g} \cap (X^{h} \cdot g^{-1}) \cap (X_{h^{-1}} \cdot gh^{-1}g^{-1})\\
&= X_{g} \cap (X^{h} \cdot g^{-1}) \cap X_{h^{-1}}\\
&= X_{g,h^{-1}} \cap (X^{h} \cdot g^{-1}) \\
&= ((X_{g^{-1},h} \cdot g) \cap X^{h}) \cdot g^{-1} \\
&\textcolor{orange}{=} ((X_{g^{-1},h} \cdot g) \smallsetminus X_{g,h}) \cdot g^{-1} \\
&= X_{g,h} \smallsetminus (X_{g,h} \cdot g^{-1}) \\
&= X(g,h)^{1011}
\end{align}
が成り立つ．
$0110$
fixed-pt(3)より
\begin{align}
(X^{g} \cdot h) \cap X_{g,h} \cap (X^{h} \cdot g)
&= (((X_{h,g} \cdot h^{-1}) \cap X^{g}) \cdot h) \cap (((X_{g,h} \cdot g^{-1}) \cap X^{h}) \cdot g) \\
&\textcolor{orange}{=} (((X_{h,g} \cdot h^{-1}) \smallsetminus X_{h,g}) \cdot h) \cap (((X_{g,h} \cdot g^{-1}) \smallsetminus X_{g,h}) \cdot g) \\
&= (X_{g,h} \smallsetminus (X_{g,h} \cdot h)) \cap (X_{g,h} \smallsetminus (X_{g,h} \cdot g))\\
&= X_{g,h} \smallsetminus ((X_{g,h} \cdot h) \cup (X_{g,h} \cdot g))
\end{align}
となるので，
\begin{align}
X^{g} \cap (X_{h} \cdot g^{-1}) \cap (X_{g^{-1}} \cdot h^{-1}g^{-1}) \cap (X^{h^{-1}} \cdot gh^{-1}g^{-1})
&= X^{g} \cap X_{h} \cap (X_{g^{-1}} \cdot h^{-1}) \cap (X^{h^{-1}} \cdot gh^{-1}) \\
&= ((X^{g} \cdot h) \cap X_{h,g^{-1}} \cap (X^{h^{-1}} \cdot g)) \cdot h^{-1} \\
&= ((X^{g} \cdot h) \cap X_{g,h} \cap (X^{h} \cdot g)) \cdot h^{-1} \\
&= (X_{g,h} \smallsetminus ((X_{g,h} \cdot h) \cup (X_{g,h} \cdot g))) \cdot h^{-1} \\
&= X(g,h)^{0110}
\end{align}
が成り立つ．
$1110$
fixed-pt(3)より
\begin{align}
(X_{g,h} \cdot h^{-1}) \cap (X^{h} \cdot gh^{-1})
&= ((X_{g,h} \cdot g^{-1}) \cap X^{h}) \cdot gh^{-1} \\
&\textcolor{orange}{=} ((X_{g,h} \cdot g^{-1}) \smallsetminus X_{g,h}) \cdot gh^{-1} \\
&= (X_{g,h} \cdot h^{-1}) \smallsetminus (X_{g,h} \cdot gh^{-1})
\end{align}
となるので，
\begin{align}
X_{g} \cap (X_{h} \cdot g^{-1}) \cap (X_{g^{-1}} \cdot h^{-1}g^{-1}) \cap (X^{h^{-1}} \cdot gh^{-1}g^{-1})
&= (X_{g,h} \cdot g^{-1}) \cap (X_{h,g^{-1}} \cdot h^{-1}g^{-1}) \cap (X^{h} \cdot gh^{-1}g^{-1})\\
&= (X_{g,h} \cap (X_{g,h} \cdot h^{-1}) \cap (X^{h} \cdot gh^{-1})) \cdot g^{-1} \\
&= ((X_{g,h} \cap (X_{g,h} \cdot h^{-1})) \smallsetminus (X_{g,h} \cdot gh^{-1})) \cdot g^{-1} \\
&= (((X_{g,h} \cdot hg^{-1}) \cap (X_{g,h} \cdot g^{-1})) \smallsetminus X_{g,h}) \cdot gh^{-1}g^{-1}\\
&= X(g,h)^{1110}
\end{align}
が成り立つ．
$0111$
fixed-pt(3)より
\begin{align}
X^{g} \cap (X_{h} \cdot g^{-1}) \cap (X_{g^{-1}} \cdot h^{-1}g^{-1}) \cap (X_{h^{-1}} \cdot gh^{-1}g^{-1})
&= X^{g} \cap X_{h} \cap (X_{g} \cdot h^{-1}) \cap (X_{h} \cdot gh^{-1}) \\
&= X^{g} \cap (X_{h,g} \cdot h^{-1}) \cap (X_{g,h} \cdot gh^{-1})\\
&= ((X_{h,g} \cdot h^{-1}) \cap X^{g}) \cap (X_{g,h} \cdot gh^{-1})\\
&\textcolor{orange}{=} ((X_{h,g} \cdot h^{-1}) \smallsetminus X_{h,g}) \cap (X_{g,h} \cdot gh^{-1})\\
&= ((X_{g,h} \cdot gh^{-1}) \cap (X_{g,h} \cdot h^{-1})) \smallsetminus X_{g,h}\\
&= X(g,h)^{0111}
\end{align}
が成り立つ．
$1111$
\begin{align}
X_{g} \cap (X_{h} \cdot g^{-1}) \cap (X_{g^{-1}} \cdot h^{-1}g^{-1}) \cap (X_{h^{-1}} \cdot gh^{-1}g^{-1})
&= (X_{g,h} \cdot g^{-1}) \cap (X_{h,g^{-1}} \cdot h^{-1}g^{-1}) \cap (X_{g^{-1},h^{-1}} \cdot gh^{-1}g^{-1})\\
&= ((X_{g,h} \cdot h) \cap X_{g,h} \cap (X_{g,h} \cdot g)) \cdot h^{-1}g^{-1} \\
&= X(g,h)^{1111}
\end{align}
が成り立つ．
任意の$g,h \in G$に対して次が成り立つ：
- $X(g,h) = X(g,h)^{1101} \sqcup X(g,h)^{1011} \sqcup X(g,h)^{0110} \sqcup X(g,h)^{1110} \sqcup X(g,h)^{0111} \sqcup X(g,h)^{1111}$;
- $X(g,h)^{1101} \sqcup X(g,h)^{1011} \sqcup X(g,h)^{0110} \sqcup X(g,h)^{1110} \sqcup X(g,h)^{0111} \subset X_{[g,h]}$;
- $X(g,h) = X_{[g,h]} \sqcup (X(g,h)^{1111} \cap X^{[g,h]})$.
- 上の観察より明らか．
-
- $x \in X(g,h)^{1101}$のとき，$x \in X_{g}$より
$$ x \cdot [g,h] = x \cdot ghh^{-1} = x \cdot g \neq x$$
が成り立つ． - $x \in X(g,h)^{1011}$のとき，$x \cdot g \in X^{h}$より
$$ x = (x \cdot g) \cdot g^{-1} = ((x \cdot g) \cdot h) \cdot g^{-1} = x \cdot ghg^{-1} \in X_{h^{-1}}$$
となるので，
$$ x \cdot [g,h] = x \cdot gg^{-1}h^{-1} = x \cdot h^{-1} \neq x$$
が成り立つ． - $x \in X(g,h)^{0110}$のとき，$x = x \cdot g \in X_{h}$より
$$ x \cdot h \neq x = x \cdot g\ \leadsto\ x \cdot [g,h] = x \cdot hg^{-1} \neq x$$
が成り立つ． - $x \in X(g,h)^{1110}$のとき，$x \cdot g \in X_{h}$より
$$ x \cdot gh = (x \cdot g) \cdot h \neq x \cdot g\ \leadsto\ x \cdot [g,h] = x \cdot ghg^{-1} \neq x$$
が成り立つ． - $x \in X(g,h)^{0111}$のとき，$x \cdot h = x \cdot gh \in X_{g^{-1}}$より
$$ x \cdot hg^{-1} = (x \cdot h) \cdot g^{-1} \neq x \cdot h\ \leadsto\ x \cdot [g,h] = x \cdot hg^{-1}h^{-1} \neq x$$
が成り立つ．
- $x \in X(g,h)^{1101}$のとき，$x \in X_{g}$より
- 前段より
$$ X(g,h) \cap X^{[g,h]} = X(g,h)^{1111} \cap X^{[g,h]}$$
となるので，supp-comm-qsuppより
$$ X(g,h) = (X(g,h) \cap X_{[g,h]}) \sqcup (X(g,h) \cap X^{[g,h]}) \textcolor{orange}{=} X_{[g,h]} \sqcup (X(g,h)^{1111} \cap X^{[g,h]})$$
を得る．
以上をまとめて次を得る：
$g,h \in G$とする．このとき，全単射$\cdot [g,h] \colon X(g,h) \to X(h,g)$は次の6つの部分に分割される：
\begin{align}
X(g,h)^{1101} &\to X(h,g)^{1011}&&;\ x \mapsto x \cdot g \quad(\,\neq x\,);\\
X(g,h)^{1011} &\to X(h,g)^{1101}&&;\ x \mapsto x \cdot h^{-1} \quad(\,\neq x\,);\\
X(g,h)^{0110} &\to X(h,g)^{0110}&&;\ x \mapsto x \cdot hg^{-1} \quad(\,\neq x\,);\\
X(g,h)^{1110} &\to X(h,g)^{0111}&&;\ x \mapsto x \cdot ghg^{-1} \quad(\,\neq x\,);\\
X(g,h)^{0111} &\to X(h,g)^{1110}&&;\ x \mapsto x \cdot hg^{-1}h^{-1} \quad(\,\neq x\,);\\
X(g,h)^{1111} &\to X(h,g)^{1111}&&;\ x \mapsto x \cdot ghg^{-1}h^{-1}.
\end{align}
これら6つの部分集合のいくつかが空集合になると$[g,h]$の作用が見やすくなる．
3点交換の原理
$g,h \in G$が次を満たすとする：
- $X_{g,h} \neq \varnothing$;
- $X_{g,h} \cap (X_{g,h} \cdot g^{-1}) = \varnothing$;
- $(X_{g,h} \cdot g^{-1}) \cap (X_{g,h} \cdot h^{-1}) = \varnothing$;
- $(X_{g,h} \cdot h^{-1}) \cap X_{g,h} = \varnothing$.
このとき，全単射$\cdot [g,h] \colon X(g,h) \to X(h,g)$は次の3つの部分に分割される：
$$
\xymatrix{
& {X_{g,h} \cdot g^{-1}} \ar[ddl]_{\cdot g} & \\
&&\\
{X_{g,h}} \ar[rr]_{\cdot h^{-1}} && {X_{g,h} \cdot h^{-1}} \ar[uul]_{\cdot hg^{-1}}
}$$
- 仮定(4)より
$$ X(g,h)^{1101} = (X_{g,h} \smallsetminus (X_{g,h} \cdot h^{-1})) \cdot g^{-1} = X_{g,h} \cdot g^{-1}$$
が成り立ち，したがってpartition-of-comm-actより
$$ X(h,g)^{1011} = X(g,h)^{1101} \cdot g = X_{g,h}$$
が成り立つ． - 仮定(2)より
$$ X(g,h)^{1011} = X_{g,h} \smallsetminus (X_{g,h} \cdot g^{-1}) = X_{g,h}$$
が成り立ち，したがってpartition-of-comm-actより
$$ X(h,g)^{1101} = X(g,h)^{1011} \cdot h^{-1} = X_{g,h} \cdot h^{-1}$$
が成り立つ． - 仮定(4),(2)より
$$ X_{g,h} \cap ((X_{g,h} \cdot h) \cup (X_{g,h} \cdot g)) = \varnothing$$
となるので，
$$ X(g,h)^{0110} = (X_{g,h} \smallsetminus ((X_{g,h} \cdot h) \cup (X_{g,h} \cdot g))) \cdot h^{-1} = X_{g,h} \cdot h^{-1}$$
が成り立つ．したがってpartition-of-comm-actより
$$ X(h,g)^{0110} = X(g,h)^{0110} \cdot hg^{-1} = X_{g,h} \cdot g^{-1}$$
が成り立つ． - 仮定(4)より
$$ X(g,h)^{1110} = ((X_{g,h} \cap (X_{g,h} \cdot h^{-1})) \smallsetminus (X_{g,h} \cdot gh^{-1})) \cdot g^{-1} = \varnothing$$
が成り立ち，したがってpartition-of-comm-actより
$$ X(h,g)^{0111} = X(g,h)^{1110} \cdot [g,h] = \varnothing$$
が成り立つ． - 仮定(2)より
$$ X(g,h)^{0111} = ((X_{g,h} \cap (X_{g,h} \cdot g^{-1})) \cdot gh^{-1}) \smallsetminus X_{g,h} = \varnothing$$
が成り立ち，したがってpartition-of-comm-actより
$$ X(h,g)^{1110} = X(g,h)^{0111} \cdot [g,h] = \varnothing$$
が成り立つ． - 仮定より
$$ X(g,h)^{1111} = ((X_{g,h} \cdot h) \cap X_{g,h} \cap (X_{g,h} \cdot g)) \cdot h^{-1}g^{-1} = \varnothing$$
が成り立ち，したがってpartition-of-comm-actより
$$ X(h,g)^{1111} = X(g,h)^{1111} \cdot [g,h] = \varnothing$$
が成り立つ．
よってpartition-of-comm-actより結論を得る．
$g,h \in G$が3-cycleの仮定を満たすとする．このとき，任意の$s \in G$に対して，$g,h$の$s$による共軛$sgs^{-1}, shs^{-1} \in G$も3-cycleの仮定を満たす．
$$
\xymatrix{
& {X_{sgs^{-1},shs^{-1}} \cdot sg^{-1}s^{-1}} \ar[ddl]_{\cdot sgs^{-1}} & \\
&&\\
{X_{sgs^{-1},shs^{-1}}} \ar[rr]_{\cdot sh^{-1}s^{-1}} && {X_{sgs^{-1},shs^{-1}} \cdot sh^{-1}s^{-1}} \ar[uul]_{\cdot shg^{-1}s^{-1}}
}$$
$X_{sgs^{-1},shs^{-1}} = X_{g,h} \cdot s^{-1}$を示せば十分である．ところで，$k \in \{g,h\}$に対して
\begin{align}
x \in X_{sks^{-1}}
&\iff x \cdot sks^{-1} \neq x \\
&\iff (x \cdot s) \cdot k \neq x \cdot s\\
&\iff x \cdot s \in X_{k}
\end{align}
が成り立つので，結論を得る．
とくに$X_{g,h}$が単集合となるとき（純粋な）3点交換が実現できる：
$a,b,c \in X$を相異なる3点とする．いま$g,h \in G$であって，以下の条件を満たすものが存在したとする：
- $a \cdot g = b$;
- $c \cdot h = b$;
- $X_{g} \smallsetminus \{b\} \subset X^{h}$.
このとき，$c \in X^{g}$および$X_{g,h} = \{b\}$が成り立ち，交換子$[g,h]$による作用は3点交換
$$
\xymatrix{
& {a} \ar@{|->}[ddl]_{\cdot g} & \\
&&\\
{b} \ar@{|->}[rr]_{\cdot h^{-1}} && {c} \ar@{|->}[uul]_{\cdot hg^{-1}}
}$$
のみを行なう．さらに，（別の）相異なる3点$a',b',c' \in X$に対して，$s \in G$であって
$$
(a',b',c') \cdot s = (a,b,c)$$
なるものが存在するならば，交換子$[sgs^{-1}, shs^{-1}] = s[g,h]s^{-1}$による作用は3点交換
$$
\xymatrix{
& {a'} \ar@{|->}[ddl]_{\cdot sgs^{-1}} & \\
&& \\
{b'} \ar@{|->}[rr]_{\cdot sh^{-1}s^{-1}} && {c'} \ar@{|->}[uul]_{\cdot shg^{-1}s^{-1}}
}$$
のみを行なう．
- $c \cdot h = b \neq c$より
$$ c \in X_{h} \smallsetminus \{b\} = (X \smallsetminus X^{h}) \smallsetminus \{b\} = X \smallsetminus (X^{h} \cup \{b\}) \subset X \smallsetminus X_{g} = X^{g}$$
を得る． -
- 仮定より
$$ X_{g,h} \smallsetminus \{b\} = (X_{g} \smallsetminus \{b\}) \cap X_{h} \subset X^{h} \cap X_{h} = \varnothing$$
となるので，$X_{g,h} \subset \{b\}$を得る． - $b \cdot g \neq a \cdot g = b$より$b \in X_{g}$を得，$b \cdot h^{-1} = c \neq b$より$b \in X_{h^{-1}} = X_{h}$を得る．したがって$\{b\} \subset X_{g,h}$が成り立つ．
- 仮定より
- 3-cycle-conjの証明より
$$ X_{sgs^{-1},shs^{-1}} \textcolor{orange}{=} X_{g,h} \cdot s^{-1} = \{b\} \cdot s^{-1} = \{b'\}$$
を得る．よって
\begin{align} X_{sgs^{-1},shs^{-1}} \cdot sg^{-1}s^{-1} &= \{b' \cdot sg^{-1}s^{-1}\} = \{b \cdot g^{-1}s^{-1}\} = \{a \cdot s^{-1}\} = \{a'\};\\ X_{sgs^{-1},shs^{-1}} \cdot sh^{-1}s^{-1} &= \{b' \cdot sh^{-1}s^{-1}\} = \{b \cdot h^{-1}s^{-1}\} = \{c \cdot s^{-1}\} = \{c'\}; \end{align}
となるので，3-cycle-conjより結論を得る．
$$ \xymatrix{ &&&&&{A}\ar@{-}@[orange][ddl]&&&&&&{C}\ar@{-}@[orange][ddl]&&&\\%1 &&&&\ar@/_2.0pc/[dddll]_{\cdot g}&&\ar[rrrr]^{\cdot [g,h]}&&&&&&&&\\%2 &&&&{B}\ar@{-}@[blue][rr]&&{C}\ar@{-}[uul]&&&&{A}\ar@{-}@[blue][rr]&&{B}\ar@{-}[uul]&&\\%3 &&&{\ast}\ar@{-}@[orange][ddl]&&&&&{\ast}\ar@{-}@[orange][ddl]&&&&&{C}\ar@{-}@[orange][ddl]&\\%4 &&&&\ar[rrr]^{\cdot h}&&&&&\ar[rrr]^{\cdot g^{-1}}&&&&&\ar@/_2.0pc/[uuull]_{\cdot h^{-1}} \\%5 &&{A}\ar@{-}@[blue][rr]\ar@{.}@[orange][dl]&&{C}\ar@{-}[uul]&&{A}\ar@{.}@[blue][r]&{C}\ar@{-}@[blue][rr]\ar@{.}@[orange][dl]&&{\ast}\ar@{-}[uul]&&{A}\ar@{.}@[blue][r]&{B}\ar@{-}@[blue][rr]&&{\ast}\ar@{-}[uul]\\%6 &{B}&&&&&{B}&&&&&&&&\\%7 }$$
疑似3点交換の原理
$g,h \in G$が次を満たすとする：
- $X_{g,h} \neq \varnothing$;
- $(X_{g,h} \cdot g^{-1}) \cap (X_{g,h} \cdot h^{-1}) \neq \varnothing$;
- $(X_{g,h} \cdot g^{-1}) \smallsetminus (X_{g,h} \cdot h^{-1}) \neq \varnothing$;
- $(X_{g,h} \cdot h^{-1}) \smallsetminus (X_{g,h} \cdot g^{-1}) \neq \varnothing$;
- $X_{g,h} = X_{g,h} \cdot g^{-1}$.
このとき，全単射$\cdot [g,h] \colon X(g,h) \to X(h,g)$は次の3つの部分に分割される：
\begin{align}
X(g,h)^{1101} &\to X(h,g)^{1011}&&;\ x \mapsto x \cdot g \quad(\,\neq x\,);\\
X(g,h)^{0111} &\to X(h,g)^{1110}&&;\ x \mapsto x \cdot hg^{-1}h^{-1} \quad(\,\neq x\,);\\
X(g,h)^{1111} &\to X(h,g)^{1111}&&;\ x \mapsto x \cdot ghg^{-1}h^{-1}.
\end{align}
仮定より
\begin{align}
X(g,h)^{1101} &= (X_{g,h} \smallsetminus (X_{g,h} \cdot h^{-1})) \cdot g^{-1} \quad (\,\neq \varnothing\,)\\
&= X_{g,h} \smallsetminus (X_{g,h} \cdot h^{-1}g^{-1});\\
&\\
X(g,h)^{1011} &= X_{g,h} \smallsetminus (X_{g,h} \cdot g^{-1}) \\&= \varnothing;\\
X(g,h)^{0110} &= (X_{g,h} \smallsetminus ((X_{g,h} \cdot h) \cup (X_{g,h} \cdot g))) \cdot h^{-1} \\&\subset (X_{g,h} \smallsetminus (X_{g,h} \cdot g)) \cdot h^{-1} \\&= \varnothing;\\
X(g,h)^{1110} &= ((X_{g,h} \cap (X_{g,h} \cdot h^{-1})) \smallsetminus (X_{g,h} \cdot gh^{-1})) \cdot g^{-1} \\&\subset (X_{g,h} \smallsetminus (X_{g,h} \cdot g)) \cdot h^{-1}g^{-1} \\&= \varnothing;\\
&\\
X(g,h)^{0111} &= ((X_{g,h} \cdot gh^{-1}) \cap (X_{g,h} \cdot h^{-1})) \smallsetminus X_{g,h} \\&= (X_{g,h} \cdot h^{-1}) \smallsetminus X_{g,h}\quad (\,\neq \varnothing\,);\\
X(g,h)^{1111} &= ((X_{g,h} \cdot h) \cap X_{g,h} \cap (X_{g,h} \cdot g)) \cdot h^{-1}g^{-1} \\&= (X_{g,h} \cap (X_{g,h} \cdot h^{-1})) \cdot g^{-1} \quad (\,\neq \varnothing\,)\\
&= X_{g,h} \cap (X_{g,h} \cdot h^{-1}g^{-1});
\end{align}
が成り立つので，partition-of-comm-actより結論を得る．
$g,h \in G$がpseudo-3-cycleの仮定を満たすとする．このとき，任意の$s \in G$に対して，$g,h$の$s$による共軛$sgs^{-1}, shs^{-1} \in G$もpseudo-3-cycleの仮定を満たす．
$$ \xymatrix{ {X_{g,h} \cap (X_{g,h} \cdot h^{-1}g^{-1})} \ar[dddrr]^{\cdot ghg^{-1}h^{-1}} & {X_{g,h} \smallsetminus (X_{g,h} \cdot h^{-1}g^{-1})} \ar@{.>}[dddl]_{\cdot g} & {(X_{g,h} \cdot h^{-1}) \smallsetminus X_{g,h}} \ar@{-->}[dddl]_{\cdot hg^{-1}h^{-1}} \\ &&\\ &&\\ {X_{g,h} \smallsetminus (X_{g,h} \cdot h^{-1})} & {(X_{g,h} \cdot h^{-1}) \smallsetminus (X_{g,h} \cdot hg^{-1}h^{-1})} & {(X_{g,h} \cdot h^{-1}) \cap (X_{g,h} \cdot hg^{-1}h^{-1})} }$$
$a, b, c \in X$を相異なる3点とする．いま$g, h \in G$であって，以下の条件を満たすものが存在したとする：
- $a \cdot g = b,\ b \cdot g = a$;
- $c \cdot h = b,\ b \cdot h = a$;
- $X_{g} \smallsetminus \{a,b\} \subset X^{h}$.
このとき，$c \in X^{g}$および$X_{g,h} = \{a,b\}$が成り立ち，交換子$[g,h]$による作用は3点交換
$$
\xymatrix{
{a} \ar@{|->}[dddrrrr]^{\cdot ghg^{-1}h^{-1}} &&
{b} \ar@{|.>}[dddll]_{\cdot g} &&
{c} \ar@{|-->}[dddll]^{\cdot hg^{-1}h^{-1}} \\
&&\\
&&\\
{a} && {b} && {c}
}$$
のみを行なう．さらに，（別の）相異なる3点$a',b',c' \in X$に対して，$s \in G$であって
$$
(a',b',c') \cdot s = (a,b,c)$$
なるものが存在するならば，交換子$[sgs^{-1}, shs^{-1}] = s[g,h]s^{-1}$による作用は3点交換
$$
\xymatrix{
{a'} \ar@{|->}[dddrrrr]^{\cdot sghg^{-1}h^{-1}s^{-1}} &&
{b'} \ar@{|.>}[dddll]_{\cdot sgs^{-1}} &&
{c'} \ar@{|-->}[dddll]^{\cdot shg^{-1}h^{-1}s^{-1}} \\
&&\\
&&\\
{a'} && {b'} && {c'}
}$$
のみを行なう．
- $c \cdot h = b \neq c \neq a$より
$$ c \in X_{h} \smallsetminus \{a,b\} = (X \smallsetminus X^{h}) \smallsetminus \{a,b\} = X \smallsetminus (X^{h} \cup \{a,b\}) \subset X \smallsetminus X_{g} = X^{g}$$
を得る． -
- 仮定より，$X_{g,h} \smallsetminus \{a,b\} = (X_{g} \smallsetminus \{a,b\}) \cap X_{h} \subset X^{h} \cap X_{h} = \varnothing$となるので，$X_{g,h} \subset \{a,b\}$を得る．
- $a \cdot g = b \neq a$より$a \in X_{g}$を得，$a \cdot h^{-1} = b \neq a$より$a \in X_{h^{-1}} = X_{h}$を得る．また，$b \cdot g = a \neq b$より$b \in X_{g}$を得，$b \cdot h = a \neq b$より$b \in X_{h}$を得る．したがって，$\{a,b\} \subset X_{g,h}$が成り立つ．
- よって，$X_{g,h} = \{a,b\} = X_{g,h} \cdot g^{-1}$および$X
_{g,h} \cdot h^{-1} = \{b,c\}$が成り立つので，$g,h \in G$はpseudo-3-cycleの仮定を満たす．ところで
\begin{align} X(g,h)^{1101} &= (X_{g,h} \smallsetminus (X_{g,h} \cdot h^{-1})) \cdot g^{-1} \\&= \{a\} \cdot g^{-1} \\&= \{b\};\\ X(g,h)^{0111} &= (((X_{g,h} \cdot g) \cap X_{g,h}) \cdot h^{-1}) \smallsetminus X_{g,h} \\&= \{b,c\} \smallsetminus \{a,b\} \\&= \{c\};\\ X(g,h)^{1111} &= ((X_{g,h} \cdot h) \cap X_{g,h} \cap (X_{g,h} \cdot g)) \cdot h^{-1}g^{-1} \\&= (\{a \cdot h,a\} \cap \{a,b\}) \cdot h^{-1}g^{-1} \\&= \{a\} \cdot h^{-1}g^{-1} \\&= \{b\} \cdot g^{-1} \\&= \{a\};\\ &\\ \end{align}
および
\begin{align} b \cdot g &= a;\\ c \cdot hg^{-1}h^{-1} &= b \cdot g^{-1}h^{-1} = a \cdot h^{-1} = b;\\ a \cdot ghg^{-1}h^{-1} &= b \cdot hg^{-1}h^{-1} = a \cdot g^{-1}h^{-1} = b \cdot h^{-1} = c; \end{align}
が成り立つので結論を得る．
$$ \xymatrix{ &&&&&&{B}\ar@{.}@[blue][d]&&&{B}\ar@{.}@[blue][d]&&&\\ {A}\ar@{-}@[blue][d] \ar@{-}@[orange]@/_1.5pc/[d]\ar@{-}@[orange]@/^1.5pc/[d]&&&{B}\ar@{-}@[blue][d] \ar@{-}@[orange]@/_1.5pc/[d]\ar@{-}@[orange]@/^1.5pc/[d]&&&{A}\ar@{-}@[blue][d] \ar@{-}@[orange]@/_1.5pc/[d]\ar@{-}@[orange]@/^1.5pc/[d]&&&{C}\ar@{-}@[blue][d] \ar@{-}@[orange]@/_1.5pc/[d]\ar@{-}@[orange]@/^1.5pc/[d]&&&{B}\ar@{-}@[blue][d] \ar@{-}@[orange]@/_1.5pc/[d]\ar@{-}@[orange]@/^1.5pc/[d]\\ {B}\ar@{-}@[blue][d]&{}\ar@{|->}[r]^{\cdot g}&&{A}\ar@{-}@[blue][d]&{}\ar@{|->}[r]^{\cdot h}&&{C}\ar@{-}@[blue][d]&{}\ar@{|->}[r]^{\cdot g^{-1}}&&{A}\ar@{-}@[blue][d]&{}\ar@{|->}[r]^{\cdot h^{-1}}&&{C}\ar@{-}@[blue][d]\\ {C}&&&{C}&&&{\ast}&&&{\ast}&&&{A} }$$
$a, b, c \in X$を相異なる3点とする．いま$g, h \in G$であって，以下の条件を満たすものが存在したとする：
- $c \cdot g = b,\ b \cdot g = a$;
- $a \cdot h = b,\ b \cdot h = a$;
- $X_{g} \smallsetminus \{a,b\} \subset X^{h}$.
このとき，$c \in X^{h}$および$X_{g,h} = \{a,b\}$が成り立ち，交換子$[g,h]$による作用は3点交換
$$
\xymatrix{
{a} \ar@{|.>}[dddrr]_{\cdot h^{-1}} &&
{b} \ar@{|-->}[dddrr]^{\cdot ghg^{-1}} &&
{c} \ar@{|->}[dddllll]^{\cdot ghg^{-1}h^{-1}} \\
&&\\
&&\\
{a} && {b} && {c}
}$$
のみを行なう．さらに，（別の）相異なる3点$a',b',c' \in X$に対して，$s \in G$であって
$$
(a',b',c') \cdot s = (a,b,c)$$
なるものが存在するならば，交換子$[sgs^{-1}, shs^{-1}] = s[g,h]s^{-1}$による作用は3点交換
$$
\xymatrix{
{a'} \ar@{|.>}[dddrr]_{\cdot sh^{-1}s^{-1}} &&
{b'} \ar@{|-->}[dddrr]^{\cdot sghg^{-1}s^{-1}} &&
{c'} \ar@{|->}[dddllll]^{\cdot sghg^{-1}h^{-1}s^{-1}} \\
&&\\
&&\\
{a'} && {b'} && {c'}
}$$
のみを行なう．
（prin-pseudo-3-cycleを逆から見ただけ．）
仮定(3)より
\begin{align}
X_{h} \smallsetminus \{a,b\}
&= (X \smallsetminus X^{h}) \smallsetminus \{a,b\} \\
&= X \smallsetminus (X^{h} \cup \{a,b\}) \\
&\textcolor{orange}{\subset} X \smallsetminus X_{g}\\
&= X^{g}
\end{align}
が成り立つので，仮定(2),(1)と合わせて，prin-pseudo-3-cycleより
$$
c \in X^{g},\ X_{h,g} = \{a,b\}$$
を得る．さらに，交換子$[h,g]$による作用は3点交換
$$
\xymatrix{
{a} \ar@{|->}[dddrrrr]^{\cdot hgh^{-1}g^{-1}} &&
{b} \ar@{|.>}[dddll]_{\cdot h} &&
{c} \ar@{|-->}[dddll]^{\cdot gh^{-1}g^{-1}} \\
&&\\
&&\\
{a} && {b} && {c}
}$$
のみを行なうので，交換子$[g,h] = [h,g]^{-1}$による作用は3点交換
$$
\xymatrix{
{a} \ar@{|.>}[dddrr]_{\cdot h^{-1}} &&
{b} \ar@{|-->}[dddrr]^{\cdot ghg^{-1}} &&
{c} \ar@{|->}[dddllll]^{\cdot ghg^{-1}h^{-1}} \\
&&\\
&&\\
{a} && {b} && {c}
}$$
のみを行なう．
$$ \xymatrix{ &&&{A}\ar@{.}@[orange][d]&&&{A}\ar@{.}@[orange][d]&&&&&&\\ {A}\ar@{-}@[orange][d] \ar@{-}@[blue]@/_1.5pc/[d]\ar@{-}@[blue]@/^1.5pc/[d]&&&{B}\ar@{-}@[orange][d] \ar@{-}@[blue]@/_1.5pc/[d]\ar@{-}@[blue]@/^1.5pc/[d]&&&{C}\ar@{-}@[orange][d] \ar@{-}@[blue]@/_1.5pc/[d]\ar@{-}@[blue]@/^1.5pc/[d]&&&{A}\ar@{-}@[orange][d] \ar@{-}@[blue]@/_1.5pc/[d]\ar@{-}@[blue]@/^1.5pc/[d]&&&{C}\ar@{-}@[orange][d] \ar@{-}@[blue]@/_1.5pc/[d]\ar@{-}@[blue]@/^1.5pc/[d]\\ {B}\ar@{-}@[orange][d]&{}\ar@{|->}[r]^{\cdot g}&&{C}\ar@{-}@[orange][d]&{}\ar@{|->}[r]^{\cdot h}&&{B}\ar@{-}@[orange][d]&{}\ar@{|->}[r]^{\cdot g^{-1}}&&{C}\ar@{-}@[orange][d]&{}\ar@{|->}[r]^{\cdot h^{-1}}&&{A}\ar@{-}@[orange][d]\\ {C}&&&{\ast}&&&{\ast}&&&{B}&&&{B} }$$
2箇所での同時置換
$g, h \in G$が次を満たすとする：
- $X_{g,h} \neq \varnothing$;
- $(X_{g,h} \cdot g^{-1}) \cap (X_{g,h} \cdot h^{-1}) = \varnothing$;
- $X_{g,h} = X_{g,h} \cdot g^{-1}$.
このとき，全単射$\cdot [g,h] \colon X(g,h) \to X(h,g)$は次の２つの部分に分割される：
\begin{align}
X_{g,h} &\to X_{g,h} &&;\ x \mapsto x \cdot g \quad(\,\neq x\,);\\
X_{g,h} \cdot h^{-1} &\to X_{g,h} \cdot h^{-1} &&;\ x \mapsto x \cdot hg^{-1}h^{-1} \quad(\,\neq x\,).
\end{align}
- 仮定(2),(3)より
$$ X(g,h)^{1101} = (X_{g,h} \smallsetminus (X_{g,h} \cdot h^{-1})) \cdot g^{-1} = X_{g,h} \cdot g^{-1} = X_{g,h}$$
が成り立ち，したがってpartition-of-comm-actより
$$ X(h,g)^{1011} = X(g,h)^{1101} \cdot g = X_{g,h}$$
が成り立つ． - 仮定(3)より
$$ X(g,h)^{1011} = X_{g,h} \smallsetminus (X_{g,h} \cdot g^{-1}) = \varnothing$$
が成り立ち，したがってpartition-of-comm-actより
$$ X(h,g)^{1101} = X(g,h)^{1011} \cdot [g,h] = \varnothing$$
が成り立つ． - 仮定(3)より
$$ X(g,h)^{0110} = (X_{g,h} \smallsetminus ((X_{g,h} \cdot h) \cup (X_{g,h} \cdot g))) \cdot h^{-1} = \varnothing$$
が成り立ち，したがってpartition-of-comm-actより
$$ X(h,g)^{0110} = X(g,h)^{0110} \cdot [g,h] = \varnothing$$
が成り立つ． - 仮定(2),(3)より
$$ X(g,h)^{1110} = ((X_{g,h} \cap (X_{g,h} \cdot h^{-1})) \smallsetminus (X_{g,h} \cdot gh^{-1})) \cdot g^{-1} = \varnothing$$
が成り立ち，したがってpartition-of-comm-actより
$$ X(h,g)^{0111} = X(g,h)^{1110} \cdot [g,h] = \varnothing$$
が成り立つ． - 仮定(2),(3)より
$$ X(g,h)^{0111} = (((X_{g,h} \cdot g) \cap X_{g,h}) \cdot h^{-1}) \smallsetminus X_{g,h} = (X_{g,h} \cdot h^{-1}) \smallsetminus X_{g,h} = X_{g,h} \cdot h^{-1}$$
が成り立ち，したがってpartition-of-comm-act，仮定(3)より
$$ X(h,g)^{1110} = X(g,h)^{0111} \cdot hg^{-1}h^{-1} = X_{g,h} \cdot g^{-1}h^{-1} \textcolor{orange}{=} X_{g,h} \cdot h^{-1}$$
が成り立つ． - 仮定(2),(3)より
$$ X(g,h)^{1111} = ((X_{g,h} \cdot h) \cap X_{g,h} \cap (X_{g,h} \cdot g)) \cdot h^{-1}g^{-1} = \varnothing$$
が成り立ち，したがってpartition-of-comm-actより
$$ X(h,g)^{1111} = X(g,h)^{1111} \cdot [g,h] = \varnothing$$
が成り立つ．
よってpartition-of-comm-actより結論を得る．
