文献あり

交換子作用と3点交換

本記事はrubikの「数学的準備：交換子による作用について」を書き改めて独立させたものです．

交換子による作用

以下， $G$ を群とし $X$ を右 $G$ 集合とする．

台と擬台

各 $g \in G$ に対して，
$X^{g} := {x \in X ∣ x \cdot g = x}$
を $g$ の不動点集合といい，
$X_{g} := X ∖ X^{g} = {x \in X ∣ x \cdot g \neq x}$
を $g$ の台という．

各 $(g, h) \in G \times G$ に対して，
$X_{g, h} := X_{g} \cap X_{h} = X ∖ (X^{g} \cup X^{h})$
とおき，
$X (g, h) := X_{g, h} \cup (X_{g, h} \cdot g^{- 1}) \cup (X_{g, h} \cdot h^{- 1})$
を $(g, h)$ の擬台という（ことにする）．

$X_{g, h} = X_{h, g}$ より
$X (g, h) = X (h, g)$
が成り立つ．
action定理1系1より
$X^{g} = X^{⟨ g ⟩} = X^{g^{- 1}}$
となるので，
$X_{g} = X_{g^{- 1}} ⇝ X_{g, h} = X_{g^{\pm 1}, h^{\pm 1}}$
が成り立つ．
任意の部分集合 $Y \subset X$ に対して
$(Y \cap X^{g}) \cdot g^{\pm 1} = Y \cap X^{g}$
が成り立つ．とくに $X^{g} \cdot g = X^{g}$ となるので
$X_{g} \cdot g = (X \cdot g) ∖ (X^{g} \cdot g) = X ∖ X^{g} = X_{g}$
が成り立つ．

任意の $g, h \in G$ に対して次が成り立つ：

$X^{g} \cap X_{g, h} = \emptyset$ ;
$X^{g} \cap (X_{g, h} \cdot g^{- 1}) = \emptyset$ ;
$(X_{g, h} \cdot g^{- 1}) ∖ X_{g, h} = (X_{g, h} \cdot g^{- 1}) \cap X^{h}$ ;
$X_{g, h} ∖ (X_{g, h} \cdot h) = X_{g, h} ∖ (X_{g} \cdot h)$ ;
$X_{g} ∖ (X_{g, h} \cdot g^{- 1}) \subset X^{h} \cdot g^{- 1}$ ;
$X_{g} \cap X^{h} \subset X_{g^{- 1}} \cdot h^{- 1}$ .

定義より
$X^{g} \cap X_{g, h} \subset X^{g} \cap X_{g} = \emptyset$
が成り立つ．
(1)より
$X^{g} \cap (X_{g, h} \cdot g^{- 1}) = (X^{g} \cap X_{g, h}) \cdot g^{- 1} = \emptyset$
が成り立つ．
(2)より
$\begin{aligned} (X_{g, h} \cdot g^{- 1}) ∖ X_{g, h} & = (X_{g, h} \cdot g^{- 1}) \cap (X ∖ X_{g, h}) \\ = (X_{g, h} \cdot g^{- 1}) \cap (X^{g} \cup X^{h}) \\ = (X_{g, h} \cdot g^{- 1}) \cap X^{h} \end{aligned}$
が成り立つ．
(3)より
$\begin{aligned} X_{g, h} ∖ (X_{g, h} \cdot h) & = ((X_{h, g} \cdot h^{- 1}) ∖ X_{h, g}) \cdot h \\ = ((X_{h, g} \cdot h^{- 1}) \cap X^{g}) \cdot h \\ = X_{h, g} \cap (X ∖ (X_{g} \cdot h)) \\ = X_{g, h} ∖ (X_{g} \cdot h) \end{aligned}$
が成り立つ．
台の定義より
$\begin{aligned} X_{g} ∖ (X_{g, h} \cdot g^{- 1}) & = (X_{g} ∖ X_{g, h}) \cdot g^{- 1} \\ = (X_{g} ∖ X_{h}) \cdot g^{- 1} \\ \subset (X ∖ X_{h}) \cdot g^{- 1} \\ = X^{h} \cdot g^{- 1} \end{aligned}$
が成り立つ．
$X^{h} \cdot h^{- 1} = X^{h}$ より
$X_{g} \cap X^{h} = (X_{g} \cap X^{h}) \cdot h^{- 1} \subset X_{g} \cdot h^{- 1} = X_{g^{- 1}} \cdot h^{- 1}$
を得る．

各 $(g, h) \in G \times G$ に対して，
$[g, h] := g h g^{- 1} h^{- 1}$
を $(g, h)$ の交換子という．

$[h, g] = [g, h]^{- 1}$ が成り立つ：
$\begin{aligned} [g, h] [h, g] & = (g h g^{- 1} h^{- 1}) (h g h^{- 1} g^{- 1}) = e; \\ [h, g] [g, h] & = (h g h^{- 1} g^{- 1}) (g h g^{- 1} h^{- 1}) = e . \end{aligned}$

任意の $g, h \in G$ に対して次が成り立つ：

1. $X^{g} \cap X^{h} \subset X^{[g, h]}$ ;
2. $X^{g} \cap (X^{g} \cdot h^{- 1}) \subset X^{[g, h]}$ ;
3. $X^{h} \cap (X^{h} \cdot g^{- 1}) \subset X^{[g, h]}$ ;
1. $(X^{g} \cap X^{h}) \cap X (g, h) = \emptyset$ ;
2. $(X^{g} \cap (X^{g} \cdot h^{- 1})) \cap X (g, h) = \emptyset$ ;
3. $(X^{h} \cap (X^{h} \cdot g^{- 1})) \cap X (g, h) = \emptyset$ .

1. 明らか．
2. $x \in LHS$ とすると， $x \in X^{g}$ より $x \cdot g = x$ であり， $x \cdot h \in X^{g} = X^{g^{- 1}}$ より
  $x \cdot g h g^{- 1} = (x \cdot g) \cdot h g^{- 1} = (x \cdot h) \cdot g^{- 1} = x \cdot h$
  であるから，
  $x \cdot [g, h] = (x \cdot g h g^{- 1}) \cdot h^{- 1} = (x \cdot h) \cdot h^{- 1} = x$
  が成り立つ．
3. 前段より
  $LHS \subset X^{[h, g]} = X^{[g, h]^{- 1}} = X^{[g, h]}$
  が成り立つ．
1. fixed-pt(1),(2)より
  $\begin{aligned} (X^{g} \cap X^{h}) \cap X (g, h) & = ((X^{g} \cap X^{h}) \cap X_{g, h}) \cup ((X^{g} \cap X^{h}) \cap (X_{g, h} \cdot g^{- 1})) \cup ((X^{g} \cap X^{h}) \cap X_{g, h} \cdot h^{- 1}) \\ \subset (X^{g} \cap X_{g, h}) \cup (X^{g} \cap (X_{g, h} \cdot g^{- 1})) \cup (X^{h} \cap (X_{h, g} \cdot h^{- 1})) \\ = \emptyset \end{aligned}$
  が成り立つ．
2. fixed-pt(1),(2)より
  $\begin{aligned} (X^{g} \cap (X^{g} \cdot h^{- 1})) \cap X (g, h) & \subset (X^{g} \cap X_{g, h}) \cup (X^{g} \cap (X_{g, h} \cdot g^{- 1})) \cup ((X^{g} \cdot h^{- 1}) \cap (X_{g, h} \cdot h^{- 1})) \\ = (X^{g} \cap X_{g, h}) \cdot h^{- 1} \\ = \emptyset \end{aligned}$
  が成り立つ．
3. 前段より
  $(X^{h} \cap (X^{h} \cdot g^{- 1})) \cap X (g, h) = (X^{h} \cap (X^{h} \cdot g^{- 1})) \cap X (h, g) = \emptyset$
  が成り立つ．

任意の $g, h \in G$ に対して
$X_{[g, h]} \subset X (g, h)$
が成り立つ．

$X ∖ X (g, h) \subset X^{[g, h]}$ を示せばよい．

擬台の定義より
$X ∖ X (g, h) = (X ∖ X_{g, h}) \cap (X ∖ (X_{g, h} \cdot g^{- 1})) \cap (X ∖ (X_{h, g} \cdot h^{- 1}))$
が成り立つ．また，
$\begin{aligned} X ∖ X_{g, h} & = X^{g} \cup X^{h} \\ = (X^{g} \cap X^{h}) \cup (X^{g} ∖ X^{h}) \cup (X^{h} ∖ X^{g}) \end{aligned}$
が成り立つ．
fixed-pt(5)より
$\begin{aligned} (X^{g} ∖ X^{h}) \cap (X ∖ (X_{g, h} \cdot g^{- 1})) \cap (X ∖ (X_{h, g} \cdot h^{- 1})) & \subset X^{g} \cap (X ∖ X^{h}) \cap (X ∖ (X_{h, g} \cdot h^{- 1})) \\ = X^{g} \cap (X_{h} ∖ (X_{h, g} \cdot h^{- 1})) \\ \subset X^{g} \cap (X^{g} \cdot h^{- 1}) \end{aligned}$
が成り立つ．同様に
$(X^{h} ∖ X^{g}) \cap (X ∖ (X_{g, h} \cdot g^{- 1})) \cap (X ∖ (X_{h, g} \cdot h^{- 1})) \subset X^{h} \cap (X^{h} \cdot g^{- 1})$
が成り立つ．
よって，fixed-pt-of-comm(1)より，
$\begin{aligned} X ∖ X (g, h) & \subset (X^{g} \cap X^{h}) \cup (X^{g} \cap (X^{g} \cdot h^{- 1})) \cup (X^{h} \cap (X^{h} \cdot g^{- 1})) \\ \subset X^{[g, h]} \end{aligned}$
が成り立つ．

fixed-pt-of-comm(2)より
$(X^{g} \cap X^{h}) \cup (X^{g} \cap (X^{g} \cdot h^{- 1})) \cup (X^{h} \cap (X^{h} \cdot g^{- 1})) \subset X ∖ X (g, h)$
が成り立つので，上の証明と合わせて
$X ∖ X (g, h) = (X^{g} \cap X^{h}) \cup (X^{g} \cap (X^{g} \cdot h^{- 1})) \cup (X^{h} \cap (X^{h} \cdot g^{- 1}))$
を得る．

交換子による作用

$g, h \in G$ とする．このとき，全単射 $\cdot [g, h] : X \to X$ は，全単射
$X (g, h) \to X (h, g); x \mapsto x \cdot [g, h]$
を誘導する．

supp-comm-qsuppより
$X (g, h) = (X (g, h) \cap X^{[g, h]}) ⊔ (X (g, h) \cap X_{[g, h]}) = (X (g, h) \cap X^{[g, h]}) ⊔ X_{[g, h]}$
が成り立つので，inv-set(2)と合わせて
$\begin{aligned} X (g, h) \cdot [g, h] & = ((X (g, h) \cap X^{[g, h]}) \cdot [g, h]) ⊔ (X_{[g, h]} \cdot [g, h]) \\ = (X (g, h) \cap X^{[g, h]}) ⊔ X_{[g, h]} \\ = X (g, h) \\ = X (h, g) \end{aligned}$
を得る．

$g, h \in G$ とする．（天下り的だが）以下のように $X (g, h)$ の部分集合を定める：
$\begin{aligned} X (g, h)^{1101} & := (X_{g, h} ∖ (X_{g, h} \cdot h^{- 1})) \cdot g^{- 1}; \\ X (g, h)^{1011} & := X_{g, h} ∖ (X_{g, h} \cdot g^{- 1}); \\ X (g, h)^{0110} & := (X_{g, h} ∖ ((X_{g, h} \cdot h) \cup (X_{g, h} \cdot g))) \cdot h^{- 1}; \\ X (g, h)^{1110} & := (((X_{g, h} \cdot h g^{- 1}) \cap (X_{g, h} \cdot g^{- 1})) ∖ X_{g, h}) \cdot g h^{- 1} g^{- 1}; \\ X (g, h)^{0111} & := ((X_{g, h} \cdot g h^{- 1}) \cap (X_{g, h} \cdot h^{- 1})) ∖ X_{g, h}; \\ X (g, h)^{1111} & := ((X_{g, h} \cdot h) \cap X_{g, h} \cap (X_{g, h} \cdot g)) \cdot h^{- 1} g^{- 1} . \end{aligned}$

これらはどこから来たのか

$x \in X (g, h)$ とすると，complement-of-qsuppより
$x \notin (X^{g} \cap X^{h}) \cup (X^{g} \cap (X^{g} \cdot h^{- 1})) \cup (X^{h} \cap (X^{h} \cdot g^{- 1}))$
であるから，自明な関係
$\begin{aligned} x \in X & = X_{g} ⊔ X^{g}; \\ x \cdot g \in X & = X_{h} ⊔ X^{h}; \\ x \cdot g h \in X & = X_{g^{- 1}} ⊔ X^{g^{- 1}}; \\ x \cdot g h g^{- 1} \in X & = X_{h^{- 1}} ⊔ X^{h^{- 1}}; \end{aligned}$
において台に属することを $1$ で，不動点集合に属することを $0$ で表わして並べると，ありうる列は
$1101, 1011, 0110, 1110, 0111, 1111$
のみであることがわかる：

$x \notin X^{g} \cap X^{h}$ より $00 * *$ となることはない．また，
$(X^{h} \cdot g^{- 1}) \cap (X^{g^{- 1}} \cdot h^{- 1} g^{- 1}) = (X^{h} \cap X^{g}) \cdot h^{- 1} g^{- 1} = X^{g} \cap X^{h}$
より $* 00 *$ となることはない．同様に
$(X^{g^{- 1}} \cdot h^{- 1} g^{- 1}) \cap (X^{h^{- 1}} \cdot g h^{- 1} g^{- 1}) = (X^{g} \cap X^{h}) \cdot g h^{- 1} g^{- 1} = X^{g} \cap X^{h}$
より $* * 00$ となることはない；
$x \notin X^{g} \cap (X^{g} \cdot h^{- 1})$ より $010 *$ となることはない；
$x \notin X^{h} \cap (X^{h} \cdot g^{- 1})$ より $* 0 * 0$ となることはない．

$1101$

fixed-pt(6)より
$\begin{aligned} (X_{h} \cdot g^{- 1}) \cap (X^{g^{- 1}} \cdot h^{- 1} g^{- 1}) & = (X_{h} \cap X^{g^{- 1}}) \cdot h^{- 1} g^{- 1} \\ \subset (X_{h^{- 1}} \cdot g) \cdot h^{- 1} g^{- 1} \\ = X_{h^{- 1}} \cdot g h^{- 1} g^{- 1} \end{aligned}$
となるので，fixed-pt(3)より
$\begin{aligned} X_{g} \cap (X_{h} \cdot g^{- 1}) \cap (X^{g^{- 1}} \cdot h^{- 1} g^{- 1}) \cap (X_{h^{- 1}} \cdot g h^{- 1} g^{- 1}) & = X_{g} \cap (X_{h} \cdot g^{- 1}) \cap (X^{g^{- 1}} \cdot h^{- 1} g^{- 1}) \\ = (X_{g} \cap X_{h} \cap (X^{g^{- 1}} \cdot h^{- 1})) \cdot g^{- 1} \\ = (X_{g, h} \cap (X^{g} \cdot h^{- 1})) \cdot g^{- 1} \\ = ((X_{h^{- 1}, g} \cdot h) \cap X^{g}) \cdot h^{- 1} g^{- 1} \\ = ((X_{h^{- 1}, g} \cdot h) ∖ X_{h^{- 1}, g}) \cdot h^{- 1} g^{- 1} \\ = (X_{g, h} ∖ (X_{g, h} \cdot h^{- 1})) \cdot g^{- 1} \\ = X (g, h)^{1101} \end{aligned}$
が成り立つ．

$1011$

fixed-pt(6)より
$\begin{aligned} X_{g} \cap (X^{h} \cdot g^{- 1}) & = (X_{g} \cap X^{h}) \cdot g^{- 1} \\ \subset (X_{g^{- 1}} \cdot h^{- 1}) \cdot g^{- 1} \\ = X_{g^{- 1}} \cdot h^{- 1} g^{- 1} \end{aligned}$
となる．また，inv-setより
$X^{h} \cap (X_{h^{- 1}} \cdot g h^{- 1}) = (X^{h} \cap (X_{h^{- 1}} \cdot g)) \cdot h^{- 1} = X^{h} \cap (X_{h^{- 1}} \cdot g)$
が成り立つ．よって，fixed-pt(3)より
$\begin{aligned} X_{g} \cap (X^{h} \cdot g^{- 1}) \cap (X_{g^{- 1}} \cdot h^{- 1} g^{- 1}) \cap (X_{h^{- 1}} \cdot g h^{- 1} g^{- 1}) & = X_{g} \cap (X^{h} \cdot g^{- 1}) \cap (X_{h^{- 1}} \cdot g h^{- 1} g^{- 1}) \\ = X_{g} \cap (X^{h} \cdot g^{- 1}) \cap X_{h^{- 1}} \\ = X_{g, h^{- 1}} \cap (X^{h} \cdot g^{- 1}) \\ = ((X_{g^{- 1}, h} \cdot g) \cap X^{h}) \cdot g^{- 1} \\ = ((X_{g^{- 1}, h} \cdot g) ∖ X_{g, h}) \cdot g^{- 1} \\ = X_{g, h} ∖ (X_{g, h} \cdot g^{- 1}) \\ = X (g, h)^{1011} \end{aligned}$
が成り立つ．

$0110$

fixed-pt(3)より
$\begin{aligned} (X^{g} \cdot h) \cap X_{g, h} \cap (X^{h} \cdot g) & = (((X_{h, g} \cdot h^{- 1}) \cap X^{g}) \cdot h) \cap (((X_{g, h} \cdot g^{- 1}) \cap X^{h}) \cdot g) \\ = (((X_{h, g} \cdot h^{- 1}) ∖ X_{h, g}) \cdot h) \cap (((X_{g, h} \cdot g^{- 1}) ∖ X_{g, h}) \cdot g) \\ = (X_{g, h} ∖ (X_{g, h} \cdot h)) \cap (X_{g, h} ∖ (X_{g, h} \cdot g)) \\ = X_{g, h} ∖ ((X_{g, h} \cdot h) \cup (X_{g, h} \cdot g)) \end{aligned}$
となるので，
$\begin{aligned} X^{g} \cap (X_{h} \cdot g^{- 1}) \cap (X_{g^{- 1}} \cdot h^{- 1} g^{- 1}) \cap (X^{h^{- 1}} \cdot g h^{- 1} g^{- 1}) & = X^{g} \cap X_{h} \cap (X_{g^{- 1}} \cdot h^{- 1}) \cap (X^{h^{- 1}} \cdot g h^{- 1}) \\ = ((X^{g} \cdot h) \cap X_{h, g^{- 1}} \cap (X^{h^{- 1}} \cdot g)) \cdot h^{- 1} \\ = ((X^{g} \cdot h) \cap X_{g, h} \cap (X^{h} \cdot g)) \cdot h^{- 1} \\ = (X_{g, h} ∖ ((X_{g, h} \cdot h) \cup (X_{g, h} \cdot g))) \cdot h^{- 1} \\ = X (g, h)^{0110} \end{aligned}$
が成り立つ．

$1110$

fixed-pt(3)より
$\begin{aligned} (X_{g, h} \cdot h^{- 1}) \cap (X^{h} \cdot g h^{- 1}) & = ((X_{g, h} \cdot g^{- 1}) \cap X^{h}) \cdot g h^{- 1} \\ = ((X_{g, h} \cdot g^{- 1}) ∖ X_{g, h}) \cdot g h^{- 1} \\ = (X_{g, h} \cdot h^{- 1}) ∖ (X_{g, h} \cdot g h^{- 1}) \end{aligned}$
となるので，
$\begin{aligned} X_{g} \cap (X_{h} \cdot g^{- 1}) \cap (X_{g^{- 1}} \cdot h^{- 1} g^{- 1}) \cap (X^{h^{- 1}} \cdot g h^{- 1} g^{- 1}) & = (X_{g, h} \cdot g^{- 1}) \cap (X_{h, g^{- 1}} \cdot h^{- 1} g^{- 1}) \cap (X^{h} \cdot g h^{- 1} g^{- 1}) \\ = (X_{g, h} \cap (X_{g, h} \cdot h^{- 1}) \cap (X^{h} \cdot g h^{- 1})) \cdot g^{- 1} \\ = ((X_{g, h} \cap (X_{g, h} \cdot h^{- 1})) ∖ (X_{g, h} \cdot g h^{- 1})) \cdot g^{- 1} \\ = (((X_{g, h} \cdot h g^{- 1}) \cap (X_{g, h} \cdot g^{- 1})) ∖ X_{g, h}) \cdot g h^{- 1} g^{- 1} \\ = X (g, h)^{1110} \end{aligned}$
が成り立つ．

$0111$

fixed-pt(3)より
$\begin{aligned} X^{g} \cap (X_{h} \cdot g^{- 1}) \cap (X_{g^{- 1}} \cdot h^{- 1} g^{- 1}) \cap (X_{h^{- 1}} \cdot g h^{- 1} g^{- 1}) & = X^{g} \cap X_{h} \cap (X_{g} \cdot h^{- 1}) \cap (X_{h} \cdot g h^{- 1}) \\ = X^{g} \cap (X_{h, g} \cdot h^{- 1}) \cap (X_{g, h} \cdot g h^{- 1}) \\ = ((X_{h, g} \cdot h^{- 1}) \cap X^{g}) \cap (X_{g, h} \cdot g h^{- 1}) \\ = ((X_{h, g} \cdot h^{- 1}) ∖ X_{h, g}) \cap (X_{g, h} \cdot g h^{- 1}) \\ = ((X_{g, h} \cdot g h^{- 1}) \cap (X_{g, h} \cdot h^{- 1})) ∖ X_{g, h} \\ = X (g, h)^{0111} \end{aligned}$
が成り立つ．

$1111$

$\begin{aligned} X_{g} \cap (X_{h} \cdot g^{- 1}) \cap (X_{g^{- 1}} \cdot h^{- 1} g^{- 1}) \cap (X_{h^{- 1}} \cdot g h^{- 1} g^{- 1}) & = (X_{g, h} \cdot g^{- 1}) \cap (X_{h, g^{- 1}} \cdot h^{- 1} g^{- 1}) \cap (X_{g^{- 1}, h^{- 1}} \cdot g h^{- 1} g^{- 1}) \\ = ((X_{g, h} \cdot h) \cap X_{g, h} \cap (X_{g, h} \cdot g)) \cdot h^{- 1} g^{- 1} \\ = X (g, h)^{1111} \end{aligned}$
が成り立つ．

任意の $g, h \in G$ に対して次が成り立つ：

$X (g, h) = X (g, h)^{1101} ⊔ X (g, h)^{1011} ⊔ X (g, h)^{0110} ⊔ X (g, h)^{1110} ⊔ X (g, h)^{0111} ⊔ X (g, h)^{1111}$ ;
$X (g, h)^{1101} ⊔ X (g, h)^{1011} ⊔ X (g, h)^{0110} ⊔ X (g, h)^{1110} ⊔ X (g, h)^{0111} \subset X_{[g, h]}$ ;
$X (g, h) = X_{[g, h]} ⊔ (X (g, h)^{1111} \cap X^{[g, h]})$ .

上の観察より明らか．
1. $x \in X (g, h)^{1101}$ のとき， $x \in X_{g}$ より
  $x \cdot [g, h] = x \cdot g h h^{- 1} = x \cdot g \neq x$
  が成り立つ．
2. $x \in X (g, h)^{1011}$ のとき， $x \cdot g \in X^{h}$ より
  $x = (x \cdot g) \cdot g^{- 1} = ((x \cdot g) \cdot h) \cdot g^{- 1} = x \cdot g h g^{- 1} \in X_{h^{- 1}}$
  となるので，
  $x \cdot [g, h] = x \cdot g g^{- 1} h^{- 1} = x \cdot h^{- 1} \neq x$
  が成り立つ．
3. $x \in X (g, h)^{0110}$ のとき， $x = x \cdot g \in X_{h}$ より
  $x \cdot h \neq x = x \cdot g ⇝ x \cdot [g, h] = x \cdot h g^{- 1} \neq x$
  が成り立つ．
4. $x \in X (g, h)^{1110}$ のとき， $x \cdot g \in X_{h}$ より
  $x \cdot g h = (x \cdot g) \cdot h \neq x \cdot g ⇝ x \cdot [g, h] = x \cdot g h g^{- 1} \neq x$
  が成り立つ．
5. $x \in X (g, h)^{0111}$ のとき， $x \cdot h = x \cdot g h \in X_{g^{- 1}}$ より
  $x \cdot h g^{- 1} = (x \cdot h) \cdot g^{- 1} \neq x \cdot h ⇝ x \cdot [g, h] = x \cdot h g^{- 1} h^{- 1} \neq x$
  が成り立つ．
前段より
$X (g, h) \cap X^{[g, h]} = X (g, h)^{1111} \cap X^{[g, h]}$
となるので，supp-comm-qsuppより
$X (g, h) = (X (g, h) \cap X_{[g, h]}) ⊔ (X (g, h) \cap X^{[g, h]}) = X_{[g, h]} ⊔ (X (g, h)^{1111} \cap X^{[g, h]})$
を得る．

以上をまとめて次を得る：

$g, h \in G$ とする．このとき，全単射 $\cdot [g, h] : X (g, h) \to X (h, g)$ は次の6つの部分に分割される：
$\begin{aligned} X (g, h)^{1101} & \to X (h, g)^{1011} & ; x \mapsto x \cdot g (\neq x); \\ X (g, h)^{1011} & \to X (h, g)^{1101} & ; x \mapsto x \cdot h^{- 1} (\neq x); \\ X (g, h)^{0110} & \to X (h, g)^{0110} & ; x \mapsto x \cdot h g^{- 1} (\neq x); \\ X (g, h)^{1110} & \to X (h, g)^{0111} & ; x \mapsto x \cdot g h g^{- 1} (\neq x); \\ X (g, h)^{0111} & \to X (h, g)^{1110} & ; x \mapsto x \cdot h g^{- 1} h^{- 1} (\neq x); \\ X (g, h)^{1111} & \to X (h, g)^{1111} & ; x \mapsto x \cdot g h g^{- 1} h^{- 1} . \end{aligned}$

これら6つの部分集合のいくつかが空集合になると $[g, h]$ の作用が見やすくなる．

3点交換の原理

3-cycle

$g, h \in G$ が次を満たすとする：

$X_{g, h} \neq \emptyset$ ;
$X_{g, h} \cap (X_{g, h} \cdot g^{- 1}) = \emptyset$ ;
$(X_{g, h} \cdot g^{- 1}) \cap (X_{g, h} \cdot h^{- 1}) = \emptyset$ ;
$(X_{g, h} \cdot h^{- 1}) \cap X_{g, h} = \emptyset$ .

このとき，全単射 $\cdot [g, h] : X (g, h) \to X (h, g)$ は次の3つの部分に分割される：
$X_{g, h} \cdot g^{- 1} \cdot g X_{g, h} \cdot h^{- 1} X_{g, h} \cdot h^{- 1} \cdot h g^{- 1}$

仮定(4)より
$X (g, h)^{1101} = (X_{g, h} ∖ (X_{g, h} \cdot h^{- 1})) \cdot g^{- 1} = X_{g, h} \cdot g^{- 1}$
が成り立ち，したがってpartition-of-comm-actより
$X (h, g)^{1011} = X (g, h)^{1101} \cdot g = X_{g, h}$
が成り立つ．
仮定(2)より
$X (g, h)^{1011} = X_{g, h} ∖ (X_{g, h} \cdot g^{- 1}) = X_{g, h}$
が成り立ち，したがってpartition-of-comm-actより
$X (h, g)^{1101} = X (g, h)^{1011} \cdot h^{- 1} = X_{g, h} \cdot h^{- 1}$
が成り立つ．
仮定(4),(2)より
$X_{g, h} \cap ((X_{g, h} \cdot h) \cup (X_{g, h} \cdot g)) = \emptyset$
となるので，
$X (g, h)^{0110} = (X_{g, h} ∖ ((X_{g, h} \cdot h) \cup (X_{g, h} \cdot g))) \cdot h^{- 1} = X_{g, h} \cdot h^{- 1}$
が成り立つ．したがってpartition-of-comm-actより
$X (h, g)^{0110} = X (g, h)^{0110} \cdot h g^{- 1} = X_{g, h} \cdot g^{- 1}$
が成り立つ．
仮定(4)より
$X (g, h)^{1110} = ((X_{g, h} \cap (X_{g, h} \cdot h^{- 1})) ∖ (X_{g, h} \cdot g h^{- 1})) \cdot g^{- 1} = \emptyset$
が成り立ち，したがってpartition-of-comm-actより
$X (h, g)^{0111} = X (g, h)^{1110} \cdot [g, h] = \emptyset$
が成り立つ．
仮定(2)より
$X (g, h)^{0111} = ((X_{g, h} \cap (X_{g, h} \cdot g^{- 1})) \cdot g h^{- 1}) ∖ X_{g, h} = \emptyset$
が成り立ち，したがってpartition-of-comm-actより
$X (h, g)^{1110} = X (g, h)^{0111} \cdot [g, h] = \emptyset$
が成り立つ．
仮定より
$X (g, h)^{1111} = ((X_{g, h} \cdot h) \cap X_{g, h} \cap (X_{g, h} \cdot g)) \cdot h^{- 1} g^{- 1} = \emptyset$
が成り立ち，したがってpartition-of-comm-actより
$X (h, g)^{1111} = X (g, h)^{1111} \cdot [g, h] = \emptyset$
が成り立つ．

よってpartition-of-comm-actより結論を得る．

$g, h \in G$ が3-cycleの仮定を満たすとする．このとき，任意の $s \in G$ に対して， $g, h$ の $s$ による共軛 $s g s^{- 1}, s h s^{- 1} \in G$ も3-cycleの仮定を満たす．
$X_{s g s^{- 1}, s h s^{- 1}} \cdot s g^{- 1} s^{- 1} \cdot s g s^{- 1} X_{s g s^{- 1}, s h s^{- 1}} \cdot s h^{- 1} s^{- 1} X_{s g s^{- 1}, s h s^{- 1}} \cdot s h^{- 1} s^{- 1} \cdot s h g^{- 1} s^{- 1}$

$X_{s g s^{- 1}, s h s^{- 1}} = X_{g, h} \cdot s^{- 1}$ を示せば十分である．ところで， $k \in {g, h}$ に対して
$\begin{aligned} x \in X_{s k s^{- 1}} & ⟺ x \cdot s k s^{- 1} \neq x \\ ⟺ (x \cdot s) \cdot k \neq x \cdot s \\ ⟺ x \cdot s \in X_{k} \end{aligned}$
が成り立つので，結論を得る．

とくに $X_{g, h}$ が単集合となるとき（純粋な）3点交換が実現できる：

3点交換の原理

$a, b, c \in X$ を相異なる3点とする．いま $g, h \in G$ であって，以下の条件を満たすものが存在したとする：

$a \cdot g = b$ ;
$c \cdot h = b$ ;
$X_{g} ∖ {b} \subset X^{h}$ .

このとき， $c \in X^{g}$ および $X_{g, h} = {b}$ が成り立ち，交換子 $[g, h]$ による作用は3点交換
$a \cdot g b \cdot h^{- 1} c \cdot h g^{- 1}$
のみを行なう．さらに，（別の）相異なる3点 $a^{'}, b^{'}, c^{'} \in X$ に対して， $s \in G$ であって
$(a^{'}, b^{'}, c^{'}) \cdot s = (a, b, c)$
なるものが存在するならば，交換子 $[s g s^{- 1}, s h s^{- 1}] = s [g, h] s^{- 1}$ による作用は3点交換
$a^{'} \cdot s g s^{- 1} b^{'} \cdot s h^{- 1} s^{- 1} c^{'} \cdot s h g^{- 1} s^{- 1}$
のみを行なう．

$c \cdot h = b \neq c$ より
$c \in X_{h} ∖ {b} = (X ∖ X^{h}) ∖ {b} = X ∖ (X^{h} \cup {b}) \subset X ∖ X_{g} = X^{g}$
を得る．
1. 仮定より
  $X_{g, h} ∖ {b} = (X_{g} ∖ {b}) \cap X_{h} \subset X^{h} \cap X_{h} = \emptyset$
  となるので， $X_{g, h} \subset {b}$ を得る．
2. $b \cdot g \neq a \cdot g = b$ より $b \in X_{g}$ を得， $b \cdot h^{- 1} = c \neq b$ より $b \in X_{h^{- 1}} = X_{h}$ を得る．したがって ${b} \subset X_{g, h}$ が成り立つ．
3-cycle-conjの証明より
$X_{s g s^{- 1}, s h s^{- 1}} = X_{g, h} \cdot s^{- 1} = {b} \cdot s^{- 1} = {b^{'}}$
を得る．よって
$\begin{aligned} X_{s g s^{- 1}, s h s^{- 1}} \cdot s g^{- 1} s^{- 1} & = {b^{'} \cdot s g^{- 1} s^{- 1}} = {b \cdot g^{- 1} s^{- 1}} = {a \cdot s^{- 1}} = {a^{'}}; \\ X_{s g s^{- 1}, s h s^{- 1}} \cdot s h^{- 1} s^{- 1} & = {b^{'} \cdot s h^{- 1} s^{- 1}} = {b \cdot h^{- 1} s^{- 1}} = {c \cdot s^{- 1}} = {c^{'}}; \end{aligned}$
となるので，3-cycle-conjより結論を得る．

$A C \cdot g \cdot [g, h] B C A B * * C \cdot h \cdot g^{- 1} \cdot h^{- 1} A C A C * A B * B B$

(cf. Rubik's Cube: How Commutators Work! )

疑似3点交換の原理

pseudo-3-cycle

$g, h \in G$ が次を満たすとする：

$X_{g, h} \neq \emptyset$ ;
$(X_{g, h} \cdot g^{- 1}) \cap (X_{g, h} \cdot h^{- 1}) \neq \emptyset$ ;
$(X_{g, h} \cdot g^{- 1}) ∖ (X_{g, h} \cdot h^{- 1}) \neq \emptyset$ ;
$(X_{g, h} \cdot h^{- 1}) ∖ (X_{g, h} \cdot g^{- 1}) \neq \emptyset$ ;
$X_{g, h} = X_{g, h} \cdot g^{- 1}$ .

このとき，全単射 $\cdot [g, h] : X (g, h) \to X (h, g)$ は次の3つの部分に分割される：
$\begin{aligned} X (g, h)^{1101} & \to X (h, g)^{1011} & ; x \mapsto x \cdot g (\neq x); \\ X (g, h)^{0111} & \to X (h, g)^{1110} & ; x \mapsto x \cdot h g^{- 1} h^{- 1} (\neq x); \\ X (g, h)^{1111} & \to X (h, g)^{1111} & ; x \mapsto x \cdot g h g^{- 1} h^{- 1} . \end{aligned}$

仮定より
$\begin{aligned} X (g, h)^{1101} & = (X_{g, h} ∖ (X_{g, h} \cdot h^{- 1})) \cdot g^{- 1} (\neq \emptyset) \\ = X_{g, h} ∖ (X_{g, h} \cdot h^{- 1} g^{- 1}); \\ X (g, h)^{1011} & = X_{g, h} ∖ (X_{g, h} \cdot g^{- 1}) \\ = \emptyset; \\ X (g, h)^{0110} & = (X_{g, h} ∖ ((X_{g, h} \cdot h) \cup (X_{g, h} \cdot g))) \cdot h^{- 1} \\ \subset (X_{g, h} ∖ (X_{g, h} \cdot g)) \cdot h^{- 1} \\ = \emptyset; \\ X (g, h)^{1110} & = ((X_{g, h} \cap (X_{g, h} \cdot h^{- 1})) ∖ (X_{g, h} \cdot g h^{- 1})) \cdot g^{- 1} \\ \subset (X_{g, h} ∖ (X_{g, h} \cdot g)) \cdot h^{- 1} g^{- 1} \\ = \emptyset; \\ X (g, h)^{0111} & = ((X_{g, h} \cdot g h^{- 1}) \cap (X_{g, h} \cdot h^{- 1})) ∖ X_{g, h} \\ = (X_{g, h} \cdot h^{- 1}) ∖ X_{g, h} (\neq \emptyset); \\ X (g, h)^{1111} & = ((X_{g, h} \cdot h) \cap X_{g, h} \cap (X_{g, h} \cdot g)) \cdot h^{- 1} g^{- 1} \\ = (X_{g, h} \cap (X_{g, h} \cdot h^{- 1})) \cdot g^{- 1} (\neq \emptyset) \\ = X_{g, h} \cap (X_{g, h} \cdot h^{- 1} g^{- 1}); \end{aligned}$
が成り立つので，partition-of-comm-actより結論を得る．

$g, h \in G$ がpseudo-3-cycleの仮定を満たすとする．このとき，任意の $s \in G$ に対して， $g, h$ の $s$ による共軛 $s g s^{- 1}, s h s^{- 1} \in G$ もpseudo-3-cycleの仮定を満たす．

$X_{g, h} \cap (X_{g, h} \cdot h^{- 1} g^{- 1}) \cdot g h g^{- 1} h^{- 1} X_{g, h} ∖ (X_{g, h} \cdot h^{- 1} g^{- 1}) \cdot g (X_{g, h} \cdot h^{- 1}) ∖ X_{g, h} \cdot h g^{- 1} h^{- 1} X_{g, h} ∖ (X_{g, h} \cdot h^{- 1}) (X_{g, h} \cdot h^{- 1}) ∖ (X_{g, h} \cdot h g^{- 1} h^{- 1}) (X_{g, h} \cdot h^{- 1}) \cap (X_{g, h} \cdot h g^{- 1} h^{- 1})$

疑似3点交換の原理 1

$a, b, c \in X$ を相異なる3点とする．いま $g, h \in G$ であって，以下の条件を満たすものが存在したとする：

$a \cdot g = b, b \cdot g = a$ ;
$c \cdot h = b, b \cdot h = a$ ;
$X_{g} ∖ {a, b} \subset X^{h}$ .

このとき， $c \in X^{g}$ および $X_{g, h} = {a, b}$ が成り立ち，交換子 $[g, h]$ による作用は3点交換
$a \cdot g h g^{- 1} h^{- 1} b \cdot g c \cdot h g^{- 1} h^{- 1} a b c$
のみを行なう．さらに，（別の）相異なる3点 $a^{'}, b^{'}, c^{'} \in X$ に対して， $s \in G$ であって
$(a^{'}, b^{'}, c^{'}) \cdot s = (a, b, c)$
なるものが存在するならば，交換子 $[s g s^{- 1}, s h s^{- 1}] = s [g, h] s^{- 1}$ による作用は3点交換
$a^{'} \cdot s g h g^{- 1} h^{- 1} s^{- 1} b^{'} \cdot s g s^{- 1} c^{'} \cdot s h g^{- 1} h^{- 1} s^{- 1} a^{'} b^{'} c^{'}$
のみを行なう．

$c \cdot h = b \neq c \neq a$ より
$c \in X_{h} ∖ {a, b} = (X ∖ X^{h}) ∖ {a, b} = X ∖ (X^{h} \cup {a, b}) \subset X ∖ X_{g} = X^{g}$
を得る．
1. 仮定より， $X_{g, h} ∖ {a, b} = (X_{g} ∖ {a, b}) \cap X_{h} \subset X^{h} \cap X_{h} = \emptyset$ となるので， $X_{g, h} \subset {a, b}$ を得る．
2. $a \cdot g = b \neq a$ より $a \in X_{g}$ を得， $a \cdot h^{- 1} = b \neq a$ より $a \in X_{h^{- 1}} = X_{h}$ を得る．また， $b \cdot g = a \neq b$ より $b \in X_{g}$ を得， $b \cdot h = a \neq b$ より $b \in X_{h}$ を得る．したがって， ${a, b} \subset X_{g, h}$ が成り立つ．
よって， $X_{g, h} = {a, b} = X_{g, h} \cdot g^{- 1}$ および $X_{g, h} \cdot h^{- 1} = {b, c}$ が成り立つので， $g, h \in G$ はpseudo-3-cycleの仮定を満たす．ところで
$\begin{aligned} X (g, h)^{1101} & = (X_{g, h} ∖ (X_{g, h} \cdot h^{- 1})) \cdot g^{- 1} \\ = {a} \cdot g^{- 1} \\ = {b}; \\ X (g, h)^{0111} & = (((X_{g, h} \cdot g) \cap X_{g, h}) \cdot h^{- 1}) ∖ X_{g, h} \\ = {b, c} ∖ {a, b} \\ = {c}; \\ X (g, h)^{1111} & = ((X_{g, h} \cdot h) \cap X_{g, h} \cap (X_{g, h} \cdot g)) \cdot h^{- 1} g^{- 1} \\ = ({a \cdot h, a} \cap {a, b}) \cdot h^{- 1} g^{- 1} \\ = {a} \cdot h^{- 1} g^{- 1} \\ = {b} \cdot g^{- 1} \\ = {a}; \end{aligned}$
および
$\begin{aligned} b \cdot g & = a; \\ c \cdot h g^{- 1} h^{- 1} & = b \cdot g^{- 1} h^{- 1} = a \cdot h^{- 1} = b; \\ a \cdot g h g^{- 1} h^{- 1} & = b \cdot h g^{- 1} h^{- 1} = a \cdot g^{- 1} h^{- 1} = b \cdot h^{- 1} = c; \end{aligned}$
が成り立つので結論を得る．

$B B A B A C B B \cdot g A \cdot h C \cdot g^{- 1} A \cdot h^{- 1} C C C * * A$

疑似3点交換の原理 2

$a, b, c \in X$ を相異なる3点とする．いま $g, h \in G$ であって，以下の条件を満たすものが存在したとする：

$c \cdot g = b, b \cdot g = a$ ;
$a \cdot h = b, b \cdot h = a$ ;
$X_{g} ∖ {a, b} \subset X^{h}$ .

このとき， $c \in X^{h}$ および $X_{g, h} = {a, b}$ が成り立ち，交換子 $[g, h]$ による作用は3点交換
$a \cdot h^{- 1} b \cdot g h g^{- 1} c \cdot g h g^{- 1} h^{- 1} a b c$
のみを行なう．さらに，（別の）相異なる3点 $a^{'}, b^{'}, c^{'} \in X$ に対して， $s \in G$ であって
$(a^{'}, b^{'}, c^{'}) \cdot s = (a, b, c)$
なるものが存在するならば，交換子 $[s g s^{- 1}, s h s^{- 1}] = s [g, h] s^{- 1}$ による作用は3点交換
$a^{'} \cdot s h^{- 1} s^{- 1} b^{'} \cdot s g h g^{- 1} s^{- 1} c^{'} \cdot s g h g^{- 1} h^{- 1} s^{- 1} a^{'} b^{'} c^{'}$
のみを行なう．

（prin-pseudo-3-cycleを逆から見ただけ．）

仮定(3)より
$\begin{aligned} X_{h} ∖ {a, b} & = (X ∖ X^{h}) ∖ {a, b} \\ = X ∖ (X^{h} \cup {a, b}) \\ \subset X ∖ X_{g} \\ = X^{g} \end{aligned}$
が成り立つので，仮定(2),(1)と合わせて，prin-pseudo-3-cycleより
$c \in X^{g}, X_{h, g} = {a, b}$
を得る．さらに，交換子 $[h, g]$ による作用は3点交換
$a \cdot h g h^{- 1} g^{- 1} b \cdot h c \cdot g h^{- 1} g^{- 1} a b c$
のみを行なうので，交換子 $[g, h] = [h, g]^{- 1}$ による作用は3点交換
$a \cdot h^{- 1} b \cdot g h g^{- 1} c \cdot g h g^{- 1} h^{- 1} a b c$
のみを行なう．

$A A A B C A C B \cdot g C \cdot h B \cdot g^{- 1} C \cdot h^{- 1} A C * * B B$

2箇所での同時置換

$g, h \in G$ が次を満たすとする：

$X_{g, h} \neq \emptyset$ ;
$(X_{g, h} \cdot g^{- 1}) \cap (X_{g, h} \cdot h^{- 1}) = \emptyset$ ;
$X_{g, h} = X_{g, h} \cdot g^{- 1}$ .

このとき，全単射 $\cdot [g, h] : X (g, h) \to X (h, g)$ は次の２つの部分に分割される：
$\begin{aligned} X_{g, h} & \to X_{g, h} & ; x \mapsto x \cdot g (\neq x); \\ X_{g, h} \cdot h^{- 1} & \to X_{g, h} \cdot h^{- 1} & ; x \mapsto x \cdot h g^{- 1} h^{- 1} (\neq x) . \end{aligned}$

仮定(2),(3)より
$X (g, h)^{1101} = (X_{g, h} ∖ (X_{g, h} \cdot h^{- 1})) \cdot g^{- 1} = X_{g, h} \cdot g^{- 1} = X_{g, h}$
が成り立ち，したがってpartition-of-comm-actより
$X (h, g)^{1011} = X (g, h)^{1101} \cdot g = X_{g, h}$
が成り立つ．
仮定(3)より
$X (g, h)^{1011} = X_{g, h} ∖ (X_{g, h} \cdot g^{- 1}) = \emptyset$
が成り立ち，したがってpartition-of-comm-actより
$X (h, g)^{1101} = X (g, h)^{1011} \cdot [g, h] = \emptyset$
が成り立つ．
仮定(3)より
$X (g, h)^{0110} = (X_{g, h} ∖ ((X_{g, h} \cdot h) \cup (X_{g, h} \cdot g))) \cdot h^{- 1} = \emptyset$
が成り立ち，したがってpartition-of-comm-actより
$X (h, g)^{0110} = X (g, h)^{0110} \cdot [g, h] = \emptyset$
が成り立つ．
仮定(2),(3)より
$X (g, h)^{1110} = ((X_{g, h} \cap (X_{g, h} \cdot h^{- 1})) ∖ (X_{g, h} \cdot g h^{- 1})) \cdot g^{- 1} = \emptyset$
が成り立ち，したがってpartition-of-comm-actより
$X (h, g)^{0111} = X (g, h)^{1110} \cdot [g, h] = \emptyset$
が成り立つ．
仮定(2),(3)より
$X (g, h)^{0111} = (((X_{g, h} \cdot g) \cap X_{g, h}) \cdot h^{- 1}) ∖ X_{g, h} = (X_{g, h} \cdot h^{- 1}) ∖ X_{g, h} = X_{g, h} \cdot h^{- 1}$
が成り立ち，したがってpartition-of-comm-act，仮定(3)より
$X (h, g)^{1110} = X (g, h)^{0111} \cdot h g^{- 1} h^{- 1} = X_{g, h} \cdot g^{- 1} h^{- 1} = X_{g, h} \cdot h^{- 1}$
が成り立つ．
仮定(2),(3)より
$X (g, h)^{1111} = ((X_{g, h} \cdot h) \cap X_{g, h} \cap (X_{g, h} \cdot g)) \cdot h^{- 1} g^{- 1} = \emptyset$
が成り立ち，したがってpartition-of-comm-actより
$X (h, g)^{1111} = X (g, h)^{1111} \cdot [g, h] = \emptyset$
が成り立つ．