直積集合 ⑪

Prop & Proof

まず、$A\subseteq X$ かつ $B_1,B_2\subseteq Y$ より、
$$ A\times(B_1\cap B_2)\subseteq X\times Y $$
かつ
$$ (A\times B_1)\cap(A\times B_2)\subseteq X\times Y $$
である( 証明はコチラ )。したがって、集合の外延性より、任意の $(x,y)\in X\times Y$ について
$$ (x,y)\in A\times(B_1\cap B_2)\ \Leftrightarrow\ (x,y)\in (A\times B_1)\cap(A\times B_2) $$
を示せばよい。
$ $
任意の $(x,y)\in X\times Y$ をとる。

1. 左辺について、直積集合と共通部分の定義より
   $$ (x,y)\in A\times(B_1\cap B_2) \ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land\ y\in B_1\cap B_2) $$
   さらに共通部分の定義より
   $$ y\in B_1\cap B_2\ \Leftrightarrow\ (y\in B_1\ \land\ y\in B_2) $$
   であるから
   $$ (x,y)\in A\times(B_1\cap B_2) \ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land\ y\in B_1\ \land\ y\in B_2) $$
   を得る。
   $ $
2. 一方で、右辺について、共通部分と直積集合の定義より
   $$ (x,y)\in (A\times B_1)\cap(A\times B_2) \ \Leftrightarrow\ ((x,y)\in A\times B_1\ \land\ (x,y)\in A\times B_2) $$
   さらに直積集合の定義より
   $$ (x,y)\in A\times B_1\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land\ y\in B_1) $$
   $$ (x,y)\in A\times B_2\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land\ y\in B_2) $$
   であるから
   $$ (x,y)\in (A\times B_1)\cap(A\times B_2) \ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land\ y\in B_1\ \land\ x\in A\ \land\ y\in B_2) $$
   よって
   $$ (x,y)\in (A\times B_1)\cap(A\times B_2) \ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land\ y\in B_1\ \land\ y\in B_2)\ \quad \because\ \text{連言の交換律・結合律・冪等律} $$
   を得る。
   $ $

-以上より任意の $(x,y)\in X\times Y$ について左辺と右辺は同値である。
従って
$$ A\times(B_1\cap B_2)=(A\times B_1)\cap(A\times B_2) $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

まず、$A\subseteq X$ かつ $B_1,B_2\subseteq Y$ より、
$$ A\times(B_1\cup B_2)\subseteq X\times Y $$
かつ
$$ (A\times B_1)\cup(A\times B_2)\subseteq X\times Y $$
である( 証明はコチラ )。したがって、集合の外延性より、任意の $(x,y)\in X\times Y$ について
$$ (x,y)\in A\times(B_1\cup B_2) \Longleftrightarrow (x,y)\in (A\times B_1)\cup(A\times B_2) $$
を示せばよい。
$ $
任意の $(x,y)\in X\times Y$ をとる。

1. 左辺について、直積集合と和集合の定義より
   $$ (x,y)\in A\times(B_1\cup B_2) \ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land\ y\in B_1\cup B_2) $$
   さらに和集合の定義より
   $$ y\in B_1\cup B_2\ \Leftrightarrow\ (y\in B_1\ \lor\ y\in B_2) $$
   であるから
   $$ (x,y)\in A\times(B_1\cup B_2) \ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land\ (y\in B_1\ \lor\ y\in B_2)) $$
   を得る。
   $ $
2. 右辺について、和集合と直積集合の定義より
   $$ (x,y)\in (A\times B_1)\cup(A\times B_2) \ \Leftrightarrow\ ((x,y)\in A\times B_1\ \lor\ (x,y)\in A\times B_2) $$
   さらに直積集合の定義より
   $$ (x,y)\in A\times B_1\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land\ y\in B_1) $$
   $$ (x,y)\in A\times B_2\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land\ y\in B_2) $$
   であるから
   $$ (x,y)\in (A\times B_1)\cup(A\times B_2) \ \Leftrightarrow\ ((x\in A\ \land\ y\in B_1)\ \lor\ (x\in A\ \land\ y\in B_2)) $$
   ここで命題論理の分配法則( 証明はコチラ )より
   $$ (x\in A\ \land\ (y\in B_1\ \lor\ y\in B_2)) \ \Leftrightarrow\ ((x\in A\ \land\ y\in B_1)\ \lor\ (x\in A\ \land\ y\in B_2)) $$
   が成り立つ。
   $ $

-従って任意の $(x,y)\in X\times Y$ について左辺と右辺は同値であるから，
$$ A\times(B_1\cup B_2)=(A\times B_1)\cup(A\times B_2) $$
が成り立つ。
$$ \Box$$