Zagier's sporadic sequencesの類似を数値実験で探す

Zagier's sporadic sequences は漸化式
\begin{align} (n+1)^2A_{n+1}-(an^2+an+b)A_n+cn^2A_{n-1}=0 \end{align}
を満たす散発的な整数列であり, 6つ知られている. 今回はその類似として,
\begin{align} a(n+1)^2-(bn^2+bn+c)A_n+(dn^2+e)A_{n-1}=0 \end{align}
を満たす散発的と思われる整数列を数値実験で探して見つかったものに関してまとめたいと思う. 以下, 数列は$A_{-1}=0, A_0=1$を満たすものとする.

A186375

OEISの A186375 の数列は漸化式
\begin{align} (n+1)^2a_{n+1}-2(10n^2+10n+3)a_n+4(4n-1)(4n+1)a_{n-1}=0 \end{align}
を満たす. これは前の記事で扱った数列であり, 明示式は
\begin{align} a_n&=\sum_{k=0}^n4^{n-k}\binom nk^2\binom{2k}k \end{align}
で与えられ, 母関数は
\begin{align} \sum_{0\leq n}a_nx^n&=\frac 1{\sqrt{1-12x}}\F21{\frac 14,\frac 34}{1}{\frac{256x^3}{(1-12x)^2}} \end{align}
と表される.

新しいかもしれない数列1

\begin{align} (n+1)^2a_{n+1}-2(11n^2+11n+3)a_n+15(3n-1)(3n+1)a_{n-1}=0 \end{align}
を満たす数列$a_n$は
\begin{align} 1,6,105,1960,40950,898716,20448246,476962200,11334962925,\dots \end{align}
と続いており, 整数列になると思われる. この数列はOEISには載っていないようである.

新しいかもしれない数列2

\begin{align} (n+1)^2a_{n+1}-4(10n^2+10n+3)a_n+48(3n-1)(3n+1)a_{n-1}=0 \end{align}
を満たす数列$a_n$は
\begin{align} 1,12,180,2800,42900,624624,8216208,86074560,317399940,\dots \end{align}

新しいかもしれない数列3

\begin{align} (n+1)^2a_{n+1}-4(13n^2+13n+4)a_n+75(3n-1)(3n+1)a_{n-1}=0 \end{align}

を満たす数列$a_n$は
\begin{align} 1,16,330,7360,170650,4050816,97699056,2383814400,\dots \end{align}
と続いており, 整数列になると思われる. この数列はOEISには載っていないようである.

新しいかもしれない数列4

\begin{align} (n+1)^2a_{n+1}-(59n^2+59n+18)a_n+96(3n-1)(3n+1)a_{n-1}=0 \end{align}
を満たす数列$a_n$は
\begin{align} 1,18,420,10640,281190,7631988,211091244,5923082880,\dots \end{align}
と続いており, 整数列になると思われる. この数列はOEISには載っていないようである.

新しいかもしれない数列5

\begin{align} (n+1)^2a_{n+1}-3(27n^2+27n+8)a_n+162(3n-1)(3n+1)a_{n-1}=0 \end{align}
を満たす数列は
\begin{align} 1,24,792,29760,1211040,52061184,2328109056,107182614528,\dots \end{align}
と続いている. この数列はOEISには載っていないようである.

追記

子葉さんの記事によれば,
\begin{align} a_n=27^n\sum_{j=0}^n(-1)^{n-j}4^j\frac{\left(\frac 13,\frac 23\right)_j}{j!^2}\binom{j}{n-j}=\sum_{j=0}^n(-27)^{n-j}4^j\frac{(3j)!}{j!^3}\binom{j}{n-j} \end{align}
と表されるようである. これは超幾何級数を用いると
\begin{align} a_n=108^n\frac{\left(\frac 13,\frac 23\right)_n}{n!^2}\F32{-n,-\frac n2,\frac{1-n}2}{\frac 13-n,\frac 23-n}1 \end{align}
と表される.

新しいかもしれない数列6

\begin{align} (n+1)^2a_{n+1}-3(27n^2+27n+8)a_n+243(3n-1)(3n+1)a_{n-1}=0 \end{align}
を満たす数列は
\begin{align} 1,24,630,13020,45045,-15135120,-1099818720,-52653846960,\dots \end{align}
と続いており, 整数列になると思われる. この数列はOEISには載っていないようである.

新しいかもしれない数列7

\begin{align} (n+1)^2a_{n+1}-3(30n^2+30n+8)a_n+18(3n-1)(3n+1)a_{n-1}=0 \end{align}
を満たす数列は
\begin{align} 1,24,1260,80640,5677560,422537472,32607888768,2581572280320,\dots \end{align}
と続いており, 整数列になると思われる. この数列はOEISには載っていないようである.

新しいかもしれない数列8

\begin{align} (n+1)^2a_{n+1}-5(19n^2+19n+6)a_n+160(4n-1)(4n+1)a_{n-1}=0 \end{align}
を満たす数列$a_n$は
\begin{align} 1,30,1050,36400,1160250,30166500,355810000,-27448200000,\dots \end{align}
と続いており, 整数列になると思われる. この数列はOEISには載っていないようである.

新しいかもしれない数列9

\begin{align} (n+1)^2a_{n+1}-2(56n^2+56n+15)a_n+4(4n-1)(4n+1)a_{n-1}=0 \end{align}
を満たす数列は
\begin{align} 1,30,1890,146580,12519990,1130834628,105931874580,10181236216680,\dots \end{align}
と続いており, 整数列になると思われる. この数列はOEISには載っていないようである.

新しいかもしれない数列10

\begin{align} (n+1)^2a_{n+1}-4(32n^2+32n+11)a_n+256(4n-1)(4n+1)a_{n-1}=0 \end{align}
を満たす数列は
\begin{align} 1,44,2340,132272,7707940,457470384,27485976336,1666007167680,\dots \end{align}
と続いている. この数列はOEISには載っていないようである.

追記

子葉さんの記事においてその明示式が
\begin{align} a_n&=4^{3n}\frac{\left(\frac 34\right)_n}{n!}\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k\left(\frac 14\right)_k^2}{k!\left(\frac 34\right)_k}\binom nk \end{align}
と与えられることが指摘されている. Whippleの変換公式の系を適用すると, これは
\begin{align} a_n=\sum_{k=0}^n4^{2n-2k}\frac{(4k)!}{k!^2(2k)!}\binom{2n-2k}{n-k} \end{align}
と表すことができ, 整数列になっていることが分かる. どうやら一般に$a\in\QQ$
\begin{align} \sum_{k=0}^n\frac{(a,1-a)_k}{k!^2}\frac{\left(\frac 12\right)_{n-k}}{(n-k)!} \end{align}
に冪を掛けて整数列にしたものが無限系列になっているようなので, これは散発的な数列とは言えなさそうである.

新しいかもしれない数列11

\begin{align} 2(n+1)^2a_{n+1}-(13n^2+13n+4)a_n+4(4n-1)(4n+1)a_{n-1}=0 \end{align}
を満たす数列$a_n$は
\begin{align} 1,2,0,-28,-140,-168,2184,16200,39204,-181720,\dots \end{align}
と続いており, 整数列になると思われる. この数列はOEISには載っていないようである.

A274665

OEISの A274665 の数列$a_n$は漸化式
\begin{align} 2(n+1)^2a_{n+1}-(29n^2+29n+8)a_n+3(3n-1)(3n+1)a_{n-1}=0 \end{align}
を満たす. この数列は前の記事で扱った数列であり, 明示式は
\begin{align} a_n=\sum_{k=0}^n\binom nk\binom{n+k}k\binom{2n-k}{n-k} \end{align}
と与えられ, 母関数は
\begin{align} \sum_{0\leq n}a_nx^n=\frac 1{(1-16x+40x^2)^{\frac 14}}\F21{\frac 1{12},\frac 5{12}}{1}{\frac{1728(2-31x+56x^2-27x^3)}{(1-16x+40x^2)^3}} \end{align}
と表されるようである.

A318495

OEISの A318495 の数列$a_n$は漸化式
\begin{align} 2(n+1)^2a_{n+1}-(59n^2+59n+20)a_n+12(6n-1)(6n-1)a_{n-1}=0 \end{align}
を満たす. この$a_n$の超幾何級数による明示式は知られていないと思われるが, 母関数は
\begin{align} \sum_{0\leq n}a_nx^n&=\frac 1{(1-40x+520x^2-2160x^3)^{\frac 14}}\F21{\frac 1{12},\frac{5}{12}}{1}{\frac{1728x^5(1-16x)^2(2-27x)^3}{(1-40x+520x^2-2160x^3)^3}} \end{align}
となるようである.

新しいかもしれない数列12

\begin{align} 3(n+1)^2a_{n+1}-2(28n^2+28n+9)a_n+12(6n-1)(6n+1)a_{n-1}=0 \end{align}
を満たす数列は
\begin{align} 1,6,30,12,-2250,-35244,-329364,-1584360,10265382,351276420,\dots \end{align}
と続いており, 整数列になると思われる. この数列はOEISには載っていないようである.

A318245

OEISの A318245 の数列$a_n$は漸化式
\begin{align} 3(n+1)^2a_{n+1}-4(28n^2+28n+9)a_n+64(4n-1)(4n+1)a_{n-1}=0 \end{align}
を満たしている. これは前の記事で扱った数列であり, 明示式は
\begin{align} a_n&=\sum_{k=0}^n4^{n-k}\binom{n+k}k\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k} \end{align}
と与えられ, 母関数は
\begin{align} \sum_{0\leq n}a_nx^n&=\frac 1{\sqrt{1-24x}}\F21{\frac 14,\frac 34}{1}{\frac{64x^2(64x-3)}{(1-24x)^2}} \end{align}
と表される.

新しいかもしれない数列13

\begin{align} 3(n+1)^2a_{n+1}-4(32n^2+32n+9)a_n-256(4n-1)(4n+1)a_{n-1}=0 \end{align}
を満たす数列は
\begin{align} 1,12,612,25392,1298340,67041072,3633970704,200921736384,\dots \end{align}
と続いており, 整数列になると思われる. この数列はOEISには載っていないようである.

新しいかもしれない数列14

\begin{align} 5(n+1)^2a_{n+1}-4(88n^2+88n+25)a_n+192(6n-1)(6n+1)=0 \end{align}
を満たす数列は
\begin{align} 1,20,1140,68240,4572100,321427920,23420014800,1748993217600,\dots \end{align}

と続いており, 整数列になると思われる. この数列はOEISには載っていないようである.

新しいかもしれない数列15

\begin{align} 6(n+1)^2a_{n+1}-(113n^2+113n+36)a_n+12(6n-1)(6n+1)a_{n-1}=0 \end{align}
を満たす数列$a_n$は
\begin{align} 1,6,48,444,4500,48456,543816,6284088,74184804,890064120,\dots \end{align}
と続いており, 整数列になると思われる. この数列はOEISには載っていないようである.

新しいかもしれない数列16

\begin{align} 6(n+1)^2a_{n+1}-(131n^2+131n+36)a_n+4(4n-1)(4n+1)a_{n-1}=0 \end{align}
を満たす数列$a_n$は
\begin{align} 1,6,72,1068,17460,301896,5414136,99622872,1868392548,\dots \end{align}
と続いており, 整数列になると思われる. この数列はOEISには載っていないようである.

A318496

OEISの A318496 の数列$a_n$は漸化式
\begin{align} 10(n+1)^2a_{n+1}-3(333n^2+333n+100)a_{n-1}+324(6n-1)(6n+1)a_{n-1}=0 \end{align}
を満たす. この$a_n$の超幾何級数による明示式は知られていないと思われるが, 母関数は
\begin{align} \sum_{0\leq n}a_nx^n&=\frac 1{(1-120x+3240x^2+174960x^3)^{\frac 14}}\F21{\frac 1{12},\frac{5}{12}}{1}{\frac{1728x^3(2-27x)^5(5-432x)^2}{(1-120x+3240x^2+174960x^3)^3}} \end{align}
となるようである.