あるApéry数の類似について9

今回は
\begin{align} a_n&=\sum_{k=0}^n4^{n-k}\binom{n+k}k\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k}=4^n\binom{2n}n\F32{\frac 12,n+1,-n}{1,\frac 12-n}{\frac 14} \end{align}
によって定義される数列について考察したいと思う. これは 前の記事 で扱った数列の表示
\begin{align} \binom{2n}n\F32{\frac 12,n+1,-n}{1,\frac 12-n}1 \end{align}
と同じ${}_3F_2$に異なる引数を代入したものになっている. この数列はOEISの A318245 に一致しているようである.

漸化式

まず, $a_n$の定義の表示にZeilbergerのアルゴリズムを用いると以下の漸化式を得る.

Zagier's sporadic sequences や, 前の記事 で扱った数列は
\begin{align} (n+1)^2u_{n+1}-(an^2+an+b)u_n+(cn^2+d)u_{n-1}=0 \end{align}
という形の漸化式を満たしていたが, 今回の$a_n$の漸化式は$a_{n+1}$の係数が$3(n+1)^2$になっているところが興味深い.

別の表示

まず, $a_n$は定義から
\begin{align} a_n&=\sum_{k=0}^n4^k\binom{2n-k}n\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k}\\ &=\binom{2n}n^2\F32{-n,-n,\frac 12}{\frac 12-n,-2n}4 \end{align}
と表される. ここで, 前の記事 の系3において$b=-n$とすると,
\begin{align} \F32{-n,-n,\frac 12}{\frac 12-n,-2n}4&=\frac{\left(-3n-\frac 12\right)_{3n}}{\left(\frac 12-n\right)_n\left(-3n-\frac 12\right)_{2n}}\F43{\frac 12,-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3}{\frac 12-n,\frac 56,\frac 76}{1}\\ &=\frac{\left(\frac 32\right)_{3n}}{\left(\frac 12\right)_n\left(\frac 32+n\right)_{2n}}\F43{\frac 12,-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3}{\frac 12-n,\frac 56,\frac 76}{1}\\ &=(2n+1)\F43{\frac 12,-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3}{\frac 12-n,\frac 56,\frac 76}{1} \end{align}
となるので, 以下の表示を得る.

この表示は Cooper's sporadic sequences の1つである
\begin{align} 3^n\binom{2n}n\F43{\frac 12,-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3}{1,1,\frac 12-n}1 \end{align}
と非常に似ている. 定理2の${}_4F_3$はbalancedであるから, ここからも$a_n$が三項漸化式を満たすことが分かる. この${}_4F_3$は
\begin{align} \F43{-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3,\frac 12}{\frac 12-n,\frac 56,\frac 76}{1}&=\sum_{k=0}^n4^k\frac{(-n)_k(-n)_{3k}\left(\frac 12\right)_k^2}{k!\left(-2n\right)_{2k}\left(\frac 32\right)_{3k}}\\ &=\frac 1{\binom{2n}n}\sum_{k=0}^n4^k\frac{(2n-2k)!\left(\frac 12\right)_k^2}{k!(n-k)!(n-3k)!\left(\frac 32\right)_{3k}}\\ \end{align}
と表すことができる.

母関数

$a_n$の母関数について考える. まず,
\begin{align} \sum_{0\leq n}a_nx^n&=\sum_{0\leq n}x^n\sum_{k=0}^n4^{n-k}\binom{n+k}k\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k}\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(2k)!}{k!^3}\sum_{0\leq n}4^{n-k}\frac{(n+k)!(2n-2k)!}{n!(n-k)!^2}x^n\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(2k)!}{k!^3}x^k\sum_{0\leq n}4^{n}\frac{(n+2k)!(2n)!}{(n+k)!n!^2}x^n\qquad n\mapsto n+k\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(2k)!^2}{k!^4}x^k\F21{2k+1,\frac 12}{k+1}{16x} \end{align}
と表される. Pfaffの変換公式より
\begin{align} \F21{2k+1,\frac 12}{k+1}{16x}&=(1-16x)^{-2k-1}\F21{2k+1,k+\frac 12}{k+1}{\frac{16x}{16x-1}} \end{align}
となるから,
\begin{align} \sum_{0\leq n}a_nx^n&=\frac 1{1-16x}\sum_{0\leq k}\frac{(2k)!^2}{k!^4}\left(\frac{x}{(1-16x)^2}\right)^k\F21{2k+1,k+\frac 12}{k+1}{\frac{16x}{16x-1}}\\ &=\frac 1{1-16x}\sum_{0\leq k}\frac{(2k)!^2}{k!^4}\left(\frac{x}{(1-16x)^2}\right)^k\sum_{0\leq n}\frac{\left(2k+1,k+\frac 12\right)_n}{n!(k+1)_n}\left(\frac{16x}{16x-1}\right)^n\\ &=\frac 1{1-16x}\sum_{0\leq n,k}\frac{(2k+n)!\left(\frac 12\right)_{n+k}}{n!k!^2(n+k)!}\left(\frac{4x}{(1-16x)^2}\right)^k\left(\frac{16x}{16x-1}\right)^n\\ &=\frac 1{1-16x}\sum_{0\leq n,k}\frac{(n+k)!\left(\frac 12\right)_{n}}{(n-k)!k!^2n!}\left(\frac{1}{4(16x-1)}\right)^k\left(\frac{16x}{16x-1}\right)^n\qquad n\mapsto k-n\\ &=\frac 1{1-16x}\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac 12\right)_n}{n!}\left(\frac{16x}{16x-1}\right)^n\F21{-n,n+1}{1}{\frac 1{4(1-16x)}}\\ &=\frac 1{1-16x}\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac 12\right)_n}{n!}\left(\frac{16x}{16x-1}\right)^nP_n\left(\frac{1-32x}{2(1-16x)}\right) \end{align}
を得る. ここで, BrafmanによるLegendre多項式の母関数
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac 12\right)_n}{n!}P_n(x)t^n&=\frac 1{\sqrt{1-xt}}\F21{\frac 14,\frac 34}{1}{\frac{t^2(x^2-1)}{(1-xt)^2}} \end{align}
より,
\begin{align} &\frac 1{1-16x}\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac 12\right)_n}{n!}\left(\frac{16x}{16x-1}\right)^nP_n\left(\frac{1-32x}{2(1-16x)}\right)\\ &=\frac 1{\sqrt{1-24x}}\F21{\frac 14,\frac 34}{1}{\frac{64x^2(64x-3)}{(1-24x)^2}} \end{align}
となる. よって, 以下を得る.

中央二項係数がついた母関数
\begin{align} \sum_{0\leq n}\binom{2n}na_nx^n \end{align}
が超幾何関数で表されるのかも気になるところではあるが, 今分かっている表示を用いてもあまり上手くいかなさそうである.

Kleeの予想

Bradley Kleeによる以下の予想がOEISの A318245 に書かれている.

これは以下のように示すことができる. まず, 前の記事 で扱った数列を$b_n$とするとそれは
\begin{align} b_n&=\binom{2n}n\F32{\frac 12,n+1,-n}{1,\frac 12-n}1=\sum_{k=0}^n\binom{n+k}k\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k} \end{align}
と表すことができる. よって,
\begin{align} a_n&=\sum_{k=0}^n4^{n-k}\binom{n+k}k\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k}\equiv \sum_{k=0}^n\binom{n+k}k\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k}\equiv b_n\pmod 3 \end{align}
である. 一方, 前の記事 で$b_n$は
\begin{align} b_n&=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac n3\rfloor}3^{n-3k}4^k\frac{(2n-2k)!}{k!^2(n-k)!(n-3k)!}=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac n3\rfloor}3^{n-3k}4^k\binom{n}{k}\binom{n-2k}{k}\binom{2n-2k}{n} \end{align}
によって与えられていたので, $n\geq 1$のとき,
\begin{align} b_n\equiv\begin{cases} 0&&n\not\equiv 0\pmod 3\\ \displaystyle \binom{3m}m\binom{4m}{3m}&&n=3m\\ \end{cases} \end{align}
となる. ここで,
\begin{align} \binom{3m}m=3\binom{3m-1}{m-1}\equiv 0\pmod 3 \end{align}
であるから, $b_n\equiv 0\pmod 3$であることが分かって, 示すべきことが得られる. また, 類似として
\begin{align} a_n&=\sum_{k=0}^n4^{n-k}\binom{n+k}k\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k} \end{align}
から, $n\geq 1$のとき,
\begin{align} a_n\equiv \binom{2n}n^2\equiv 4\binom{2n-1}{n-1}^2\equiv 0\pmod 4 \end{align}
であることも分かるので, $a_n$は$n\geq 1$のとき$12$の倍数になっていることも分かる.