集合系 ⑨

Def.

Prop & Proof

部分集合の定義により、$\mathcal{F}^{c_X}\subseteq\mathcal{P}(X)$ を示すには、任意の集合 $B$ について
$$ B\in\mathcal{F}^{c_X}\ \Rightarrow\ B\in\mathcal{P}(X) $$
が成り立つことを示せば十分である。
$ $
そこで、任意に集合 $B$ をとり
$$ B\in\mathcal{F}^{c_X} $$
と仮定する。$\mathcal{F}^{c_X}$ の定義より、ある集合 $A\in\mathcal{F}$ が存在して
$$ B=X\setminus A $$
となる。
ここで、差集合の定義より
$$ X\setminus A=\{x\in X\mid x\notin A\} $$
であるから、任意の $x\in U$ について
$$ x\in X\setminus A\ \Rightarrow\ x\in X $$
が成り立つ。したがって
$$ X\setminus A\subseteq X $$
である。
ゆえに、$B=X\setminus A$ であることから
$$ B\subseteq X $$
を得る。
したがって、べき集合の定義より
$$ B\in\mathcal{P}(X) $$
である。
以上より、任意の集合 $B$ について
$$ B\in\mathcal{F}^{c_X}\ \Rightarrow\ B\in\mathcal{P}(X) $$
が成り立つので、部分集合の定義より
$$ \mathcal{F}^{c_X}\subseteq\mathcal{P}(X) $$
である。
$$ \Box$$

任意の $x\in U$ をとる。両方向を示す。

1. $(\Rightarrow)$ を示す。
   $$ x\in X\setminus\bigcup\mathcal{F} $$
   と仮定する。
   差集合の定義より
   $$ x\in X\ \land\ x\notin\bigcup\mathcal{F} $$
   が成り立つ。また、集合系の和集合の定義より
   $$ x\notin\bigcup\mathcal{F} \ \Leftrightarrow\ \neg\exists A\in\mathcal{F}\ (x\in A) $$
   である。さらに、量化の否定により
   $$ \neg\exists A\in\mathcal{F}\ (x\in A) \ \Leftrightarrow\ \forall A\in\mathcal{F}\ (x\notin A) $$
   である( 証明はこちら )。したがって
   $$ x\in X\setminus\bigcup\mathcal{F} \ \Leftrightarrow\ x\in X\land \forall A\in\mathcal{F}\ (x\notin A) $$
   を得る。
   いま、任意に $B\in\mathcal{F}^{c_X}$ をとる。$\mathcal{F}^{c_X}$ の定義より、ある $A\in\mathcal{F}$ が存在して
   $$ B=X\setminus A $$
   となる。
   すでに $x\in X$ かつ $x\notin A$ を示したので、差集合の定義より
   $$ x\in X\setminus A=B $$
   である。
   $B\in\mathcal{F}^{c_X}$ は任意であったから、
   $$ x\in X,\quad \forall B\in\mathcal{F}^{c_X}\ (x\in B) $$
   が成り立つので、これは共通部分の定義より
   $$ x\in\bigcap\mathcal{F}^{c_X}=\{x\in X\mid \forall B\in\mathcal{F}^{c_X}\ (x\in B)\} $$
   である。ゆえに
   $$ x\in X\setminus\bigcup\mathcal{F}\ \Rightarrow\ x\in\bigcap\mathcal{F}^{c_X} $$
   が成り立つ。
   $ $
2. $(\Leftarrow)$ を示す。
   $$ x\in\bigcap\mathcal{F}^{c_X} $$
   と仮定する。
   共通部分の定義より
   $$ x\in X\ \land\ \forall B\in\mathcal{F}^{c_X}\ (x\in B) $$
   が成り立つ。
   ここで、$x\notin\bigcup\mathcal{F}$ を示す。背理法により
   $$ x\in\bigcup\mathcal{F} $$
   と仮定する。
   すると、集合系の和集合の定義より、ある $A\in\mathcal{F}$ が存在して
   $$ x\in A $$
   となる。
   このとき、$\mathcal{F}^{c_X}$ の定義より
   $$ X\setminus A\in\mathcal{F}^{c_X} $$
   である。
   したがって、$\forall B\in\mathcal{F}^{c_X}\ (x\in B)$ において $B=X\setminus A$ とおけば
   $$ x\in X\setminus A $$
   を得る。
   差集合の定義より
   $$ x\in X\ \land\ x\notin A $$
   が成り立つ。これは $x\in A$ に矛盾する。
   したがって
   $$ x\notin\bigcup\mathcal{F} $$
   である。よって、$x\in X$ とあわせて、差集合の定義より
   $$ x\in X\setminus\bigcup\mathcal{F} $$
   を得る。
   ゆえに
   $$ x\in\bigcap\mathcal{F}^{c_X}\ \Rightarrow\ x\in X\setminus\bigcup\mathcal{F} $$
   が成り立つ。

-以上より、任意の $x\in U$ について
$$ x\in X\setminus\bigcup\mathcal{F}\ \Leftrightarrow\ x\in\bigcap\mathcal{F}^{c_X} $$
が成り立つので、集合の相等の定義より
$$ X\setminus\bigcup\mathcal{F}=\bigcap\mathcal{F}^{c_X} $$
である。
$$ \Box$$

任意の $x\in U$ をとる。両方向を示す。
$ $

1. $(\Rightarrow)$ を示す。
   $$ x\in X\setminus\bigcap\mathcal{F} $$
   と仮定する。
   差集合の定義より
   $$ x\in X\ \land\ x\notin\bigcap\mathcal{F} $$
   が成り立つ。ここで、共通部分の定義
   $$ x\in\bigcap\mathcal{F}\ \Leftrightarrow\ x\in X\ \land\ \forall A\in\mathcal{F}\ (x\in A) $$
   を用いる。
   すでに $x\in X$ が成り立っているので、もし
   $$ \forall A\in\mathcal{F}\ (x\in A) $$
   が成り立つなら、上の定義より
   $$ x\in\bigcap\mathcal{F} $$
   となる。これは $x\notin\bigcap\mathcal{F}$ に矛盾する。
   したがって
   $$ \neg\forall A\in\mathcal{F}\ (x\in A) $$
   が成り立つ。
   よって、量化の否定により
   $$ \exists A\in\mathcal{F}\ (x\notin A) $$
   を得る( 証明はこちら )。
   そこで、そのような $A\in\mathcal{F}$ を $1$ つとる。すると、$\mathcal{F}^{c_X}$ の定義より
   $$ X\setminus A\in\mathcal{F}^{c_X} $$
   である。
   また、すでに $x\in X$ かつ $x\notin A$ を示したので、差集合の定義より
   $$ x\in X\setminus A $$
   である。
   ゆえに、ある $B\in\mathcal{F}^{c_X}$ が存在して $x\in B$ となる。したがって、和集合の定義より
   $$ x\in\bigcup\mathcal{F}^{c_X} $$
   である。
   よって
   $$ x\in X\setminus\bigcap\mathcal{F}\ \Rightarrow\ x\in\bigcup\mathcal{F}^{c_X} $$
   が成り立つ。
   $ $
2. $(\Leftarrow)$ を示す。
   $$ x\in\bigcup\mathcal{F}^{c_X} $$
   と仮定する。
   和集合の定義より、ある $B\in\mathcal{F}^{c_X}$ が存在して
   $$ x\in B $$
   となる。
   ここで、$\mathcal{F}^{c_X}$ の定義より、ある $A\in\mathcal{F}$ が存在して
   $$ B=X\setminus A $$
   となる。
   したがって
   $$ x\in X\setminus A $$
   であり、差集合の定義より
   $$ x\in X\ \land\ x\notin A $$
   が成り立つ。
   次に、$x\notin\bigcap\mathcal{F}$ を示す。背理法により
   $$ x\in\bigcap\mathcal{F} $$
   と仮定する。
   すると、共通部分の定義より
   $$ x\in X\ \land\ \forall E\in\mathcal{F}\ (x\in E) $$
   が成り立つ。
   ここで、$A\in\mathcal{F}$ であるから、上の全称命題において $E=A$ とおけば
   $$ x\in A $$
   を得る。これは $x\notin A$ に矛盾する。
   したがって
   $$ x\notin\bigcap\mathcal{F} $$
   である。よって、$x\in X$ とあわせて、差集合の定義より
   $$ x\in X\setminus\bigcap\mathcal{F} $$
   を得る。したがって
   $$ x\in\bigcup\mathcal{F}^{c_X}\ \Rightarrow\ x\in X\setminus\bigcap\mathcal{F} $$
   が成り立つ。
   $ $

-以上より、任意の $x\in U$ について
$$ x\in X\setminus\bigcap\mathcal{F}\ \Leftrightarrow\ x\in\bigcup\mathcal{F}^{c_X} $$
が成り立つので、集合の相等の定義より
$$ X\setminus\bigcap\mathcal{F}=\bigcup\mathcal{F}^{c_X} $$
である。
$$ \Box$$