集合 ➉
Def.
$U$ を全体集合とし、$A$ を $U$ の部分集合とする。
集合 $A$ の補集合とは、$U$ の元のうち $A$ の元でないもの全体からなる集合をいう。
$ $
これを $A$ の $U$ における補集合といい、記号で $A^c$ と書く。すなわち
$$
A^c:=\{x\in U\mid x\notin A\}
$$
で定める。
条件 $P(x)$ を用いて
$$
A=\{x\in U\mid P(x)\}
$$
と表されているとき、補集合の定義より
$$
A^c=\{x\in U\mid \neg P(x)\}
$$
が成り立つ。
$U$ を全体集合とし、$A,B$ を $U$ の部分集合($A,B\subseteq U$)とする。
集合 $A$ と集合 $B$ の差集合とは、$A$ の元であり、かつ $B$ の元ではないもの全体からなる集合をいう。
$ $
これを $A\setminus B$ と書き
$$
A\setminus B:=\{x\in U\mid (x\in A\land x\notin B)\}
$$
で定める。また差集合を $A-B$ と書くこともあり、
$$
A-B:=A\setminus B
$$
と定める。
条件 $P(x),Q(x)$ を用いて
$$
A=\{x\in U\mid P(x)\},\quad B=\{x\in U\mid Q(x)\}
$$
と表されているとき、差集合の定義より
$$
A\setminus B=\{x\in U\mid (P(x)\land \neg Q(x))\}
$$
が成り立つ。
Prop & Proof
$U$を全体集合とし、その部分集合$A$に対して、以下が成り立つ。
$$
(A^c)^c = A
$$
任意の $x\in U$ をとる。
$$
\begin{align}
x \in (A^c)^c
&\iff x \notin A^c
&&\because\text{補集合の定義}\\
&\iff \neg(x\in A^c)\\
&\iff \neg(x\notin A)
&&\because\text{補集合の定義}\\
&\iff \neg(\neg(x\in A))\\
&\iff x\in A
&&\because\text{二重否定律}\\
\end{align}
$$
よって任意の $x\in U$ について $x\in (A^c)^c\Leftrightarrow x\in A$ が成り立つから、$(A^c)^c=A$ が成り立つ。
$$ \Box$$
集合 $U$ を全体集合とし、$A\subseteq U$ とする。このとき次が成り立つ。
$$
A\cup A^c=U
$$
集合の等号の定義より、任意の $x\in U$ について
$$
x\in A\cup A^c\ \Leftrightarrow\ x\in U
$$
を示せばよい。
$ $
任意の $x\in U$ をとる。
和集合の定義より
$$
x\in A\cup A^c\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \lor\ x\in A^c)
$$
が成り立つ。さらに補集合の定義より
$$
x\in A^c\ \Leftrightarrow\ x\notin A
$$
であるから
$$
x\in A\cup A^c\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \lor\ x\notin A)
$$
が成り立つ。
ここで命題論理の排中律より、任意の命題 $P$ について
$$
P\lor \neg P
$$
は恒真である。したがって
$$
x\in A\ \lor\ x\notin A
$$
は常に真である。
一方、任意の $x\in U$ について $x\in U$ は(明らかに)真である。よって
$$
(x\in A\ \lor\ x\notin A)\ \Leftrightarrow\ x\in U
$$
が成り立つ。
ここで用いた排中律 $P\lor \neg P$ は、次の真理表で確かめられる。
$$
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
P & \neg P & P\lor \neg P \\
\hline
T & F & T \\
F & T & T \\
\hline
\end{array}
$$
また $x\in U$ は常に真であるから、
任意の論理式 $R$ について $R\Leftrightarrow x\in U$ を示すには $R$ が恒真であることを示せば十分である。
この節では $R=(x\in A\lor x\notin A)$ が恒真であることを真理表で確認した。
従って
$$
x\in A\cup A^c\ \Leftrightarrow\ x\in U
$$
が任意の $x\in U$ について成り立つので、集合の等号の定義より
$$
A\cup A^c=U
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
集合 $U$ を全体集合とし、$A\subseteq U$ とする。このとき次が成り立つ。
$$
A\cap A^c=\varnothing
$$
集合の等号の定義より、任意の $x\in U$ について
$$
x\in A\cap A^c\ \Leftrightarrow\ x\in\varnothing
$$
を示せばよい。
$ $
任意の $x\in U$ をとる。
共通部分の定義より
$$
x\in A\cap A^c\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land\ x\in A^c)
$$
が成り立つ。また補集合の定義より
$$
x\in A^c\ \Leftrightarrow\ x\notin A
$$
が成り立つ。よって
$$
x\in A\cap A^c\ \Leftrightarrow\ (x\in A\ \land\ x\notin A)
$$
が成り立つ。
ここで命題論理より、任意の命題 $P$ について
$$
(P\land \neg P)\ \Leftrightarrow\ \bot
$$
が成り立つ。したがって$P:(x\in A)$とすると
$$
(x\in A\ \land\ x\notin A)\ \Leftrightarrow\ \bot
$$
が成り立つ。
一方、空集合の定義より任意の $x\in U$ について $x\in\varnothing$ は偽であるから
$$
x\in\varnothing\ \Leftrightarrow\ \bot
$$
が成り立つ。よって
$$
x\in A\cap A^c\ \Leftrightarrow\ x\in\varnothing
$$
が任意の $x\in U$ について成り立つ。
従って集合の等号の定義より
$$
A\cap A^c=\varnothing
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
ここで用いた恒真式 $(P\land \neg P)\Leftrightarrow\bot$ は、次の真理表で確かめられる。
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
P & \neg P & P\land \neg P & (P\land \neg P)\Leftrightarrow \bot \\
\hline
T & F & F & T \\
F & T & F & T \\
\hline
\end{array}
$$
集合 $U$ を全体集合とする。このとき次が成り立つ。
$$
\varnothing^c=U
$$
集合の等号の定義より、任意の $x\in U$ について
$$
x\in\varnothing^c\ \Leftrightarrow\ x\in U
$$
を示せばよい。
$ $
任意の $x\in U$ をとる。
補集合の定義より
$$
x\in\varnothing^c\ \Leftrightarrow\ x\notin\varnothing
$$
が成り立つ。
ここで空集合の定義より、任意の $x\in U$ について $x\in\varnothing$ は偽である。したがって命題論理より
$$
x\notin\varnothing
$$
は常に真である。一方、仮定より $x\in U$ は真である。
よって $x\in\varnothing^c$ と $x\in U$ は同じ真理値をとり、
$$
x\in\varnothing^c\ \Leftrightarrow\ x\in U
$$
が任意の $x\in U$ について成り立つ。
ここで用いた「$x\in\varnothing$ は常に偽」は、次の真理表で $\bot$ と同値であることとして表せる。
$$
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
x\in\varnothing & \neg(x\in\varnothing) & \neg(x\in\varnothing)\Leftrightarrow \top \\
\hline
F & T & T \\
\hline
\end{array}
$$
従って $x\in\varnothing^c\Leftrightarrow \neg(x\in\varnothing)$ は常に真であり、これは「任意の $x\in U$ は $\varnothing^c$ に属する」ことを意味する。
従って集合の等号の定義より
$$
\varnothing^c=U
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
集合 $U$ を全体集合とする。このとき次が成り立つ。
$$
U^c=\varnothing
$$
集合の等号の定義より、任意の $x\in U$ について
$$
x\in U^c\ \Leftrightarrow\ x\in\varnothing
$$
を示せばよい。
$ $
任意の $x\in U$ をとる。
補集合の定義より
$$
x\in U^c\ \Leftrightarrow\ x\notin U
$$
が成り立つ。
一方、$x\in U$ を取っているので、$x\notin U$ は偽である。
したがって $x\in U^c$ は偽である。すなわち
$$
\forall x\in U\ (x\notin U^c)
$$
が成り立つ。
空集合の定義より、$\forall x\in U\ (x\notin\varnothing)$ が成り立つから、任意の $x\in U$ について
$$
x\in U^c\ \Leftrightarrow\ x\in\varnothing
$$
が成り立つ。
従って集合の等号の定義より
$$
U^c=\varnothing
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
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