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二重超幾何級数と超幾何級数の間の関係式のq類似

二重超幾何級数と超幾何級数の間の関係式
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k, l} \frac{(- n, b, c)_{k}}{k! {(1 + a - d, b + c - a - n)}_{k}} \frac{(- m, b^{'}, c^{'})_{l}}{l! {(1 + a - d, b^{'} + c^{'} - a - m)}_{l}} \frac{{(1 + a - d)}_{k + l}}{(1 + a)_{k + l}} \\ = \frac{(1 + a - b, 1 + a - c)_{m} (1 + a - b^{'}, 1 + a - c^{'})_{n}}{(1 + a, 1 + a - b - c)_{m} (1 + a, 1 + a - b^{'} - c^{'})_{n}} \\ \cdot_{9} F_{8} [\begin{array}{c} a, 1 + \frac{a}{2}, b, c, b^{'}, c^{'}, d, - m, - n \\ \frac{a}{2}, 1 + a - b, 1 + a - c, 1 + a - b^{'}, 1 + a - c^{'}, 1 + a - d, 1 + a + m, 1 + a + n \end{array}; 1] \end{aligned}$
がSharmaによって示されている. この $q$ 類似も同様にできたが, 今のところ先行研究は見つけることができていない. それは以下のようになる.

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k, l} \frac{(b, c, q^{- m}; q)_{k}}{(q, a q / d, b c q^{- m} / a; q)_{k}} q^{k} \frac{(b^{'}, c^{'}, q^{- m}; q)_{l}}{(q, a q / d, b^{'} c^{'} q^{- n} / a; q)_{l}} q^{l} \frac{(a q / d; q)_{k + l}}{(a q; q)_{k + l}} \\ = \frac{(a q / b, a q / c; q)_{m} (a q / b^{'}, a q / c^{'}; q)_{n}}{(a q, a q / b c; q)_{m} (a q, a q / b^{'} c^{'}; q)_{n}} \\ \cdot_{10} ϕ_{9} [\begin{array}{c} a, \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, b, c, b^{'}, c^{'}, d, q^{- m}, q^{- n} \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q / b, a q / c, a q / b^{'}, a q / c^{'}, a q / d, a q^{m + 1}, a q^{n + 1} \end{array}; \frac{a^{3} q^{n + m + 3}}{b c b^{'} c^{'} d}] \end{aligned}$

ほとんど同じような形で $q$ 類似が成り立っていることが分かる. 実際証明も全く同様である.

Rogersの $_{6} ϕ_{5}$ 和公式より,
$\begin{array}{r} \frac{(a q; q)_{k} (a q; q)_{l} (a q / d; q)_{k + l}}{(a q / d; q)_{k} (a q / d; q)_{l} (a q; q)_{k + l}} =_{6} ϕ_{5} [\begin{array}{c} a, \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, q^{- k}, q^{- l}, d \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q^{k + 1}, a q^{l + 1}, a q / d \end{array}; \frac{a q^{k + l + 1}}{d}] \end{array}$
であるから, これを右辺に用いると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k, l} \frac{(b, c, q^{- m}; q)_{k}}{(q, a q / d, b c q^{- m} / a; q)_{k}} q^{k} \frac{(b^{'}, c^{'}, q^{- m}; q)_{l}}{(q, a q / d, b^{'} c^{'} q^{- n} / a; q)_{l}} q^{l} \frac{(a q / d; q)_{k + l}}{(a q; q)_{k + l}} \\ = \sum_{0 \leq k, l} \frac{(b, c, q^{- m}; q)_{k}}{(q, a q, b c q^{- m} / a; q)_{k}} q^{k} \frac{(b^{'}, c^{'}, q^{- m}; q)_{l}}{(q, a q, b^{'} c^{'} q^{- n} / a; q)_{l}} q^{l}_{6} ϕ_{5} [\begin{array}{c} a, \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, q^{- k}, q^{- l}, d \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q^{k + 1}, a q^{l + 1}, a q / d \end{array}; \frac{a q^{k + l + 1}}{d}] \end{aligned}$
であり, $q$ -Saalschützの和公式より,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k} \frac{(b, c, q^{- m}; q)_{k}}{(q, a q, b c q^{- m} / a; q)_{k}} q^{k} \frac{(q^{- k}; q)_{j}}{(a q^{k + 1}; q)_{j}} q^{j k} & = \frac{(a q / b, a q / c; q)_{m}}{(a q, a q / b c; q)_{m}} \frac{(b, c, q^{- m}; q)_{j}}{(a q / b, a q / c, a q^{m + 1}; q)_{j}} {(\frac{a q^{m + 1}}{b c})}^{j} \end{aligned}$
だから, 定理を得る.

$n, m \to \infty$ とすると以下を得る.

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k, l} \frac{(b, c; q)_{k}}{(q, a q / d; q)_{k}} {(\frac{a q}{b c})}^{k} \frac{(b^{'}, c^{'}; q)_{l}}{(q, a q / d; q)_{l}} {(\frac{a q}{b^{'} c^{'}})}^{l} \frac{(a q / d; q)_{k + l}}{(a q; q)_{k + l}} \\ = \frac{(a q / b, a q / c, a q / b^{'}, a q / c^{'}; q)_{\infty}}{(a q, a q, a q / b c, a q / b^{'} c^{'}; q)_{\infty}} \\ \cdot_{8} ϕ_{9} [\begin{array}{c} a, \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, b, c, b^{'}, c^{'}, d \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q / b, a q / c, a q / b^{'}, a q / c^{'}, a q / d, 0, 0 \end{array}; \frac{a^{3} q^{3}}{b c b^{'} c^{'} d}] \end{aligned}$

さらに $a q = b b^{'}$ とすると以下を得る.

$a q = b b^{'}$ のとき,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k, l} \frac{(b, c; q)_{k}}{(q, a q / d; q)_{k}} {(\frac{b^{'}}{c})}^{k} \frac{(b^{'}, c^{'}; q)_{l}}{(q, a q / d; q)_{l}} {(\frac{b}{c^{'}})}^{l} \frac{(a q / d; q)_{k + l}}{(a q; q)_{k + l}} \\ = \frac{(b, b^{'}, a q / c, a q / c^{'}; q)_{\infty}}{(a q, a q, b^{'} / c, b / c^{'}; q)_{\infty}} \\ \cdot_{6} ϕ_{7} [\begin{array}{c} a, \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, c, c^{'}, d \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q / c, a q / c^{'}, a q / d, 0, 0 \end{array}; \frac{a^{2} q^{2}}{c c^{'} d}] \end{aligned}$

古典的な場合においては, 右辺は $_{5} F_{4}$ となりDougallの和公式によってガンマ関数で表すことができ, Carlitzによる和公式を得る. 右辺は積で表せないと思われるが, この等式はCarlitzによる公式の $q$ 類似を与えている. Watsonの $_{8} ϕ_{7}$ 変換公式の退化として得られる公式
$\begin{aligned} _{6} ϕ_{7} [\begin{array}{c} a, \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, b, c, d \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q / b, a q / c, a q / d, 0, 0 \end{array}; \frac{a^{2} q^{2}}{b c d}] & = \frac{(a q, a q / b c; q)_{\infty}}{(a q / b, a q / c; q)_{\infty}}_{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} b, c \\ a q / d \end{array}; \frac{a q}{b c}] \end{aligned}$
を用いると, 上の系は以下のようになる. これはKrattenthalerによって1989年に示された公式である.

$a q = b b^{'}$ のとき,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k, l} \frac{(b, c; q)_{k}}{(q, a q / d; q)_{k}} {(\frac{b^{'}}{c})}^{k} \frac{(b^{'}, c^{'}; q)_{l}}{(q, a q / d; q)_{l}} {(\frac{b}{c^{'}})}^{l} \frac{(a q / d; q)_{k + l}}{(a q; q)_{k + l}} \\ = \frac{(b, b^{'}, a q / c c^{'}; q)_{\infty}}{(a q, b^{'} / c, b / c^{'}; q)_{\infty}}_{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} c, c^{'} \\ a q / d \end{array}; \frac{a q}{c c^{'}}] \end{aligned}$

定理1において, $a q = b b^{'} = c c^{'}$ とすると, 以下を得る.

$n, m$ を非負整数, $a q = b b^{'} = c c^{'}$ としたとき,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k, l} \frac{(b, c, q^{- m}; q)_{k}}{(q, a q / d, b c q^{- m} / a; q)_{k}} q^{k} \frac{(b^{'}, c^{'}, q^{- n}; q)_{l}}{(q, a q / d, b^{'} c^{'} q^{- n} / a; q)_{l}} q^{l} \frac{(a q / d; q)_{k + l}}{(a q; q)_{k + l}} \\ = \frac{(a q / b, a q / c; q)_{m} (a q / b^{'}, a q / c^{'}; q)_{n} (a q / d; q)_{m + n}}{(a q / d, a q / b c; q)_{m} (a q / d, a q / b^{'} c^{'}; q)_{n} (a q; q)_{m + n}} \end{aligned}$
が成り立つ.

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k, l} \frac{(b, c, q^{- m}; q)_{k}}{(q, a q / d, b c q^{- m} / a; q)_{k}} q^{k} \frac{(b^{'}, c^{'}, q^{- n}; q)_{l}}{(q, a q / d, b^{'} c^{'} q^{- n} / a; q)_{l}} q^{l} \frac{(a q / d; q)_{k + l}}{(a q; q)_{k + l}} \\ = \frac{(a q / b, a q / c; q)_{m} (a q / b^{'}, a q / c^{'}; q)_{n}}{(a q, a q / b c; q)_{m} (a q, a q / b^{'} c^{'}; q)_{n}} \\ \cdot_{6} ϕ_{5} [\begin{array}{c} a, \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, d, q^{- m}, q^{- n} \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q / d, a q^{m + 1}, a q^{n + 1} \end{array}; \frac{a q^{n + m + 1}}{d}] \end{aligned}$
より, Rogersの $_{6} ϕ_{5}$ 和公式を用いて,
$\begin{aligned} _{6} ϕ_{5} [\begin{array}{c} a, \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, d, q^{- m}, q^{- n} \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q / d, a q^{m + 1}, a q^{n + 1} \end{array}; \frac{a q^{n + m + 1}}{d}] \\ = \frac{(a q; q)_{n} (a q; q)_{m} (a q / d; q)_{m + n}}{(a q / d; q)_{n} (a q / d; q)_{m} (a q; q)_{m + n}} \end{aligned}$
であるから定理を得る.

さらに $d \to \infty$ とすると, 以下を得る.

$n, m$ を非負整数, $a q = b b^{'} = c c^{'}$ としたとき,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k, l} \frac{(b, c, q^{- m}; q)_{k}}{(q, b c q^{- m} / a; q)_{k}} q^{k} \frac{(b^{'}, c^{'}, q^{- n}; q)_{l}}{(q, b^{'} c^{'} q^{- n} / a; q)_{l}} q^{l} \frac{1}{(a q; q)_{k + l}} \\ = \frac{(a q / b, a q / c; q)_{m} (a q / b^{'}, a q / c^{'}; q)_{n}}{(a q / b c; q)_{m} (a q / b^{'} c^{'}; q)_{n} (a q; q)_{m + n}} \end{aligned}$
が成り立つ.

これはSrivastavaによって1984年に示された公式であり, R. N. Jainによる1966年の公式の $q$ 類似である.

定理1において, $c = c^{'} = a q / d$ とすると以下を得る.

非負整数 $m, n$ に対して,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k, l} \frac{(b, q^{- m}; q)_{k}}{(q, b c q^{- m} / a; q)_{k}} q^{k} \frac{(b^{'}, q^{- n}; q)_{l}}{(q, b^{'} c q^{- n} / a; q)_{l}} q^{l} \frac{(c; q)_{k + l}}{(a q; q)_{k + l}} \\ = \frac{(a q / b, a q / c; q)_{m} (a q / b^{'}, a q / c; q)_{n}}{(a q, a q / b c; q)_{m} (a q, a q / b^{'} c; q)_{n}} \\ \cdot_{8} ϕ_{7} [\begin{array}{c} a, \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, b, b^{'}, c, q^{- m}, q^{- n} \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q / b, a q / b^{'}, a q / c, a q^{m + 1}, a q^{n + 1} \end{array}; \frac{a^{2} q^{n + m + 2}}{b b^{'} c}] \end{aligned}$
が成り立つ.

これはCarlitzによって1970年に示された公式の $q$ 類似である.

定理1において, $d \to \infty$ とすると, 以下を得る.

非負整数 $m, n$ に対して,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k, l} \frac{(b, c, q^{- m}; q)_{k}}{(q, b c q^{- m} / a; q)_{k}} q^{k} \frac{(b^{'}, c^{'}, q^{- n}; q)_{l}}{(q, b^{'} c^{'} q^{- n} / a; q)_{l}} q^{l} \frac{1}{(a q; q)_{k + l}} \\ = \frac{(a q / b, a q / c; q)_{m} (a q / b^{'}, a q / c^{'}; q)_{n}}{(a q, a q / b c; q)_{m} (a q, a q / b^{'} c^{'}; q)_{n}} \\ \cdot_{9} ϕ_{9} [\begin{array}{c} a, \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, b, c, b^{'}, c^{'}, q^{- m}, q^{- n} \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q / b, a q / c, a q / b^{'}, a q / c^{'}, a q^{m + 1}, a q^{n + 1}, 0 \end{array}; \frac{a^{3} q^{n + m + 3}}{b c b^{'} c^{'}}] \end{aligned}$
が成り立つ.

非負整数 $m, n$ に対して,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k, l} \frac{(b, q^{- m}; q)_{k}}{(q, c, d; q)_{k}} q^{k} \frac{(b^{'}, q^{- m}; q)_{l}}{(q, c^{'}, d; q)_{l}} q^{l} (d; q)_{k + l} \\ = \frac{(c / b; q)_{m} (c^{'} / b^{'}; q)_{n}}{(c; q)_{m} (c^{'}; q)_{n}} b^{m} {b^{'}}^{n}_{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} b, b^{'}, q^{- m}, q^{- n} \\ b q^{1 - m} / c, b^{'} q^{1 - n} / c^{'}, d \end{array}; \frac{d q^{2}}{c c^{'}}] \end{aligned}$
が成り立つ.

定理1において, $c \mapsto a c q^{m} / b, c^{'} \mapsto a c^{'} q^{n} / b^{'}, d \mapsto a q / d$ として,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k, l} \frac{(b, a c q^{m} / b, q^{- m}; q)_{k}}{(q, c, d; q)_{k}} q^{k} \frac{(b^{'}, a c^{'} q^{n} / b^{'}, q^{- m}; q)_{l}}{(q, c^{'}, d; q)_{l}} q^{l} \frac{(d; q)_{k + l}}{(a q; q)_{k + l}} \\ = \frac{(a q / b, b q^{1 - m} / c; q)_{m} (a q / b^{'}, b^{'} q^{1 - n} / c^{'}; q)_{n}}{(a q, q^{1 - m} / c; q)_{m} (a q, q^{1 - n} / c^{'}; q)_{n}} \\ \cdot_{10} ϕ_{9} [\begin{array}{c} a, \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, b, a c q^{m} / b, b^{'}, a c^{'} q^{n} / b^{'}, a q / d, q^{- m}, q^{- n} \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q / b, b q^{1 - m} / c, a q / b^{'}, b^{'} q^{1 - n} / c^{'}, d, a q^{m + 1}, a q^{n + 1} \end{array}; \frac{d q^{2}}{c c^{'}}] \end{aligned}$
ここで, $a \to 0$ すると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k, l} \frac{(b, q^{- m}; q)_{k}}{(q, c, d; q)_{k}} q^{k} \frac{(b^{'}, q^{- m}; q)_{l}}{(q, c^{'}, d; q)_{l}} q^{l} (d; q)_{k + l} \\ = \frac{(b q^{1 - m} / c; q)_{m} (b^{'} q^{1 - n} / c^{'}; q)_{n}}{(q^{1 - m} / c; q)_{m} (q^{1 - n} / c^{'}; q)_{n}}_{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} b, b^{'}, q^{- m}, q^{- n} \\ b q^{1 - m} / c, b^{'} q^{1 - n} / c^{'}, d \end{array}; \frac{d q^{2}}{c c^{'}}] \\ = \frac{(c / b; q)_{m} (c^{'} / b^{'}; q)_{n}}{(c; q)_{m} (c^{'}; q)_{n}} b^{m} {b^{'}}^{n}_{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} b, b^{'}, q^{- m}, q^{- n} \\ b q^{1 - m} / c, b^{'} q^{1 - n} / c^{'}, d \end{array}; \frac{d q^{2}}{c c^{'}}] \end{aligned}$
を得る.

次はSrivastavaによって1984年に示された公式である.

$n, m$ を非負整数, $b = b^{'} q^{1 - n} / c^{'}, b^{'} = b q^{1 - m} / c$ とするとき,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k, l} \frac{(b, q^{- m}; q)_{k}}{(q, c, d; q)_{k}} q^{k} \frac{(b^{'}, q^{- m}; q)_{l}}{(q, c^{'}, d; q)_{l}} q^{l} (d; q)_{k + l} \\ = \frac{(b^{'}; q)_{m} (b; q)_{n} (d; q)_{m + n}}{(b^{'} / b, d; q)_{m} (b / b^{'}, d; q)_{n}} \end{aligned}$

$b = b^{'} q^{1 - n} / c^{'}, b^{'} = b q^{1 - m} / c$ とするとき, $c c^{'} = q^{2 - n - m}$ であることに注意すると, 前の系と $q$ -Vandermondeの和公式より,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k, l} \frac{(b, q^{- m}; q)_{k}}{(q, c, d; q)_{k}} q^{k} \frac{(b^{'}, q^{- m}; q)_{l}}{(q, c^{'}, d; q)_{l}} q^{l} (d; q)_{k + l} \\ = \frac{(b^{'}; q)_{m} (b; q)_{n}}{(b^{'} / b; q)_{m} (b / b^{'}; q)_{n}}_{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} q^{- m}, q^{- n} \\ d \end{array}; d q^{n + m}] \\ = \frac{(b^{'}; q)_{m} (b; q)_{n}}{(b^{'} / b; q)_{m} (b / b^{'}; q)_{n}} \frac{(d; q)_{m + n}}{(d; q)_{m} (d; q)_{n}} \end{aligned}$
となって示される.

参考文献

[1]

Christian, Krattenthaler, $q$-analogue of a two variable inverse pair of series with applications to basic double hypergeometric series., Canad. J. Math., 1989, 743-768

[2]

R. K. Sharma, Relations between double series and single series, Nederl. Akad. Wetensch. Indag. Math., 1979, 55-61

[3]

H. M. Srivastava, Sums of certain double $q$-hypergeometric series., Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 1984, 1-8

投稿日：3月11日

更新日：3月12日