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二重超幾何級数と超幾何級数の間の関係式のq類似

二重超幾何級数と超幾何級数の間の関係式
\begin{align} &\sum_{0\leq k,l}\frac{(-n,b,c)_k}{k!\left(1+a-d,b+c-a-n\right)_k}\frac{(-m,b',c')_l}{l!\left(1+a-d,b'+c'-a-m\right)_l}\frac{\left(1+a-d\right)_{k+l}}{(1+a)_{k+l}}\\ &=\frac{(1+a-b,1+a-c)_m(1+a-b',1+a-c')_n}{(1+a,1+a-b-c)_m(1+a,1+a-b'-c')_n}\\ &\cdot\F98{a,1+\frac a2,b,c,b',c',d,-m,-n}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-b',1+a-c',1+a-d,1+a+m,1+a+n}1 \end{align}
がSharmaによって示されている. この$q$類似も同様にできたが, 今のところ先行研究は見つけることができていない. それは以下のようになる.

\begin{align} &\sum_{0\leq k,l}\frac{(b,c,q^{-m};q)_k}{(q,aq/d,bcq^{-m}/a;q)_k}q^k\frac{(b',c',q^{-m};q)_l}{(q,aq/d,b'c'q^{-n}/a;q)_l}q^l\frac{(aq/d;q)_{k+l}}{(aq;q)_{k+l}}\\ &=\frac{(aq/b,aq/c;q)_m(aq/b',aq/c';q)_n}{(aq,aq/bc;q)_m(aq,aq/b'c';q)_n}\\ &\cdot\Q{10}9{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,b',c',d,q^{-m},q^{-n}}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/b',aq/c',aq/d,aq^{m+1},aq^{n+1}}{\frac{a^3q^{n+m+3}}{bcb'c'd}} \end{align}

ほとんど同じような形で$q$類似が成り立っていることが分かる. 実際証明も全く同様である.

Rogersの${}_6\phi_5$和公式より,
\begin{align} \frac{(aq;q)_k(aq;q)_l(aq/d;q)_{k+l}}{(aq/d;q)_k(aq/d;q)_l(aq;q)_{k+l}}=\Q65{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,q^{-k},q^{-l},d}{\sqrt a,-\sqrt a,aq^{k+1},aq^{l+1},aq/d}{\frac{aq^{k+l+1}}d} \end{align}
であるから, これを右辺に用いると,
\begin{align} &\sum_{0\leq k,l}\frac{(b,c,q^{-m};q)_k}{(q,aq/d,bcq^{-m}/a;q)_k}q^k\frac{(b',c',q^{-m};q)_l}{(q,aq/d,b'c'q^{-n}/a;q)_l}q^l\frac{(aq/d;q)_{k+l}}{(aq;q)_{k+l}}\\ &=\sum_{0\leq k,l}\frac{(b,c,q^{-m};q)_k}{(q,aq,bcq^{-m}/a;q)_k}q^k\frac{(b',c',q^{-m};q)_l}{(q,aq,b'c'q^{-n}/a;q)_l}q^l\Q65{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,q^{-k},q^{-l},d}{\sqrt a,-\sqrt a,aq^{k+1},aq^{l+1},aq/d}{\frac{aq^{k+l+1}}d} \end{align}
であり, $q$-Saalschützの和公式より,
\begin{align} \sum_{0\leq k}\frac{(b,c,q^{-m};q)_k}{(q,aq,bcq^{-m}/a;q)_k}q^k\frac{(q^{-k};q)_j}{(aq^{k+1};q)_j}q^{jk}&=\frac{(aq/b,aq/c;q)_m}{(aq,aq/bc;q)_m}\frac{(b,c,q^{-m};q)_j}{(aq/b,aq/c,aq^{m+1};q)_j}\left(\frac{aq^{m+1}}{bc}\right)^j \end{align}
だから, 定理を得る.

$n,m\to\infty$とすると以下を得る.

\begin{align} &\sum_{0\leq k,l}\frac{(b,c;q)_k}{(q,aq/d;q)_k}\left(\frac{aq}{bc}\right)^k\frac{(b',c';q)_l}{(q,aq/d;q)_l}\left(\frac{aq}{b'c'}\right)^l\frac{(aq/d;q)_{k+l}}{(aq;q)_{k+l}}\\ &=\frac{(aq/b,aq/c,aq/b',aq/c';q)_{\infty}}{(aq,aq,aq/bc,aq/b'c';q)_{\infty}}\\ &\cdot\Q{8}9{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,b',c',d}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/b',aq/c',aq/d,0,0}{\frac{a^3q^3}{bcb'c'd}} \end{align}

さらに$aq=bb'$とすると以下を得る.

$aq=bb'$のとき,
\begin{align} &\sum_{0\leq k,l}\frac{(b,c;q)_k}{(q,aq/d;q)_k}\left(\frac{b'}{c}\right)^k\frac{(b',c';q)_l}{(q,aq/d;q)_l}\left(\frac{b}{c'}\right)^l\frac{(aq/d;q)_{k+l}}{(aq;q)_{k+l}}\\ &=\frac{(b,b',aq/c,aq/c';q)_{\infty}}{(aq,aq,b'/c,b/c';q)_{\infty}}\\ &\cdot\Q{6}7{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,c,c',d}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/c,aq/c',aq/d,0,0}{\frac{a^2q^2}{cc'd}} \end{align}

古典的な場合においては, 右辺は${}_5F_4$となりDougallの和公式によってガンマ関数で表すことができ, Carlitzによる和公式を得る. 右辺は積で表せないと思われるが, この等式はCarlitzによる公式の$q$類似を与えている. Watsonの${}_8\phi_7$変換公式の退化として得られる公式
\begin{align} \Q67{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,0,0}{\frac{a^2q^2}{bcd}}&=\frac{(aq,aq/bc;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c;q)_{\infty}}\Q21{b,c}{aq/d}{\frac{aq}{bc}} \end{align}
を用いると, 上の系は以下のようになる. これはKrattenthalerによって1989年に示された公式である.

$aq=bb'$のとき,
\begin{align} &\sum_{0\leq k,l}\frac{(b,c;q)_k}{(q,aq/d;q)_k}\left(\frac{b'}{c}\right)^k\frac{(b',c';q)_l}{(q,aq/d;q)_l}\left(\frac{b}{c'}\right)^l\frac{(aq/d;q)_{k+l}}{(aq;q)_{k+l}}\\ &=\frac{(b,b',aq/cc';q)_{\infty}}{(aq,b'/c,b/c';q)_{\infty}}\Q21{c,c'}{aq/d}{\frac{aq}{cc'}} \end{align}

定理1において, $aq=bb'=cc'$とすると, 以下を得る.

$n,m$を非負整数, $aq=bb'=cc'$としたとき,
\begin{align} &\sum_{0\leq k,l}\frac{(b,c,q^{-m};q)_k}{(q,aq/d,bcq^{-m}/a;q)_k}q^k\frac{(b',c',q^{-n};q)_l}{(q,aq/d,b'c'q^{-n}/a;q)_l}q^l\frac{(aq/d;q)_{k+l}}{(aq;q)_{k+l}}\\ &=\frac{(aq/b,aq/c;q)_m(aq/b',aq/c';q)_n(aq/d;q)_{m+n}}{(aq/d,aq/bc;q)_m(aq/d,aq/b'c';q)_n(aq;q)_{m+n}} \end{align}
が成り立つ.

\begin{align} &\sum_{0\leq k,l}\frac{(b,c,q^{-m};q)_k}{(q,aq/d,bcq^{-m}/a;q)_k}q^k\frac{(b',c',q^{-n};q)_l}{(q,aq/d,b'c'q^{-n}/a;q)_l}q^l\frac{(aq/d;q)_{k+l}}{(aq;q)_{k+l}}\\ &=\frac{(aq/b,aq/c;q)_m(aq/b',aq/c';q)_n}{(aq,aq/bc;q)_m(aq,aq/b'c';q)_n}\\ &\cdot\Q{6}5{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,d,q^{-m},q^{-n}}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/d,aq^{m+1},aq^{n+1}}{\frac{aq^{n+m+1}}{d}} \end{align}
より, Rogersの${}_6\phi_5$和公式を用いて,
\begin{align} &\Q{6}5{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,d,q^{-m},q^{-n}}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/d,aq^{m+1},aq^{n+1}}{\frac{aq^{n+m+1}}{d}}\\ &=\frac{(aq;q)_n(aq;q)_m(aq/d;q)_{m+n}}{(aq/d;q)_n(aq/d;q)_m(aq;q)_{m+n}} \end{align}
であるから定理を得る.

さらに$d\to\infty$とすると, 以下を得る.

$n,m$を非負整数, $aq=bb'=cc'$としたとき,
\begin{align} &\sum_{0\leq k,l}\frac{(b,c,q^{-m};q)_k}{(q,bcq^{-m}/a;q)_k}q^k\frac{(b',c',q^{-n};q)_l}{(q,b'c'q^{-n}/a;q)_l}q^l\frac{1}{(aq;q)_{k+l}}\\ &=\frac{(aq/b,aq/c;q)_m(aq/b',aq/c';q)_n}{(aq/bc;q)_m(aq/b'c';q)_n(aq;q)_{m+n}} \end{align}
が成り立つ.

これはSrivastavaによって1984年に示された公式であり, R. N. Jainによる1966年の公式の$q$類似である.

定理1において, $c=c'=aq/d$とすると以下を得る.

非負整数$m,n$に対して,
\begin{align} &\sum_{0\leq k,l}\frac{(b,q^{-m};q)_k}{(q,bcq^{-m}/a;q)_k}q^k\frac{(b',q^{-n};q)_l}{(q,b'cq^{-n}/a;q)_l}q^l\frac{(c;q)_{k+l}}{(aq;q)_{k+l}}\\ &=\frac{(aq/b,aq/c;q)_m(aq/b',aq/c;q)_n}{(aq,aq/bc;q)_m(aq,aq/b'c;q)_n}\\ &\cdot\Q{8}7{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,b',c,q^{-m},q^{-n}}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/b',aq/c,aq^{m+1},aq^{n+1}}{\frac{a^2q^{n+m+2}}{bb'c}} \end{align}
が成り立つ.

これはCarlitzによって1970年に示された公式の$q$類似である.

定理1において, $d\to\infty$とすると, 以下を得る.

非負整数$m,n$に対して,
\begin{align} &\sum_{0\leq k,l}\frac{(b,c,q^{-m};q)_k}{(q,bcq^{-m}/a;q)_k}q^k\frac{(b',c',q^{-n};q)_l}{(q,b'c'q^{-n}/a;q)_l}q^l\frac{1}{(aq;q)_{k+l}}\\ &=\frac{(aq/b,aq/c;q)_m(aq/b',aq/c';q)_n}{(aq,aq/bc;q)_m(aq,aq/b'c';q)_n}\\ &\cdot\Q{9}9{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,b',c',q^{-m},q^{-n}}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/b',aq/c',aq^{m+1},aq^{n+1},0}{\frac{a^3q^{n+m+3}}{bcb'c'}} \end{align}
が成り立つ.

非負整数$m,n$に対して,
\begin{align} &\sum_{0\leq k,l}\frac{(b,q^{-m};q)_k}{(q,c,d;q)_k}q^k\frac{(b',q^{-m};q)_l}{(q,c',d;q)_l}q^l(d;q)_{k+l}\\ &=\frac{(c/b;q)_m(c'/b';q)_n}{(c;q)_m(c';q)_n}b^m{b'}^n\Q{4}3{b,b',q^{-m},q^{-n}}{bq^{1-m}/c,b'q^{1-n}/c',d}{\frac{dq^2}{cc'}} \end{align}
が成り立つ.

定理1において, $c\mapsto acq^m/b, c'\mapsto ac'q^n/b', d\mapsto aq/d$として,
\begin{align} &\sum_{0\leq k,l}\frac{(b,acq^m/b,q^{-m};q)_k}{(q,c,d;q)_k}q^k\frac{(b',ac'q^n/b',q^{-m};q)_l}{(q,c',d;q)_l}q^l\frac{(d;q)_{k+l}}{(aq;q)_{k+l}}\\ &=\frac{(aq/b,bq^{1-m}/c;q)_m(aq/b',b'q^{1-n}/c';q)_n}{(aq,q^{1-m}/c;q)_m(aq,q^{1-n}/c';q)_n}\\ &\cdot\Q{10}9{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,acq^m/b,b',ac'q^n/b',aq/d,q^{-m},q^{-n}}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,bq^{1-m}/c,aq/b',b'q^{1-n}/c',d,aq^{m+1},aq^{n+1}}{\frac{dq^2}{cc'}} \end{align}
ここで, $a\to 0$すると,
\begin{align} &\sum_{0\leq k,l}\frac{(b,q^{-m};q)_k}{(q,c,d;q)_k}q^k\frac{(b',q^{-m};q)_l}{(q,c',d;q)_l}q^l(d;q)_{k+l}\\ &=\frac{(bq^{1-m}/c;q)_m(b'q^{1-n}/c';q)_n}{(q^{1-m}/c;q)_m(q^{1-n}/c';q)_n}\Q{4}3{b,b',q^{-m},q^{-n}}{bq^{1-m}/c,b'q^{1-n}/c',d}{\frac{dq^2}{cc'}}\\ &=\frac{(c/b;q)_m(c'/b';q)_n}{(c;q)_m(c';q)_n}b^m{b'}^n\Q{4}3{b,b',q^{-m},q^{-n}}{bq^{1-m}/c,b'q^{1-n}/c',d}{\frac{dq^2}{cc'}} \end{align}
を得る.

次はSrivastavaによって1984年に示された公式である.

$n,m$を非負整数, $b=b'q^{1-n}/c', b'=bq^{1-m}/c$とするとき,
\begin{align} &\sum_{0\leq k,l}\frac{(b,q^{-m};q)_k}{(q,c,d;q)_k}q^k\frac{(b',q^{-m};q)_l}{(q,c',d;q)_l}q^l(d;q)_{k+l}\\ &=\frac{(b';q)_m(b;q)_n(d;q)_{m+n}}{(b'/b,d;q)_m(b/b',d;q)_n} \end{align}

$b=b'q^{1-n}/c', b'=bq^{1-m}/c$とするとき, $cc'=q^{2-n-m}$であることに注意すると, 前の系と $q$-Vandermondeの和公式より,
\begin{align} &\sum_{0\leq k,l}\frac{(b,q^{-m};q)_k}{(q,c,d;q)_k}q^k\frac{(b',q^{-m};q)_l}{(q,c',d;q)_l}q^l(d;q)_{k+l}\\ &=\frac{(b';q)_m(b;q)_n}{(b'/b;q)_m(b/b';q)_n}\Q21{q^{-m},q^{-n}}{d}{dq^{n+m}}\\ &=\frac{(b';q)_m(b;q)_n}{(b'/b;q)_m(b/b';q)_n}\frac{(d;q)_{m+n}}{(d;q)_m(d;q)_n} \end{align}
となって示される.

参考文献

[1]

Christian, Krattenthaler, $q$-analogue of a two variable inverse pair of series with applications to basic double hypergeometric series., Canad. J. Math., 1989, 743-768

[2]

R. K. Sharma, Relations between double series and single series, Nederl. Akad. Wetensch. Indag. Math., 1979, 55-61

[3]

H. M. Srivastava, Sums of certain double $q$-hypergeometric series., Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 1984, 1-8

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更新日：5日前