Sakuradaの定理のq類似
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において, FMZVにおけるSakuradaの定理を超幾何級数の公式から示した. 超幾何級数による証明が与えられれば, その$q$類似も同様の方法でできるのではないかと期待するのは自然である. まず,
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の$q$-Ohno-Zagierの関係式の証明と同様の議論により, $I_0(k,r,s)$を重さ$k$, 深さ$r$, 高さ$s$のインデックス全体の集合,
\begin{align}
\zeta_{< N}(\bk;q):=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r< N}\prod_{i=1}^r\frac{q^{n_i(k_i-1)}}{(1-q^{n_i})^{k_i}}
\end{align}
としたとき, $\alpha+\beta=u+v+uv-w, \alpha\beta=w$となる$\alpha,\beta$により,
\begin{align}
\sum_{0< k,r,s}\left(\sum_{\bk\in I_0(k,r,s)}\zeta_{< N}(\bk;q)\right)u^{k-r-s}v^{r-s}w^{s-1}&=\frac 1{w-uv}\sum_{k=1}^{N-1}\frac{\left(\frac{1+u}{1+\alpha},\frac{1+u}{1+\beta};q\right)_k}{((1+u)q,q;q)_k}\left((1+v)q\right)^k
\end{align}
が成り立つ.
Sears-Thomaeの変換公式
\begin{align}
\Q32{a,b,c}{d,e}{\frac{de}{abc}}&=\frac{(e/c,de/ab;q)_{\infty}}{(e,de/abc;q)_{\infty}}\Q32{d/a,d/b,c}{d,de/ab}{\frac ec}
\end{align}
において, $c\to q^{-N}$とすると,
\begin{align}
\Q32{a,b,q^{-N}}{d,e}{\frac{deq^N}{ab}}&=\frac{(de/ab;q)_N}{(e;q)_N}\Q32{d/a,d/b,q^{-N}}{d,de/ab}{eq^N}
\end{align}
となる. さらに$e\to q^{-N}$とすると,
\begin{align}
\sum_{k=0}^N\frac{(a,b;q)_k}{(e,q;q)_k}\left(\frac{e}{ab}\right)^k&=\frac{(eq^{-N}/ab;q)_N}{(e;q)_N}\sum_{k=0}^N\frac{(q^{-N}/a,q^{-N}/b;q)_k}{(eq^{-N}/ab,q;q)_k}(eq^N)^k
\end{align}
が得られる. これを書き換えると,
\begin{align}
&\sum_{k=0}^{N-1}\frac{(a,b;q)_k}{(e,q;q)_k}\left(\frac{e}{ab}\right)^k\\
&=\frac{(eq^{-N}/ab;q)_N}{(e;q)_N}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{(q^{-N}/a,q^{-N}/b;q)_k}{(eq^{-N}/ab,q;q)_k}(eq^N)^k+\frac{(q^{-N}/a,q^{-N}/b;q)_N}{(e,q;q)_N}e^Nq^{N^2}-\frac{(a,b;q)_N}{(e,q;q)_N}\left(\frac e{ab}\right)^N\\
&=\frac{(eq^{-N}/ab;q)_N}{(e;q)_N}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{(q^{-N}/a,q^{-N}/b;q)_k}{(eq^{-N}/ab,q;q)_k}(eq^N)^k+\frac{(e/ab)^N}{(e,q;q)_N}((aq,bq;q)_Nq^{-N}-(a,b;q)_N)\\
&=\frac{(eq^{-N}/ab;q)_N}{(e;q)_N}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{(q^{-N}/a,q^{-N}/b;q)_k}{(eq^{-N}/ab,q;q)_k}(eq^N)^k+\frac{(e/ab)^N(aq,bq;q)_{N-1}}{(e;q)_N(q;q)_{N-1}}(q^{-N}-ab)\\
\end{align}
が得られる. ここで, $e=ab(1+v)q$として, $q$を$1$の原始$N$乗根とすると,
\begin{align}
&\sum_{k=0}^{N-1}\frac{(a,b;q)_k}{(e,q;q)_k}\left(\frac{e}{ab}\right)^k\\
&=\frac{1-(1+v)^N}{1-(ab(1+v))^N}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{(1/a,1/b;q)_k}{((1+v)q,q;q)_k}(ab(1+v)q)^k+\frac{(1+v)^N(1-a^N)(1-b^N)(1-ab)}{(1-a)(1-b)N(1-(ab(1+v))^N)}\\
\end{align}
を得る. ここで, $\alpha+\beta=u+v+uv-w, \alpha\beta=w$となる$\alpha,\beta$を用いて, $a=\frac{1+\alpha}{1+v}, b=\frac{1+\beta}{1+v}$とすると,
\begin{align}
\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\left(\frac{1+u}{1+\alpha},\frac{1+u}{1+\beta};q\right)_k}{((1+u)q,q;q)_k}\left((1+v)q\right)^k&=\frac{1-(1+v)^N}{1-(1+u)^N}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\left(\frac{1+v}{1+\alpha},\frac{1+v}{1+\beta};q\right)_k}{((1+v)q,q;q)_k}((1+u)q)^k\\
&\qquad+\frac{(1+v)^N\left(1-\left(\frac{1+\alpha}{1+v}\right)^N\right)\left(1-\left(\frac{1+\beta}{1+v}\right)^N\right)\left(1-\frac{1+u}{1+v}\right)}{N\left(1-\frac{1+\alpha}{1+v}\right)\left(1-\frac{1+\beta}{1+v}\right)(1-(1+u)^N)}\\
&=\frac{1-(1+v)^N}{1-(1+u)^N}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\left(\frac{1+v}{1+\alpha},\frac{1+v}{1+\beta};q\right)_k}{((1+v)q,q;q)_k}((1+u)q)^k\\
&\qquad+\frac{((1+u)^N+(1+v)^N-(1+\alpha)^N-(1+\beta)^N)\left(v-u\right)}{N(w-uv)(1-(1+u)^N)}
\end{align}
を得る. よって,
\begin{align}
&((1+u)^N-1)\sum_{k=1}^{N-1}\frac{\left(\frac{1+u}{1+\alpha},\frac{1+u}{1+\beta};q\right)_k}{((1+u)q,q;q)_k}\left((1+v)q\right)^k-((1+v)^N-1)\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\left(\frac{1+v}{1+\alpha},\frac{1+v}{1+\beta};q\right)_k}{((1+v)q,q;q)_k}((1+u)q)^k\\
&=(1+v)^N-(1+u)^N+\frac{((1+u)^N+(1+v)^N-(1+\alpha)^N-(1+\beta)^N)\left(u-v\right)}{N(w-uv)}
\end{align}
となるから, 両辺を$w-uv$で割って,
\begin{align}
&((1+u)^N-1)\sum_{0< k,r,s}\left(\sum_{\bk\in I_0(k,r,s)}\zeta_{< N}(\bk;q)\right)u^{k-r-s}v^{r-s}w^{s-1}\\
&\qquad-((1+v)^N-1)\sum_{0< k,r,s}\left(\sum_{\bk\in I_0(k,r,s)}\zeta_{< N}(\bk;q)\right)v^{k-r-s}u^{r-s}w^{s-1}\\
&=\frac{1}{w-uv}\left((1+v)^N-(1+u)^N+\frac{((1+u)^N+(1+v)^N-(1+\alpha)^N-(1+\beta)^N)\left(u-v\right)}{N(w-uv)}\right)
\end{align}
を得る. つまり, 以下が得られた.
$q$を$1$の原始$N$乗根とする. $I_0(k,r,s)$を重さ$k$, 深さ$r$, 高さ$s$のインデックス全体の集合, $\alpha+\beta=u+v+uv-w, \alpha\beta=w$
\begin{align}
X_{0,N}(k,r,s):=\sum_{\bk\in I_0(k,r,s)}\zeta_{< N}(\bk;q)
\end{align}
とするとき,
\begin{align}
&((1+u)^N-1)\sum_{0< k,r,s}X_{0,N}(k,r,s)u^{k-r-s}v^{r-s}w^{s-1}\\
&\qquad-((1+v)^N-1)\sum_{0< k,r,s}X_{0,N}(k,r,s)v^{k-r-s}u^{r-s}w^{s-1}\\
&=\frac{1}{w-uv}\left((1+v)^N-(1+u)^N+\frac{((1+u)^N+(1+v)^N-(1+\alpha)^N-(1+\beta)^N)\left(u-v\right)}{N(w-uv)}\right)
\end{align}
が成り立つ. 特に, 両辺の$u^{m+n-s}v^{n-s}w^{s-1}$の係数を比較して以下を得る.
\begin{align}
\sum_{k=1}^N\binom Nk(X_{0,N}(m+n-k,n,s)-X_{0,N}(m+n-k,m,s))\in\ZZ
\end{align}
このような$q$有限多重調和和に$1$のべき根を代入した値は, Bachmann-Takeyama-Tasakaの論文, Cyclotomic analogues of finite multiple zeta valuesで導入されたものである. その論文において,
\begin{align}
\lim_{N\to\infty}(1-e^{\frac{2\pi i}N})^{k_1+\cdots+k_r}\zeta_{< N}(\bk;e^{\frac{2\pi i}N})=\zeta_{\mathcal{RS}}(\bk)
\end{align}
が示されている. ここで, $\zeta_{\mathcal{RS}}$はRefined対称多重ゼータ値であり, これについてはたけのこ赤軍による記事
Refined対称多重ゼータ値とBTT philosophy
にも書かれている. よって, 定理1において$u,v,w\mapsto (1-q)u,(1-q)v,(1-q)^2w$として$N\to\infty$とすると
\begin{align}
\lim_{N\to\infty}(1+(1-e^{\frac{2\pi i}N})t)^N&=e^{-2\pi it}
\end{align}
などを用いて, 以下が得られることが分かる.
$I_0(k,r,s)$を重さ$k$, 深さ$r$, 高さ$s$のインデックス全体の集合, $\alpha+\beta=u+v, \alpha\beta=w$
\begin{align}
X_0(k,r,s):=\sum_{\bk\in I_0(k,r,s)}\zeta_{\mathcal{RS}}(\bk)
\end{align}
とするとき,
\begin{align}
&(e^{-2\pi iu}-1)\sum_{0< k,r,s}X_0(k,r,s)u^{k-r-s}v^{r-s}w^{s-1}\\
&\qquad-(e^{-2\pi iv}-1)\sum_{0< k,r,s}X_0(k,r,s)v^{k-r-s}u^{r-s}w^{s-1}\\
&=\frac{1}{w-uv}\left(e^{-2\pi iv}-e^{-2\pi iu}-\frac{(e^{-2\pi iu}+e^{-2\pi iv}-e^{-2\pi i\alpha}-e^{-2\pi i\beta})\left(u-v\right)}{2\pi i(w-uv)}\right)
\end{align}
が成り立つ. 特に, 両辺の$u^{m+n-s}v^{n-s}w^{s-1}$の係数を比較して以下を得る.
\begin{align}
\sum_{k=0}^{m+n-1}\frac{(-2\pi i)^k}{(k+1)!}(X_0(m+n-k-1,n,s)-X_0(m+n-k-1,m,s))\in (\pi i)^{m+n-1}\QQ
\end{align}
特に, 両辺を$-2\pi i$で割ってから$\mathrm{mod}\,\pi i$とすると
\begin{align}
X_0(m+n-1,n,s)=X_0(m+n-1,m,s)\pmod{\pi i}
\end{align}
を得る. これはSakuradaによって示された定理である.
