中間被覆と自己同型群の正規部分群について

　$\sigma \in G$ に対して $f\circ \sigma ={\phi }_{\sigma }\circ f$ を満たすような ${\phi }_{\sigma }\in {\text{Aut}}_q(Z/X)$ に対応させる群準同型写像 $$\phi :G\to {\text{Aut}}_q(Z/X)$$ によって
$$G/{\text{Aut}}_f(Y/Z)\simeq {\text{Aut}}_q(Z/X)$$
を得る。

$$Yf\sigma Yf\circlearrowright Z{\phi }_{\sigma }Z$$

　任意の $\sigma \in G$ をとる。任意の $y\in Y$ に対して $x:=p(x)$ とおくと
$$x=q(f(y))=q(f(\sigma (y)))$$
より、$f(y)$ と $f(\sigma (y))$ は ファイバー $q^{-1}(x)$ の点となっている。いま $Z/X$ はガロア被覆であるから ${\phi }_{\sigma }(f(y))=f(\sigma (y))$ となるような ${\phi }_{\sigma }\in {\text{Aut}}_q(Z/X)$ が存在する。この ${\phi }_{\sigma }$ は $\sigma$ に対して一意的に定まる。これは次のようにしてわかる：
　${\phi }_{\sigma }^{\prime }\in {\text{Aut}}_q(Z/X)$ が ${\phi }_{\sigma }^{\prime }(f(y))=f(\sigma (y))$ を満たすとすると
$${\phi }_{\sigma }(f(y))={\phi }_{\sigma }^{\prime }(f(y))$$
が成り立つ。よって ${\phi }_{\sigma }^{-1}\circ {\phi }_{\sigma }^{\prime }$ は固定点を持つような ${\text{Aut}}_q(Z/X)$ の元である。ゆえに 被覆の自己同型について の補題 2 より、${\phi }_{\sigma }={\phi }_{\sigma }^{\prime }$ である。したがって群準同型写像
$$\phi :G\to {\text{Aut}}_q(Z/X),\sigma \mapsto {\phi }_{\sigma }$$
が定まる。
　いま ${\phi }_{\sigma }(f(y))=f(\sigma (y))$ より ${\phi }_{\sigma }\circ f$ と $f\circ \sigma$ は 1 点 $y$ の行き先が等しいことがわかっているが、さらに $Y$ 全体で一致している。これは
$$q\circ ({\phi }_{\sigma }\circ f)=q\circ (f\circ \sigma )$$
が成り立つことからわかる（ 被覆の自己同型について の命題 3 ）。
　次に ${\text{Aut}}_f(Y/Z)$ が $G$ の正規部分群であることを示す。$q\circ ({\phi }_{\sigma }\circ f)=q\circ (f\circ \sigma )$ より以下のように $\text{Ker}(\phi )={\text{Aut}}_f(Y/Z)$ となる：

$$\begin{array}{rcl}& & \sigma \in \text{Ker}(\phi )\\ & ⟺& {\phi }_{\sigma }={\text{id}}_Z\\ & ⟺& {\phi }_{\sigma }\circ f=f\\ & ⟺& f=f\circ \sigma \\ & ⟺& \sigma \in {\text{Aut}}_q(Z/X)\end{array}$$

　最後に $\phi$ が全射であることを示す。任意の $\tau \in {\text{Aut}}_q(Z/X)$ をとる。任意の $z\in Z$ に対して $f$ が全射であることから $f(y)=z,f(y^{\prime })=\tau (z)$ となるような $y,y^{\prime }\in Y$ が存在する。$x:=q(f(y))=q(f(y^{\prime }))$ とおくと $f(y)$ と $f(y^{\prime })$ はファイバー $p^{-1}(x)$ の点であるから、$Y/X$ がガロア被覆であることより $\sigma (y)=y^{\prime }$ となるような $\sigma \in G$ が存在する。よって $f(\sigma (y))=\tau (f(y))$ となる。よって 被覆の自己同型について の命題 3 より、$f\circ \sigma =\tau \circ f$ となるから、$\phi$ の定め方より ${\phi }_{\sigma }=\tau$ である。

　$H$ は $G$ の正規部分群であるから $G/H$ は $Y/H$ に作用する。この作用は同相写像
$$(Y/H)/(G/H)\to Y/G(\simeq X)$$
を誘導する。$G/H$ を自然に ${\text{Aut}}_{{\bar{p}}_H}((Y/H)/Z)$ に埋め込むことができるから
$$(Y/H)/{\text{Aut}}_{{\bar{p}}_H}((Y/H)/Z)\simeq X$$
を得る。

　$H^{\prime }:={\text{Aut}}_{{\bar{p}}_H}((Y/H)/Z)$ とおく。 ガロア被覆について の定義より、${\bar{p}}_H$ によって誘導される連続写像 $q$ が同相写像であることを示す。

$$Y\pi p\circlearrowright Y/H{\pi }_{H^{\prime }}{\bar{p}}_{H}X\circlearrowright (Y/H)/H^{\prime }q$$

　既に $q$ は全射連続開写像であるから単射であることを示せばよい。 被覆の自己同型群の部分群について の補題 2 より、$G/H$ は $Y/H$ に作用する。よって ${\bar{p}}_H$ と同相写像 $\bar{p}:Y/G\to X$ の逆写像の合成
$${\bar{p}}^{-1}\circ {\bar{p}}_H:Y/H\to X\to Y/G,H(y)\mapsto p(y)\mapsto G(y)$$
は、同相写像
$$\phi :(Y/H)/(G/H)\to Y/G,G/H(H(y))\mapsto G(y)$$
を誘導し、${\bar{p}}_H$ は連続写像
$$\psi :(Y/H)/(G/H)\to (Y/H)/H^{\prime },G/H(H(y))\mapsto H^{\prime }(H(y))$$
を誘導する。可換図式で表すと次の通り：

$$(Y/H)/(G/H)\psi \phi \circlearrowright Y/G(Y/H)/H^{\prime }{\bar{p}}^{-1}\circ q$$

$\phi$ は単射であるから $\psi$ は全単射となり、その結果 $q$ は単射となる。