集合 ⑮

Prop & Proof

任意の$x\in U$をとる。
差集合、和集合、共通部分の定義より、次が成り立つ。
$$ x\in A\setminus(B\cup C)\ \Leftrightarrow\ x\in A\land x\notin(B\cup C) $$
$$ x\in B\cup C\ \Leftrightarrow\ x\in B\lor x\in C $$
$$ x\in (A\setminus B)\cap(A\setminus C)\ \Leftrightarrow\ (x\in A\setminus B)\land(x\in A\setminus C) $$
また命題論理の恒真式として、任意の命題$P,Q,R$について次が成り立つ。
$$ \neg(P\lor Q)\ \Leftrightarrow\ \neg P\land\neg Q $$
$$ (P\land Q)\land R\ \Leftrightarrow\ P\land(Q\land R) $$
$$ P\land P\ \Leftrightarrow\ P $$
これらを用いると、まず左辺は次のように同値変形できる。
$$ \begin{aligned} x\in A\setminus(B\cup C) &\Leftrightarrow x\in A\land x\notin(B\cup C) &&\because\text{差集合の定義} \\ &\Leftrightarrow x\in A\land \neg(x\in B\cup C) \\ &\Leftrightarrow x\in A\land \neg(x\in B\lor x\in C) &&\because\text{和集合の定義} \\ &\Leftrightarrow x\in A\land (x\notin B\land x\notin C) &&\because\text{命題論理のド・モルガン法則 } \neg(P\lor Q)\Leftrightarrow(\neg P\land\neg Q) \end{aligned} $$
一方、右辺は次のように同値変形できる。
$$ \begin{aligned} x\in (A\setminus B)\cap(A\setminus C) &\Leftrightarrow (x\in A\setminus B)\land(x\in A\setminus C) &&\because\text{共通部分の定義} \\ &\Leftrightarrow (x\in A\land x\notin B)\land(x\in A\land x\notin C) &&\because\text{差集合の定義} \\ &\Leftrightarrow ((x\in A\land x\notin B)\land x\in A)\land x\notin C &&\because\text{結合法則・交換法則} \\ &\Leftrightarrow ((x\in A\land x\in A)\land x\notin B)\land x\notin C &&\because\text{結合法則・交換法則} \\ &\Leftrightarrow (x\in A\land x\notin B)\land x\notin C &&\because\text{冪等律 } P\land P\Leftrightarrow P \\ &\Leftrightarrow x\in A\land (x\notin B\land x\notin C) &&\because\text{結合法則} \end{aligned} $$
よって、左辺・右辺はいずれも $x\in A\land(x\notin B\land x\notin C)$ と同値であるから、
$$ x\in A\setminus(B\cup C)\ \Leftrightarrow\ x\in (A\setminus B)\cap(A\setminus C) $$
が成り立つ。
以上より任意の$x\in U$について上の同値が成り立つので、集合の等号の定義より
$$ A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus C) $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

任意の$x\in U$をとる。
差集合、積集合、和集合の定義より、次が成り立つ。
$$ x\in A\setminus(B\cap C)\ \Leftrightarrow\ x\in A\land x\notin B\cap C $$
$$ x\in B\cap C\ \Leftrightarrow\ x\in B\land x\in C $$
$$ x\in (A\setminus B)\cup(A\setminus C)\ \Leftrightarrow\ x\in A\setminus B\lor x\in A\setminus C $$
また命題論理の恒真式として、任意の命題$P,Q,R$について次が成り立つ。
$$ \neg(P\land Q)\ \Leftrightarrow\ \neg P\lor\neg Q $$
$$ P\land(Q\lor R)\ \Leftrightarrow\ (P\land Q)\lor(P\land R) $$
これらを用いると、次の同値変形が行う事ができる。
$$ \begin{aligned} x\in A\setminus(B\cap C) &\Leftrightarrow x\in A\land x\notin(B\cap C) &&\because\text{差集合の定義} \\ &\Leftrightarrow x\in A\land \neg(x\in B\cap C)\\ &\Leftrightarrow x\in A\land \neg(x\in B\land x\in C) &&\because\text{共通部分の定義} \\ &\Leftrightarrow x\in A\land (x\notin B\lor x\notin C) &&\because\text{命題論理のド・モルガン法則 } \neg(P\land Q)\Leftrightarrow(\neg P\lor\neg Q) \\ &\Leftrightarrow (x\in A\land x\notin B)\lor(x\in A\land x\notin C) &&\because\text{命題論理の分配法則 } P\land(Q\lor R)\Leftrightarrow(P\land Q)\lor(P\land R) \\ &\Leftrightarrow x\in A\setminus B\lor x\in A\setminus C &&\because\text{差集合の定義 } \bigl(x\in A\setminus B\Leftrightarrow x\in A\land x\notin B\bigr), \\ &&&\phantom{\because}\text{同様に } \bigl(x\in A\setminus C\Leftrightarrow x\in A\land x\notin C\bigr) \\ &\Leftrightarrow x\in (A\setminus B)\cup(A\setminus C) &&\because\text{和集合の定義} \end{aligned} $$
以上より任意の$x\in U$について
$$ x\in A\setminus(B\cap C)\ \Leftrightarrow\ x\in (A\setminus B)\cup(A\setminus C) $$
が成り立つ。
従って集合の等号の定義より
$$ A\setminus(B\cap C)=(A\setminus B)\cup(A\setminus C) $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

任意の$x\in U$をとる。
差集合、和集合の定義より、次が成り立つ。
$$ x\in (A\cup B)\setminus C\ \Leftrightarrow\ (x\in A\cup B)\land x\notin C $$
$$ x\in (A\setminus C)\cup(B\setminus C)\ \Leftrightarrow\ (x\in A\setminus C)\lor(x\in B\setminus C) $$
また命題論理の恒真式として、任意の命題$P,Q,R$について次が成り立つ。
$$ (P\lor Q)\land R\ \Leftrightarrow\ (P\land R)\lor(Q\land R) $$
これらを用いると、次の同値変形が行うことができる。
$$ \begin{aligned} x\in (A\cup B)\setminus C &\Leftrightarrow (x\in A\cup B)\land x\notin C &&\because\text{差集合の定義} \\ &\Leftrightarrow (x\in A\lor x\in B)\land x\notin C &&\because\text{和集合の定義} \\ &\Leftrightarrow (x\in A\land x\notin C)\lor(x\in B\land x\notin C) &&\because\text{命題論理の分配法則 } (P\lor Q)\land R\Leftrightarrow(P\land R)\lor(Q\land R) \\ &\Leftrightarrow (x\in A\setminus C)\lor(x\in B\setminus C) &&\because\text{差集合の定義 } \bigl(x\in A\setminus C\Leftrightarrow x\in A\land x\notin C\bigr), \\ &&&\phantom{\because}\text{同様に } \bigl(x\in B\setminus C\Leftrightarrow x\in B\land x\notin C\bigr) \\ &\Leftrightarrow x\in (A\setminus C)\cup(B\setminus C) &&\because\text{和集合の定義} \end{aligned} $$
以上より任意の$x\in U$について
$$ x\in (A\cup B)\setminus C\ \Leftrightarrow\ x\in (A\setminus C)\cup(B\setminus C) $$
が成り立つ。
従って集合の等号の定義より
$$ (A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup(B\setminus C) $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

任意の$x\in U$をとる。
差集合、共通部分の定義より、次が成り立つ。
$$ x\in (A\cap B)\setminus C\ \Leftrightarrow\ (x\in A\cap B)\land(x\notin C) $$
$$ x\in A\cap B\ \Leftrightarrow\ (x\in A)\land(x\in B) $$
$$ x\in (A\setminus C)\cap(B\setminus C)\ \Leftrightarrow\ (x\in A\setminus C)\land(x\in B\setminus C) $$
これらを用いると、次の同値変形ができる。
$$ \begin{aligned} x\in (A\cap B)\setminus C &\Leftrightarrow (x\in A\cap B)\land(x\notin C) &&\because\text{差集合の定義} \\ &\Leftrightarrow ((x\in A)\land(x\in B))\land(x\notin C) &&\because\text{共通部分の定義} \\ &\Leftrightarrow (x\in A)\land(x\in B)\land(x\notin C) &&\because\text{命題論理の }\land\text{ の結合法則} \\ &\Leftrightarrow (x\in A)\land(x\in B)\land(x\notin C)\land(x\notin C) &&\because\text{命題論理の冪等律 } P\Leftrightarrow(P\land P)\ \text{（逆向きに使用）} \\ &\Leftrightarrow \bigl((x\in A)\land(x\notin C)\bigr)\land\bigl((x\in B)\land(x\notin C)\bigr) &&\because\text{命題論理の }\land\text{ の結合法則・交換法則} \\ &\Leftrightarrow (x\in A\setminus C)\land(x\in B\setminus C) &&\because\text{差集合の定義 } \bigl(x\in A\setminus C\Leftrightarrow (x\in A)\land(x\notin C)\bigr), \\ &&&\phantom{\because}\text{同様に } \bigl(x\in B\setminus C\Leftrightarrow (x\in B)\land(x\notin C)\bigr) \\ &\Leftrightarrow x\in (A\setminus C)\cap(B\setminus C) &&\because\text{共通部分の定義} \end{aligned} $$
以上より任意の$x\in U$について
$$ x\in (A\cap B)\setminus C\ \Leftrightarrow\ x\in (A\setminus C)\cap(B\setminus C) $$
が成り立つ。
従って集合の等号の定義より
$$ (A\cap B)\setminus C=(A\setminus C)\cap(B\setminus C) $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

任意の$x\in U$をとる。
まず左辺について、差集合と共通部分の定義より
$$ \begin{aligned} x\in A\cap(B\setminus C) &\Leftrightarrow (x\in A)\land(x\in B\setminus C) &&\because\text{共通部分の定義} \\ &\Leftrightarrow (x\in A)\land\bigl((x\in B)\land(x\notin C)\bigr) &&\because\text{差集合の定義} \\ &\Leftrightarrow (x\in A)\land(x\in B)\land(x\notin C) \end{aligned} $$
が成り立つ。
次に右辺について、差集合と共通部分の定義、および命題論理のド・モルガン法則と分配法則より
$$ \begin{aligned} x\in (A\cap B)\setminus(A\cap C) &\Leftrightarrow (x\in A\cap B)\land\bigl(x\notin A\cap C\bigr) &&\because\text{差集合の定義} \\ &\Leftrightarrow \bigl((x\in A)\land(x\in B)\bigr)\land \neg(x\in A\cap C) &&\because\text{共通部分の定義} \\ &\Leftrightarrow \bigl((x\in A)\land(x\in B)\bigr)\land \neg\bigl((x\in A)\land(x\in C)\bigr) &&\because\text{共通部分の定義} \\ &\Leftrightarrow \bigl((x\in A)\land(x\in B)\bigr)\land\bigl((x\notin A)\lor(x\notin C)\bigr) &&\because\text{ド・モルガン法則 } \\ &\Leftrightarrow \Bigl(\bigl((x\in A)\land(x\in B)\bigr)\land(x\notin A)\Bigr) \ \lor\ \Bigl(\bigl((x\in A)\land(x\in B)\bigr)\land(x\notin C)\Bigr) &&\because\text{分配法則 } \\ &\Leftrightarrow \Bigl((x\in B)\land\bigl((x\in A)\land(x\notin A)\bigr)\Bigr) \ \lor\ \bigl((x\in A)\land(x\in B)\land(x\notin C)\bigr) &&\because\text{交換法則} \\ &\Leftrightarrow \bot\ \lor\ \bigl((x\in A)\land(x\in B)\land(x\notin C)\bigr) &&\because\text{矛盾律 } P\land\neg P\Leftrightarrow\bot \\ &\Leftrightarrow (x\in A)\land(x\in B)\land(x\notin C) &&\because\text{恒真式 } \bot\lor P\Leftrightarrow P \end{aligned} $$
が成り立つ。
したがって、任意の$x\in U$について
$$ x\in A\cap(B\setminus C)\ \Leftrightarrow\ x\in (A\cap B)\setminus(A\cap C) $$
が成り立つ。
従って集合の等号の定義より
$$ A\cap(B\setminus C)=(A\cap B)\setminus(A\cap C) $$
が成り立つ。
$$ \Box$$