Beukers-Jouhetの双対関係式からKajiharaの変換公式を導出する

$\theta:=z\frac d{dz}$とする. $b_r:=1$として, 任意の相異なる$1\leq i,j\leq r$に対し, $b_i-b_j$は整数でないとする. そのとき, 超幾何微分方程式
\begin{align} (\theta+b_1-1)\cdots(\theta+b_r-1)f=z(\theta+a_1)\cdots(\theta+a_r)f \end{align}
の$r$個の線形独立な解は
\begin{align} f_i(z):=z^{1-b_i}\F r{r-1}{1+a_1-b_i,\dots,1+a_r-b_i}{1+b_1-b_i,\dots,1+b_{i-1}-b_i,1+b_{i+1}-b_i,\dots,1+b_r-b_i}z\qquad 1\leq i\leq r \end{align}
で与えられる. 超幾何微分方程式の双対となる微分方程式の解が
\begin{align} g_i(z):=z^{b_i-1}\F r{r-1}{b_i-a_1,\dots,b_i-a_r}{1+b_i-b_1,\dots,1+b_i-b_{i-1},1+b_i-b_{i+1},\dots,1+b_i-b_r}{z}\qquad 1\leq i\leq r \end{align}
によって与えられる. 前の記事で示したBeukers-Jouhetによる双対関係式は以下のようなものである.

Beukers-Jouhet(2015)

$r\geq 2$として,
\begin{align} c_i:=\prod_{\substack{1\leq j\leq r\\j\neq i}}\frac 1{b_j-b_i}\qquad 1\leq i\leq r \end{align}
とする. このとき, $0\leq k,l\leq r-1$に対し,
\begin{align} \sum_{i=1}^rc_i\theta^k(f_i)(z)\theta^l(g_i)(z)=:M_{kl}\in \QQ(a_1,\dots,a_r,b_1,\dots,b_r,z) \end{align}
である. 特に, $k+l\leq r-2$のとき, $M_{kl}=0$であり, $k+l=r-1$のとき, $\displaystyle M_{kl}=\frac{(-1)^l}{1-z}$である.

今回はこれを用いることにより, Kajiharaの変換公式の書き換えである前の記事の定理4を導出したいと思う.

導出

定理1は前の記事の記法で,
\begin{align} FC^{-1}G^{\top}=\Psi^{-1} \end{align}
と表される. 前の記事の定理3を$A,B,C$を$FC^{-1},G,\Psi^{-1}$として適用すると, $(\Psi^{-1})_{[m]}^{[n]}=0$であるから, $S=[m],T=[n]$として, $R\subset [r],|R|=n$であるようなものに対し,
\begin{align} \det((FC^{-1})_R^{[n]})=\frac{\varepsilon(R^c,R)\det((\Psi^{-1})^{[n]}_{[m]^c})\det(G^{[m]}_{R^c})}{\det(G)} \end{align}
となる. ここで, 前の記事で計算した一般超幾何関数のWronskianにより,
\begin{align} \det(G)=\frac{\prod_{1\leq i< j\leq r}(b_j-b_i)}{z^{r-b_1-\cdots-b_r}(1-z)^{b_1+\cdots+b_{r}-a_1-\cdots-a_{r}}} \end{align}
である($\theta$と$\frac{d}{dx}$の違いの分だけ通常のWronskianと$x^{\binom r2}$倍ずれることに注意). 定理1から
\begin{align} \det((\Psi^{-1})^{[n]}_{[m]^c})=\frac{(-1)^{(r-1)n}}{(1-z)^{n}} \end{align}
となる. また,
\begin{align} \det((FC^{-1})_R^{[n]})&=\det(F^{[n]}_R)\prod_{i\in R}c_i \end{align}
となる. これらを合わせると,
\begin{align} \det(F^{[n]}_R)\prod_{i\in R}c_i=\frac{(-1)^{(r-1)n}\varepsilon(R^c,R)}{z^{b_1+\cdots+b_r-r}(1-z)^{a_1+\cdots+a_r-b_1-\cdots-b_{r}+n}\prod_{1\leq i< j\leq r}(b_j-b_i)}\det(G_{R^c}^{[m]}) \end{align}
を得る. ここで,
\begin{align} \prod_{i\in R}\frac 1{c_i}&=\prod_{\substack{i\in R\\i\neq j}}(b_j-b_i)\\ &=\prod_{\substack{i,j\in R\\i\neq j}}(b_j-b_i)\prod_{i\in R,j\in R^c}(b_j-b_i)\\ &=\prod_{\substack{i,j\in R\\i< j}}(b_j-b_i)\prod_{\substack{i,j\in R\\i< j}}(b_i-b_j)\prod_{i\in R,j\in R^c}(b_j-b_i)\\ \prod_{1\leq i< j\leq r}(b_j-b_i)&=\varepsilon(R,R^c)\prod_{\substack{i,j\in R\\i< j}}(b_j-b_i)\prod_{i\in R,j\in R^c}(b_j-b_i)\prod_{\substack{i,j\in R^c\\i< j}}(b_j-b_i) \end{align}
となるから, $\varepsilon(R^c,R)\varepsilon(R,R^c)$であることにより,
\begin{align} \frac{\det(F^{[n]}_R)}{\prod_{\substack{i,j\in R\\i< j}}(b_i-b_j)}&=\frac{(-1)^{(r-1)n+mn}}{z^{b_1+\cdots+b_r-r}(1-z)^{a_1+\cdots+a_r-b_1-\cdots-b_{r}+n}}\frac{\det(G_{R^c}^{[m]})}{\prod_{\substack{i,j\in R^c\\i< j}}(b_j-b_i)}\\ &=\frac{1}{z^{b_1+\cdots+b_r-r}(1-z)^{a_1+\cdots+a_r-b_1-\cdots-b_{r}+n}}\frac{\det(G_{R^c}^{[m]})}{\prod_{\substack{i,j\in R^c\\i< j}}(b_j-b_i)}\\ \end{align}
である. 分母をVandermondeの行列式を用いて書きかえることによって前の記事の定理4が得られる.