1 集合と関数

1.2

問1

(iii)

p.15例7，p.14例6より
$$ 1 < \left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{n^{2}} < e \quad\leadsto\quad 1 < \left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{n} < e^{\frac{1}{n}} \to 1 \quad(n\to\infty)$$
であるから，命題1.9より
$$ \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{n} = 1$$
を得る．

1.4

問2

(ii)

\begin{align} \frac{\tan u}{u} &= \frac{1}{\cos u}\frac{\sin u}{u} \to 1 \quad(u\to 0);\\ \left|r\frac{\cos^{5}\theta + r\sin^{6}\theta}{\cos^{4}\theta + \sin^{4}\theta}\right| &= r \left|\frac{\cos^{5}\theta + r\sin^{6}\theta}{1-\frac{1}{2}\sin^{2}2\theta}\right|\leq 2r(1+r) \to 0 \quad (r\to 0). \end{align}

(iii)

(iv)

\begin{align} \frac{1-\cos{u}}{u^{2}} &= \left(\frac{\sin{u}}{u}\right)^{2}\frac{1}{1+\cos{u}} \to \frac{1}{2} \quad(u\to 0);\\ \frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}y^{2}} &= \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}} \to +\infty \quad((x,y)\to 0). \end{align}

演習問題

2

$$ x_{n} = \frac{\lfloor 10^{n}\sqrt{3} \rfloor}{10^{n}}.$$

3

(i)

$0 < a_{1}=1 \leq 1$であり，
$$ 0 < a_{n} \leq 1 \implies 0 < a_{n+1} = \frac{1}{1+a_{n}} \leq 1$$
が成り立つので，$(a_{n})_{n}$は有界である．ここで，写像$f \colon \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}_{>0}$を
$$ f(x) \coloneqq \frac{1}{1+x}$$
で定めると，
$$ f(x)-f(y) = \frac{1}{1+x}-\frac{1}{1+y} = \frac{y-x}{(1+x)(1+y)}$$
より，
$$ x < y \implies f(x) > f(y) \implies f(f(x)) < f(f(y))$$
が成り立つ．

1. $a_{1}=1 > 2/3 = a_{3}$であり，
   $$ a_{2n-1} > a_{2n+1} \implies a_{2n+1} = f(f(a_{2n-1})) > f(f(a_{2n+1})) = a_{2n+3}$$
   が成り立つので，$(a_{2n-1})_{n}$は単調減少数列である．
2. $a_{2}=1/2 < 3/5 = a_{4}$であり，
   $$ a_{2n} < a_{2n+2} \implies a_{2n+2} = f(f(a_{2n})) < f(f(a_{2n+2})) = a_{2n+4}$$
   が成り立つので，$(a_{2n})_{n}$は単調増加数列である．

よって$(a_{2n-1})_{n},\,(a_{2n})_{n}$は収束するのでその極限をそれぞれ
$$ \alpha \coloneqq \lim_{n\to\infty} a_{2n-1},\ \beta \coloneqq \lim_{n\to\infty} a_{2n}$$
とおくと，
$$ \alpha = \frac{1}{1+\beta},\ \beta = \frac{1}{1+\alpha}$$
より
$$ \alpha+\alpha\beta = 1 = \beta + \beta\alpha \quad\leadsto\quad \alpha = \beta$$
となり，したがって$(a_{n})_{n}$は$\alpha$に収束する．あとは
$$ \alpha^{2}+\alpha-1=0,\ \alpha > 0$$
を解いて
$$ \alpha = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$$
を得る．

(ii)

まづ，$a_{n}>0$であり，
$$ a_{n+2}^{2}-a_{n+1}^{2} = (3+a_{n+1}) - (3+a_{n}) = a_{n+1}-a_{n}$$
が成り立つことに注意する．ここで，$x^{2}-x-3$の正の根を$\alpha$とすると，$\alpha>1$であり，
$$ a_{1}^{2}-a_{2}^{2} = a_{1}^{2}-a_{1}-3 = a_{1}^{2}-a_{1}-\alpha^{2}+\alpha = (a_{1}-\alpha)(a_{1}+\alpha-1)$$
となる．

1. $a_{1} \leq \alpha$のとき，$a_{1}\leq a_{2}$であり，
   $$ a_{n} \leq a_{n+1} \implies a_{n+1} \leq a_{n+2}$$
   が成り立つ．また，
   $$ a_{2} = \sqrt{3+a_{1}} \leq \sqrt{3+\alpha} = \alpha$$
   であり，
   $$ a_{n} \leq \alpha \implies a_{n+1} = \sqrt{3+a_{n}} \leq \sqrt{3+\alpha} = \alpha$$
   が成り立つ．
2. $a_{1} > \alpha$のとき，$a_{1}>a_{2}$であり，
   $$ a_{n} > a_{n+1} \implies a_{n+1} > a_{n+2}$$
   が成り立つ．

いづれにしろ$(a_{n})_{n}$は有界単調ゆえ収束し，
$$ \lim_{n\to\infty} a_{n} = \alpha = \frac{1+\sqrt{13}}{2}$$
が成り立つ．

(iii)

1. $c=\sqrt{a}$のときは$x_{n}=\sqrt{a}$となることがわかる．
2. $c \neq \sqrt{a}$のとき，
   $$ x_{n+1} - \sqrt{a} = \frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\right) - \sqrt{a} = \frac{(x_{n}-\sqrt{a})^{2}}{2x_{n}} > 0$$
   であり，
   $$ x_{n+1}-x_{n+2} = \frac{1}{2}\left(x_{n+1}-\frac{a}{x_{n+1}}\right) = \frac{x_{n+1}^{2}-a}{2x_{n+1}} > 0$$
   となるので，$(x_{n})_{n}$は収束し
   $$ \lim_{n\to\infty} x_{n} = \sqrt{a}$$
   が成り立つ．

4

(i)

1. $\lim a_{n} = \alpha \in \mathbb{R}$のとき：
   $$ \frac{a_{1} +\cdots+ a_{n}}{n} - \alpha = \frac{(a_{1}-\alpha) +\cdots+ (a_{n}-\alpha)}{n}$$
   より，$\alpha=0$としてよい．さて，$\varepsilon >0$とする．仮定より$n_{0}\in\mathbb{N}$であって
   $$ n > n_{0} \implies |a_{n}| < \varepsilon \quad\leadsto\quad |a_{n_{0}+1}| +\cdots+ |a_{n}| < (n-n_{0})\varepsilon$$
   なるものが存在する．また，$n_{1} \in \mathbb{N}$であって
   $$ n > n_{1} \implies \frac{|a_{1}| +\cdots+ |a_{n_{0}}|}{n} < \varepsilon$$
   なるものが存在する．よって
   $$ n > n_{0}+n_{1} \implies \left|\frac{a_{1} +\cdots+ a_{n}}{n}\right| \leq \frac{|a_{1}| +\cdots+ |a_{n_{0}}|}{n} + \frac{|a_{n_{0}+1}| +\cdots+ |a_{n}|}{n} < \varepsilon + \left(1-\frac{n_{0}}{n}\right)\varepsilon < 2\varepsilon$$
   が成り立つ．
2. $\lim a_{n} = +\infty$のとき：$M > 0$とする．仮定より$n_{0}\in\mathbb{N}$であって
   $$ n > n_{0} \implies a_{n} > M \quad\leadsto\quad a_{n} +\cdots+ a_{n_{0}+1} > (n-n_{0})M$$
   なるものが存在する．また，
   $$ \frac{a_{1} +\cdots+ a_{n_{0}}}{n} + \left(1-\frac{n_{0}}{n}\right)M \to M >0 \quad (n\to\infty)$$
   より，$n_{1}\in\mathbb{N}$であって
   $$ n > n_{1} \implies \frac{a_{1} +\cdots+ a_{n_{0}}}{n} + \left(1-\frac{n_{0}}{n}\right)M > \frac{M}{2}$$
   なるものが存在する．よって
   $$ n > n_{0}+n_{1} \implies \frac{a_{1} +\cdots+ a_{n}}{n} = \frac{a_{1} +\cdots+ a_{n_{0}}}{n} + \frac{a_{n_{0}+1} +\cdots+ a_{n}}{n} > \frac{a_{1} +\cdots+ a_{n_{0}}}{n} + \left(1-\frac{n_{0}}{n}\right)M > \frac{M}{2}$$
   が成り立つ．
3. $\lim a_{n} = -\infty$のとき：$-a_{n} \to \infty \ (n\to\infty)$より
   $$ \frac{a_{1} +\cdots+ a_{n}}{n} = - \frac{(-a_{1}) +\cdots+ (-a_{n})}{n} \to -\infty \quad(n\to\infty)$$
   が成り立つ．

(ii)

(i)より
$$ \log (a_{1} \cdots a_{n})^{\frac{1}{n}} = \frac{\log a_{1} +\cdots+ \log a_{n}}{n} \to \log a \quad(n\to\infty)$$
となる．

5

ストルツの定理（cf. 岡田良知『級数論』p.53，定理1 ）

6

（cf. d-ic, Prob.III.20.）

$b_{n} < b_{n+1}$に注意する．

(i)

$b_{n+1} = \sqrt{1+b_{n}}$であるから，3(ii)と同様にして収束することがわかり
$$ \lim_{n\to\infty} b_{n} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$$
を得る．

(ii)

仮定より
\begin{align} b_{n} &= \sqrt{a_{1} + \sqrt{a_{2} +\cdots+ \sqrt{a_{n}}}} \\ &\leq \sqrt{e^{2} + \sqrt{e^{4} +\cdots+ \sqrt{e^{2^{n}}}}} \\ &= e \cdot \sqrt{1 + \sqrt{1 +\cdots+ \sqrt{1}}} \\ &< e \cdot \frac{1+\sqrt{5}}{2} \end{align}
が成り立つので，$(b_{n})_{n}$は収束する．

(iii)

$a_{n} > e^{c^{n}}$となる無数の$n \in \mathbb{N}$に対して
$$ b_{n} > a_{n}^{\frac{1}{2^{n}}} > e^{\left(\frac{c}{2}\right)^{n}} \to \infty \quad(n\to\infty)$$
が成り立つ．よって$(b_{n})_{n}$は収束しない部分列を持つので，自身も収束しない．

9

(i)

円盤の凸性より$\co A$の有界性は明らか．あとは
$$ \co A = \left\{x \in \mathbb{R}^{2} \,\middle|\, \exists\,a_{1},a_{2},a_{3} \in A,\ \exists\,\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}\in[0,1],\ \sum_{i=1}^{3}\lambda_{i}=1,\ x = \sum_{i=1}^{3}\lambda_{i}a_{i}\right\} \eqqcolon \co_{3}A$$
が成り立つことを示せばよい．実際，$x \in \overline{\co A}$に対して，$x$に収束する$\co A$の点列
$$ x^{(n)} = \lambda_{1}^{(n)}a_{1}^{(n)} + \lambda_{2}^{(n)}a_{2}^{(n)} + \lambda_{3}^{(n)}a_{3}^{(n)}$$
を取ると，$[0,1],A$のコンパクト性より右辺の各項について順々に収束部分列が取れるので，
$$ x = \lambda_{1}^{(\infty)}a_{1}^{(\infty)} + \lambda_{2}^{(\infty)}a_{2}^{(\infty)} + \lambda_{3}^{(\infty)}a_{3}^{(\infty)} \in \co A$$
となる．（或いは，$\co A$がコンパクト空間$\Delta^{2}\times A^{3}$の連続像になっているから，とする方が簡明か．）

さて，$x \in \mathbb{R}^{2}$に対して$\tilde{x} \coloneqq \begin{bmatrix} x \\ 1 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{3}$とおくと，
$$ x = \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}a_{i} \in \co A \quad\leadsto\quad \tilde{x} = \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}\tilde{a}_{i}$$
であるから，
$$ \exists\,\lambda'_{i} \geq 0,\ \begin{bmatrix} x \\ 1 \end{bmatrix} = \tilde{x} = \sum_{i=1}^{n} \lambda'_{i}\tilde{a}_{i} = \begin{bmatrix} \sum_{i=1}^{n} \lambda'_{i}a_{i} \\ \sum_{i=1}^{n} \lambda'_{i} \end{bmatrix},\ \#\{i \mid \lambda'_{i}>0\} \leq 3$$
より
$$ x \in \co_{3}A$$
が成り立つ．

(ii)

1. 各$n \in \mathbb{Z}_{\geq 1}$に対して
   $$ A_{n} \coloneqq \{x \in A \mid d(a,x) \leq d(a,A) + n^{-1}\}$$
   とおくと，これは非空閉集合であって$A_{n+1} \subset A_{n}$が成り立つ．よって
   $$ A_{1}:\text{compact} \quad\leadsto\quad \exists\,b \in \bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n}$$
   であり，
   $$ d(a,A) \leq d(a,b) \leq d(a,A) + \frac{1}{n} \to d(a,A) \quad(n\to\infty)$$
   より$d(a,b) = d(a,A)$となる．
2. $c \in A,\,\|a-c\| = \|a-b\|$とする．このとき
   \begin{align} 4d(a,A)^{2} &= 2(\|a-b\|^{2} + \|a-c\|^{2}) \\ &= \|(a-b)+(a-c)\|^{2} + \|(a-b)-(a-c)\|^{2} \\ &= 4\left\|a-\frac{b+c}{2}\right\|^{2} + \|b-c\|^{2} \\ \end{align}
   となるので，$(b+c)/2 \in A$と合わせて
   $$ \frac{1}{4}\|b-c\|^{2} = d(a,A)^{2} - \left\|a-\frac{b+c}{2}\right\|^{2} \leq d(a,A)^{2} - d(a,A)^{2} =0 \quad\leadsto\quad b=c$$
   を得る．
3. $x \in A$とすると，任意の$0 < \lambda \leq 1$に対して
   \begin{align} \|a-b\|^{2} &\leq \|a-((1-\lambda)b+\lambda x)\|^{2} \\ &= \|(a-b)-\lambda(x-b)\|^{2} \\ &= \|a-b\|^{2} -2\lambda\langle a-b,x-b \rangle + \lambda^{2}\|x-b\|^{2} \\ \end{align}
   が成り立つので，
   $$ \langle a-b,x-b \rangle \leq \frac{\lambda}{2}\|x-b\|^{2} \to 0 \quad(\lambda \to 0)$$
   となる．よって
   $$ \langle a-b,x-b \rangle \leq 0$$
   が成り立つ．

(iii)

（cf. 二階堂『現代経済学の数学的方法』p.205）

$A \subset \mathbb{R}^{2}$は閉凸集合であるとする．このとき，$a \in \partial A$に収束する$\mathbb{R}^{2}\smallsetminus A$の点列$(a_{n})_{n}$を取ると，(ii)より，$A$の点列$(b_{n})_{n}$であって
$$ \forall x \in A,\ \langle a_{n}-b_{n},x-b_{n} \rangle \leq 0 \quad\leadsto\quad \langle a_{n}-b_{n},x-a_{n} \rangle \leq -\langle a_{n}-b_{n},a_{n}-b_{n} \rangle < 0$$
なるものが存在する．いま$a_{n}\neq b_{n}$であるから，
$$ c_{n} \coloneqq \frac{a_{n}-b_{n}}{\|a_{n}-b_{n}\|} \in \mathbb{S}^{1}$$
とおくと，点列$(c_{n})_{n}$は収束部分列を持つので，その極限点を$c \in \mathbb{S}^{1}$とおけば
$$ \forall x \in A,\ \langle c,x-a \rangle \leq 0$$
が成り立つ．よって，任意の$x \in \Int A$に対して，$\varepsilon > 0$であって$U_{2\varepsilon}(x) \subset A$なるものを取ると，$x+\varepsilon c \in U_{2\varepsilon}(x) \subset A$より
$$ \langle c,(x+\varepsilon c)-a \rangle \leq 0 \quad\leadsto\quad \langle c,x-a \rangle \leq -\varepsilon\langle c,c \rangle = -\varepsilon < 0$$
が成り立つ．以上より，
$$ \{x \in \mathbb{R}^{2} \mid \langle c,x-a \rangle = 0\}$$
が求める直線である．

10

(i)

$a \in \mathbb{R},\,\varepsilon >0$とする．このとき，$n \in \mathbb{N}$を$2^{-n} < \varepsilon$なるように取り
$$ m \coloneqq \lfloor 2^{n}(a-\lfloor a \rfloor) \rfloor \in \mathbb{Z}$$
とおくと，
$$ \frac{m}{2^{n}} \leq a-\lfloor a \rfloor < \frac{m+1}{2^{n}} \eqqcolon d$$
より
$$ a < \lfloor a \rfloor + d = \left(\lfloor a \rfloor + \frac{m}{2^{n}}\right) + \frac{1}{2^{n}} < a + \varepsilon$$
となるので，
$$ \lfloor a \rfloor + d \in U_{\varepsilon}(a),\ 2^{n}(\lfloor a \rfloor + d) \in \mathbb{Z}$$
が成り立つ．

12

(iii)

$$ g(n,x) \coloneqq \lim_{m\to\infty} (\cos n!\pi x)^{m}$$
とおく．

1. $x \in \mathbb{Q}$のとき，$n_{0} \in \mathbb{N}$であって$n_{0}!x \in 2\mathbb{Z}$となるものを取れば
   $$ n \geq n_{0} \implies g(n,x) = 1$$
   が成り立つので，
   $$ f(x) = \lim_{n\to\infty} g(n,x) = 1$$
   となる．
2. $x \notin \mathbb{Q}$のとき，任意の$n \in \mathbb{N}$に対して$n!x \notin \mathbb{Z}$であるから，
   $$ |\cos n!\pi x| < 1 \quad\leadsto\quad g(n,x) = 0$$
   より，$f(x)=0$となる．

13

$I \subset \mathbb{R}$を区間，$f \colon I \to \mathbb{R}$を単調非減少函数とする：
$$ x < y \implies f(x) \leq f(y).$$
左端点ではない$a \in I$に対して，
$$ x< a \implies f(x) \leq f(a)$$
より，実数
$$ s \coloneqq \sup\{f(x) \mid x < a\}$$
が定まる．このとき，$\varepsilon > 0$とすると，$x_{0} < a$であって
$$ s-\varepsilon < f(x_{0})$$
なるものが存在するので，$\delta \coloneqq a-x_{0} > 0$とおけば，
$$ x_{0} = a-\delta < x < a \implies s-\varepsilon < f(x_{0}) \leq f(x) \leq s < s+\varepsilon$$
が成り立つ．よって
$$ s = \lim_{x\uparrow a} f(x)$$
が成り立つ．同様に，右端点でない$a \in I$に対して
$$ \lim_{x\downarrow a}f(x) = \inf\{f(x) \mid a < x\}$$
が成り立つ．

14

（cf. ブラウワーの不動点定理 ）

$0< f(0),\,f(1)<1$としてよい．そこで連続写像$g \colon [0,1] \to \mathbb{R}$を
$$ g(x) \coloneqq x-f(x)$$
で定めると，
$$ g(0) = 0-f(0) < 0 < 1-f(1) = g(1)$$
となるので，中間値の定理（定理1.35の系1）より，$x_{0}\in[0,1]$であって
$$ g(x_{0})=0 \quad\leadsto\quad f(x_{0})=x_{0}$$
なるものが存在することがわかる．

15

（cf. Borsuk–Ulam theorem ）

連続写像
$$ g \colon \mathbb{S}^{1} \to \mathbb{R};\ z \mapsto f(z)-f(-z)$$
を考える．$z_{0} \coloneqq (1,0)\in\mathbb{S}^{1}$とおく．

1. $g(z_{0})=0$のとき：$z_{0}$が求める点である．
2. $g(z_{0})\neq 0$のとき：
   $$ [g(-z_{0}) = -g(z_{0}) < 0 < g(z_{0})]\ \lor\ [g(z_{0}) < 0 < -g(z_{0}) = g(-z_{0})]$$
   が成り立つので，$\mathbb{S}^{1}$の（弧状）連結性より，いづれにしろ$z_{1}\in\mathbb{S}^{1}$であって$g(z_{1})=0$なるものが存在する（“中間値の定理”）．

16

仮定より
$$ f(x,y) = a\left(x+\frac{b}{a}y\right)^{2} + \frac{ac-b^{2}}{a}y^{2} \geq 0$$
であり
$$ f(x,y)=0 \iff (x,y)=(0,0)$$
が成り立つことがわかる．したがって
$$ \delta \coloneqq \min f|\mathbb{S}^{1} > 0$$
が定まる（cf. 定理1.34の系2）．このとき，$(x,y) \neq (0,0)$に対して，
$$ (u,v) \coloneqq \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right) \in \mathbb{S}^{1}$$
とおくと，
$$ \frac{f(x,y)}{x^{2}+y^{2}} = f(u,v) \geq \delta \quad\leadsto\quad f(x,y) \geq \delta(x^{2}+y^{2})$$
を得る．

17

（cf. 別記事：例1 ）

周期$T,T_{1},T_{2}$に対して，
$$ f(x) = f((x-T)+T) = f(x-T)$$
より$-T$も周期であり，
$$ f(x+(T_{1}+T_{2})) = f((x+T_{1})+T_{2}) = f(x+T_{1}) = f(x)$$
より$T_{1}+T_{2}$も（$0$または）周期であることに注意する．

1. 上の注意と仮定より
   $$ P \coloneqq \{T \in \mathbb{R}_{>0} \mid \forall x \in \mathbb{R},\ f(x+T)=f(x)\} \neq \varnothing$$
   であるから，
   $$ T_{0} \coloneqq \inf P \geq 0$$
   が定まる．
   1. $T_{0}$に収束する$P$の点列$(T_{n})_{n}$を取ると，任意の$x \in \mathbb{R}$に対して
      $$ f(x+T_{0}) = \lim_{n\to\infty} f(x+T_{n}) = \lim_{n\to\infty} f(x) = f(x)$$
      が成り立つので，$T_{0}\in P\cup\{0\}$である．
   2. もし$T_{0}=0$であるとすると，
      $$ D \coloneqq (-P) \cup \{0\} \cup P \subset \mathbb{R}$$
      は稠密（部分群）となる．実際，$x \in \mathbb{R}$とし，$\varepsilon > 0$とすると，$T \in P$であって$0 < T < \varepsilon$なるものが存在するので，$n \coloneqq \lfloor x/T \rfloor \in \mathbb{Z}$とおけば
      $$ n \leq \frac{x}{T} < n+1 \quad\leadsto\quad nT \in U_{\varepsilon}(x) \cap D \neq \varnothing$$
      を得る．ところで，任意の$T \in D$に対して
      $$ f(T) = f(0+T) = f(0)$$
      が成り立つので，
      $$ f|D:\text{constant} \quad\leadsto\quad f:\text{constant}$$
      となって，仮定に反する．
   3. よって$T_{0} = \min P$が成り立つ．
2. $T \in P$とし，$n \coloneqq \lfloor T/T_{0} \rfloor \in \mathbb{Z}$とおく．このとき
   $$ n \leq \frac{T}{T_{0}} < n+1 \quad\leadsto\quad 0 \leq T-nT_{0} < T_{0}$$
   となるので，$T_{0}$の最小性と冒頭の注意より，$T=nT_{0}$でなくてはならない．