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整合位相

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整合位相

$X$ を集合， $X = (X_{λ})_{λ \in Λ}$ をその部分集合族とする．さらに各 $λ \in Λ$ に対して $X_{λ}$ には位相 $τ_{λ}$ が定まっているとする．このとき，包含写像族 ${id}_{X_{∙}}^{X} = ({id}_{X_{λ}}^{X} : X_{λ} \to X)_{λ \in Λ}$ による等化位相，すなわち写像 $\nabla ({id}_{X_{∙}}^{X}) : ∐ X_{∙} \to X$ による等化位相を（部分集合族 $X$ から定まる）整合位相（coherent topology）といい $τ (X)$ で表わす．

整合位相の開集合系・閉集合系

任意の $A \subset X$ について，次が成り立つ：

$A \in τ (X) ⟺ \forall λ \in Λ, A \cap X_{λ} \in τ_{λ}$ ;
$A \in τ^{c} (X) ⟺ \forall λ \in Λ, A \cap X_{λ} \in τ_{λ}^{c}$ .

写像族による等化位相の定義より明らか．
$(X ∖ A) \cap X_{λ} = X_{λ} ∖ (A \cap X_{λ})$ に注意すればよい．

$X$ を集合， $X = (X_{λ})_{λ \in Λ}$ をその部分集合族とし，各 $λ \in Λ$ に対して $X_{λ}$ には位相 $τ_{λ}$ が定まっているとする．さらに $τ_{λ}$ たちは以下の2条件を満たすとする：

$\forall λ, μ \in Λ, τ_{λ} | X_{λ} \cap X_{μ} = τ_{μ} | X_{λ} \cap X_{μ}$ ;
$\forall λ, μ \in Λ, X_{λ} \cap X_{μ} \in τ_{μ}$ .

このとき次が成り立つ：

$\forall λ \in Λ, τ (X) | X_{λ} = τ_{λ}$ ;
$\forall λ \in Λ, X_{λ} \in τ (X)$ .

包含写像 ${id}_{X_{λ}}^{X} : (X_{λ}, τ_{λ}) \to (X, τ (X))$ の連続性より
${id}_{X_{λ}} : (X_{λ}, τ_{λ}) \to (X_{λ}, τ (X) | X_{λ})$
は連続である．逆に， $U \in τ_{λ}$ とすると，
$\forall μ \in Λ, U \cap X_{μ} = U \cap (X_{λ} \cap X_{μ}) \in τ_{λ} | X_{λ} \cap X_{μ} = τ_{μ} | X_{λ} \cap X_{μ} \subset τ_{μ}$
より $U \in τ (X)$ ，したがって $U = U \cap X_{λ} \in τ (X) | X_{λ}$ を得る．
上記考察でとくに $U = X_{λ}$ として $X_{λ} \in τ (X)$ を得る．

(2)及び(ii)の条件を閉集合系 $τ^{c}$ に変えたものも同様に成り立つ．

$n$ 次元Euclid空間 $R^{n}$ を $(x_{1}, \dots, x_{n}) \mapsto (x_{1}, \dots, x_{n}, 0)$ により $R^{n + 1}$ の閉部分空間とみなす．集合 $R^{\infty} := ⋃_{n} R^{n}$ に部分集合族 $(R^{n})_{n}$ から定まる整合位相を入れたものを無限次元Euclid空間という．この整合位相に関して

$τ (R^{\infty}) | R^{n} = τ (R^{n})$ ;
$R^{n} \in τ^{c} (R^{\infty})$

が成り立つ．

等化位相の普遍性より次が成り立つ：

$X$ を集合とし， $X = ((X_{λ}, τ_{λ}))_{λ \in Λ}$ を位相の定まった部分集合族とする．このとき，任意の位相空間 $(Z, τ (Z))$ と写像 $f : X \to Z$ に対して，次は同値である：

$f : (X, τ (X)) \to (Z, τ (Z)) : continuous$ ;
$\forall λ \in Λ, f \circ {id}_{X_{λ}}^{X} : (X_{λ}, τ_{λ}) \to (Z, τ (Z)) : continuous$ .

整合的な位相

$X$ に位相が定まっているときはその部分集合族の位相としては相対位相を考えることにする．

$X$ を位相空間とし， $X = (X_{λ})_{λ \in Λ}$ をその部分空間族とする．このとき，包含写像 ${id}_{X_{λ}}^{X} : (X_{λ}, τ (X) | X_{λ}) \to (X, τ (X)), λ \in Λ,$ たちの連続性と命題3より
${id}_{X} : (X, τ (X)) \to (X, τ (X))$
は連続である（cf. 定理3.10の系）．したがって，一般に整合位相の方が開集合が多い．たとえば $X$ が被覆でないとき，すなわち $\nabla ({id}_{X_{∙}}^{X})$ が全射でないとき， $τ (X) | (X ∖ ⋃ X)$ は離散位相である．

位相空間 $X$ の部分空間族 $X = (X_{λ})_{λ \in Λ}$ から定まる整合位相 $τ (X)$ について
$\forall λ \in Λ, τ (X) | X_{λ} = τ (X) | X_{λ}$
が成り立つ．

${id}_{X} : (X, τ (X)) \to (X, τ (X))$ の連続性より
${id}_{X_{λ}} = {id}_{X} |_{X_{λ}}^{X_{λ}} : (X_{λ}, τ (X) | X_{λ}) \to (X_{λ}, τ (X) | X_{λ})$
は連続である．逆に，包含写像 ${id}_{X_{λ}}^{X} : (X_{λ}, τ (X) | X_{λ}) \to (X, τ (X))$ の連続性と相対位相 $τ (X) | X_{λ}$ の普遍性より
${id}_{X_{λ}} : (X_{λ}, τ (X) | X_{λ}) \to (X_{λ}, τ (X) | X_{λ})$
は連続である．

$X$ を位相空間とし， $X = (X_{λ})_{λ \in Λ}$ を被覆とする． $τ (X) = τ (X)$ となる，すなわち $\nabla ({id}_{X_{∙}}^{X}) : ∐ X_{∙} \to X$ が（全射）等化写像となるとき，位相 $τ (X)$ と被覆 $X$ とは整合的であるという．とくに， $Λ = Z_{\geq 0}$ であって $X_{n} \subset X_{n + 1}$ が成り立つとき， $X$ を $X$ の帰納極限といい， $X = lim_{\to} X_{n}$ で表わす．

命題3の

$(X, τ (X))$ を位相空間とし， $X = (X_{λ})_{λ \in Λ}$ を $τ (X)$ と整合的な被覆とする．このとき，任意の位相空間 $(Z, τ (Z))$ と写像 $f : X \to Z$ に対して，次は同値である：

$f : (X, τ (X)) \to (Z, τ (Z)) : continuous$ ;
$\forall λ \in Λ, f | X_{λ} : (X_{λ}, τ (X) | X_{λ}) \to (Z, τ (Z)) : continuous$ .

連続写像の貼り合せ

$(X, τ (X))$ を位相空間とし， $X = (X_{λ})_{λ \in Λ}$ を $τ (X)$ と整合的な被覆とする．このとき，任意の位相空間 $(Z, τ (Z))$ と連続写像族 $f_{∙} = (f_{λ} : X_{λ} \to Z)_{λ \in Λ}$ であって
$\forall λ, μ \in Λ, f_{λ} | X_{λ} \cap X_{μ} = f_{μ} | X_{λ} \cap X_{μ}$
を満たすものに対して，連続写像 $f : (X, τ (X)) \to (Z, τ (Z))$ であって
$\forall λ \in Λ, f | X_{λ} = f_{λ}$
が成り立つものがただ一つ存在する．

余積空間の普遍性より，連続写像 $\nabla (f_{∙}) : ∐ X_{∙} \to Z$ であって以下の図式を可換にするものがただ一つ存在する：
$X_{λ} f_{λ} i_{λ} Z ∐ X_{∙} \nabla (f_{∙})$
仮定より，任意の $ξ, ξ^{'} \in ∐ X_{∙}$ に対して， $ξ = i_{λ} (x), ξ^{'} = i_{μ} (x^{'})$ とおくと，
$\begin{aligned} \nabla ({id}_{X_{∙}}^{X}) (ξ) = \nabla ({id}_{X_{∙}}^{X}) (ξ^{'}) & ⟹ x = x^{'} \in X_{λ} \cap X_{μ} \\ ⟹ \nabla (f_{∙}) (ξ) = f_{λ} (x) = f_{μ} (x^{'}) = \nabla (f_{∙}) (ξ^{'}) \end{aligned}$
が成り立つことがわかる．したがって，等化空間の普遍性より，連続写像 $f : X \to Z$ であって以下の図式を可換にするものがただ一つ存在する：
$∐ X_{∙} \nabla (f_{∙}) \nabla ({id}_{X_{∙}}^{X}) Z X f$
このとき，任意の $λ \in Λ$ に対して
$f | X_{λ} = f \circ {id}_{X_{λ}}^{X} = f \circ (\nabla ({id}_{X_{∙}}^{X}) \circ i_{λ}) = \nabla (f_{∙}) \circ i_{λ} = f_{λ}$
が成り立つ．

整合性と等化写像

$(X, τ (X)), (Y, τ (Y))$ を位相空間， $X = (X_{λ})_{λ \in Λ}, Y = (Y_{μ})_{μ \in M}$ を $X, Y$ の被覆， $f : X \to Y$ を連続写像とする．このとき次が成り立つ：

1. $f$ が全射等化写像であって $X$ が $τ (X)$ と整合的ならば， $f (X) := (f (X_{λ}))_{λ \in Λ}$ は $τ (Y)$ と整合的な被覆である；
2. $f (X)$ が $τ (Y)$ と整合的であり，さらに各 $λ \in Λ$ に対して
  $f_{λ} := f |_{X_{λ}}^{f (X_{λ})} : (X_{λ}, τ (X) | X_{λ}) \to (f (X_{λ}), τ (Y) | f (X_{λ}))$
  が等化写像ならば， $f$ は等化写像である．
$Y$ が $τ (Y)$ と整合的であり，さらに各 $μ \in M$ に対して
$f_{μ} := f^{Y_{μ}} : (f^{- 1} (Y_{μ}), τ (X) | f^{- 1} (Y_{μ})) \to (Y_{μ}, τ (Y) | Y_{μ})$
が等化写像ならば， $f$ は等化写像である．

任意の $λ \in Λ$ に対して
$\begin{aligned} (\nabla ({id}_{f (X_{∙})}^{Y}) \circ ∐ f_{∙}) \circ i_{X_{λ}} & = \nabla ({id}_{f (X_{∙})}^{Y}) \circ i_{f (X_{λ})} \circ f_{λ} \\ = {id}_{f (X_{λ})}^{Y} \circ f_{λ} \\ = {id}_{f (X_{λ})}^{Y} \circ f |_{X_{λ}}^{f (X_{λ})} \\ = f \circ {id}_{X_{λ}}^{X} \\ = (f \circ \nabla ({id}_{X_{∙}}^{X})) \circ i_{X_{λ}} \end{aligned}$
が成り立つので，補題1.2より以下の図式は可換である：
$∐ X_{∙} ∐ f_{∙} \nabla ({id}_{X_{∙}}^{X}) ∐ f (X_{∙}) \nabla ({id}_{f (X_{∙})}^{Y}) X f Y$
1. $f$ が全射なので $f (X)$ は $Y$ の被覆である．仮定より $f \circ \nabla ({id}_{X_{∙}}^{X})$ は等化写像なので， $\nabla ({id}_{f (X_{∙})}^{Y})$ は等化写像である．
2. 仮定より $\nabla ({id}_{f (X_{∙})}^{Y}) \circ ∐ f_{∙}$ は等化写像なので， $f$ は等化写像である．
同様に $f \circ \nabla ({id}_{f^{- 1} (Y_{∙})}^{X}) = \nabla ({id}_{Y_{∙}}^{Y}) \circ ∐ f_{∙}$ が成り立つことがわかる．仮定より右辺は等化写像なので， $f$ は等化写像である．

整合位相と開写像・閉写像

$(X, τ (X)), (Y, τ (Y))$ を位相空間， $Y = (Y_{λ})_{λ \in Λ}$ を $τ (Y)$ と整合的な被覆とし， $f : X \to Y$ を写像とする．このとき，各 $λ \in Λ$ に対して
$f^{Y_{λ}} : (f^{- 1} (Y_{λ}), τ (X) | f^{- 1} (Y_{λ})) \to (Y_{λ}, τ (Y) | Y_{λ})$
が開写像（resp. 閉写像）ならば， $f$ は開写像（resp. 閉写像）である．

任意の $A \subset X$ に対して
$\forall λ \in Λ, f (A) \cap Y_{λ} = f^{Y_{λ}} (A \cap f^{- 1} (Y_{λ}))$
が成り立つことからしたがう．

整合的な被覆と細分

$(X, τ (X))$ を位相空間とし， $X = (X_{λ})_{λ \in Λ}$ を $τ (X)$ と整合的な被覆とする．このとき，任意の被覆 $X^{'} = (X_{μ}^{'})_{μ \in M}$ に対して， $X$ が $X^{'}$ の細分ならば（ $X ≺ X^{'}$ と書く）， $τ (X)$ と $X^{'}$ も整合的である．

仮定より写像 $φ : Λ \to M$ であって
$\forall λ \in Λ, X_{λ} \subset X_{φ (λ)}^{'}$
が成り立つものが存在する．

写像 $\tilde{φ} : \underset{λ \in Λ}{∐} X_{φ (λ)}^{'} \to \underset{μ \in M}{∐} X_{μ}^{'}$ を
$\tilde{φ} (λ, x^{'}) = (φ (λ), x^{'})$
で定める．
各 $λ \in Λ$ に対して，自然な入射 $X_{φ (λ)}^{'} \to ∐ X_{φ (∙)}^{'}$ を $i_{λ}^{″}$ とおく．
各 $λ \in Λ$ に対して
$f_{λ} = {id}_{X_{λ}}^{X_{φ (λ)}^{'}} : (X_{λ}, τ (X) | X_{λ}) \to (X_{φ (λ)}^{'}, τ (X) | X_{φ (λ)}^{'})$
とおく．

まづ
$\forall λ \in Λ, \tilde{φ} \circ i_{λ}^{″} = i_{φ (λ)}^{'} : X_{φ (λ)}^{'} \to \underset{μ \in M}{∐} X_{μ}^{'} : continuous$
が成り立つので，余積位相 $τ (i_{∙}^{″})$ の普遍性より $\tilde{φ}$ は連続である．さらに，任意の $λ \in Λ$ に対して
$\begin{aligned} (\nabla ({id}_{X_{∙}^{'}}^{X}) \circ \tilde{φ} \circ ∐ f_{∙}) \circ i_{λ} & = \nabla ({id}_{X_{∙}^{'}}^{X}) \circ \tilde{φ} \circ i_{λ}^{″} \circ f_{λ} \\ = \nabla ({id}_{X_{∙}^{'}}^{X}) \circ i_{φ (λ)}^{'} \circ f_{λ} \\ = {id}_{X_{φ (λ)}^{'}}^{X} \circ {id}_{X} |_{X_{λ}}^{X_{φ (λ)}^{'}} \\ = {id}_{X} \circ {id}_{X_{λ}}^{X} \\ = ({id}_{X} \circ \nabla ({id}_{X_{∙}}^{X})) \circ i_{λ} \end{aligned}$
が成り立つので，補題1.2より以下の図式は可換である：
$∐ X_{∙} ∐ f_{∙} \nabla ({id}_{X_{∙}}^{X}) ∐ X_{φ (∙)}^{'} \tilde{φ} ∐ X_{∙}^{'} \nabla ({id}_{X_{∙}^{'}}^{X}) X {id}_{X} X$
いま仮定より ${id}_{X} \circ \nabla ({id}_{X_{∙}}^{X})$ は等化写像であるから， $\nabla ({id}_{X_{∙}^{'}}^{X})$ は等化写像である．

整合的な被覆の例

$(X, τ (X))$ を位相空間， $X = (X_{λ})_{λ \in Λ}$ を被覆とする．このとき，以下のいづれかが成り立つならば， $τ (X)$ と $X$ は整合的である：

$int (X) := (int (X_{λ}))_{λ \in Λ}$ は $X$ の被覆である；
$X$ は局所有限閉被覆である．

$int (X) ≺ X$ であるから，命題8より $X$ が開被覆であると仮定してよい．このとき $τ (X) \subset τ (X)$ が成り立つことを示せばよい．そこで $U \in τ (X)$ とすると
$\forall λ \in Λ, U \cap X_{λ} \in τ (X) | X_{λ} \subset τ (X)$
が成り立つので
$U = ⋃ U \cap X_{λ} \in τ (X)$
を得る．
$τ^{c} (X) \subset τ^{c} (X)$ を示せばよい．そこで $C \in τ^{c} (X)$ とすると
$\forall λ \in Λ, C \cap X_{λ} \in τ^{c} (X) | X_{λ} \subset τ^{c} (X)$
が成り立つので， $(C \cap X_{λ})_{λ \in Λ}$ は $X$ の局所有限な閉集合族である．よって
$C = ⋃ C \cap X_{λ} \in τ^{c} (X)$
を得る（参考）．

附：コンパクト生成空間

$(X, τ (X))$ を位相空間とし，そのコンパクト集合系を $K = K (τ (X))$ とおく．被覆 $K$ が $τ (X)$ と整合的である，すなわち $τ (K) = τ (X)$ が成り立つとき， $(X, τ (X))$ をコンパクト生成空間という．また， $k (X) := k (X, τ (X)) := (X, τ (K))$ を位相空間 $(X, τ (X))$ のk化（k-ification）という．

$k (X)$ はコンパクト生成空間である；
局所コンパクト空間はコンパクト生成空間である；
第一可算空間はコンパクト生成空間である．

恒等写像 ${id}_{X} : k (X) \to (X, τ (X))$ の連続性より $k (X)$ のコンパクト集合は $X$ のコンパクト集合である： $K (τ (K (τ (X)))) \subset K (τ (X))$ ．また，命題4より $X$ のコンパクト集合は $k (X)$ のコンパクト集合である： $K (τ (X)) \subset K (τ (K (τ (X))))$ ．したがって $X$ と $k (X)$ のコンパクト集合系は一致するので，それらから定まる（集合 $X$ 上の）整合位相も一致する．前者は $k (X)$ の位相，後者は $k (k (X))$ の位相であるから，結論を得る．
$X$ が局所コンパクト空間ならば $int (K)$ は $X$ の被覆となる．よって命題9より $τ (X) = τ (K)$ が成り立つ．
$X$ を第一可算空間とする． $A \in τ^{c} (K)$ とし， $a \in \overset{―}{A}$ とする．このとき， $A$ の点列 $(a_{n})_{n \in N}$ であって $a_{n} \to a$ となるものが存在する． $K = {a_{n} ∣ n \in N} \cup {a} \subset X$ とおくと，これは $X$ のコンパクト集合であるから， $A \cap K \in τ^{c} (K)$ となる．また， $K$ は第一可算空間であり，その点 $a \in K$ は $A \cap K$ の点列 $(a_{n})_{n \in N}$ の極限であるから
$a \in {cl}_{K} (A \cap K) = A \cap K \subset A$
が成り立つ．よって $A = \overset{―}{A} \in τ^{c} (X)$ を得る．

整合位相と部分空間

$(X, τ (X))$ を位相空間， $X = (X_{λ})_{λ \in Λ}$ を $τ (X)$ と整合的な被覆とし， $A \subset X$ とする．このとき， $A \in τ (X) \cup τ^{c} (X)$ ならば，相対位相 $τ (X) | A$ は被覆 $X | A := (A_{λ} := X_{λ} \cap A)_{λ \in Λ}$ と整合的である．とくに， $X = lim_{\to} X_{n}$ ならば， $A = lim_{\to} A_{n}$ が成り立つ．

仮定より $\nabla ({id}_{X_{∙}}^{X}) : (∐ X_{∙}, τ (i_{X_{∙}})) \to (X, τ (X))$ は等化写像なので， $A \in τ (X) \cup τ^{c} (X)$ より
$\nabla ({id}_{X_{∙}}^{X})^{A} : (∐ A_{∙}, τ (i_{X_{∙}}) | ∐ A_{∙}) \to (A, τ (X) | A)$
は等化写像である（命題3.9）．また，命題3.17より $∐ A_{∙}$ 上のふたつの位相，すなわち

余積位相の相対位相 $τ (i_{X_{∙}}) | ∐ A_{∙}$
相対位相の余積位相 $τ (i_{A_{∙}})$

は一致するので，結論を得る．

整合位相と積空間

等化写像の積

$f : Y \to X$ を連続写像とする．任意の $f$ 飽和開集合 $V \subset Y$ とその点 $y \in V$ に対して，相対コンパクトな $f$ 飽和開集合 $W \in τ (y, Y)$ であって $\overset{―}{W} \subset V$ となるものが存在するとき， $f$ は飽和条件を満たすという（ことにする）．

（「 $Y$ は $f$ 局所相対コンパクトである」などというほうがわかりやすい？）

( [小中菅, p. 2, 定理1.4] )

$f : Y \to X, g : T \to S$ を全射等化写像とする．このとき， $f$ または $g$ が飽和条件を満たすならば，積空間のあいだの連続写像
$h := f \times g : Y \times T \to X \times S$
は全射等化写像である．

$f$ が飽和条件を満たすとしてよい．
$h$ の全射性は明らか．
$A \in τ (h)$ とし， $B = h^{- 1} (A) \in τ (Y \times T)$ とおく． $A \in τ (X \times S)$ となることを示せばよい．
$(x_{0}, s_{0}) \in A$ とする．
$(y_{0}, t_{0}) \in h^{- 1} (x_{0}, s_{0}) \subset B$ を取り
$V_{Y} = {y \in Y ∣ (y, t_{0}) \in B}$
とおく． $B \in τ (Y \times T)$ より
$V_{Y} \times {t_{0}} = (Y \times {t_{0}}) \cap B \in τ (Y \times {t_{0}})$
となるので， $V_{Y} = p_{Y} (V_{Y} \times {t_{0}}) \in τ (Y)$ が成り立つ．

$V_{Y}$ は $f$ 飽和集合である

$y \in f^{- 1} (f (V_{Y}))$ とする．
$y_{1} \in V_{Y}$ であって $f (y) = f (y_{1})$ となるものが存在する．このとき， $(y_{1}, t_{0}) \in B$ より
$h (y, t_{0}) = (f (y), g (t_{0})) = (f (y_{1}), g (t_{0})) = h (y_{1}, t_{0}) \in h (B) = A$
が成り立つ．したがって $(y, t_{0}) \in B$ を得る．
よって $y \in V_{Y}$ が成り立つ． $◼$

仮定より， $f$ 飽和開集合 $V_{Y} \subset Y$ とその点 $y_{0} \in V_{Y}$ に対して，相対コンパクトな $f$ 飽和開集合 $W_{Y} \in τ (y_{0}, Y)$ であって $\overset{―}{W_{Y}} \subset V_{Y}$ となるものが存在する．いま $f$ は等化写像なので， $f (W_{Y}) \in τ (X)$ となる．ここで
$W_{T} = {t \in T ∣ \overset{―}{W_{Y}} \times {t} \subset B}$
とおくと， $\overset{―}{W_{Y}} \times {t_{0}} \subset V_{Y} \times {t_{0}} \subset B$ より $t_{0} \in W_{T}$ となるので，
$(x_{0}, s_{0}) = (f (y_{0}), g (t_{0})) \in f (W_{Y}) \times g (W_{T}) = h (W_{Y} \times V_{T}) \subset h (B) = A$
が成り立つ．あとは $g (W_{T}) \in τ (S)$ を示せばよい．

$W_{T} \in τ (T)$ である

$t \in W_{T}$ とする．
$\overset{―}{W_{Y}} \times {t} \subset B \in τ (X \times S)$ であるから，Tube Lemma より， $V_{T} \in τ (t, T)$ であって $\overset{―}{W_{Y}} \times V_{T} \subset B$ となるものが存在する．
よって $V_{T} \subset W_{T}$ が成り立つ． $◼$

$W_{T}$ は $g$ 飽和集合である

$\begin{aligned} \overset{―}{W_{Y}} \times g^{- 1} (g (W_{T})) & \subset f^{- 1} (f (\overset{―}{W_{Y}})) \times g^{- 1} (g (W_{T})) \\ = h^{- 1} (h (\overset{―}{W_{Y}} \times W_{T})) \\ \subset h^{- 1} (h (B)) = h^{- 1} (A) = B \end{aligned}$
より $g^{- 1} (g (W_{T})) \subset W_{T}$ を得る． $◼$

$g (W_{T}) \in τ (S)$ である

いま $g$ は等化写像であったから， $g^{- 1} (g (W_{T})) = W_{T} \in τ (T)$ より $g (W_{T}) \in τ (S)$ を得る． $◼$

$f : Y \to X$ をコンパクト空間からハウスドルフ空間への全射連続写像， $g : T \to S$ を全射等化写像とする．このとき $f \times g$ は全射等化写像である．

仮定より $f$ は閉写像であるから，命題3.3より等化写像である．あとは $f$ が飽和条件を満たすことを示せばよい．

$V \subset Y$ を $f$ 飽和開集合とし $y \in V$ とする．
いま $X = f (Y)$ はコンパクトハウスドルフ空間であるから， $f (V) \in τ (f (y), X)$ に対して $U \in τ (f (y), X)$ であって $\overset{―}{U} \subset f (V)$ となるものが存在する．
$W = f^{- 1} (U) \in τ (y, Y)$ とおく．
- $f$ の全射性より $W$ は $f$ 飽和開集合である．
- $Y$ のコンパクト性より，その閉集合 $\overset{―}{W}$ はコンパクトである．
- $f$ の連続性と $V$ の飽和性より
  $\overset{―}{W} = \overset{―}{f^{- 1} (U)} \subset f^{- 1} (\overset{―}{U}) \subset f^{- 1} (f (V)) = V$
  が成り立つ．

$f : Y \to X$ を全射等化写像， $Z$ を局所コンパクトハウスドルフ空間とする．このとき $f \times {id}_{Z}$ は全射等化写像である．

仮定より ${id}_{Z}$ が飽和条件を満たす．

$f : Y \to X, g : T \to S$ を全射等化写像とする．このとき $Y, S$ が局所コンパクトハウスドルフ空間ならば $f \times g$ は全射等化写像である．

$f \times g : Y \times T \overset{{id}_{Y} \times g}{\to} Y \times S \overset{f \times {id}_{S}}{\to} X \times S$
が成り立つ．よって定理3.7の系より結論を得る．

整合位相と積位相

$(X, τ (X)), (Y, τ (Y))$ を位相空間とし， $X = (X_{λ})_{λ \in Λ}, Y = (Y_{μ})_{μ \in M}$ をそれぞれの位相と整合的な被覆とする．このとき，以下のいづれかが成り立つならば，積位相は被覆 $X \times Y := (X_{λ} \times Y_{μ})_{(λ, μ) \in Λ \times M}$ と整合的である：

$int (X), int (Y)$ はそれぞれ $X, Y$ の被覆である；
$X, Y$ は局所有限閉被覆である；
$Y$ はハウスドルフ空間であり， $Y$ は局所有限コンパクト被覆である；
$Y$ は局所コンパクトハウスドルフ空間であり， $Y = (Y)$ である．

任意の $(λ, μ) \in Λ \times M$ に対して $int (X_{λ} \times Y_{μ}) = int (X_{λ}) \times int (Y_{μ})$ が成り立つので， $int (X \times Y)$ は $X \times Y$ の被覆である．よって命題9より結論を得る．
$X \times Y$ は $X \times Y$ の局所有限閉被覆であるから，命題9より結論を得る．
$∐ X_{∙} \times Y_{∙} = \underset{(λ, μ) \in Λ \times M}{∐} X_{λ} \times Y_{μ}$ とおく．各 $i_{X_{λ}} \times i_{Y_{μ}}$ は開写像であるから，全単射連続開写像
$φ := \nabla ((i_{X_{λ}} \times i_{Y_{μ}})_{(λ, μ) \in Λ \times M}) : ∐ X_{∙} \times Y_{∙} \to ∐ X_{∙} \times ∐ Y_{∙}$
は同相写像である．さらに，任意の $(λ, μ) \in Λ \times M$ に対して
$\begin{aligned} ((\nabla ({id}_{X_{∙}}^{X}) \times \nabla ({id}_{Y_{∙}}^{Y})) \circ φ) \circ i_{X_{λ} \times Y_{μ}} & = (\nabla ({id}_{X_{∙}}^{X}) \times \nabla ({id}_{Y_{∙}}^{Y})) \circ (i_{X_{λ}} \times i_{Y_{μ}}) \\ = (\nabla ({id}_{X_{∙}}^{X}) \circ i_{X_{λ}}) \times (\nabla ({id}_{Y_{∙}}^{Y}) \circ i_{Y_{μ}}) \\ = {id}_{X_{λ}}^{X} \times {id}_{Y_{μ}}^{Y} \\ = {id}_{X_{λ} \times Y_{μ}}^{X \times Y} \\ = \nabla ({id}_{X_{∙} \times Y_{∙}}^{X \times Y}) \circ i_{X_{λ} \times Y_{μ}} \end{aligned}$
が成り立つので，補題1.2より以下の図式は可換である：
$∐ X_{∙} \times Y_{∙} φ \approx \nabla ({id}_{X_{∙} \times Y_{∙}}^{X \times Y}) ∐ X_{∙} \times ∐ Y_{∙} \nabla ({id}_{X_{∙}}^{X}) \times \nabla ({id}_{Y_{∙}}^{Y}) X \times Y id X \times Y$
いま，仮定より $\nabla ({id}_{X_{∙}}^{X}), \nabla ({id}_{Y_{∙}}^{Y})$ はともに全射等化写像であるから， $\nabla ({id}_{Y_{∙}}^{Y})$ が飽和条件を満たすことを示せばよい（定理11）．
そこで $\nabla ({id}_{Y_{∙}}^{Y})$ 飽和開集合 $U \in τ (∐ Y_{∙})$ とその点 $η \in U$ を取る． $y = \nabla ({id}_{Y_{∙}}^{Y}) (η) \in Y$ とおく．いま $U$ の飽和性より $\nabla ({id}_{Y_{∙}}^{Y}) (U) \in τ (y, Y)$ であるから， $Y$ が局所有限であることとあわせて， $W \in τ (y, Y)$ であって
$W \subset \nabla ({id}_{Y_{∙}}^{Y}) (U), M (y) := {μ \in M ∣ W \cap Y_{μ} \neq \emptyset} : finite$
となるものが存在することがわかる．
$K = ⋃ {Y_{μ} ∣ μ \in M (y)}$
とおく． $K$ はコンパクトハウスドルフ空間であるから， $W \in τ (y, K)$ より， $W^{'} \in τ (y, Y)$ であって ${cl}_{K} (W^{'} \cap K) \subset W$ となるものが存在する．ここで $V^{'} = W^{'} \cap W \in τ (y, Y)$ とおくと
$\overset{―}{V^{'}} \subset \overset{―}{W^{'} \cap K} \cap K = {cl}_{K} (W^{'} \cap K) \subset W$
が成り立つ．そこで $V = \nabla ({id}_{Y_{∙}}^{Y})^{- 1} (V^{'}) \in τ (η, ∐ Y_{∙})$ とおくと， $\nabla ({id}_{Y_{∙}}^{Y})$ の全射性よりこれは $\nabla ({id}_{Y_{∙}}^{Y})$ 飽和開集合であり，
$\overset{―}{V} = \overset{―}{\nabla ({id}_{Y_{∙}}^{Y})^{- 1} (V^{'})} \subset \nabla ({id}_{Y_{∙}}^{Y})^{- 1} (\overset{―}{V^{'}}) \subset \nabla ({id}_{Y_{∙}}^{Y})^{- 1} (W) \subset \nabla ({id}_{Y_{∙}}^{Y})^{- 1} (\nabla ({id}_{Y_{∙}}^{Y}) (U)) = U$
が成り立つ．
あとは $\overset{―}{V} \subset ∐ Y_{∙}$ がコンパクトであることを示せばよい．ところで，任意の $μ \in M$ に対して
$\begin{aligned} \overset{―}{V} \cap i_{Y_{μ}} (Y_{μ}) \neq \emptyset & ⟹ \nabla ({id}_{Y_{∙}}^{Y})^{- 1} (\overset{―}{V^{'}}) \cap i_{Y_{μ}} (Y_{μ}) \neq \emptyset \\ ⟹ \overset{―}{V^{'}} \cap \nabla ({id}_{Y_{∙}}^{Y}) (i_{Y_{μ}} (Y_{μ})) = \overset{―}{V^{'}} \cap Y_{μ} \neq \emptyset \\ ⟹ W \cap Y_{μ} \neq \emptyset \end{aligned}$
が成り立つので， $\overset{―}{V} \subset \underset{μ \in M (y)}{∐} Y_{μ}$ となる．よって， $\overset{―}{V}$ はコンパクト空間の閉集合ゆえコンパクトである．
以下の図式は可換である：
$∐ (X_{∙} \times Y) \approx \nabla ({id}_{X_{∙} \times Y}^{X \times Y}) (∐ X_{∙}) \times Y \nabla ({id}_{X_{∙}}^{X}) \times {id}_{Y} X \times Y id X \times Y$
仮定より $\nabla ({id}_{X_{∙}}^{X})$ は全射等化写像であるから，定理11の系より結論を得る．

参考文献

[1]

N. Bourbaki, General Topology Chapters 1--4

[2]

J. Dugundji, Topology

[3]

小松醇郎，中岡稔，菅原正博, 『位相幾何学 I』, 岩波書店

投稿日：2023年10月29日

更新日：2023年12月1日

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$V_{Y}$ は $f$ 飽和集合である

$W_{T} \in τ (T)$ である

$W_{T}$ は $g$ 飽和集合である

$g (W_{T}) \in τ (S)$ である