整合位相

1. 写像族による等化位相の定義より明らか．
2. $(X \smallsetminus A) \cap X_{\lambda} = X_{\lambda} \smallsetminus (A \cap X_{\lambda})$に注意すればよい．

1. 包含写像$\incl{X_{\lambda}}{X} \colon (X_{\lambda},\tau_{\lambda}) \to (X,\tau(\mathcal{X}))$の連続性より
   $$ \id_{X_{\lambda}} \colon (X_{\lambda},\tau_{\lambda}) \to (X_{\lambda},\tau(\mathcal{X})|X_{\lambda})$$
   は連続である．逆に，$U \in \tau_{\lambda}$とすると，
   $$ \forall \mu \in \Lambda,\ U \cap X_{\mu} = U \cap (X_{\lambda} \cap X_{\mu}) \in \tau_{\lambda}|X_{\lambda} \cap X_{\mu} = \tau_{\mu}|X_{\lambda} \cap X_{\mu} \subset \tau_{\mu}$$
   より$U \in \tau(\mathcal{X})$，したがって$U = U \cap X_{\lambda} \in \tau(\mathcal{X})|X_{\lambda}$を得る．
2. 上記考察でとくに$U = X_{\lambda}$として$X_{\lambda} \in \tau(\mathcal{X})$を得る．

$\id_{X} \colon (X,\tau(\mathcal{X})) \to (X,\tau(X))$の連続性より
$$ \id_{X_{\lambda}} = \id_{X}|_{X_{\lambda}}^{X_{\lambda}} \colon (X_{\lambda},\tau(\mathcal{X})|X_{\lambda}) \to (X_{\lambda},\tau(X)|X_{\lambda})$$
は連続である．逆に，包含写像$\incl{X_{\lambda}}{X} \colon (X_{\lambda},\tau(X)|X_{\lambda}) \to (X,\tau(\mathcal{X}))$の連続性と相対位相$\tau(\mathcal{X})|X_{\lambda}$の普遍性より
$$ \id_{X_{\lambda}} \colon (X_{\lambda},\tau(X)|X_{\lambda}) \to (X_{\lambda},\tau(\mathcal{X})|X_{\lambda})$$
は連続である．

余積空間の普遍性より，連続写像$\nabla(f_{\bullet}) \colon \coprod X_{\bullet} \to Z$であって以下の図式を可換にするものがただ一つ存在する：
$$ \xymatrix{ {X_{\lambda}} \ar[r]^{f_{\lambda}} \ar[d]_{i_{\lambda}} & {Z}\\ {\coprod X_{\bullet}} \ar@{.>}[ur]_{\nabla(f_{\bullet})} }$$
仮定より，任意の$\xi,\xi' \in \coprod X_{\bullet}$に対して，$\xi = i_{\lambda}(x), \xi' = i_{\mu}(x')$とおくと，
\begin{align} \nabla(\incl{X_{\bullet}}{X})(\xi) = \nabla(\incl{X_{\bullet}}{X})(\xi') &\implies x = x' \in X_{\lambda} \cap X_{\mu}\\ &\implies \nabla(f_{\bullet})(\xi) = f_{\lambda}(x) = f_{\mu}(x') = \nabla(f_{\bullet})(\xi') \end{align}
が成り立つことがわかる．したがって，等化空間の普遍性より，連続写像$f \colon X \to Z$であって以下の図式を可換にするものがただ一つ存在する：
$$ \xymatrix{ {\coprod X_{\bullet}} \ar[r]^{\nabla(f_{\bullet})} \ar[d]_{\nabla(\incl{X_{\bullet}}{X})} & {Z}\\ {X} \ar@{.>}[ur]_{f} }$$
このとき，任意の$\lambda \in \Lambda$に対して
$$ f|X_{\lambda} = f \circ \incl{X_{\lambda}}{X} = f \circ (\nabla(\incl{X_{\bullet}}{X}) \circ i_{\lambda}) = \nabla(f_{\bullet}) \circ i_{\lambda} = f_{\lambda}$$
が成り立つ．

1. 任意の$\lambda \in \Lambda$に対して
   \begin{align} \left(\nabla(\incl{f(X_{\bullet})}{Y}) \circ \coprod f_{\bullet}\right) \circ i_{X_{\lambda}} &= \nabla(\incl{f(X_{\bullet})}{Y}) \circ i_{f(X_{\lambda})} \circ f_{\lambda}\\ &= \incl{f(X_{\lambda})}{Y} \circ f_{\lambda}\\ &= \incl{f(X_{\lambda})}{Y} \circ f|_{X_{\lambda}}^{f(X_{\lambda})}\\ &= f \circ \incl{X_{\lambda}}{X}\\ &= (f \circ \nabla(\incl{X_{\bullet}}{X})) \circ i_{X_{\lambda}} \end{align}
   が成り立つので，補題1.2より以下の図式は可換である：
   $$ \xymatrix{ {\coprod X_{\bullet}} \ar[r]^{\coprod f_{\bullet}} \ar[d]_{\nabla(\incl{X_{\bullet}}{X})} & {\coprod f(X_{\bullet})} \ar[d]^{\nabla(\incl{f(X_{\bullet})}{Y})} \\ {X} \ar[r]_{f} & {Y} }$$
   1. $f$が全射なので$f(\mathcal{X})$は$Y$の被覆である．仮定より$f \circ \nabla(\incl{X_{\bullet}}{X})$は等化写像なので，$\nabla(\incl{f(X_{\bullet})}{Y})$は等化写像である．
   2. 仮定より$\nabla(\incl{f(X_{\bullet})}{Y}) \circ \coprod f_{\bullet}$は等化写像なので，$f$は等化写像である．
2. 同様に$f \circ \nabla(\incl{f^{-1}(Y_{\bullet})}{X}) = \nabla(\incl{Y_{\bullet}}{Y}) \circ \coprod f_{\bullet}$が成り立つことがわかる．仮定より右辺は等化写像なので，$f$は等化写像である．

任意の$A \subset X$に対して
$$ \forall \lambda \in \Lambda,\ f(A) \cap Y_{\lambda} = f^{Y_{\lambda}}(A \cap f^{-1}(Y_{\lambda}))$$
が成り立つことからしたがう．

仮定より写像$\varphi \colon \Lambda \to M$であって
$$ \forall \lambda \in \Lambda,\ X_{\lambda} \subset X'_{\varphi(\lambda)}$$
が成り立つものが存在する．

• 写像$\tilde{\varphi} \colon \coprod_{\lambda \in \Lambda} X'_{\varphi(\lambda)} \to \coprod_{\mu \in M} X'_{\mu}$を
  $$ \tilde{\varphi}(\lambda,x') = (\varphi(\lambda),x')$$
  で定める．
• 各$\lambda \in \Lambda$に対して，自然な入射$X'_{\varphi(\lambda)} \to \coprod X'_{\varphi(\bullet )}$を$i''_{\lambda}$とおく．
• 各$\lambda \in \Lambda$に対して
  $$ f_{\lambda} = \incl{X_{\lambda}}{X'_{\varphi(\lambda)}} \colon (X_{\lambda},\tau(X)|X_{\lambda}) \to (X'_{\varphi(\lambda)},\tau(X)|X'_{\varphi(\lambda)})$$
  とおく．

まづ
$$ \forall \lambda \in \Lambda,\ \tilde{\varphi} \circ i''_{\lambda} = i'_{\varphi(\lambda)} \colon X'_{\varphi(\lambda)} \to \coprod_{\mu \in M} X'_{\mu}:\text{continuous}$$
が成り立つので，余積位相$\tau(i''_{\bullet})$の普遍性より$\tilde{\varphi}$は連続である．さらに，任意の$\lambda \in \Lambda$に対して
\begin{align} \left(\nabla(\incl{X'_{\bullet}}{X}) \circ \tilde{\varphi} \circ \coprod f_{\bullet}\right) \circ i_{\lambda} &= \nabla(\incl{X'_{\bullet}}{X}) \circ \tilde{\varphi} \circ i''_{\lambda} \circ f_{\lambda}\\ &= \nabla(\incl{X'_{\bullet}}{X}) \circ i'_{\varphi(\lambda)} \circ f_{\lambda}\\ &= \incl{X'_{\varphi(\lambda)}}{X} \circ \id_{X}|_{X_{\lambda}}^{X'_{\varphi(\lambda)}}\\ &= \id_{X} \circ \incl{X_{\lambda}}{X}\\ &= (\id_{X} \circ \nabla(\incl{X_{\bullet}}{X})) \circ i_{\lambda} \end{align}
が成り立つので，補題1.2より以下の図式は可換である：
$$ \xymatrix{ {\coprod X_{\bullet}} \ar[r]^{\coprod f_{\bullet}} \ar[d]_{\nabla(\incl{X_{\bullet}}{X})} & {\coprod X'_{\varphi(\bullet)}} \ar[r]^{\tilde{\varphi}} & {\coprod X'_{\bullet}} \ar[d]^{\nabla(\incl{X'_{\bullet}}{X})} \\ {X} \ar[rr]_{\id_{X}} & {} & {X} }$$
いま仮定より$\id_{X} \circ \nabla(\incl{X_{\bullet}}{X})$は等化写像であるから，$\nabla(\incl{X'_{\bullet}}{X})$は等化写像である．

1. $\mathrm{int}(\mathcal{X}) \prec \mathcal{X}$であるから，命題8より$\mathcal{X}$が開被覆であると仮定してよい．このとき$\tau(\mathcal{X}) \subset \tau(X)$が成り立つことを示せばよい．そこで$U \in \tau(\mathcal{X})$とすると
   $$ \forall \lambda \in \Lambda,\ U \cap X_{\lambda} \in \tau(X)|X_{\lambda} \subset \tau(X)$$
   が成り立つので
   $$ U = \bigcup U \cap X_{\lambda} \in \tau(X)$$
   を得る．
2. $\tau^{c}(\mathcal{X}) \subset \tau^{c}(X)$を示せばよい．そこで$C \in \tau^{c}(\mathcal{X})$とすると
   $$ \forall \lambda \in \Lambda,\ C \cap X_{\lambda} \in \tau^{c}(X)|X_{\lambda} \subset \tau^{c}(X)$$
   が成り立つので，$(C \cap X_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$は$X$の局所有限な閉集合族である．よって
   $$ C = \bigcup C \cap X_{\lambda} \in \tau^{c}(X)$$
   を得る（ 参考 ）．

1. 恒等写像$\id_{X} \colon k(X) \to (X,\tau(X))$の連続性より$k(X)$のコンパクト集合は$X$のコンパクト集合である：$\mathcal{K}(\tau(\mathcal{K}(\tau(X)))) \subset \mathcal{K}(\tau(X))$．また，命題4より$X$のコンパクト集合は$k(X)$のコンパクト集合である：$\mathcal{K}(\tau(X)) \subset \mathcal{K}(\tau(\mathcal{K}(\tau(X))))$．したがって$X$と$k(X)$のコンパクト集合系は一致するので，それらから定まる（集合$X$上の）整合位相も一致する．前者は$k(X)$の位相，後者は$k(k(X))$の位相であるから，結論を得る．
2. $X$が局所コンパクト空間ならば$\mathrm{int}(\mathcal{K})$は$X$の被覆となる．よって命題9より$\tau(X) = \tau(\mathcal{K})$が成り立つ．
3. $X$を第一可算空間とする．$A \in \tau^{c}(\mathcal{K})$とし，$a \in \overline{A}$とする．このとき，$A$の点列$(a_{n})_{n \in \mathbb{N}}$であって$a_{n} \to a$となるものが存在する．$K = \{a_{n}\mid n \in \mathbb{N}\} \cup \{a\} \subset X$とおくと，これは$X$のコンパクト集合であるから，$A \cap K \in \tau^{c}(K)$となる．また，$K$は第一可算空間であり，その点$a \in K$は$A \cap K$の点列$(a_{n})_{n \in \mathbb{N}}$の極限であるから
   $$ a \in \mathrm{cl}_{K}(A \cap K) = A \cap K \subset A$$
   が成り立つ．よって$A = \overline{A} \in \tau^{c}(X)$を得る．

仮定より$\nabla(\incl{X_{\bullet}}{X}) \colon (\coprod X_{\bullet},\tau(i_{X_{\bullet}})) \to (X,\tau(X))$は等化写像なので，$A \in \tau(X) \cup \tau^{c}(X)$より
$$ \nabla(\incl{X_{\bullet}}{X})^{A} \colon \left(\coprod A_{\bullet},\tau(i_{X_{\bullet}})\middle|\coprod A_{\bullet}\right) \to (A,\tau(X)|A)$$
は等化写像である（命題3.9）．また，命題3.17より$\coprod A_{\bullet}$上のふたつの位相，すなわち

• 余積位相の相対位相$\tau(i_{X_{\bullet}})|\coprod A_{\bullet}$
• 相対位相の余積位相$\tau(i_{A_{\bullet}})$

は一致するので，結論を得る．

• $f$が飽和条件を満たすとしてよい．
• $h$の全射性は明らか．
• $A \in \tau(h)$とし，$B = h^{-1}(A) \in \tau(Y \times T)$とおく．$A \in \tau(X \times S)$となることを示せばよい．
• $(x_{0},s_{0}) \in A$とする．
• $(y_{0},t_{0}) \in h^{-1}(x_{0},s_{0}) \subset B$を取り
  $$ V_{Y} = \{y \in Y \mid (y,t_{0}) \in B\}$$
  とおく．$B \in \tau(Y \times T)$より
  $$ V_{Y} \times \{t_{0}\} = (Y \times \{t_{0}\}) \cap B \in \tau(Y \times \{t_{0}\})$$
  となるので，$V_{Y} = p_{Y}(V_{Y} \times \{t_{0}\}) \in \tau(Y)$が成り立つ．

$V_{Y}$は$f$飽和集合である

• $y \in f^{-1}(f(V_{Y}))$とする．
• $y_{1} \in V_{Y}$であって$f(y) = f(y_{1})$となるものが存在する．このとき，$(y_{1},t_{0}) \in B$より
  $$ h(y,t_{0}) = (f(y),g(t_{0})) = (f(y_{1}),g(t_{0})) = h(y_{1},t_{0}) \in h(B) = A$$
  が成り立つ．したがって$(y,t_{0}) \in B$を得る．
• よって$y \in V_{Y}$が成り立つ．$\blacksquare$

仮定より，$f$飽和開集合$V_{Y} \subset Y$とその点$y_{0} \in V_{Y}$に対して，相対コンパクトな$f$飽和開集合$W_{Y} \in \tau(y_{0},Y)$であって$\overline{W_{Y}} \subset V_{Y}$となるものが存在する．いま$f$は等化写像なので，$f(W_{Y}) \in \tau(X)$となる．ここで
$$ W_{T} = \{t \in T \mid \overline{W_{Y}} \times \{t\} \subset B\}$$
とおくと，$\overline{W_{Y}} \times \{t_{0}\} \subset V_{Y} \times \{t_{0}\} \subset B$より$t_{0} \in W_{T}$となるので，
$$ (x_{0},s_{0}) = (f(y_{0}),g(t_{0})) \in f(W_{Y}) \times g(W_{T}) = h(W_{Y} \times V_{T}) \subset h(B) = A$$
が成り立つ．あとは$g(W_{T}) \in \tau(S)$を示せばよい．

$W_{T} \in \tau(T)$である

• $t \in W_{T}$とする．
• $\overline{W_{Y}} \times \{t\} \subset B \in \tau(X \times S)$であるから，Tube Lemma より，$V_{T} \in \tau(t,T)$であって$\overline{W_{Y}} \times V_{T} \subset B$となるものが存在する．
• よって$V_{T} \subset W_{T}$が成り立つ．$\blacksquare$

$W_{T}$は$g$飽和集合である

\begin{align} \overline{W_{Y}} \times g^{-1}(g(W_{T})) &\subset f^{-1}(f(\overline{W_{Y}})) \times g^{-1}(g(W_{T}))\\ &= h^{-1}(h(\overline{W_{Y}} \times W_{T}))\\ &\subset h^{-1}(h(B)) = h^{-1}(A) = B \end{align}
より$g^{-1}(g(W_{T})) \subset W_{T}$を得る．$\blacksquare$

$g(W_{T}) \in \tau(S)$である

いま$g$は等化写像であったから，$g^{-1}(g(W_{T})) = W_{T} \in \tau(T)$より$g(W_{T}) \in \tau(S)$を得る．$\blacksquare$

仮定より$f$は閉写像であるから，命題3.3より等化写像である．あとは$f$が飽和条件を満たすことを示せばよい．

• $V \subset Y$を$f$飽和開集合とし$y \in V$とする．
• いま$X = f(Y)$はコンパクトハウスドルフ空間であるから，$f(V) \in \tau(f(y),X)$に対して$U \in \tau(f(y),X)$であって$\overline{U} \subset f(V)$となるものが存在する．
• $W = f^{-1}(U) \in \tau(y,Y)$とおく．
  • $f$の全射性より$W$は$f$飽和開集合である．
  • $Y$のコンパクト性より，その閉集合$\overline{W}$はコンパクトである．
  • $f$の連続性と$V$の飽和性より
    $$ \overline{W} = \overline{f^{-1}(U)} \subset f^{-1}(\overline{U}) \subset f^{-1}(f(V)) = V$$
    が成り立つ．

仮定より$\id_{Z}$が飽和条件を満たす．

$$ f \times g \colon Y \times T \xrightarrow{\id_{Y} \times g} Y \times S \xrightarrow{f \times \id_{S}} X \times S$$
が成り立つ．よって定理3.7の系より結論を得る．

1. 任意の$(\lambda,\mu) \in \Lambda \times M$に対して$\mathrm{int}(X_{\lambda} \times Y_{\mu}) = \mathrm{int}(X_{\lambda}) \times \mathrm{int}(Y_{\mu})$が成り立つので，$\mathrm{int}(\mathcal{X} \times \mathcal{Y})$は$X \times Y$の被覆である．よって命題9より結論を得る．
2. $\mathcal{X} \times \mathcal{Y}$は$X \times Y$の局所有限閉被覆であるから，命題9より結論を得る．
3. $\coprod X_{\bullet} \times Y_{\bullet} = \coprod_{(\lambda,\mu) \in \Lambda \times M} X_{\lambda} \times Y_{\mu}$とおく．各$i_{X_{\lambda}} \times i_{Y_{\mu}}$は開写像であるから，全単射連続開写像
   $$ \varphi := \nabla((i_{X_{\lambda}} \times i_{Y_{\mu}})_{(\lambda,\mu) \in \Lambda \times M}) \colon \coprod X_{\bullet} \times Y_{\bullet} \to \coprod X_{\bullet} \times \coprod Y_{\bullet}$$
   は同相写像である．さらに，任意の$(\lambda,\mu) \in \Lambda \times M$に対して
   \begin{align} ((\nabla(\incl{X_{\bullet}}{X}) \times \nabla(\incl{Y_{\bullet}}{Y})) \circ \varphi) \circ i_{X_{\lambda} \times Y_{\mu}} &= (\nabla(\incl{X_{\bullet}}{X}) \times \nabla(\incl{Y_{\bullet}}{Y})) \circ (i_{X_{\lambda}} \times i_{Y_{\mu}})\\ &= (\nabla(\incl{X_{\bullet}}{X}) \circ i_{X_{\lambda}}) \times (\nabla(\incl{Y_{\bullet}}{Y}) \circ i_{Y_{\mu}})\\ &= \incl{X_{\lambda}}{X} \times \incl{Y_{\mu}}{Y}\\ &= \incl{X_{\lambda} \times Y_{\mu}}{X \times Y}\\ &= \nabla(\incl{X_{\bullet} \times Y_{\bullet}}{X \times Y}) \circ i_{X_{\lambda} \times Y_{\mu}} \end{align}
   が成り立つので，補題1.2より以下の図式は可換である：
   $$ \xymatrix{ {\coprod X_{\bullet} \times Y_{\bullet}} \ar[rr]^{\varphi}_{\approx} \ar[d]_{\nabla(\incl{X_{\bullet} \times Y_{\bullet}}{X \times Y})} & {} & {\coprod X_{\bullet} \times \coprod Y_{\bullet}} \ar[d]^{\nabla(\incl{X_{\bullet}}{X}) \times \nabla(\incl{Y_{\bullet}}{Y})} \\ {X \times Y} \ar@{<->}[rr]_{\id} & {} & {X \times Y} }$$
   いま，仮定より$\nabla(\incl{X_{\bullet}}{X}),\, \nabla(\incl{Y_{\bullet}}{Y})$はともに全射等化写像であるから，$\nabla(\incl{Y_{\bullet}}{Y})$が飽和条件を満たすことを示せばよい（定理11）．
   そこで$\nabla(\incl{Y_{\bullet}}{Y})$飽和開集合$U \in \tau(\coprod Y_{\bullet})$とその点$\eta \in U$を取る．$y = \nabla(\incl{Y_{\bullet}}{Y})(\eta) \in Y$とおく．いま$U$の飽和性より$\nabla(\incl{Y_{\bullet}}{Y})(U) \in \tau(y,Y)$であるから，$\mathcal{Y}$が局所有限であることとあわせて，$W \in \tau(y,Y)$であって
   $$ W \subset \nabla(\incl{Y_{\bullet}}{Y})(U),\ M(y) := \{\mu \in M \mid W \cap Y_{\mu} \neq \varnothing\}:\text{finite}$$
   となるものが存在することがわかる．
   $$ K = \bigcup \{Y_{\mu} \mid \mu \in M(y)\}$$
   とおく．$K$はコンパクトハウスドルフ空間であるから，$W \in \tau(y,K)$より，$W' \in \tau(y,Y)$であって$\mathrm{cl}_{K}(W' \cap K) \subset W$となるものが存在する．ここで$V' = W' \cap W \in \tau(y,Y)$とおくと
   $$ \overline{V'} \subset \overline{W' \cap K} \cap K = \mathrm{cl}_{K}(W' \cap K) \subset W$$
   が成り立つ．そこで$V = \nabla(\incl{Y_{\bullet}}{Y})^{-1}(V') \in \tau(\eta,\coprod Y_{\bullet})$とおくと，$\nabla(\incl{Y_{\bullet}}{Y})$の全射性よりこれは$\nabla(\incl{Y_{\bullet}}{Y})$飽和開集合であり，
   $$ \overline{V} = \overline{\nabla(\incl{Y_{\bullet}}{Y})^{-1}(V')} \subset \nabla(\incl{Y_{\bullet}}{Y})^{-1}(\overline{V'}) \subset \nabla(\incl{Y_{\bullet}}{Y})^{-1}(W) \subset \nabla(\incl{Y_{\bullet}}{Y})^{-1}(\nabla(\incl{Y_{\bullet}}{Y})(U)) = U$$
   が成り立つ．
   あとは$\overline{V} \subset \coprod Y_{\bullet}$がコンパクトであることを示せばよい．ところで，任意の$\mu \in M$に対して
   \begin{align} \overline{V} \cap i_{Y_{\mu}}(Y_{\mu}) \neq \varnothing &\implies \nabla(\incl{Y_{\bullet}}{Y})^{-1}(\overline{V'}) \cap i_{Y_{\mu}}(Y_{\mu}) \neq \varnothing\\ &\implies \overline{V'} \cap \nabla(\incl{Y_{\bullet}}{Y})(i_{Y_{\mu}}(Y_{\mu})) = \overline{V'} \cap Y_{\mu} \neq \varnothing\\ &\implies W \cap Y_{\mu} \neq \varnothing \end{align}
   が成り立つので，$\overline{V} \subset \coprod_{\mu \in M(y)} Y_{\mu}$となる．よって，$\overline{V}$はコンパクト空間の閉集合ゆえコンパクトである．
4. 以下の図式は可換である：
   $$ \xymatrix{ {\coprod (X_{\bullet} \times Y)} \ar@{<->}[r]^{\approx} \ar[d]_{\nabla(\incl{X_{\bullet} \times Y}{X \times Y})} & {(\coprod X_{\bullet}) \times Y} \ar[d]^{\nabla(\incl{X_{\bullet}}{X}) \times \id_{Y}}\\ {X \times Y} \ar@{<->}[r]_{\id} & {X \times Y} }$$
   仮定より$\nabla(\incl{X_{\bullet}}{X})$は全射等化写像であるから，定理11の系より結論を得る．