超球関数の二次変換公式
第1種, 第2種のJacobi関数を
\begin{align}
P_{\nu}^{(a,b)}(x)&:=\frac{\Gamma(a+\nu+1)}{\Gamma(a+1)\Gamma(\nu+1)}\F21{-\nu,a+b+\nu+1}{a+1}{\frac{1-x}2}\\
Q_{\nu}^{(a,b)}(x)&:=\frac{\Gamma(a+\nu+1)\Gamma(-a)\cos\pi a}{\pi\Gamma(\nu+1)}\F21{-\nu,\nu+a+b+1}{a+1}{\frac{1-x}2}\\
&\qquad+\frac{\Gamma(a)\Gamma(b+\nu+1)}{\pi\Gamma(a+b+\nu+1)}\left(\frac{1-x}2\right)^{-a}\F21{-\nu-a,\nu+b+1}{1-a}{\frac{1-x}2}\\
&=-\cot\pi aP_{\nu}^{(a,b)}(x)+\frac{\Gamma(a+\nu+1)\Gamma(b+\nu+1)}{\sin\pi a\Gamma(\nu+1)\Gamma(a+b+\nu+1)}\left(\frac{1-x}2\right)^{-a}P_{\nu+a}^{(-a,b)}(x)
\end{align}
と定義する.
前の記事
でこれらが第1種, 第2種の超球関数と
\begin{align}
P_{\nu}^{(a,a)}(x)&=\frac{\Gamma(a+\nu+1)\Gamma(2a+1)}{\Gamma(a+1)\Gamma(2a+1+\nu)}C_{\nu}^{\left(a+\frac 12\right)}(x)\\
Q_{\nu}^{(a,a)}(x)&=\frac{\Gamma(a+\nu+1)\Gamma(2a+1)}{\Gamma(a+1)\Gamma(2a+1+\nu)}D_{\nu}^{\left(a+\frac 12\right)}(x)
\end{align}
の関係があることを示した.
\begin{align} P_{\nu}^{\left(a,-\frac 12\right)}(2x-1)&=\frac{\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)\Gamma\left(a+\frac 12\right)}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(a+\nu+\frac 12\right)}C_{2\nu}^{\left(a+\frac 12\right)}(\sqrt x)\\ Q_{\nu}^{\left(a,-\frac 12\right)}(2x-1)&=\frac{\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)\Gamma\left(a+\frac 12\right)}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(a+\nu+\frac 12\right)}D_{2\nu}^{\left(a+\frac 12\right)}(\sqrt x)\\ P_{\nu}^{\left(a,\frac 12\right)}(2x-1)&=\frac{\Gamma\left(\nu+\frac 32\right)\Gamma\left(a+\frac 12\right)}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(a+\nu+\frac 32\right)}\frac{C_{2\nu+1}^{\left(a+\frac 12\right)}(\sqrt{x})}{\sqrt x}\\ Q_{\nu}^{\left(a,\frac 12\right)}(2x-1)&=\frac{\Gamma\left(\nu+\frac 32\right)\Gamma\left(a+\frac 12\right)}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(a+\nu+\frac 32\right)}\frac{D_{2\nu+1}^{\left(a+\frac 12\right)}(\sqrt{x})}{\sqrt x} \end{align}
${}_2F_1$の接続公式
\begin{align}
\F21{a,b}{c}{1-x}&=\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}\F21{a,b}{1+a+b-c}{x}\\
&\qquad+\frac{\Gamma(c)\Gamma(a+b-c)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}x^{c-a-b}\F21{c-a,c-b}{1+c-a-b}x
\end{align}
を用いると, 1つ目の等式は
\begin{align}
P_{\nu}^{\left(a,-\frac 12\right)}(2x-1)&=\frac{\Gamma(a+\nu+1)}{\Gamma(a+1)\Gamma(\nu+1)}\F21{-\nu,a+\nu+\frac 12}{a+1}{1-x}\\
&=\frac{\Gamma(a+\nu+1)}{\Gamma(a+1)\Gamma(\nu+1)}\frac{\Gamma(a+1)\Gamma(\frac 12)}{\Gamma(a+\nu+1)\Gamma\left(\frac 12-\nu\right)}\F21{-\nu,a+\nu+\frac 12}{\frac 12}{x}\\
&\qquad+\frac{\Gamma(a+\nu+1)}{\Gamma(a+1)\Gamma(\nu+1)}\frac{\Gamma(a+1)\Gamma\left(-\frac 12\right)}{\Gamma(-\nu)\Gamma\left(a+\nu+\frac 12\right)}\sqrt x\F21{\frac 12-\nu,a+\nu+1}{\frac 32}x\\
&=\frac{\cos\pi\nu\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)}{\sqrt{\pi}\Gamma(\nu+1)}\F21{-\nu,a+\nu+\frac 12}{\frac 12}{x}\\
&\qquad+\frac{2\sin\pi\nu\Gamma(a+\nu+1)}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(a+\nu+\frac 12\right)}\sqrt x\F21{\frac 12-\nu,a+\nu+1}{\frac 32}x\\
&=\frac{\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)\Gamma\left(a+\frac 12\right)}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(a+\nu+\frac 12\right)}C_{2\nu}^{\left(a+\frac 12\right)}(\sqrt x)
\end{align}
と示される. ここで, 最後の等号は
前の記事
の系2による. 2つ目の等式は3つ目の等式を用いて,
\begin{align}
&Q_{\nu}^{\left(a,-\frac 12\right)}(2x-1)\\
&=-\cot\pi aP_{\nu}^{\left(a,-\frac 12\right)}(2x-1)+\frac{\Gamma(a+\nu+1)\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)}{\sin\pi a\Gamma(\nu+1)\Gamma\left(a+\nu+\frac 12\right)}\left(1-x\right)^{-a}P_{\nu+a}^{\left(-a,-\frac 12\right)}(2x-1)\\
&=-\cot\pi a\frac{\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)\Gamma\left(a+\frac 12\right)}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(a+\nu+\frac 12\right)}C_{2\nu}^{\left(a+\frac 12\right)}(\sqrt x)\\
&\qquad+\frac{\Gamma(a+\nu+1)\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)}{\sin\pi a\Gamma(\nu+1)\Gamma\left(a+\nu+\frac 12\right)}\left(1-x\right)^{-a}\frac{\Gamma\left(\nu+a+\frac 12\right)\Gamma\left(\frac 12-a\right)}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)}C_{2\nu+2a}^{\left(\frac 12-a\right)}(\sqrt x)\\
&=-\cot\pi a\frac{\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)\Gamma\left(a+\frac 12\right)}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(a+\nu+\frac 12\right)}C_{2\nu}^{\left(a+\frac 12\right)}(\sqrt x)+\frac{\Gamma(a+\nu+1)\Gamma\left(\frac 12-a\right)}{\sqrt{\pi}\sin\pi a\Gamma(\nu+1)}\left(1-x\right)^{-a}C_{2\nu+2a}^{\left(\frac 12-a\right)}(\sqrt x)\\
&=-\cot\pi a\left(\frac{\cos\pi\nu\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)}{\sqrt{\pi}\Gamma(\nu+1)}\F21{-\nu,a+\nu+\frac 12}{\frac 12}{x}+\frac{2\sin\pi\nu\Gamma(a+\nu+1)}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(a+\nu+\frac 12\right)}\sqrt x\F21{\frac 12-\nu,a+\nu+1}{\frac 32}x\right)\\
&\qquad+\frac{(1-x)^{-a}}{\sin\pi a}\left(\frac{\cos\pi(a+\nu)\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)}{\sqrt{\pi}\Gamma(\nu+1)}\F21{-a-\nu,\nu+\frac 12}{\frac 12}{x}+\frac{2\sin\pi(a+\nu)\Gamma(a+\nu+1)}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(a+\nu+\frac 12\right)}\sqrt x\F21{\frac 12-a-\nu,\nu+1}{\frac 32}x\right))\\
&=-\cot\pi a\left(\frac{\cos\pi\nu\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)}{\sqrt{\pi}\Gamma(\nu+1)}\F21{-\nu,a+\nu+\frac 12}{\frac 12}{x}+\frac{2\sin\pi\nu\Gamma(a+\nu+1)}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(a+\nu+\frac 12\right)}\sqrt x\F21{\frac 12-\nu,a+\nu+1}{\frac 32}x\right)\\
&\qquad+\frac{1}{\sin\pi a}\left(\frac{\cos\pi(a+\nu)\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)}{\sqrt{\pi}\Gamma(\nu+1)}\F21{-\nu,a+\nu+\frac 12}{\frac 12}{x}+\frac{2\sin\pi(a+\nu)\Gamma(a+\nu+1)}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(a+\nu+\frac 12\right)}\sqrt x\F21{\frac 12-\nu,a+\nu+1}{\frac 32}x\right))\\
&=-\frac{\sin\pi\nu\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)}{\sqrt{\pi}\Gamma(\nu+1)}\F21{-\nu,a+\nu+\frac 12}{\frac 12}{x}+\frac{2\cos\pi\nu\Gamma(a+\nu+1)}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(a+\nu+\frac 12\right)}\sqrt x\F21{\frac 12-\nu,a+\nu+1}{\frac 32}x\\
&=\frac{\Gamma\left(\nu+\frac 12\right)\Gamma\left(a+\frac 12\right)}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(a+\nu+\frac 12\right)}D_{2\nu}^{\left(a+\frac 12\right)}(\sqrt x)
\end{align}
ここで, 最後3つの等号はそれぞれ, Eulerの変換公式,
前の記事
の系1, 定理1によるものである. 3つ目と4つ目の等式はEulerの変換公式より
\begin{align}
P_{\nu}^{\left(a,\frac 12\right)}(2x-1)&=\frac{\Gamma\left(\nu+\frac 32\right)\Gamma\left(a+\nu+1\right)}{\Gamma\left(a+\nu+\frac 32\right)\Gamma(\nu+1)}\frac{P_{\nu+\frac 12}^{\left(a,-\frac 12\right)}(2x-1)}{\sqrt x}\\
Q_{\nu}^{\left(a,\frac 12\right)}(2x-1)&=\frac{\Gamma\left(\nu+\frac 32\right)\Gamma\left(a+\nu+1\right)}{\Gamma\left(a+\nu+\frac 32\right)\Gamma(\nu+1)}\frac{Q_{\nu+\frac 12}^{\left(a,-\frac 12\right)}(2x-1)}{\sqrt x}
\end{align}
となることから1つ目と2つ目の等式から従う.
$\nu$が非負整数の場合は, Jacobi多項式が直交多項式となることから, 両辺が同じ重み関数に関する直交多項式となることから定理1が従う. 一般の場合にもそのような簡潔な証明を与えるような理論は存在するだろうか.
$q$類似
$x:=\cos\theta$として,
\begin{align}
r_n(x;a,b,c,d|q):=\Q43{q^{-n},abcdq^{n-1},ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{ab,ac,ad}{q}
\end{align}
とする.
前の記事
で見たようにSinghの二次変換公式から
\begin{align}
r_n(x;b,bq,-c,-cq|q^2)&=\frac{(-cq^{\frac 12},-q;q)_n}{(-bq^{\frac 12},-bc;q)_n}(bq^{-\frac 12})^nr_n(x;q^{\frac 12},b,-c,q^{\frac 12}|q)
\end{align}
が成り立つ. この左辺は本質的に連続$q$-Jacobi多項式と呼ばれるJacobi多項式の$q$類似になっている. ここで, $b=c$としたものは
\begin{align}
r_n(x;b,bq,-b,-bq|q^2)&=\frac{(-q;q)_n}{(-b^2;q)_n}(bq^{-\frac 12})^nr_n(x;q^{\frac 12},b,-b,-q^{\frac 12}|q)
\end{align}
となって,
Askey-Wilson多項式の対称性
から
\begin{align}
r_n(x;q^{\frac 12},b,-b,-q^{\frac 12}|q)&=r_n(x;q^{\frac 12},-q^{\frac 12},b,-b|q)
\end{align}
と書き換えられる. つまり,
\begin{align}
r_n(x;b,bq,-b,-bq|q^2)&=\frac{(-q;q)_n}{(-b^2;q)_n}(bq^{-\frac 12})^nr_n(x;q^{\frac 12},-q^{\frac 12},b,-b|q)
\end{align}
となる.
前の記事
で
\begin{align}
r_n(\cos\theta;a,b,-a,-b|q)&=r_n(\cos 2\theta;a^2,b^2,-1,-q|q^2)
\end{align}
であることを示したので, これは
\begin{align}
r_n(\cos\theta;b,bq,-b,-bq|q^2)&=\frac{(-q;q)_n}{(-b^2;q)_n}(bq^{-\frac 12})^nr_n(\cos 2\theta;q,b^2,-1,-q|q^2)
\end{align}
と書き換えることができる. これが本質的に$\nu$が非負整数の場合の定理1の$q$類似を与えている. 一般の$\nu$に関する定理1の$q$類似を得ることは今後の研究課題である.
