位数2pの群の構造
補題群
群$G$の位数が偶数ならば，$G$は位数$2$の元を持つ．
写像$\iota \colon G \to G$を$\iota(g) \coloneqq g^{-1}$で定めると，$\iota^{2}=\id$であるから
$$
\#G^{\iota} \equiv \#G \equiv 0 \pmod 2$$
が成り立つ（cf. action例24）．明らかに$e\in G^{\iota}$であるから，$\#G^{\iota} \geq 2$となり，したがって結論を得る．
$\#G$が偶数であり，
$$
g \in G\smallsetminus G^{\iota} \implies g \neq g^{-1} \in G\smallsetminus G^{\iota}$$
より$\#(G\smallsetminus G^{\iota})$が偶数であることがわかるので，$\#G^{\iota}$も偶数である．
$G$を群とし，写像$\sigma\colon G \to G$を$\sigma(g) \coloneqq g^{2}$で定める．このとき次は同値である（cf. n-abelian group ）：
- $\sigma$は準同型である；
- $G$は可換群である．
(i)$\implies$(ii)
任意の$g,h \in G$に対して，仮定より
$$
gghh = \sigma(g)\sigma(h)=\sigma(gh)=ghgh$$
となるので，
$$
gh= g^{-1}(gghh)h^{-1} = g^{-1}(ghgh)h^{-1} = hg$$
が成り立つ．
(ii)$\implies$(i)
明らか．
$p$を奇素数とし$G$を位数$2p$の群とする．このとき，$G$は位数$p$の元を持つ．
$G$を群とし，$a,b \in G$を位数がそれぞれ$n,m$の元とする．このとき次が成り立つ：
- $\gcd(n,m)=1 \implies \langle a \rangle \cap \langle b \rangle = \{e\};$
- $ab=ba,\ \langle a \rangle \cap \langle b \rangle = \{e\} \implies \#\langle ab \rangle = \lcm(n,m).$
(1)
$d \coloneqq \#(\langle a \rangle \cap \langle b \rangle)$とおくと，Lagrangeの定理より
\begin{align}
\langle a \rangle \cap \langle b \rangle < \langle a \rangle &\quad\leadsto\quad d \mid n;\\
\langle a \rangle \cap \langle b \rangle < \langle b \rangle &\quad\leadsto\quad d \mid m;
\end{align}
が成り立つので，$d \mid \gcd(n,m)=1$を得る．
(2)
$\ell \coloneqq \#\langle ab \rangle$とおく．このとき
$$
(ab)^{nm} = a^{nm}b^{nm} = e \quad\leadsto\quad \ell \leq nm < \infty$$
となることに注意する．さて，仮定より
$$
e=(ab)^{\ell} = a^{\ell}b^{\ell} \quad\leadsto\quad a^{\ell}=b^{-\ell} \in \langle a \rangle \cap \langle b \rangle = \{e\}$$
となるので，
$$
n \mid \ell,\ m \mid \ell$$
が成り立つ．また，$n \mid \ell',\,m \mid \ell'$とすると
$$
(ab)^{\ell'} = a^{\ell'}b^{\ell'} = e \quad\leadsto\quad \ell \mid \ell'$$
が成り立つ．以上より
$$
\ell = \lcm(n,m)$$
を得る．
位数$2p$の群の構造
$p$を奇素数とし$G$を位数$2p$の群とする．このとき，$G$は，巡回群$\mathrm{C}_{2p}$または二面体群$\mathrm{D}_{2p}$のいづれか一方に同型である：
$$
G \cong \begin{dcases}
\mathrm{C}_{2p} \coloneqq \langle \gamma \mid \gamma^{2p}=1 \rangle & G:\text{abelian;} \\
\mathrm{D}_{2p} \coloneqq \langle \delta,\rho \mid \delta^{2} = 1 ,\ \rho^{p}=1,\ \delta\rho\delta^{-1} = \rho^{p-1} \rangle & G:\text{non-abelian.}
\end{dcases}$$
ord-2，ord-pより，位数$2$の元$a \in G$と位数$p$の元$b\in G$とが存在する．このとき，coprime-orderより
$$
e,b,\ldots,b^{p-1},a,ab,\ldots,ab^{p-1}$$
は$G$の相異なる元であり，とくに$G=\langle a,b \rangle$となる．いま，$[G : \langle b \rangle]=2$より$\langle b \rangle \lhd G$であるから，$aba^{-1}=b^{m},\,1 \leq m \leq p-1,\,$と書け，したがって
$$
b^{m^{2}} = (b^{m})^{m} = (aba^{-1})^{m} = ab^{m}a^{-1} = a(aba^{-1})a^{-1} = b \quad\leadsto\quad p \mid m^{2}-1=(m-1)(m+1)$$
が成り立つ．
- $p\mid m-1$，すなわち$m=1$のとき，$ab=ba$より$\#\langle ab \rangle = 2p$であるから（cf. coprime-order），
$$ G = \langle ab \rangle \cong \mathrm{C}_{2p}$$
となる． - $p \mid m+1$，すなわち$m=p-1$のとき，$aba^{-1} = b^{p-1}$であるから，全射準同型$f \colon \mathrm{D}_{2p} \to G$であって$f(\delta)=a,\ f(\rho)=b$なるものがただ一つ存在する：
$$ \xymatrix{ {0} \ar[r] & {\langle\!\langle \delta^{2},\rho^{p}, (\delta\rho)^{2}\rangle\!\rangle} \ar[r] \ar[dr]_{0} & {\langle \delta,\rho \,\mid \phantom{\varnothing}\rangle} \ar[r] \ar[d] & {\mathrm{D}_{2p}} \ar[r] \ar@{.>}[dl]^{f} & {0.} \\ && {G} }$$
ところで$\#G=2p=\#\mathrm{D}_{2p}$であるから$f$は全単射であり，したがって同型である：
$$ G \cong \mathrm{D}_{2p}.$$
$aba^{-1}=b^{-1}$のとき，共軛作用$g\star x \coloneqq gxg^{-1}$による軌道（すなわち共軛類への）分解は，
\begin{align}
a \star b^{k} &= ab^{k}a^{-1} = (aba^{-1})^{k} = b^{-k};\\
b \star b^{k} &= bb^{k}b^{-1} = b^{k};\\
a \star ab^{k} &= a \cdot ab^{k} \cdot a^{-1} = a(aba^{-1})^{k} = ab^{-k};\\
b \star ab^{k} &= b \cdot ab^{k} \cdot b^{-1} = ab^{-1}b^{k}b^{-1} = ab^{k-2} \quad\leadsto\quad b^{\frac{p-1}{2}} \star ab^{k} = ab^{k-(p-1)} = ab^{k+1};
\end{align}
より，
$$
G = \{e\} \sqcup \{b,b^{-1}\} \sqcup \{b^{2},b^{-2}\} \sqcup\cdots\sqcup \{b^{\frac{p-1}{2}},b^{-\frac{p-1}{2}}\} \sqcup \underbrace{\{a,ab,ab^{2},\ldots,ab^{p-1}\}}_{\eqqcolon \Delta_{p}}$$
となる．よって，$G$の中心は自明である．また，各$k\in\{0,\ldots,p-1\}$に対して，元$ab^{k}\in\Delta_{p}$をガウス平面上の点$\exp\frac{2k\pi\sqrt{-1}}{p}$と同一視すれば，$\Delta_{p}$は正$p$角形と見做せ，$a$による作用は実軸に関する反転に，$b^{\frac{p-1}{2}}$による作用は原点中心の$\frac{2\pi}{p}$回転に，それぞれ対応する．
附：位数$pq$の群の構造
$p,q\in\mathbb{Z}$を$p>q$なる素数とし，$p \equiv 1 \pmod q$とする．このとき，$q \mid p-1$より，$(p-1)\mathbb{Z} \subset \frac{p-1}{q}\mathbb{Z}$に対応する正規部分群$M \lhd \mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}$が存在する：
$$
\mathbb{Z}/\tfrac{p-1}{q}\mathbb{Z} \cong (\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z})/M \quad\leadsto\quad \#M = q.$$
さらに，
原始根の存在定理
より$\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z} \cong (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$であるから，$1< m< p$であって$m^{q} \equiv 1 \pmod p$なるものが存在する．
群
$$
\mathrm{D}_{p>q} \coloneqq \langle \delta,\rho \mid \delta^{q}=1,\ \rho^{p}=1,\ \delta\rho\delta^{-1}=\rho^{m} \rangle$$
は位数$pq$の有限群であり，その同型類は$m$の取り方に依らない．
前半
coprime-orderより
$$
\rho^{\ell}\delta^{k},\ 0 \leq \ell < p,\ 0 \leq k < q$$
は$\mathrm{D}_{p>q}$の相異なる元であり，任意の元は，$\delta\rho=\rho^{m}\delta$を用いることで，これらのいづれかに等しいことがわかる．よって$\#\mathrm{D}_{p>q}=pq$である．
後半
$m'^{q} \equiv 1 \pmod p,\,1< m'< p,\,$とすると，$m' \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$の位数は$q$なので，部分群の対応定理より
$$
\langle m' \rangle = \langle m \rangle \quad\leadsto\quad \exists\,q' \in \{1,\ldots,q-1\},\ m' = m^{q'}$$
となる．このとき
$$
(\delta^{q'})^{q} = 1,\ \rho^{p}=1$$
であり，
\begin{align}
\rho^{m^{2}} &= (\rho^{m})^{m} = (\delta\rho\delta^{-1})^{m} = \delta\rho^{m}\delta^{-1} = \delta(\delta\rho\delta^{-1})d^{-1} = \delta^{2}\rho\delta^{-2};\\
\rho^{m^{k+1}} &= (\rho^{m^{k}})^{m} = (\delta^{k}\rho\delta^{-k})^{m} = \delta^{k}\rho^{m}\delta^{-k} = \delta^{k}(\delta\rho\delta^{-1})d^{-k} = \delta^{k+1}\rho\delta^{-(k+1)};
\end{align}
より
$$
\delta^{q'}\rho(\delta^{q'})^{-1} = \rho^{m^{q'}} = \rho^{m'}$$
が成り立つ．また，$\gcd(q',q)=1$より$\mathrm{D}_{p>q} = \langle \delta^{q'},\rho \rangle$となる．よって，全射準同型
$$
f \colon \langle \delta',\rho' \mid \delta'^{q}=1,\ \rho'^{p}=1,\ \delta'\rho'\delta'^{-1}=\rho'^{m'} \rangle \to \mathrm{D}_{p>q}$$
であって$f(\delta')=\delta^{q'},f(\rho')=\rho$なるものがただ一つ存在するので，位数を比較して結論を得る．
$p \equiv 1 \pmod q$のとき，位数$pq$の群は$\mathrm{C}_{pq}$または$\mathrm{D}_{p>q}$のいづれか一方に同型である．
$\#G=pq$とする．
- Cauchyの定理より，位数$q$の元$a\in G$および位数$p$の元$b\in G$が存在する．このとき，coprime-orderより
$$ a^{k}b^{\ell},\ 0 \leq k < q,\ 0 \leq \ell < p$$
は$G$の相異なる元であり，とくに$G = \langle a,b \rangle$となる． - $\langle b \rangle \lhd G$である：実際，作用
$$ \alpha \colon G \to \mathrm{Sym}(G/\langle b \rangle) \cong \mathfrak{S}_{q};\ g \mapsto [x\langle b \rangle \mapsto gx \langle b \rangle]$$
を考えると，
$$ g \in \Ker\alpha \implies g\langle b \rangle = \langle b \rangle \implies g \in \langle b \rangle$$
より$\Ker\alpha \subset \langle b \rangle$であり，
\begin{align} q = [G:\langle b \rangle] &\leq [G:\Ker\alpha] \mid \#G = pq \quad\leadsto\quad [G:\Ker\alpha] \in \{q,p,pq\};\\ [G:\Ker\alpha] &= \#(G/\Ker\alpha) \mid \#\mathfrak{S}_{q} = q!\,;\\ \end{align}
より$[G:\Ker\alpha]=q$，したがって$\#\Ker\alpha = p = \#\langle b \rangle$となるので，
$$ \langle b \rangle = \Ker\alpha \lhd G$$
が成り立つ． - よって，$aba^{-1} = b^{m},\,1 \leq m \leq p-1$と書ける．このとき，
$$ b^{m^{q}} = a^{q}ba^{-q} = b \quad\leadsto\quad p \mid m^{q}-1 = (m-1)(m^{q-1}+m^{q-2} +\cdots+ m+1)$$
が成り立つ． - $p \mid m-1$，すなわち$m=1$のとき，$ab=ba$より$\#\langle ab \rangle = pq$であるから（cf. coprime-order），
$$ G = \langle ab \rangle \cong \mathrm{C}_{pq}$$
となる． - $p \centernot\mid m-1$，すなわち$1< m< p$のとき，全射準同型$f \colon \mathrm{D}_{p>q} \to G$であって$f(\delta)=a,f(\rho)=b$なるものがただ一つ存在するので，位数を比較して
$$ G \cong \mathrm{D}_{p>q}$$
を得る．
$p \not\equiv 1 \pmod q$のとき，位数$pq$の群は巡回群$\mathrm{C}_{pq}$に同型である（cf. cyclic例2）．
