有限群の位数と同型類の個数

Lagrangeの定理より$G$の元の位数は$1,p,q,pq$のいづれかであることに注意する．

$G$のSylow$p$部分群の個数$\sigma_{p}$について，Sylowの定理より
$$ \sigma_{p} \equiv 1 \pmod p,\quad \sigma_{p} | q$$
が成り立つので，仮定と合わせて$\sigma_{p} = 1$を得る．同様にして$\sigma_{q} = 1$も得る．したがって$G$の元で位数が$1,p,q$のものの個数は全部で
$$ 1 + (p-1) + (q-1) = p+q-1$$
であるから，
$$ pq - (p+q-1) = (p-1)(q-1) > 0$$
より，$G$は位数$pq$の元を少なくともひとつ持つ．

(i)$\implies$(ii)

$n$の素因数分解を
$$ n = p_{1} \cdots p_{k}$$
とする．このとき
$$ \phi(n) = (p_{1}-1) \cdots (p_{k}-1)$$
であるから，仮定より$\gcd(n,\phi(n)) = 1$が成り立つ．

(ii)$\implies$(i)

$n$の素因数分解を
$$ n = p_{1}^{e_{1}} \cdots p_{k}^{e_{k}}$$
とする．このとき
$$ \phi(n) = p_{1}^{e_{1}-1}(p_{1}-1) \cdots p_{k}^{e_{k}-1}(p_{k}-1)$$
であるから，$\gcd(n,\phi(n)) = 1$より$e_{1} = \cdots = e_{k} = 1$でなければならない．したがって
$$ \phi(n) = (p_{1}-1) \cdots (p_{k}-1)$$
となるので，$\gcd(n,\phi(n)) = 1$より，任意の$i,j \in \{1,\ldots,k\}$に対して
$$ p_{i} \not\equiv 1 \pmod {p_{j}}$$
が成り立つ．

(i)$\implies$(ii)

1. 素数$p$であって$p^{2} \mid n$なるものが存在したとする．このとき，位数$n$の群
   $$ G \coloneqq (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) \times (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) \times (\mathbb{Z}/np^{-2}\mathbb{Z})$$
   について，その部分群（と同型な群）$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) \times (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$は（位数$p^{2}$の元を持たないことから）巡回群でないので$G$も巡回群でないが，これは不合理である．
2. $n$の素因数$p,q$であって$q \equiv 1 \pmod p$なるものが存在したとする．このとき，$p \mid \#(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{\times}$であるから，Cauchyの定理より位数$p$の元$\gamma \in (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{\times}$が存在する．そこで
   $$ \Gamma \coloneqq \left\{\begin{bmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\,\middle|\, a \in \langle \gamma \rangle,\ b \in \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}\right\}$$
   とおくと，これは位数$pq$の群であって
   $$ \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\gamma & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\gamma & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix}\gamma & \gamma \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\gamma & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$
   より可換群でない．よって，位数$n$の非巡回群
   $$ \Gamma \times (\mathbb{Z}/n(pq)^{-1}\mathbb{Z})$$
   が得られるが，これは不合理である．

(ii)$\implies$(i)

位数$n$の非巡回群が存在したとすると，正整数
$$ n_{0} \coloneqq \min\{n' \in \mathbb{Z}_{>1} \mid \gcd(n',\phi(n')) = 1,\ \exists\,G':\text{non-cyclic group of order $n'$}\}$$
が定まる．そこで位数$n_{0}$の非巡回群$G_{0}$を取る．$n_{0}$の真の約数は巡回数であるから，$n_{0}$の最小性より，$G_{0}$の真部分群および非自明な正規部分群による剰余群は巡回群であることに注意する．

1. $G_{0}$の中心は自明である：$Z(G_{0}) \neq \{e\}$とすると，$G_{0}/Z(G_{0})$が巡回群であることから$G_{0}$は可換群となる（cf. action例29）．ここで$n_{0}$の素因数分解を$n_{0} = p_{1}\cdots p_{k}$とし，各$i \in \{1,\ldots,k\}$に対して位数$p_{i}$の元$g_{i} \in G_{0}$を取ると，$g_{0} \coloneqq g_{1} \cdots g_{k} \in G_{0}$は位数$p_{1} \cdots p_{k} = n_{0}$の元ゆえ$G_{0} = \langle g_{0} \rangle$となって，$G_{0}$の取り方に反する．
2. $G_{0}$の極大部分群について，以下が成り立つ：
   1. $G_{0}$の極大部分群は非自明である：$n_{0} > 1$より$g \in G_{0}\smallsetminus\{e\}$が取れ，
      $$ \{e\} < \langle g \rangle \neq G_{0}$$
      となるので，$\{e\} < G_{0}$は極大部分群ではない．
   2. 任意の$x \in G_{0}\smallsetminus\{e\}$に対して，その中心化群
      $$ C_{G_{0}}(x) \coloneqq \{g \in G_{0} \mid gx = xg\}$$
      は$G_{0}$の極大部分群である：$C_{G_{0}}(x) < H \lneq G_{0}$とすると，$H$は巡回群、とくに可換群なので，$x \in H$と合わせて$H \subset C_{G_{0}}(x)$を得る．
   3. $H < G_{0}$を極大部分群とすると，任意の$h \in H \smallsetminus \{e\}$に対して，$C_{G_{0}}(h) = H$が成り立つ：いま$H$は可換群であるから$H \subset C_{G_{0}}(h)$となる．もし$C_{G_{0}}(h) = G_{0}$であるとすると，$h \in Z(G_{0})=\{e\}$となって不合理である．よって$C_{G_{0}}(h) \neq G_{0}$であるから，$H$の極大性より$H = C_{G_{0}}(h)$が成り立つ．
   4. 任意の極大部分群$H,H' < G_{0}$に対して
      $$ H \cap H' \neq \{e\} \implies H = H'$$
      が成り立つ：$x \in (H \cap H') \smallsetminus \{e\}$を取ると，前段より
      $$ H = C_{G_{0}}(x) = H'$$
      を得る．
3. $G_{0}$は単純群である：$N \lhd G_{0}$を真の正規部分群とすると，$N$は位数$\nu \coloneqq \#N$の巡回群であるから，準同型
   $$ \mathrm{Inn} \colon G_{0} \to \mathrm{Aut}(N) \cong (\mathbb{Z}/\nu\mathbb{Z})^{\times}$$
   が定まる．いま$\#(G_{0}/\Ker\mathrm{Inn})$は$\#G_{0} = n_{0}$の約数であるが，一方で$\#(\mathbb{Z}/\nu\mathbb{Z})^{\times} = \phi(\nu)$の，したがって$\phi(n_{0})$の約数でもあるので，$\#(G_{0}/\Ker\mathrm{Inn}) = 1$となる．よって$G_{0} = \Ker\mathrm{Inn}$であるから，$N \subset Z(G_{0}) =\{e\}$を得る．

さて，$x \in G_{0} \smallsetminus \{e\}$を取り，極大部分群$H \coloneqq C_{G_{0}}(x) < G_{0}$を考える．[2-1],[3]より
$$ \{e\} \neq H \subset N_{G_{0}}(H) \neq G_{0}$$
であるから，$H = N_{G_{0}}(H)$となる．したがって
$$ \# \{gHg^{-1} \mid g \in G_{0}\} = \frac{\#G_{0}}{\#N_{G_{0}}(H)} = \frac{\#G_{0}}{\#H}$$
となるので，[2-4],[2-1]と合わせて
$$ m \coloneqq \#\left(\bigcup_{g\in G_{0}} gHg^{-1}\right) = 1 + \frac{\#G_{0}}{\#H}(\#H - 1) = 1 + \#G_{0}\left(1-\frac{1}{\#H}\right) \geq 1 + \frac{\#G_{0}}{2}$$
が成り立つ．また，proper-subset命題1より$x' \in G_{0} \smallsetminus \bigcup_{g} gHg^{-1}$が取れ，極大部分群$H' \coloneqq C_{G_{0}}(x') < G_{0}$についても同様に
$$ m' \coloneqq \#\left(\bigcup_{g' \in G_{0}} g'H'g'^{-1}\right) \geq 1 + \frac{\#G_{0}}{2}$$
が成り立つ．ところがこのとき，$x'$の取り方と[2-4]より
$$ \forall g,g' \in G_{0},\ (gHg^{-1}) \cap (g'H'g'^{-1}) = \{e\}$$
となるので
$$ \#G_{0} \geq \#\left(\bigcup_{g\in G_{0}} gHg^{-1} \cup \bigcup_{g' \in G_{0}} g'H'g'^{-1}\right) = m + m' - 1 \geq \#G_{0} + 1$$
を得るが，これは不合理である．