はじめに
こんにちは!超局所層理論の第5回です.今回は函手を定義して,その性質を見ていきます.
前回までのおさらい
を有限な大域次元を持つ環,を次元多様体とします.
第1回
:上の加群の層の複体に対して,そのコホモロジーが伝播しない余方向として層のマイクロ台というの余接束の錐状閉部分集合を定義しました.そして様々な層のマイクロ台がどうなっているのかを調べて,良い状況ではマイクロ台が層の形を強く制限することがあることも見ました.
第2回
:層に対する様々な演算を施した後のマイクロ台を評価する方法について説明しました.またそれらを使って超局所切り落としという操作を定義しました.
第3回
:マイクロ台は常に包合的であるという定理の主張を述べました.さらに,余接束の中のある部分集合上だけに注目する超局所的な見方を実現するために超局所圏を導入して,そこではマイクロ台が層の形を制限するという主張がより広く成り立つことも見ました.また超局所圏のHomを茎に持つような層があったらうれしそうだという気持ちを説明しました.
第4回
:上の層から法束上の層を作り出す特殊化という操作を法変形を使って定義して,切断がの近傍で法方向に指定された開きがある開部分集合上の切断の帰納極限だということを見ました.さらにベクトル束上の錐状層の圏とその双対ベクトル束上の錐状層の圏の圏同値を与えるFourier-Sato変換について説明して,特殊化のFourier-Sato変換として超局所化という余法束上の層を定義しました.これは超局所化函手を定めました.
今回もずっとで余接束をあらわしてまたは単にでそのゼロ切断をあらわします.さらにと定めてを制限とします.
函手
ここでは超局所化函手の拡張となる函手を導入して,その性質を調べます.は上の層ふたつから余接束上の層を作る操作で,その台は二つの層のマイクロ台と関係しています.このことよりは超局所圏からの函手を誘導することが分かり,さらに強くのでの茎が超局所圏のHomを回復することが示せます.超局所圏のHomは定義からは計算が難しいですが,は具体的に構成されているので多くの場合に計算が可能であることが良い点のひとつです.
函手の定義
ともかく函手の定義を与えて,それから基本的な性質を見てみることにしましょう.を対角写像としてをの対角集合とします.局所的にはとなるので,第1射影によってとを同一視します.さらにをそれぞれ第1・第2射影とします.
超局所化の性質から次のに関する重要な性質が得られます.
第4回
の定理5の(iv)より
が得られる.ここで同一視によりは射影の意味でも用いた.すると閉埋め込みの場合の上付きびっくりの計算よりだから,
層理論第8回
の命題1(とその直後の注意)によって,これはさらに
と同形である.
さらには次のように超局所化函手の一般化にもなっています.この証明は超局所化の函手的性質から示せますが,前回それをすっ飛ばしたので証明は述べません.
超局所化はから回復可能
,をの閉部分多様体とする.このとき,を余法束の埋め込みとすると,同形
が成り立つ.
の台とマイクロ台の関係は期待していた通り次のようになります.
第2回
の補題4の(ii)の直積上のsheaf Homのマイクロ台の評価より,
となる.ゆえに,第1射影によって同一視していることに注意して
第4回
の命題6の超局所化の台の評価を使うと
が得られる.
上の証明を見ると,第1射影による同一視で命題の主張が成り立つようにの定義で一見不自然なという射影の現れ方が理解できると思います.
次のようにの茎も計算することができますが,結構面倒なので飛ばしても構いません.証明には超局所化の茎の計算公式(
第4回
の定理5の(ii))を使って頑張ります.
第2回
で有限次元ベクトル空間内の閉凸錐に対して,超局所切り落とし函手を定義したことを思い出しましょう.ここではの双対錐で,の部分集合に対してはを満たす対象からなるの充満部分圏でした.
の茎
を有限次元実ベクトル空間,として,とする.このとき,同形
が成り立つ.ここではの開近傍をわたり,はを満たす閉凸固有錐をわたる.
超局所圏との関係
次にと
第3回
で導入した超局所圏の関係について調べていきましょう.
まず,が超局所圏からの函手を誘導することを見ましょう.をの部分集合とします.もしがまたはを満たしたとすると,上の命題3からとなることが分かります.特にはからへの函手を引き起こします.これも
と書いてしまいます.
さて上の命題1から
が得られますが,これはの部分集合に対して射
を引き起こします.実際,の射が上同形,すなわちの写像錐のマイクロ台がと交わらなければ完全三角を考えることによってが成り立つからです.この射は一般には同形ではないのですが,が一点の場合は次のように同形が成り立ちます.証明は超局所切り落としの考え方が活躍します.
概略
のときは両辺とものが内のの開近傍をわたる際の帰納極限だからよい.
とすると,上の命題4より
が成り立つ.ここでは命題4の条件を満たすようにわたる.
定理の射をとする.まずが単射であることを示す.であるとすると,あるが存在して合成射がとなる.ここで超局所切り落としの性質(
第2回
の定理6)より,射はにおける同形なので,においてはとなる.次にの全射性を示す.とすると,あるとが存在してを代表する.再び超局所切り落としの性質から射はにおける同形なので,はの元を定め,この元のによる像がである.
この定理で大事なことは,右辺のは具体的な層による操作で構成されたのでしばしば計算可能になるということです.左辺は圏論的超局所化で構成されたHom集合なので一般には難しいものですが,これを具体的に構成されたの茎で計算できるというのがうれしいことなのです!
この定理を用いるとの台とマイクロ台との関係について命題3よりもさらに強いことが言えます.に対して,であったことを思い出しましょう.これによって射
が得られます.この射によるの像をと書きます.
であり,上の命題3からも分かる.
を示す.がを満たしたとする.するとなので,上の定理5よりはである.ゆえににおいてとなり,これはを意味する.
上の命題6はマイクロ台の包合性定理(
第3回
の定理1)を示す際にも用いられます.すなわち,が包合的であることを示すのにの台を調べるのです.部分集合を台として持つ層を構成しておいて.その層について調べるというアイデアなのです.
まとめ
今回は
について説明しました.次回以降は構成可能層と特性サイクル・量子化接触変換などを適当な順に説明していきたいと思います.それではまた!