1
大学数学基礎解説
文献あり

リーマン予想によるオイラー積の漸近公式

136
0
$$\newcommand{a}[0]{\alpha} \newcommand{b}[0]{\beta} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\delta} \newcommand{dis}[0]{\displaystyle} \newcommand{e}[0]{\varepsilon} \newcommand{farc}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{G}[0]{\Gamma} \newcommand{g}[0]{\gamma} \newcommand{Gal}[0]{\operatorname{Gal}} \newcommand{id}[0]{\operatorname{id}} \newcommand{Im}[0]{\operatorname{Im}} \newcommand{Ker}[0]{\operatorname{Ker}} \newcommand{l}[0]{\left} \newcommand{Li}[0]{\operatorname{Li}} \newcommand{li}[0]{\operatorname{li}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{ord}[0]{\operatorname{ord}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{r}[0]{\right} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Re}[0]{\operatorname{Re}} \newcommand{s}[0]{\sigma} \newcommand{ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{vt}[0]{\vartheta} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} \newcommand{ZZ}[1]{\mathbb{Z}/#1\mathbb{Z}} \newcommand{ZZt}[1]{(\mathbb{Z}/#1\mathbb{Z})^\times} $$

はじめに

 この記事では後の記事で使うためにリーマン予想が真であるという仮定の下で
$$\sum_{p\leq x}\frac{\log p}{p^s-1},\quad\prod_{p\leq x}(1-p^{-s})$$
$x\to\infty$についての漸近公式を導出していきます。ただし$s>0$とします。

補題

 $f'(x)<0$なる$C^1$級関数$f(x)$$R(x)=\vt(x)-x$についてある定数$C$が存在して
$$\sum_{p\leq x}f(p)\log p=\int^{\vt(x)}_2f(t)dt-\int^x_2R(t)f'(t)dt-\frac12R(x)^2f'(x+O(|R(x)|))+C$$
が成り立つ。特にリーマン予想が真であるとき
$$\sum_{p\leq x}f(p)\log p=\int^{\vt(x)}_2f(t)dt-\int^x_2R(t)f'(t)dt-\frac12R(x)^2f'(x+O(\sqrt x\log^2x))+C$$
となる。

 まず アーベルの総和公式 から
\begin{eqnarray} \sum_{p\leq x}f(p)\log p &=&\vt(x)f(x)-\int^x_2\vt(t)f'(t)dt \\&=&\vt(x)f(x)-\int^x_2(\vt(t)-x)f'(t)dt-\int^x_2tf'(t)dt \\&=&\vt(x)f(x)-\int^x_2R(t)f'(t)dt-\l(xf(x)-2f(2)-\int^x_2f(t)dt\r) \\&=&\int^x_2f(t)dt+R(x)f(x)-\int^x_2R(t)f'(t)dt+2f(2) \end{eqnarray}
が成り立つ。また
\begin{eqnarray} \int^{\vt(x)}_2f(t)dt &=&\int^x_2f(t)dt+\int^{\vt(x)}_x(t-x)'f(t)dt \\&=&\int^x_2f(t)dt+R(x)f(x)-\int^{\vt(x)}_x(t-x)f'(t)dt \end{eqnarray}
なので$x< t<\vt(x)$において$f'(t)=f'(x+O(|R(x)|))$、すなわち
$$0>\int^{\vt(x)}_x(t-x)f'(t)dt \geq\int^{\vt(x)}_x(t-x)f'(x+O(|R(x)|))dt =\frac12R(x)^2f'(x+O(|R(x)|))$$
と評価することで
\begin{eqnarray} \sum_{p\leq x}f(p)\log p &=&\int^{\vt(x)}_2f(t)dt+\int^{\vt(x)}_x(t-x)f'(t)dt-\int^x_2R(t)f'(t)dt+2f(2) \\&\leq&\int^{\vt(x)}_2f(t)dt-\frac12R(x)^2f'(x+O(|R(x)|))-\int^x_2R(t)f'(t)dt+C \end{eqnarray}
を得る。あとはリーマン予想が真であるとき、 この記事 から
$$R(x)=\vt(x)-x=O(\sqrt x\log^2 x)$$
がしたがうことからわかる。

 以下、リーマン予想が真であるとする。

$\dis\sum_{p\leq x}\frac{\log p}{p^s-1}$の漸近公式

$$\sum_{p\leq x}\farc{\log p}{p^s-1} =C+\int^{\vt(x)}_2\frac{dt}{t^s-1} -s\int^x_2\frac{t^\frac12+t^\frac13}{t^{1-s}(t^s-1)^2}dt -s\sum_\rho\frac{x^{\rho-s}}{\rho(\rho-s)}+O(x^{\frac12-2s}+x^{\frac14-s})$$
が成り立つ。ただし$\rho$はゼータ関数の非自明な零点全体を虚部の絶対値の小さい順に渡るものとした。

$$f(x)=\frac1{x^s-1},\quad f'(x)=-\frac{sx^{s-1}}{(x^s-1)^2}$$
について補題5を適用すると
\begin{align} R(x)&=O(\sqrt x\log^2x)\\ f'(x+O(\sqrt x\log x))&=O(x^{-s-1}) \end{align}
より
$$\sum_{p\leq x}\farc{\log p}{p^s-1} =C+\int^{\vt(x)}_2\frac{dt}{t^s-1}-\int^x_2R(t)f'(t)dt+O(x^{-s}\log^4x)$$
となる。
 また $\psi(x)$の素数公式 を思い出すと
\begin{eqnarray} \psi(x)&=&x-\sum_\rho\farc{x^\rho}\rho-\frac12\log(1-x^{-2})-\log2\pi \\&=&x-\sum_\rho\farc{x^\rho}\rho+O(1) \\&=&x+O(\sqrt x\log x) \\\vt(x)&=&\sum^\infty_{n=1}\mu(n)\psi(x^\frac1n) \\&=&x-x^\frac12-x^\frac13-\sum_\rho\farc{x^\rho}\rho+\sum_\rho\farc{x^\frac\rho2}\rho+O(x^\frac15) \end{eqnarray}
と評価でき、また$\sum_\rho\frac{x^\rho}\rho$は一様収束なので
\begin{eqnarray} f'(x)&=&-s\frac{x^{-s-1}}{(1-x^{-s})^2} =-s\sum^\infty_{k=1}kx^{-ks-1}=-sx^{-s-1}+O(x^{-2s-1}) \\\int^x_2\l(\sum_\rho\farc{t^\rho}\rho\r)f'(t)dt &=&-s\int^x_2\l(\sum_\rho\farc{t^\rho}\rho\r)(t^{-s-1}+O(t^{-2s-1}))dt \\&=&-s\sum_\rho\frac{x^{\rho-s}}{\rho(\rho-s)} +O\l(\sum_\rho\frac{x^{\rho-s}}{\rho(\rho-s)}\r) \\&=&-s\sum_\rho\frac{x^{\rho-s}}{\rho(\rho-s)}+O(x^{\frac12-2s}) \\\int^x_2\l(\sum_\rho\farc{t^\frac\rho2}\rho\r)f'(t)dt &=&\int^x_2\l(\sum_\rho\farc{t^\frac\rho2}\rho\r)O(t^{-s-1})dt \\&=&O\l(\sum_\rho\frac{x^{\frac\rho2-s}}{\rho(\frac\rho2-s)}\r) =O(x^{\frac14-s}) \end{eqnarray}
とも評価できる(ただし定積分による定数部分は$C$に吸収させるものとする)ので
\begin{eqnarray} \sum_{p\leq x}\farc{\log p}{p^s-1} &=&C+\int^{\vt(x)}_2\frac{dt}{t^s-1}-\int^x_2R(t)f'(t)dt+O(x^{-s}\log^4x) \\&=&C+\int^{\vt(x)}_2\frac{dt}{t^s-1} -s\int^x_2\frac{x^\frac12+x^\frac13}{x^{1-s}(x^s-1)^2}dx -s\sum_\rho\frac{x^{\rho-s}}{\rho(\rho-s)}+O(x^{\frac12-2s}+x^{\frac14-s}) \end{eqnarray}
を得る。

$$\sum_{p\leq x}\farc{\log p}{p^s-1} =-\farc{\z'(s)}{\z(s)}+\sum^{n+1}_{k=1}\frac{\vt(x)^{1-ks}}{1-ks} -\frac{2sx^{\frac12-s}}{1-2s}-\frac{3sx^{\frac13-s}}{1-3s}-\frac{4sx^{\frac12-2s}}{1-4s} +S_s(x)+O(x^{\frac12-2s}+x^{\frac14-s})$$
が成り立つ。ただし
$$n=\l\lfloor1+\farc1{2s}\r\rfloor,\quad S_s(x)=-s\sum_\rho\farc{x^{\rho-s}}{\rho(\rho-s)}=O(x^{\frac12-s})$$
とした。

 $n$の取り方から$1-(n+2)s<1-(2+1/2s)s=\frac12-2s$、つまり
$$\vt(x)^{1-(n+2)s}=O(x^{\frac12-2s})$$
に注意すると
\begin{eqnarray} \int^{\vt(x)}_2\frac{dt}{t^s-1} &=&\int^{\vt(x)}_2\l(\sum^\infty_{k=1}t^{-ks}\r)dt \\&=&\sum^{n+1}_{k=1}\frac{\vt(x)^{1-ks}}{1-ks}+O(x^{\frac12-2s}) \\\int^x_2\frac{t^\frac12+t^\frac13}{t^{1-s}(t^s-1)^2}dx &=&\int^x_2(t^\frac12+t^\frac13)\l(\sum^\infty_{k=1}kt^{-ks-1}\r)dt \\&=&\l(\frac{x^{\frac12-s}}{\frac12-s}+\frac{x^{\frac12-2s}}{1-4s}+O(x^{\frac12-3s})\r) +\l(\frac{x^{\frac13-s}}{\frac13-s}+O(x^{\frac13-2s})\r) \\&=&\frac{2x^{\frac12-s}}{1-2s}+\frac{3x^{\frac13-s}}{1-3s}+\frac{4sx^{\frac12-2s}}{1-4s}+O(x^{\frac12-2s}) \end{eqnarray}
と評価できる(ただし定積分による定数部分は$C$に吸収させるものとする)ので定理2より
\begin{eqnarray} \sum_{p\leq x}\farc{\log p}{p^s-1} &=& C+\sum^{n+1}_{k=1}\frac{\vt(x)^{1-ks}}{1-ks} -\frac{2sx^{\frac12-s}}{1-2s}-\frac{3sx^{\frac13-s}}{1-3s}-\frac{4sx^{\frac12-2s}}{1-4s} +S_s(x)+O(x^{\frac12-2s}+x^{\frac14-s}) \end{eqnarray}
を得る。ここで$s>1$のとき$x\to\infty$において$C$以外の項は$0$に収束するので
$$C=\sum_p\frac{\log p}{p^s-1}=\l(\sum_p\log(1-p^{-s})\r)' =(-\log\z(s))'=-\frac{\z'(s)}{\z(s)}$$
がわかり、$s\leq 1$においても解析接続することで主張を得る。

$$\frac{4sx^{\frac12-2s}}{1-4s}=O(x^{\frac12-2s})$$
としたい気持ちは山々ですが、$s=\frac14$のとき、
\begin{eqnarray} \lim_{s\to\frac14}\frac{\vt(x)^{1-4s}-4sx^{\frac12-2s}}{1-4s} &=&\lim_{s\to\frac14}\frac{(\vt(x)^{1-4s}-1)-4s(\sqrt{x}^{1-4s}-1)}{1-4s}+1 \\&=&\log\vt(x)-\frac12\log x+O(1) \\&=&\frac12\log x+O(1)\neq O(x^{\frac12-2s}) \end{eqnarray}
なので無視しようにも無視することができません。

$$\sum_{p\leq x}\farc{\log p}{p^s-1} =-\farc{\z'(s)}{\z(s)}+\sum^n_{k=1}\frac{\vt(x)^{1-ks}}{1-ks} -\frac{2sx^{\frac12-s}}{1-2s}+S_s(x)+O\l(\frac{x^{\frac12-s}}{\log x}\r)$$
が成り立つ。

 $n$の取り方から$1-(n+1)s<1-(1+1/2s)s=\frac12-s$、つまり
$$\vt(x)^{1-(n+1)s}=O(x^{\frac12-s}/\log x)$$
であり、また$x^{\frac13-s},x^{\frac12-2s},x^{\frac14-s}$もそれぞれ$O(x^{\frac12-s}/\log x)$と評価できるので、定理3から主張を得る。

 後の記事で使う分には最初からこの公式を示せば十分なのですが、折角なので元論文に倣ってより精密な近似式の方も定理3として示しました。

$\dis\prod_{p\leq x}(1-p^{-s})$の漸近公式

$$\log\prod_{p\leq x}(1-p^{-s}) =-\log|\z(s)|-\sum^n_{k=1}\frac1k\Li(\vt(x)^{1-ks}) +\frac12\Li(x^{\frac12-s})-\frac{x^{\frac12-s}+S_s(x)}{\log x} +O\l(\frac{x^{\frac12-s}}{\log^2 x}\r)$$
が成り立つ。ただし$n=\lfloor1+\frac1{2s}\rfloor$とした。

 $x^{a-bt}=u$と変数変換したとき、$-bu\log x\;dt=du$なので
$$\int^s_\infty\frac{x^{a-bt}}{a-bt}dt =\int^{x^{a-bs}}_0\frac{u}{\frac{\log u}{\log x}}\cdot\frac{du}{-bu\log x} =-\frac1b\int^{x^{a-bs}}_0\frac{du}{\log u}=-\frac1b\Li(x^{a-bt})$$
であることや
$$\int^s_\infty -t\frac{x^{a-t}}{a-t}dt =\int^s_\infty\l(1-\frac a{a-t}\r)x^{a-t}dt =a\Li(x^{a-s})-\frac{x^{a-s}}{\log x}$$
および
$$\Li(x)=\frac x{\log x}+O\l(\frac x{\log^2x}\r)$$
に注意して定理3系の右辺を$s$について$\infty\to s$で積分すると
\begin{eqnarray} \int^s_\infty-\farc{\z'(t)}{\z(t)}dt &=&-\log|\z(s)| \\\int^s_\infty\l(\sum^n_{k=1}\farc{\vt(x)^{1-kt}}{1-kt}\r)dt &=&-\sum^n_{k=1}\frac1k\Li(\vt(x)^{1-ks}) \\\int^s_\infty-s\farc{x^{\frac12-t}}{\frac12-t}dt &=&\frac12\Li(x^{\frac12-s})-\frac{x^{\frac12-t}}{\log x} \\\int^s_\infty S_t(x)dt &=&\sum_\rho\frac1\rho\l(\rho\Li(x^{\rho-s})-\farc{x^{\rho-s}}{\log x}\r) \\&=&\frac1{\log x}\sum_\rho x^{\rho-s}\l(\farc1{\rho-s}-\frac1\rho\r)+O\l(\frac{x^{\frac12-s}}{\log^2x}\r) \\&=&-\frac{S_s(x)}{\log x}+O\l(\frac{x^{\frac12-s}}{\log^2x}\r) \\\int^s_\infty O\l(\frac{x^{\frac12-t}}{\log x}\r)dt &=&O\l(\frac{x^{\frac12-s}}{\log^2x}\r) \end{eqnarray}
と評価できるので
\begin{eqnarray} &&\int^s_\infty\l(\sum_{p\leq x}\frac{\log p}{p^t-1}\r)dt =\sum_{p\leq x}\log(1-p^{-s}) =\log\prod_{p\leq x}(1-p^{-s}) \\&=&-\log|\z(s)|-\sum^n_{k=1}\frac1k\Li(\vt(x)^{1-ks}) +\frac12\Li(x^{\frac12-s})-\frac{x^{\frac12-s}+S_s(x)}{\log x} +O\l(\frac{x^{\frac12-s}}{\log^2 x}\r) \end{eqnarray}
を得る。

 $s=1$においては
$$\log\prod_{p\leq x}(1-p^{-1}) =-\g-\log\log\vt(x)-\frac{2}{\sqrt x\log x}-\frac{S_1(x)}{\log x} +O\l(\frac1{\sqrt x\log^2 x}\r)$$
が成り立つ。

\begin{align} \lim_{s\to1}\log|(s-1)\z(s)|&=\log1=0\\ \lim_{s\to1}(\Li(x^{1-s})-\log|1-s|)&=\g+\log|\log x| \end{align}
であること( 前の記事 参照)から
$$\lim_{s\to1}-(\log|\z(s)|+\Li(\vt(x)^{1-s}))=-\g-\log\log\vt(x)$$
に注意して定理4の両辺を$s\to1$とすることで
$$\log\prod_{p\leq x}(1-p^{-s}) =-\g-\log\log\vt(x)+\frac12\Li(x^{-\frac12})-\farc{x^{-\frac12}+S_1(x)}{\log x}+O\l(\frac{x^{-\frac12}}{\log^2x}\r)$$
となり、あとは
$$\frac12\Li(x^{-\frac12})=-\frac1{\sqrt x\log x}+O\l(\frac1{\sqrt x\log^2x}\r)$$
に注意すればわかる。

漸近公式の別形

精密化

\begin{eqnarray} \sum_{p\leq x}\farc{\log p}{p^s-1} &=&-\farc{\z'(s)}{\z(s)}+\frac{\vt(x)^{1-s}}{1-s} +\frac{\vt(x)^{1-2s}}{1-2s}+\sum^{n+1}_{k=3}\frac{x^{1-ks}}{1-ks} \\&&\quad-\frac{2sx^{\frac12-s}}{1-2s}-\frac{3sx^{\frac13-s}}{1-3s}-\frac{4sx^{\frac12-2s}}{1-4s} +S_s(x)+O(x^{\frac12-2s}+x^{\frac14-s}) \end{eqnarray}
および
$$\sum_{p\leq x}\farc{\log p}{p^s-1} =-\farc{\z'(s)}{\z(s)}+\frac{\vt(x)^{1-s}}{1-s}+\sum^n_{k=2}\frac{x^{1-ks}}{1-ks} -\frac{2sx^{\frac12-s}}{1-2s}+S_s(x)+O\l(\frac{x^{\frac12-s}}{\log x}\r)$$
が成り立つ。ただし$n=\lfloor1+\farc1{2s}\rfloor$とした。

$$\vt(x)^{1-ks}=x^{1-ks}(1+O(x^{-\frac12}\log^2x))^{1-ks} =x^{1-ks}+O(x^{\frac12-ks}\log^2x)$$
なので定理3およびその系から主張を得る。

\begin{eqnarray} \log\prod_{p\leq x}(1-p^{-s}) &=&-\log|\z(s)|-\Li(\vt(x)^{1-s})-\sum^n_{k=2}\frac1k\Li(x^{1-ks}) \\&&\quad+\frac12\Li(x^{\frac12-s})-\frac{x^{\frac12-s}+S_s(x)}{\log x} +O\l(\frac{x^{\frac12-s}}{\log^2 x}\r) \end{eqnarray}
が成り立つ。ただし$n=\lfloor1+\frac1{2s}\rfloor$とした。

 定理5の2つ目の式を$s$について$\infty\to s$で積分することでわかる。

簡略化

$$\sum_{p\leq x}\frac{\log p}{p^s-1}=-\frac{\z'(s)}{\z(s)}+\frac{x^{1-s}}{1-s}+O\l(\frac{x^{1-s}}{\log x}\r)$$
および
$$\log\prod_{p\leq x}(1-p^{-s})=-\log|\z(s)|-\Li(x^{1-s})+O\l(\frac{x^{1-s}}{\log^2x}\r)$$
が成り立つ。

 1つ目の式については
$$\vt(x)^{1-s}=x^{1-s}+O(x^{\frac12-s}\log^2x)=x^{1-s}+O(x^{1-s}/\log x)$$
に注意すればわかる。2つ目の式については1つ目の式を$s$について$\infty\to s$で積分すればよい。

 以上です。では。

参考文献

[1]
Jean-Louis Nicolas, Guy Robin, Highly Composite Numbers by Srinivasa Ramanujan, The Ramanujan Journal, 1997, pp. 119–153
投稿日:20211118
更新日:125

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

投稿者

子葉
子葉
913
183043
主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。 私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。 同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中