リーマン予想によるオイラー積の漸近公式

　まず アーベルの総和公式 から
\begin{eqnarray} \sum_{p\leq x}f(p)\log p &=&\vt(x)f(x)-\int^x_2\vt(t)f'(t)dt \\&=&\vt(x)f(x)-\int^x_2(\vt(t)-x)f'(t)dt-\int^x_2tf'(t)dt \\&=&\vt(x)f(x)-\int^x_2R(t)f'(t)dt-\l(xf(x)-2f(2)-\int^x_2f(t)dt\r) \\&=&\int^x_2f(t)dt+R(x)f(x)-\int^x_2R(t)f'(t)dt+2f(2) \end{eqnarray}
が成り立つ。また
\begin{eqnarray} \int^{\vt(x)}_2f(t)dt &=&\int^x_2f(t)dt+\int^{\vt(x)}_x(t-x)'f(t)dt \\&=&\int^x_2f(t)dt+R(x)f(x)-\int^{\vt(x)}_x(t-x)f'(t)dt \end{eqnarray}
なので$x< t<\vt(x)$において$f'(t)=f'(x+O(|R(x)|))$、すなわち
$$0>\int^{\vt(x)}_x(t-x)f'(t)dt \geq\int^{\vt(x)}_x(t-x)f'(x+O(|R(x)|))dt =\frac12R(x)^2f'(x+O(|R(x)|))$$
と評価することで
\begin{eqnarray} \sum_{p\leq x}f(p)\log p &=&\int^{\vt(x)}_2f(t)dt+\int^{\vt(x)}_x(t-x)f'(t)dt-\int^x_2R(t)f'(t)dt+2f(2) \\&\leq&\int^{\vt(x)}_2f(t)dt-\frac12R(x)^2f'(x+O(|R(x)|))-\int^x_2R(t)f'(t)dt+C \end{eqnarray}
を得る。あとはリーマン予想が真であるとき、 この記事 から
$$R(x)=\vt(x)-x=O(\sqrt x\log^2 x)$$
がしたがうことからわかる。

$$f(x)=\frac1{x^s-1},\quad f'(x)=-\frac{sx^{s-1}}{(x^s-1)^2}$$
について補題5を適用すると
\begin{align} R(x)&=O(\sqrt x\log^2x)\\ f'(x+O(\sqrt x\log x))&=O(x^{-s-1}) \end{align}
より
$$\sum_{p\leq x}\farc{\log p}{p^s-1} =C+\int^{\vt(x)}_2\frac{dt}{t^s-1}-\int^x_2R(t)f'(t)dt+O(x^{-s}\log^4x)$$
となる。
　また $\psi(x)$の素数公式 を思い出すと
\begin{eqnarray} \psi(x)&=&x-\sum_\rho\farc{x^\rho}\rho-\frac12\log(1-x^{-2})-\log2\pi \\&=&x-\sum_\rho\farc{x^\rho}\rho+O(1) \\&=&x+O(\sqrt x\log x) \\\vt(x)&=&\sum^\infty_{n=1}\mu(n)\psi(x^\frac1n) \\&=&x-x^\frac12-x^\frac13-\sum_\rho\farc{x^\rho}\rho+\sum_\rho\farc{x^\frac\rho2}\rho+O(x^\frac15) \end{eqnarray}
と評価でき、また$\sum_\rho\frac{x^\rho}\rho$は一様収束なので
\begin{eqnarray} f'(x)&=&-s\frac{x^{-s-1}}{(1-x^{-s})^2} =-s\sum^\infty_{k=1}kx^{-ks-1}=-sx^{-s-1}+O(x^{-2s-1}) \\\int^x_2\l(\sum_\rho\farc{t^\rho}\rho\r)f'(t)dt &=&-s\int^x_2\l(\sum_\rho\farc{t^\rho}\rho\r)(t^{-s-1}+O(t^{-2s-1}))dt \\&=&-s\sum_\rho\frac{x^{\rho-s}}{\rho(\rho-s)} +O\l(\sum_\rho\frac{x^{\rho-s}}{\rho(\rho-s)}\r) \\&=&-s\sum_\rho\frac{x^{\rho-s}}{\rho(\rho-s)}+O(x^{\frac12-2s}) \\\int^x_2\l(\sum_\rho\farc{t^\frac\rho2}\rho\r)f'(t)dt &=&\int^x_2\l(\sum_\rho\farc{t^\frac\rho2}\rho\r)O(t^{-s-1})dt \\&=&O\l(\sum_\rho\frac{x^{\frac\rho2-s}}{\rho(\frac\rho2-s)}\r) =O(x^{\frac14-s}) \end{eqnarray}
とも評価できる(ただし定積分による定数部分は$C$に吸収させるものとする)ので
\begin{eqnarray} \sum_{p\leq x}\farc{\log p}{p^s-1} &=&C+\int^{\vt(x)}_2\frac{dt}{t^s-1}-\int^x_2R(t)f'(t)dt+O(x^{-s}\log^4x) \\&=&C+\int^{\vt(x)}_2\frac{dt}{t^s-1} -s\int^x_2\frac{x^\frac12+x^\frac13}{x^{1-s}(x^s-1)^2}dx -s\sum_\rho\frac{x^{\rho-s}}{\rho(\rho-s)}+O(x^{\frac12-2s}+x^{\frac14-s}) \end{eqnarray}
を得る。

　$n$の取り方から$1-(n+2)s<1-(2+1/2s)s=\frac12-2s$、つまり
$$\vt(x)^{1-(n+2)s}=O(x^{\frac12-2s})$$
に注意すると
\begin{eqnarray} \int^{\vt(x)}_2\frac{dt}{t^s-1} &=&\int^{\vt(x)}_2\l(\sum^\infty_{k=1}t^{-ks}\r)dt \\&=&\sum^{n+1}_{k=1}\frac{\vt(x)^{1-ks}}{1-ks}+O(x^{\frac12-2s}) \\\int^x_2\frac{t^\frac12+t^\frac13}{t^{1-s}(t^s-1)^2}dx &=&\int^x_2(t^\frac12+t^\frac13)\l(\sum^\infty_{k=1}kt^{-ks-1}\r)dt \\&=&\l(\frac{x^{\frac12-s}}{\frac12-s}+\frac{x^{\frac12-2s}}{1-4s}+O(x^{\frac12-3s})\r) +\l(\frac{x^{\frac13-s}}{\frac13-s}+O(x^{\frac13-2s})\r) \\&=&\frac{2x^{\frac12-s}}{1-2s}+\frac{3x^{\frac13-s}}{1-3s}+\frac{4sx^{\frac12-2s}}{1-4s}+O(x^{\frac12-2s}) \end{eqnarray}
と評価できる(ただし定積分による定数部分は$C$に吸収させるものとする)ので定理2より
\begin{eqnarray} \sum_{p\leq x}\farc{\log p}{p^s-1} &=& C+\sum^{n+1}_{k=1}\frac{\vt(x)^{1-ks}}{1-ks} -\frac{2sx^{\frac12-s}}{1-2s}-\frac{3sx^{\frac13-s}}{1-3s}-\frac{4sx^{\frac12-2s}}{1-4s} +S_s(x)+O(x^{\frac12-2s}+x^{\frac14-s}) \end{eqnarray}
を得る。ここで$s>1$のとき$x\to\infty$において$C$以外の項は$0$に収束するので
$$C=\sum_p\frac{\log p}{p^s-1}=\l(\sum_p\log(1-p^{-s})\r)' =(-\log\z(s))'=-\frac{\z'(s)}{\z(s)}$$
がわかり、$s\leq 1$においても解析接続することで主張を得る。

　$n$の取り方から$1-(n+1)s<1-(1+1/2s)s=\frac12-s$、つまり
$$\vt(x)^{1-(n+1)s}=O(x^{\frac12-s}/\log x)$$
であり、また$x^{\frac13-s},x^{\frac12-2s},x^{\frac14-s}$もそれぞれ$O(x^{\frac12-s}/\log x)$と評価できるので、定理3から主張を得る。

　$x^{a-bt}=u$と変数変換したとき、$-bu\log x\;dt=du$なので
$$\int^s_\infty\frac{x^{a-bt}}{a-bt}dt =\int^{x^{a-bs}}_0\frac{u}{\frac{\log u}{\log x}}\cdot\frac{du}{-bu\log x} =-\frac1b\int^{x^{a-bs}}_0\frac{du}{\log u}=-\frac1b\Li(x^{a-bt})$$
であることや
$$\int^s_\infty -t\frac{x^{a-t}}{a-t}dt =\int^s_\infty\l(1-\frac a{a-t}\r)x^{a-t}dt =a\Li(x^{a-s})-\frac{x^{a-s}}{\log x}$$
および
$$\Li(x)=\frac x{\log x}+O\l(\frac x{\log^2x}\r)$$
に注意して定理3系の右辺を$s$について$\infty\to s$で積分すると
\begin{eqnarray} \int^s_\infty-\farc{\z'(t)}{\z(t)}dt &=&-\log|\z(s)| \\\int^s_\infty\l(\sum^n_{k=1}\farc{\vt(x)^{1-kt}}{1-kt}\r)dt &=&-\sum^n_{k=1}\frac1k\Li(\vt(x)^{1-ks}) \\\int^s_\infty-s\farc{x^{\frac12-t}}{\frac12-t}dt &=&\frac12\Li(x^{\frac12-s})-\frac{x^{\frac12-t}}{\log x} \\\int^s_\infty S_t(x)dt &=&\sum_\rho\frac1\rho\l(\rho\Li(x^{\rho-s})-\farc{x^{\rho-s}}{\log x}\r) \\&=&\frac1{\log x}\sum_\rho x^{\rho-s}\l(\farc1{\rho-s}-\frac1\rho\r)+O\l(\frac{x^{\frac12-s}}{\log^2x}\r) \\&=&-\frac{S_s(x)}{\log x}+O\l(\frac{x^{\frac12-s}}{\log^2x}\r) \\\int^s_\infty O\l(\frac{x^{\frac12-t}}{\log x}\r)dt &=&O\l(\frac{x^{\frac12-s}}{\log^2x}\r) \end{eqnarray}
と評価できるので
\begin{eqnarray} &&\int^s_\infty\l(\sum_{p\leq x}\frac{\log p}{p^t-1}\r)dt =\sum_{p\leq x}\log(1-p^{-s}) =\log\prod_{p\leq x}(1-p^{-s}) \\&=&-\log|\z(s)|-\sum^n_{k=1}\frac1k\Li(\vt(x)^{1-ks}) +\frac12\Li(x^{\frac12-s})-\frac{x^{\frac12-s}+S_s(x)}{\log x} +O\l(\frac{x^{\frac12-s}}{\log^2 x}\r) \end{eqnarray}
を得る。

\begin{align} \lim_{s\to1}\log|(s-1)\z(s)|&=\log1=0\\ \lim_{s\to1}(\Li(x^{1-s})-\log|1-s|)&=\g+\log|\log x| \end{align}
であること( 前の記事 参照)から
$$\lim_{s\to1}-(\log|\z(s)|+\Li(\vt(x)^{1-s}))=-\g-\log\log\vt(x)$$
に注意して定理4の両辺を$s\to1$とすることで
$$\log\prod_{p\leq x}(1-p^{-s}) =-\g-\log\log\vt(x)+\frac12\Li(x^{-\frac12})-\farc{x^{-\frac12}+S_1(x)}{\log x}+O\l(\frac{x^{-\frac12}}{\log^2x}\r)$$
となり、あとは
$$\frac12\Li(x^{-\frac12})=-\frac1{\sqrt x\log x}+O\l(\frac1{\sqrt x\log^2x}\r)$$
に注意すればわかる。

$$\vt(x)^{1-ks}=x^{1-ks}(1+O(x^{-\frac12}\log^2x))^{1-ks} =x^{1-ks}+O(x^{\frac12-ks}\log^2x)$$
なので定理3およびその系から主張を得る。

　定理5の2つ目の式を$s$について$\infty\to s$で積分することでわかる。

　1つ目の式については
$$\vt(x)^{1-s}=x^{1-s}+O(x^{\frac12-s}\log^2x)=x^{1-s}+O(x^{1-s}/\log x)$$
に注意すればわかる。2つ目の式については1つ目の式を$s$について$\infty\to s$で積分すればよい。