リーマン予想によるオイラー積の漸近公式

　まず アーベルの総和公式 から
$$\begin{array}{rcl}\sum _{p\le x}f(p)\log p& =& \vartheta (x)f(x)-{\int }_2^x\vartheta (t)f^{\prime }(t)dt\\ & =& \vartheta (x)f(x)-{\int }_2^x(\vartheta (t)-x)f^{\prime }(t)dt-{\int }_2^{x}t{f}^{\prime }(t)dt\\ & =& \vartheta (x)f(x)-{\int }_2^{x}R(t)f^{\prime }(t)dt-(xf(x)-2f(2)-{\int }_2^{x}f(t)dt)\\ & =& {\int }_2^{x}f(t)dt+R(x)f(x)-{\int }_2^{x}R(t)f^{\prime }(t)dt+2f(2)\end{array}$$
が成り立つ。また
$$\begin{array}{rcl}{\int }_2^{\vartheta (x)}f(t)dt& =& {\int }_2^{x}f(t)dt+{\int }_x^{\vartheta (x)}(t-x{)}^{\prime }f(t)dt\\ & =& {\int }_2^{x}f(t)dt+R(x)f(x)-{\int }_x^{\vartheta (x)}(t-x)f^{\prime }(t)dt\end{array}$$
なので$x<t<\vartheta (x)$において$f^{\prime }(t)=f^{\prime }(x+O(|R(x)|))$、すなわち
$$0>{\int }_x^{\vartheta (x)}(t-x)f^{\prime }(t)dt\ge {\int }_x^{\vartheta (x)}(t-x)f^{\prime }(x+O(|R(x)|))dt=\frac{1}{2}R(x{)}^2{f}^{\prime }(x+O(|R(x)|))$$
と評価することで
$$\begin{array}{rcl}\sum _{p\le x}f(p)\log p& =& {\int }_2^{\vartheta (x)}f(t)dt+{\int }_x^{\vartheta (x)}(t-x)f^{\prime }(t)dt-{\int }_2^{x}R(t)f^{\prime }(t)dt+2f(2)\\ & \le & {\int }_2^{\vartheta (x)}f(t)dt-\frac{1}{2}R(x{)}^2{f}^{\prime }(x+O(|R(x)|))-{\int }_2^{x}R(t)f^{\prime }(t)dt+C\end{array}$$
を得る。あとはリーマン予想が真であるとき、 この記事 から
$$R(x)=\vartheta (x)-x=O(\sqrt{x}{\log }^{2}x)$$
がしたがうことからわかる。

$$f(x)=\frac{1}{x^s-1},f^{\prime }(x)=-\frac{s{x}^{s-1}}{(x^s-1{)}^2}$$
について補題5を適用すると
$$\begin{array}{rl}R(x)& =O(\sqrt{x}{\log }^{2}x)\\ f^{\prime }(x+O(\sqrt{x}\log x))& =O(x^{-s-1})\end{array}$$
より
$$\sum _{p\le x}\frac{\log p}{p^s-1}=C+{\int }_2^{\vartheta (x)}\frac{dt}{t^s-1}-{\int }_2^{x}R(t)f^{\prime }(t)dt+O(x^{-s}{\log }^{4}x)$$
となる。
　また $\psi (x)$の素数公式 を思い出すと
$$\begin{array}{rcl}\psi (x)& =& x-\sum _{\rho }\frac{x^{\rho }}{\rho }-\frac{1}{2}\log (1-x^{-2})-\log 2\pi \\ & =& x-\sum _{\rho }\frac{x^{\rho }}{\rho }+O(1)\\ & =& x+O(\sqrt{x}\log x)\\ \vartheta (x)& =& \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (n)\psi (x^{\frac{1}{n}})\\ & =& x-x^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{1}{3}}-\sum _{\rho }\frac{x^{\rho }}{\rho }+\sum _{\rho }\frac{x^{\frac{\rho }{2}}}{\rho }+O(x^{\frac{1}{5}})\end{array}$$
と評価でき、また$\sum _{\rho }\frac{x^{\rho }}{\rho }$は一様収束なので
$$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& -s\frac{x^{-s-1}}{(1-x^{-s}{)}^2}=-s\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k{x}^{-ks-1}=-s{x}^{-s-1}+O(x^{-2s-1})\\ {\int }_2^x\left(\sum _{\rho }\frac{t^{\rho }}{\rho }\right)f^{\prime }(t)dt& =& -s{\int }_2^x\left(\sum _{\rho }\frac{t^{\rho }}{\rho }\right)(t^{-s-1}+O(t^{-2s-1}))dt\\ & =& -s\sum _{\rho }\frac{x^{\rho -s}}{\rho (\rho -s)}+O\left(\sum _{\rho }\frac{x^{\rho -s}}{\rho (\rho -s)}\right)\\ & =& -s\sum _{\rho }\frac{x^{\rho -s}}{\rho (\rho -s)}+O(x^{\frac{1}{2}-2s})\\ {\int }_2^x\left(\sum _{\rho }\frac{t^{\frac{\rho }{2}}}{\rho }\right)f^{\prime }(t)dt& =& {\int }_2^x\left(\sum _{\rho }\frac{t^{\frac{\rho }{2}}}{\rho }\right)O(t^{-s-1})dt\\ & =& O\left(\sum _{\rho }\frac{x^{\frac{\rho }{2}-s}}{\rho (\frac{\rho }{2}-s)}\right)=O(x^{\frac{1}{4}-s})\end{array}$$
とも評価できる(ただし定積分による定数部分は$C$に吸収させるものとする)ので
$$\begin{array}{rcl}\sum _{p\le x}\frac{\log p}{p^s-1}& =& C+{\int }_2^{\vartheta (x)}\frac{dt}{t^s-1}-{\int }_2^{x}R(t)f^{\prime }(t)dt+O(x^{-s}{\log }^{4}x)\\ & =& C+{\int }_2^{\vartheta (x)}\frac{dt}{t^s-1}-s{\int }_2^x\frac{x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{3}}}{x^{1-s}(x^s-1{)}^2}dx-s\sum _{\rho }\frac{x^{\rho -s}}{\rho (\rho -s)}+O(x^{\frac{1}{2}-2s}+x^{\frac{1}{4}-s})\end{array}$$
を得る。

　$n$の取り方から$1-(n+2)s<1-(2+1/2s)s=\frac{1}{2}-2s$、つまり
$$\vartheta (x{)}^{1-(n+2)s}=O(x^{\frac{1}{2}-2s})$$
に注意すると
$$\begin{array}{rcl}{\int }_2^{\vartheta (x)}\frac{dt}{t^s-1}& =& {\int }_2^{\vartheta (x)}\left(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{t}^{-ks}\right)dt\\ & =& \sum _{k=1}^{n+1}\frac{\vartheta (x{)}^{1-ks}}{1-ks}+O(x^{\frac{1}{2}-2s})\\ {\int }_2^x\frac{t^{\frac{1}{2}}+t^{\frac{1}{3}}}{t^{1-s}(t^s-1{)}^2}dx& =& {\int }_2^x(t^{\frac{1}{2}}+t^{\frac{1}{3}})\left(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k{t}^{-ks-1}\right)dt\\ & =& (\frac{x^{\frac{1}{2}-s}}{\frac{1}{2}-s}+\frac{x^{\frac{1}{2}-2s}}{1-4s}+O(x^{\frac{1}{2}-3s}))+(\frac{x^{\frac{1}{3}-s}}{\frac{1}{3}-s}+O(x^{\frac{1}{3}-2s}))\\ & =& \frac{2x^{\frac{1}{2}-s}}{1-2s}+\frac{3x^{\frac{1}{3}-s}}{1-3s}+\frac{4s{x}^{\frac{1}{2}-2s}}{1-4s}+O(x^{\frac{1}{2}-2s})\end{array}$$
と評価できる(ただし定積分による定数部分は$C$に吸収させるものとする)ので定理2より
$$\begin{array}{rcl}\sum _{p\le x}\frac{\log p}{p^s-1}& =& C+\sum _{k=1}^{n+1}\frac{\vartheta (x{)}^{1-ks}}{1-ks}-\frac{2s{x}^{\frac{1}{2}-s}}{1-2s}-\frac{3s{x}^{\frac{1}{3}-s}}{1-3s}-\frac{4s{x}^{\frac{1}{2}-2s}}{1-4s}+S_s(x)+O(x^{\frac{1}{2}-2s}+x^{\frac{1}{4}-s})\end{array}$$
を得る。ここで$s>1$のとき$x\to \mathrm{\infty }$において$C$以外の項は$0$に収束するので
$$C=\sum _p\frac{\log p}{p^s-1}={(\sum _p\log (1-p^{-s}))}^{\prime }=(-\log \zeta (s){)}^{\prime }=-\frac{{\zeta }^{\prime }(s)}{\zeta (s)}$$
がわかり、$s\le 1$においても解析接続することで主張を得る。

　$n$の取り方から$1-(n+1)s<1-(1+1/2s)s=\frac{1}{2}-s$、つまり
$$\vartheta (x{)}^{1-(n+1)s}=O(x^{\frac{1}{2}-s}/\log x)$$
であり、また$x^{\frac{1}{3}-s},x^{\frac{1}{2}-2s},x^{\frac{1}{4}-s}$もそれぞれ$O(x^{\frac{1}{2}-s}/\log x)$と評価できるので、定理3から主張を得る。

　$x^{a-bt}=u$と変数変換したとき、$-bu\log xdt=du$なので
$${\int }_{\mathrm{\infty }}^s\frac{x^{a-bt}}{a-bt}dt={\int }_0^{x^{a-bs}}\frac{u}{\frac{\log u}{\log x}}\cdot \frac{du}{-bu\log x}=-\frac{1}{b}{\int }_0^{x^{a-bs}}\frac{du}{\log u}=-\frac{1}{b}\mathrm{Li}(x^{a-bt})$$
であることや
$${\int }_{\mathrm{\infty }}^s-t\frac{x^{a-t}}{a-t}dt={\int }_{\mathrm{\infty }}^s(1-\frac{a}{a-t})x^{a-t}dt=a\mathrm{Li}(x^{a-s})-\frac{x^{a-s}}{\log x}$$
および
$$\mathrm{Li}(x)=\frac{x}{\log x}+O\left(\frac{x}{{\log }^{2}x}\right)$$
に注意して定理3系の右辺を$s$について$\mathrm{\infty }\to s$で積分すると
$$\begin{array}{rcl}{\int }_{\mathrm{\infty }}^s-\frac{{\zeta }^{\prime }(t)}{\zeta (t)}dt& =& -\log |\zeta (s)|\\ {\int }_{\mathrm{\infty }}^s\left(\sum _{k=1}^n\frac{\vartheta (x{)}^{1-kt}}{1-kt}\right)dt& =& -\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}\mathrm{Li}(\vartheta (x{)}^{1-ks})\\ {\int }_{\mathrm{\infty }}^s-s\frac{x^{\frac{1}{2}-t}}{\frac{1}{2}-t}dt& =& \frac{1}{2}\mathrm{Li}(x^{\frac{1}{2}-s})-\frac{x^{\frac{1}{2}-t}}{\log x}\\ {\int }_{\mathrm{\infty }}^s{S}_t(x)dt& =& \sum _{\rho }\frac{1}{\rho }(\rho \mathrm{Li}(x^{\rho -s})-\frac{x^{\rho -s}}{\log x})\\ & =& \frac{1}{\log x}\sum _{\rho }{x}^{\rho -s}(\frac{1}{\rho -s}-\frac{1}{\rho })+O\left(\frac{x^{\frac{1}{2}-s}}{{\log }^{2}x}\right)\\ & =& -\frac{S_s(x)}{\log x}+O\left(\frac{x^{\frac{1}{2}-s}}{{\log }^{2}x}\right)\\ {\int }_{\mathrm{\infty }}^{s}O\left(\frac{x^{\frac{1}{2}-t}}{\log x}\right)dt& =& O\left(\frac{x^{\frac{1}{2}-s}}{{\log }^{2}x}\right)\end{array}$$
と評価できるので
$$\begin{array}{rcl}& & {\int }_{\mathrm{\infty }}^s\left(\sum _{p\le x}\frac{\log p}{p^t-1}\right)dt=\sum _{p\le x}\log (1-p^{-s})=\log \prod _{p\le x}(1-p^{-s})\\ & =& -\log |\zeta (s)|-\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}\mathrm{Li}(\vartheta (x{)}^{1-ks})+\frac{1}{2}\mathrm{Li}(x^{\frac{1}{2}-s})-\frac{x^{\frac{1}{2}-s}+S_s(x)}{\log x}+O\left(\frac{x^{\frac{1}{2}-s}}{{\log }^{2}x}\right)\end{array}$$
を得る。

$$\begin{array}{rl}\underset{s\to 1}{lim}\log |(s-1)\zeta (s)|& =\log 1=0\\ \underset{s\to 1}{lim}(\mathrm{Li}(x^{1-s})-\log |1-s|)& =\gamma +\log |\log x|\end{array}$$
であること( 前の記事 参照)から
$$\underset{s\to 1}{lim}-(\log |\zeta (s)|+\mathrm{Li}(\vartheta (x{)}^{1-s}))=-\gamma -\log \log \vartheta (x)$$
に注意して定理4の両辺を$s\to 1$とすることで
$$\log \prod _{p\le x}(1-p^{-s})=-\gamma -\log \log \vartheta (x)+\frac{1}{2}\mathrm{Li}(x^{-\frac{1}{2}})-\frac{x^{-\frac{1}{2}}+S_1(x)}{\log x}+O\left(\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{{\log }^{2}x}\right)$$
となり、あとは
$$\frac{1}{2}\mathrm{Li}(x^{-\frac{1}{2}})=-\frac{1}{\sqrt{x}\log x}+O\left(\frac{1}{\sqrt{x}{\log }^{2}x}\right)$$
に注意すればわかる。

$$\vartheta (x{)}^{1-ks}=x^{1-ks}(1+O(x^{-\frac{1}{2}}{\log }^{2}x){)}^{1-ks}=x^{1-ks}+O(x^{\frac{1}{2}-ks}{\log }^{2}x)$$
なので定理3およびその系から主張を得る。

　定理5の2つ目の式を$s$について$\mathrm{\infty }\to s$で積分することでわかる。

　1つ目の式については
$$\vartheta (x{)}^{1-s}=x^{1-s}+O(x^{\frac{1}{2}-s}{\log }^{2}x)=x^{1-s}+O(x^{1-s}/\log x)$$
に注意すればわかる。2つ目の式については1つ目の式を$s$について$\mathrm{\infty }\to s$で積分すればよい。