この記事では後の記事で使うためにリーマン予想が真であるという仮定の下で
の
が成り立つ。特にリーマン予想が真であるとき
となる。
以下、リーマン予想が真であるとする。
が成り立つ。ただし
について補題5を適用すると
より
となる。
また
と評価でき、また
とも評価できる(ただし定積分による定数部分は
を得る。
が成り立つ。ただし
とした。
に注意すると
と評価できる(ただし定積分による定数部分は
を得る。ここで
がわかり、
としたい気持ちは山々ですが、
なので無視しようにも無視することができません。
が成り立つ。
であり、また
後の記事で使う分には最初からこの公式を示せば十分なのですが、折角なので元論文に倣ってより精密な近似式の方も定理3として示しました。
が成り立つ。ただし
であることや
および
に注意して定理3系の右辺を
と評価できるので
を得る。
が成り立つ。
であること(
前の記事
参照)から
に注意して定理4の両辺を
となり、あとは
に注意すればわかる。
および
が成り立つ。ただし
なので定理3およびその系から主張を得る。
が成り立つ。ただし
定理5の2つ目の式を
および
が成り立つ。
1つ目の式については
に注意すればわかる。2つ目の式については1つ目の式を
以上です。では。