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大学数学基礎解説
文献あり

リーマン予想によるオイラー積の漸近公式

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はじめに

 この記事では後の記事で使うためにリーマン予想が真であるという仮定の下で
pxlogpps1,px(1ps)
xについての漸近公式を導出していきます。ただしs>0とします。

補題

 f(x)<0なるC1級関数f(x)R(x)=ϑ(x)xについてある定数Cが存在して
pxf(p)logp=2ϑ(x)f(t)dt2xR(t)f(t)dt12R(x)2f(x+O(|R(x)|))+C
が成り立つ。特にリーマン予想が真であるとき
pxf(p)logp=2ϑ(x)f(t)dt2xR(t)f(t)dt12R(x)2f(x+O(xlog2x))+C
となる。

 まず アーベルの総和公式 から
pxf(p)logp=ϑ(x)f(x)2xϑ(t)f(t)dt=ϑ(x)f(x)2x(ϑ(t)x)f(t)dt2xtf(t)dt=ϑ(x)f(x)2xR(t)f(t)dt(xf(x)2f(2)2xf(t)dt)=2xf(t)dt+R(x)f(x)2xR(t)f(t)dt+2f(2)
が成り立つ。また
2ϑ(x)f(t)dt=2xf(t)dt+xϑ(x)(tx)f(t)dt=2xf(t)dt+R(x)f(x)xϑ(x)(tx)f(t)dt
なのでx<t<ϑ(x)においてf(t)=f(x+O(|R(x)|))、すなわち
0>xϑ(x)(tx)f(t)dtxϑ(x)(tx)f(x+O(|R(x)|))dt=12R(x)2f(x+O(|R(x)|))
と評価することで
pxf(p)logp=2ϑ(x)f(t)dt+xϑ(x)(tx)f(t)dt2xR(t)f(t)dt+2f(2)2ϑ(x)f(t)dt12R(x)2f(x+O(|R(x)|))2xR(t)f(t)dt+C
を得る。あとはリーマン予想が真であるとき、 この記事 から
R(x)=ϑ(x)x=O(xlog2x)
がしたがうことからわかる。

 以下、リーマン予想が真であるとする。

pxlogpps1の漸近公式

pxlogpps1=C+2ϑ(x)dtts1s2xt12+t13t1s(ts1)2dtsρxρsρ(ρs)+O(x122s+x14s)
が成り立つ。ただしρはゼータ関数の非自明な零点全体を虚部の絶対値の小さい順に渡るものとした。

f(x)=1xs1,f(x)=sxs1(xs1)2
について補題5を適用すると
R(x)=O(xlog2x)f(x+O(xlogx))=O(xs1)
より
pxlogpps1=C+2ϑ(x)dtts12xR(t)f(t)dt+O(xslog4x)
となる。
 また ψ(x)の素数公式 を思い出すと
ψ(x)=xρxρρ12log(1x2)log2π=xρxρρ+O(1)=x+O(xlogx)ϑ(x)=n=1μ(n)ψ(x1n)=xx12x13ρxρρ+ρxρ2ρ+O(x15)
と評価でき、またρxρρは一様収束なので
f(x)=sxs1(1xs)2=sk=1kxks1=sxs1+O(x2s1)2x(ρtρρ)f(t)dt=s2x(ρtρρ)(ts1+O(t2s1))dt=sρxρsρ(ρs)+O(ρxρsρ(ρs))=sρxρsρ(ρs)+O(x122s)2x(ρtρ2ρ)f(t)dt=2x(ρtρ2ρ)O(ts1)dt=O(ρxρ2sρ(ρ2s))=O(x14s)
とも評価できる(ただし定積分による定数部分はCに吸収させるものとする)ので
pxlogpps1=C+2ϑ(x)dtts12xR(t)f(t)dt+O(xslog4x)=C+2ϑ(x)dtts1s2xx12+x13x1s(xs1)2dxsρxρsρ(ρs)+O(x122s+x14s)
を得る。

pxlogpps1=ζ(s)ζ(s)+k=1n+1ϑ(x)1ks1ks2sx12s12s3sx13s13s4sx122s14s+Ss(x)+O(x122s+x14s)
が成り立つ。ただし
n=1+12s,Ss(x)=sρxρsρ(ρs)=O(x12s)
とした。

 nの取り方から1(n+2)s<1(2+1/2s)s=122s、つまり
ϑ(x)1(n+2)s=O(x122s)
に注意すると
2ϑ(x)dtts1=2ϑ(x)(k=1tks)dt=k=1n+1ϑ(x)1ks1ks+O(x122s)2xt12+t13t1s(ts1)2dx=2x(t12+t13)(k=1ktks1)dt=(x12s12s+x122s14s+O(x123s))+(x13s13s+O(x132s))=2x12s12s+3x13s13s+4sx122s14s+O(x122s)
と評価できる(ただし定積分による定数部分はCに吸収させるものとする)ので定理2より
pxlogpps1=C+k=1n+1ϑ(x)1ks1ks2sx12s12s3sx13s13s4sx122s14s+Ss(x)+O(x122s+x14s)
を得る。ここでs>1のときxにおいてC以外の項は0に収束するので
C=plogpps1=(plog(1ps))=(logζ(s))=ζ(s)ζ(s)
がわかり、s1においても解析接続することで主張を得る。

4sx122s14s=O(x122s)
としたい気持ちは山々ですが、s=14のとき、
lims14ϑ(x)14s4sx122s14s=lims14(ϑ(x)14s1)4s(x14s1)14s+1=logϑ(x)12logx+O(1)=12logx+O(1)O(x122s)
なので無視しようにも無視することができません。

pxlogpps1=ζ(s)ζ(s)+k=1nϑ(x)1ks1ks2sx12s12s+Ss(x)+O(x12slogx)
が成り立つ。

 nの取り方から1(n+1)s<1(1+1/2s)s=12s、つまり
ϑ(x)1(n+1)s=O(x12s/logx)
であり、またx13s,x122s,x14sもそれぞれO(x12s/logx)と評価できるので、定理3から主張を得る。

 後の記事で使う分には最初からこの公式を示せば十分なのですが、折角なので元論文に倣ってより精密な近似式の方も定理3として示しました。

px(1ps)の漸近公式

logpx(1ps)=log|ζ(s)|k=1n1kLi(ϑ(x)1ks)+12Li(x12s)x12s+Ss(x)logx+O(x12slog2x)
が成り立つ。ただしn=1+12sとした。

 xabt=uと変数変換したとき、bulogxdt=duなので
sxabtabtdt=0xabsulogulogxdubulogx=1b0xabsdulogu=1bLi(xabt)
であることや
stxatatdt=s(1aat)xatdt=aLi(xas)xaslogx
および
Li(x)=xlogx+O(xlog2x)
に注意して定理3系の右辺をsについてsで積分すると
sζ(t)ζ(t)dt=log|ζ(s)|s(k=1nϑ(x)1kt1kt)dt=k=1n1kLi(ϑ(x)1ks)ssx12t12tdt=12Li(x12s)x12tlogxsSt(x)dt=ρ1ρ(ρLi(xρs)xρslogx)=1logxρxρs(1ρs1ρ)+O(x12slog2x)=Ss(x)logx+O(x12slog2x)sO(x12tlogx)dt=O(x12slog2x)
と評価できるので
s(pxlogppt1)dt=pxlog(1ps)=logpx(1ps)=log|ζ(s)|k=1n1kLi(ϑ(x)1ks)+12Li(x12s)x12s+Ss(x)logx+O(x12slog2x)
を得る。

 s=1においては
logpx(1p1)=γloglogϑ(x)2xlogxS1(x)logx+O(1xlog2x)
が成り立つ。

lims1log|(s1)ζ(s)|=log1=0lims1(Li(x1s)log|1s|)=γ+log|logx|
であること( 前の記事 参照)から
lims1(log|ζ(s)|+Li(ϑ(x)1s))=γloglogϑ(x)
に注意して定理4の両辺をs1とすることで
logpx(1ps)=γloglogϑ(x)+12Li(x12)x12+S1(x)logx+O(x12log2x)
となり、あとは
12Li(x12)=1xlogx+O(1xlog2x)
に注意すればわかる。

漸近公式の別形

精密化

pxlogpps1=ζ(s)ζ(s)+ϑ(x)1s1s+ϑ(x)12s12s+k=3n+1x1ks1ks2sx12s12s3sx13s13s4sx122s14s+Ss(x)+O(x122s+x14s)
および
pxlogpps1=ζ(s)ζ(s)+ϑ(x)1s1s+k=2nx1ks1ks2sx12s12s+Ss(x)+O(x12slogx)
が成り立つ。ただしn=1+12sとした。

ϑ(x)1ks=x1ks(1+O(x12log2x))1ks=x1ks+O(x12kslog2x)
なので定理3およびその系から主張を得る。

logpx(1ps)=log|ζ(s)|Li(ϑ(x)1s)k=2n1kLi(x1ks)+12Li(x12s)x12s+Ss(x)logx+O(x12slog2x)
が成り立つ。ただしn=1+12sとした。

 定理5の2つ目の式をsについてsで積分することでわかる。

簡略化

pxlogpps1=ζ(s)ζ(s)+x1s1s+O(x1slogx)
および
logpx(1ps)=log|ζ(s)|Li(x1s)+O(x1slog2x)
が成り立つ。

 1つ目の式については
ϑ(x)1s=x1s+O(x12slog2x)=x1s+O(x1s/logx)
に注意すればわかる。2つ目の式については1つ目の式をsについてsで積分すればよい。

 以上です。では。

参考文献

[1]
Jean-Louis Nicolas, Guy Robin, Highly Composite Numbers by Srinivasa Ramanujan, The Ramanujan Journal, 1997, pp. 119–153
投稿日:20211118
更新日:2024125
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投稿者

子葉
子葉
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主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。 私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。 同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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  6. 精密化
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