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1の分割について

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はじめに

$X$ を位相空間， $D \subset [0, 1]$ を稠密部分集合とし， $(X (s))_{s \in D}$ を $X$ の被覆とする．

すべての $X (s) \subset X$ が開集合であって，
$s < t ⟹ Cl (X (s)) \subset X (t)$
が成り立つとき， $(X (s))_{s \in D}$ を等高線様開被覆という（ことにする）．
すべての $X (s) \subset X$ が閉集合であって，
$s < t ⟹ X (s) \subset Int (X (t))$
が成り立つとき， $(X (s))_{s \in D}$ を等高線様閉被覆という（ことにする）．

$X$ を位相空間， $D \subset [0, 1]$ を稠密部分集合とし， $(X (s))_{s \in D}$ を $X$ の等高線様開被覆（resp. 閉被覆）とする．このとき，写像
$X \to [0, 1]; x \mapsto inf {s \in D ∣ x \in X (s)}$
は連続である．

前回，前々回の記事では巧いこと等高線様開被覆（resp. 閉被覆）を構成することで以下の諸定理を証明した：

位相群は完全正則空間である．

Birkhoff–Kakutani

第一可算 $T_{0}$ 位相群は距離化可能である．

Tietzeの拡張定理

$X$ を正規空間， $A \subset X$ を閉部分集合とし， $f : A \to [0, 1]$ （resp. $f : A \to R$ ）を連続写像とする．このとき，連続写像 $\tilde{f} : X \to [0, 1]$ （resp. $\tilde{f} : X \to R$ ）であって $\tilde{f} | A = f$ を満たすものが存在する．

Urysohnの補題

$X$ を正規空間， $A_{0}, A_{1} \subset X$ を交わらない閉集合とする．このとき，連続写像 $f : X \to [0, 1]$ であって
$f^{\to} (A_{0}) \subset {0}, f^{\to} (A_{1}) \subset {1}$
を満たすものが存在する．

tietzeでは，Tietzeの拡張定理の系としてUrysohnの補題を示した．また，位相空間 $X$ においてUrysohnの補題の主張が成り立つならば， $X$ は正規空間である．実際，
$U_{0} := f^{\leftarrow} ([0, 2^{- 1} [), U_{1} := f^{\leftarrow} (] 2^{- 1}, 1])$
とおくと，これらは $A_{0}, A_{1}$ の交わらない開近傍を与える．したがって，位相空間が正規であるためには，Tietzeの拡張定理（resp. Urysohnの補題）の（主張の）成立が必要かつ十分である．

ところでUrysohnの補題は，補集合を取ることで，次のように言い換えられる：

$X$ を位相空間とする．このとき次は同値である：

$X$ は正規空間である；
$X$ の任意の開被覆 $(U, V)$ に対して，連続写像 $f, g : X \to [0, 1]$ であって
${x \in X ∣ f (x) \neq 0} \subset U, {x \in X ∣ g (x) \neq 0} \subset V, f + g = 1_{X}$
を満たすものが存在する．

$1$ の分割

連続函数の台

$X$ を位相空間とする．連続写像 $f : X \to R$ に対して，
$carr (f) := {x \in X ∣ f (x) \neq 0}$
とおき，その閉包
$supp (f) := Cl ({x \in X ∣ f (x) \neq 0})$
を $f$ の台（support）という．

台がコンパクトであるとき， $f$ をコンパクト台を持つ連続写像という．
部分集合 $A \subset X$ に対して
$supp (f) \subset A$
が成り立つとき， $f$ を $A$ に台を持つ連続写像という．

$X ∖ supp (f) = Int (X ∖ {x \in X ∣ f (x) \neq 0}) = Int ({x \in X ∣ f (x) = 0})$
であるから，
$x \notin supp (f) ⟺ \exists U \in τ (x, X), f | U = 0_{U}$
が成り立つ．

$X$ を位相空間とし， $f, g : X \to R$ を連続写像とする．このとき次が成り立つ：

$supp (f \cdot g) \subset supp (f) \cap supp (g)$ ;
$supp (f + g) \subset supp (f) \cup supp (g)$ .

${x \in X ∣ f (x) g (x) \neq 0} = {x \in X ∣ f (x) \neq 0} \cap {x \in X ∣ g (x) \neq 0}$
の両辺の閉包を取って
$supp (f \cdot g) \subset supp (f) \cap supp (g)$
を得る．
${x \in X ∣ f (x) = 0} \cap {x \in X ∣ g (x) = 0} \subset {x \in X ∣ f (x) + g (x) = 0}$
であるから，両辺の開核を取ってから補集合を取ることで
$\begin{aligned} supp (f + g) & = X ∖ Int ({x \in X ∣ f (x) + g (x) = 0}) \\ \subset X ∖ (Int ({x \in X ∣ f (x) = 0}) \cap Int ({x \in X ∣ g (x) = 0})) \\ = (X ∖ Int ({x \in X ∣ f (x) = 0})) \cup (X ∖ Int ({x \in X ∣ g (x) = 0})) \\ = supp (f) \cup supp (g) \end{aligned}$
を得る（cf. loc-fin-supp）．

$X$ を位相空間， $U \subset X$ をその開集合とし， $θ : X \to R$ を $U$ に台を持つ連続写像とする．このとき，任意の連続写像 $f : U \to R$ に対して，写像 $\tilde{f} : X \to R$ を
$\tilde{f} (x) := {\begin{cases} θ (x) f (x) & , x \in U \\ 0 & , x \in X ∖ U \end{cases}$
で定めると，これは $U$ に台を持つ連続写像である．この $\tilde{f}$ を $θ ⊙ f$ で表わすことにする．

suppより
$supp (\tilde{f}) = supp (\tilde{f} | U) = supp ((θ | U) \cdot f) \subset supp (θ | U) = supp (θ) \subset U$
が成り立つ．いま $(U, X ∖ supp (θ))$ は $X$ の開被覆であるから，あとは $\tilde{f} | U, \tilde{f} | X ∖ supp (θ)$ がともに連続であることを示せばよい．

$θ, f$ は連続写像なので， $\tilde{f} | U = (θ | U) \cdot f$ は連続である．
いま $supp (θ) \subset U$ であるから，
$X ∖ supp (θ) = (X ∖ U) \cup (U ∖ supp (θ)) \subset (X ∖ U) \cup {x \in X ∣ θ (x) = 0}$
となる．したがって， $\tilde{f} | X ∖ supp (θ)$ は定値写像 $0$ なので，とくに連続である．

$\tilde{f}$ の連続性の証明からも察せられるように， $carr (θ) \subset U$ では十分でない．たとえば連続写像
$θ : R \to R; x \mapsto {\begin{cases} x & , x \geq 0 \\ 0 & , x \leq 0 \end{cases}$
について
$carr (θ) \subset R_{> 0}, supp (θ) ⊄ R_{> 0}$
であり， $f : R_{> 0} \to R$ として
$x \mapsto \frac{1}{x}$
を考えると，
$(θ ⊙ f) (x) = {\begin{cases} 1 & , x > 0 \\ 0 & , x \leq 0 \end{cases}$
となり，これは不連続である．

等高線様被覆でも，ここでもそうだが，
$閉集合 \subset 開集合$
という状況は以下でも繰り返し現れる．

局所有限な部分集合族

$X$ を位相空間とし， $(A_{λ})_{λ \in Λ}$ をその部分集合族とする．任意の $x \in X$ に対して，その開近傍 $U \in τ (x, X)$ であって
${λ \in Λ ∣ U \cap A_{λ} \neq \emptyset}$
が有限集合となるようなものが存在するとき， $(A_{λ})_{λ \in Λ}$ は局所有限であるという．

$X$ を位相空間とし， $(A_{λ})_{λ \in Λ}$ をその局所有限な部分集合族とする．このとき次が成り立つ：

任意の $M \subset Λ$ に対して， $(A_{μ})_{μ \in M}$ も局所有限である；
$(Cl (A_{λ}))_{λ \in Λ}$ も局所有限である；
$Cl (⋃_{λ \in Λ} A_{λ}) = ⋃_{λ \in Λ} Cl (A_{λ})$
が成り立つ．したがって局所有限な閉集合族の合併はまた閉集合である．

明らか．
一般に開集合 $U \subset X$ と部分集合 $A \subset X$ とに対して
$U \cap A \neq \emptyset ⟺ U \cap Cl (A) \neq \emptyset$
が成り立つことからしたがう．
1. 各 $λ \in Λ$ に対して
  $LHS \supset Cl (A_{λ})$
  が成り立つので， $LHS \supset RHS$ を得る．
2. $x \notin RHS$ とする．仮定より， $U \in τ (x, X)$ であって
  $Λ (x) := {λ \in Λ ∣ U \cap A_{λ} \neq \emptyset} = {λ \in Λ ∣ U \cap Cl (A_{λ}) \neq \emptyset}$
  が有限集合となるようなものが存在する．そこで
  $V := U \cap ⋂_{λ \in Λ (x)} (X ∖ Cl (A_{λ})) \subset X$
  とおくと，これは $x \in X$ の開近傍であって
  $V \cap ⋃_{λ \in Λ} A_{λ} = U \cap (⋃_{λ \in Λ} A_{λ} ∖ ⋃_{λ \in Λ (x)} Cl (A_{λ})) \subset U \cap ⋃_{λ \in Λ ∖ Λ (x)} Cl (A_{λ}) = \emptyset$
  が成り立つ．よって $x \notin LHS$ を得る．

$X$ を位相空間とし， $(B_{μ})_{μ \in M}$ をその局所有限な部分集合族とする．また， $(C_{μ})_{μ}$ を $X$ の部分集合族， $r : M \to Λ$ を写像とする．このとき次が成り立つ：

任意の $μ \in M$ に対して $C_{μ} \subset B_{μ}$ が成り立つならば， $(C_{μ})_{μ}$ も局所有限である；
各 $λ \in Λ$ に対して
$A_{λ} := ⋃_{μ \in r^{\leftarrow} ({λ})} B_{μ}$
とおくと， $(A_{λ})_{λ}$ は局所有限である．

任意の $x \in X$ に対して， $U \in τ (x, X)$ であって
$M_{0} := {μ \in M ∣ U \cap B_{μ} \neq \emptyset}$
が有限集合となるものが存在する．このとき
${μ \in M ∣ U \cap C_{μ} \neq \emptyset} \subset M_{0}$
より，左辺は有限集合である．よって $(C_{μ})_{μ}$ は局所有限である．
任意の $x \in X$ に対して， $U \in τ (x, X)$ であって
$M_{0} := {μ \in M ∣ U \cap B_{μ} \neq \emptyset}$
が有限集合となるものが存在する．このとき，
$U \cap A_{λ} \neq \emptyset ⟹ \exists μ \in r^{\leftarrow} ({λ}), U \cap B_{μ} \neq \emptyset$
より，
${λ \in Λ ∣ U \cap A_{λ} \neq \emptyset} \subset r (M_{0})$
となるので，左辺は有限集合である．よって $(A_{λ})_{λ}$ は局所有限である．

$1$ の分割

$X$ を位相空間とし， $(f_{λ} : X \to R)_{λ \in Λ}$ を連続写像族とする．このとき $(supp (f_{λ}))_{λ}$ が局所有限ならば，連続写像
$f := \sum_{λ \in Λ} f_{λ} : X \to R; x \mapsto \sum_{λ \in Λ} f_{λ} (x)$
が定まる．さらに
$supp (\sum_{λ \in Λ} f_{λ}) \subset ⋃_{λ \in Λ} supp (f_{λ})$
が成り立つ．

任意の $x \in X$ に対して， $U \in τ (x, X)$ であって
$Λ_{0} := {λ \in Λ ∣ U \cap supp (f_{λ}) \neq \emptyset}$
が有限集合となるようなものを取ると，
$f | U = \sum_{λ \in Λ_{0}} f_{λ} | U$
は連続写像の有限和ゆえ連続である．
$x \in carr (f)$ とすると， $λ_{x} \in Λ$ であって $f_{λ_{x}} (x) \neq 0$ なるものが存在するので，
$x \in carr (f_{λ_{x}}) \subset supp (f_{λ_{x}}) \subset ⋃_{λ \in Λ} supp (f_{λ})$
が成り立つ．仮定とcl-preservingより，上式最右辺は $X$ の閉集合であるから，
$supp (f) \subset ⋃_{λ \in Λ} supp (f_{λ})$
を得る．

$X$ を位相空間とし， $f_{∙} := (f_{λ} : X \to [0, 1])_{λ \in Λ}$ を連続写像族とする．

$(supp (f_{λ}))_{λ \in Λ}$ が局所有限であって，任意の $x \in X$ に対して
$\sum_{λ \in Λ} f_{λ} (x) = 1$
が成り立つとき， $f_{∙}$ を $X$ 上の局所有限な $1$ の分割という．
任意の $x \in X$ に対して
$\sum_{λ \in Λ} f_{λ} (x) := sup {\sum_{λ \in Λ_{0}} f (x) | Λ_{0} \subset Λ : finite} = 1$
が成り立つとき， $f_{∙}$ を $X$ 上の $1$ の分割という．

$f_{∙}$ を $X$ 上の $1$ の分割とする．

任意の $x \in X$ に対して
$# {λ \in Λ ∣ f_{λ} (x) \neq 0} \leq ℵ_{0}$
が成り立つ．実際， $n \in N_{> 0}$ に対して
$Λ_{n} := {λ \in Λ ∣ n^{- 1} < f_{λ} (x)}$
とおくと
$\frac{# Λ_{n}}{n} \leq \sum_{λ \in Λ_{n}} f_{λ} (x) \leq \sum_{λ \in Λ} f_{λ} (x) = 1$
より $Λ_{n}$ は有限集合であるから，
${λ \in Λ ∣ f_{λ} (x) \neq 0} = ⋃_{n = 1}^{\infty} Λ_{n}$
は（高々）可算集合である．
各 $x \in X$ に対して， $\sum_{λ} f_{λ} (x) = 1$ より， $λ \in Λ$ であって $f_{λ} (x) > 0$ なるものが存在する．よって $carr (f_{∙}) := (carr (f_{λ}))_{λ \in Λ}$ は $X$ の開被覆である．

dold A.2.6

$X$ を位相空間， $f_{∙}$ を $X$ 上の $1$ の分割とし， $a \in X$ とする．このとき任意の $ε > 0$ に対して， $U \in τ (a, X)$ であって
${λ \in Λ ∣ \exists x \in U, ε \leq f_{λ} (x)} \subset Λ$
が有限集合となるようなものが存在する．

$ε > 0$ とする．このとき
$1 - ε < 1 = sup {\sum_{λ \in Λ_{0}} f (a) | Λ_{0} \subset Λ : finite}$
より，有限集合 $Λ_{0} \subset Λ$ であって
$1 - ε < \sum_{λ \in Λ_{0}} f_{λ} (a)$
を満たすものが存在する．そこで
$f := \sum_{λ \in Λ_{0}} f_{λ} : X \to [0, 1]$
とおくと，これは連続写像であるから
$U := {x \in X ∣ 1 - ε < f (x)} \subset X$
は $a \in X$ の開近傍である．あとは
${λ \in Λ ∣ \exists x \in U, ε \leq f_{λ} (x)} \subset Λ_{0}$
を示せば十分である．そこで $\exists λ \in LHS ∖ Λ_{0} \neq \emptyset$ とすると， $x \in U$ であって $ε \leq f_{λ} (x)$ なるものが存在するが，このとき
$1 = (1 - ε) + ε < \sum_{λ_{0} \in Λ_{0}} f_{λ_{0}} (x) + f_{λ} (x) \leq 1$
となり不合理である．

dold A.2.7

$X$ を位相空間とし $f_{∙}$ を $X$ 上の $1$ の分割とする．このとき
$sup (f_{∙}) : X \to [0, 1]; x \mapsto sup {f_{λ} (x) ∣ λ \in Λ}$
は正値連続写像である．

$a \in X$ とする．

$\sum_{λ \in Λ} f_{λ} (a) = 1$ より
$0 < f_{{}^{\exists}λ} (a) \leq sup (f_{∙}) (a)$
が成り立つ．
$ε > 0$ とする． $U \in τ (a, X)$ であって
$Λ_{a} := {λ \in Λ ∣ \exists x \in U, ε \leq f_{λ} (x)}$
が有限集合となるようなものを取ると，
$sup (f_{∙}) | U = max_{λ \in Λ_{a}} f_{λ} | U$
は連続であるから， $V \in τ (a, U) \subset τ (a, X)$ であって
$x \in V ⟹ | sup (f_{∙}) (x) - sup (f_{∙}) (a) | < ε$
を満たすものが存在する．

とくに $λ_{a} \in Λ_{a}$ であって
$sup (f_{∙}) (a) = f_{λ_{a}} (a)$
となるものが存在する．

Mather ( dold A.2.8 )

$X$ を位相空間とし $g_{∙} = (g_{λ})_{λ \in Λ}$ を $X$ 上の $1$ の分割とする．このとき， $X$ 上の局所有限な $1$ の分割 $(f_{λ})_{λ \in Λ}$ であって
$supp (f_{λ}) \subset carr (g_{λ})$
を満たすものが存在する．

Step. 1

各 $λ \in Λ$ に対して，
$2 g_{λ} (x) - sup (g_{∙}) (x) \leq 2 g_{λ} (x) - g_{λ} (x) = g_{λ} (x) \leq 1$
より，連続写像 $h_{λ} : X \to [0, 1]$ を
$h_{λ} (x) := max {0, 2 g_{λ} (x) - sup (g_{∙}) (x)}$
で定めることができる．このとき
$carr (h_{λ}) \subset {x \in X ∣ 0 \leq 2 g_{λ} (x) - sup (g_{∙}) (x)} \in τ^{c} (X)$
であり， $x \in RHS$ のとき
$0 < \frac{1}{2} sup (g_{∙}) (x) \leq g_{λ} (x)$
より $x \in carr (g_{λ})$ となる．したがって
$supp (h_{λ}) \subset {x \in X ∣ 0 \leq 2 g_{λ} (x) - sup (g_{∙}) (x)} \subset carr (g_{λ})$
が成り立つ．

Step. 2

$carr (h_{∙})$ が局所有限であることを示す．そこで $a \in X$ とする．このとき $ε := sup (g_{∙}) (a) / 4 \in R_{> 0}$ とおくと， $U_{0} \in τ (a, X)$ であって
$Λ_{0} := {λ \in Λ ∣ \exists x \in U_{0}, ε \leq g_{λ} (x)}$
が有限集合となるようなもの，および $U_{1} \in τ (a, X)$ であって
$x \in U_{1} ⟹ | sup (g_{∙}) (x) - sup (g_{∙}) (a) | < ε$
を満たすものが存在する．そこで $U := U_{0} \cap U_{1} \in τ (a, X)$ とおくと，任意の $(x, λ) \in U \times (Λ ∖ Λ_{0})$ に対して，
$2 ε = \frac{1}{2} sup (g_{∙}) (a) < \frac{3}{4} sup (g_{∙}) (a) = sup (g_{∙}) (a) - ε < sup (g_{∙}) (x)$
より，
$2 g_{λ} (x) - sup (g_{∙}) (x) < 2 ε - 2 ε = 0,$
したがって
$h_{λ} (x) = 0$
が成り立つので，
${λ \in Λ ∣ U \cap carr (h_{λ}) \neq \emptyset} \subset Λ_{0}$
を得る．

Step. 3

任意の $x \in X$ に対して， $λ \in Λ$ であって $sup (g_{∙}) (x) = g_{λ} (x)$ ，したがって
$h_{λ} (x) = sup (g_{∙}) (x) > 0$
となるようなものが存在する．よって
$h : X \to R; x \mapsto \sum_{λ \in Λ} h_{λ} (x)$
は正値連続写像である．そこで連続写像 $f_{λ} : X \to [0, 1]$ を
$f_{λ} (x) := \frac{h_{λ} (x)}{h (x)}$
で定めると，
$carr (f_{λ}) = carr (h_{λ}),$
および
$\sum_{λ \in Λ} f_{λ} = \frac{\sum_{λ \in Λ} h_{λ}}{h} = 1_{X}$
が成り立つ．さらに，cl-preservingより $(supp (f_{λ}))_{λ \in Λ}$ は局所有限であり，
$supp (f_{λ}) = supp (h_{λ}) \subset carr (g_{λ})$
が成り立つ．

開被覆に従属する $1$ の分割

$X$ を位相空間とし， $f_{∙} = (f_{λ})_{λ \in Λ}$ を $X$ 上の局所有限な $1$ の分割（resp. $1$ の分割）， $U_{∙} = (U_{λ})_{λ \in Λ}$ を $X$ の開被覆とする．任意の $λ \in Λ$ に対して
$supp (f_{λ}) \subset U_{λ} （resp. carr (f_{λ}) \subset U_{λ} ）$
が成り立つとき， $f_{∙}$ を $U_{∙}$ に従属する局所有限な $1$ の分割（resp. $U_{∙}$ に従属する $1$ の分割）という．

位相空間 $X$ 上の $1$ の分割 $f_{∙}$ は，開被覆 $carr (f_{∙})$ に従属する $1$ の分割である．

$X$ を位相空間とし， $(U_{λ})_{λ \in Λ}, (V_{μ})_{μ \in M}$ を $X$ の開被覆とする．このとき， $(V_{μ})_{μ}$ が $(U_{λ})_{λ}$ の細分であって， $(V_{μ})_{μ}$ に従属する $1$ の分割が存在するならば， $(U_{λ})_{λ}$ に従属する局所有限な $1$ の分割が存在する．

$(g_{μ})_{μ}$ を $(V_{μ})_{μ}$ に従属する $1$ の分割とする．matherより， $(g_{μ})_{μ}$ は局所有限な $1$ の分割であるとしてよい．仮定より，写像 $r : M \to Λ$ であって
$\forall μ \in M, V_{μ} \subset U_{r (μ)}$
を満たすものが存在する．各 $λ \in Λ$ に対して，cl-preservingより $(supp (g_{μ}))_{μ \in r^{\leftarrow} ({λ})}$ は局所有限なので，連続写像 $f_{λ} : X \to [0, 1]$ を
$f_{λ} (x) := \sum_{μ \in r^{\leftarrow} ({λ})} g_{μ} (x)$
で定めることができる．ただし， $r^{\leftarrow} ({λ}) = \emptyset$ のときは， $f_{λ} := 0_{X}$ とする．

loc-fin-suppより
$supp (f_{λ}) \subset ⋃_{μ \in r^{\leftarrow} ({λ})} supp (g_{μ}) \subset ⋃_{μ \in r^{\leftarrow} ({λ})} V_{μ} \subset U_{λ}$
が成り立つ．
loc-finより部分集合族
${(⋃_{μ \in r^{\leftarrow} ({λ})} supp (g_{μ}))}_{λ \in Λ}$
は局所有限なので，ふたたびloc-finより， $(supp (f_{λ}))_{λ}$ は局所有限である．
任意の $x \in X$ に対して
$\sum_{λ \in Λ} f_{λ} (x) = \sum_{λ \in Λ} \sum_{μ \in r^{\leftarrow} ({λ})} g_{μ} (x) = \sum_{μ \in M} g_{μ} (x) = 1$
が成り立つ．

$X$ を位相空間とし， $(U_{λ})_{λ \in Λ}$ をその開被覆とする．このとき次は同値である：

$X$ 上の局所有限な $1$ の分割 $(g_{μ})_{μ \in M}$ であって， $(supp (g_{μ}))_{μ}$ が $(U_{λ})_{λ}$ の細分であるようなものが存在する；
$X$ 上の $1$ の分割 $(g_{μ})_{μ \in M}$ であって， $(carr (g_{μ}))_{μ}$ が $(U_{λ})_{λ}$ の細分であるようなものが存在する；
$X$ 上の局所有限な $1$ の分割であって $(U_{λ})_{λ}$ に従属するものが存在する；
$X$ 上の $1$ の分割であって $(U_{λ})_{λ}$ に従属するものが存在する．

(i) $⟹$ (ii)：明らか．
(ii) $⟹$ (iii)：refinement．
(iii) $⟹$ (iv)：明らか．
(iv) $⟹$ (i)：mather．

（cf. smooth-pou）

位相空間 $X$ の開被覆 $(U_{λ})_{λ}$ に従属する局所有限な $1$ の分割 $(f_{λ})_{λ}$ について
$X = supp (\sum_{λ \in Λ} f_{λ}) \subset ⋃_{λ \in Λ} supp (f_{λ}) \subset ⋃_{λ \in Λ} U_{λ} = X$
より
$X = ⋃_{λ \in Λ} supp (f_{λ})$
が成り立つ．したがって， $X$ が非コンパクトのとき， $(f_{λ})_{λ}$ がコンパクト台を持つ局所有限な $1$ の分割ならば， $Λ$ は無限集合でなければならない，或いは同じことだが，コンパクト台を持つ局所有限な $1$ の分割であって有限開被覆に従属するものは存在しない．

$X$ を位相空間， $(U_{λ})_{λ \in Λ}$ を $X$ の開被覆とし， $(θ_{λ})_{λ}$ を $(U_{λ})_{λ}$ に従属する局所有限な $1$ の分割とする．また， $(f_{λ} : U_{λ} \to R)_{λ}$ を連続写像族とする．このとき，写像
$X \to R; x \mapsto \sum_{λ \in Λ} (θ_{λ} ⊙ f_{λ}) (x)$
は連続である．

ext-by-zeroより各 $θ_{λ} ⊙ f_{λ} : X \to R$ は連続であり，
$supp (θ_{λ} ⊙ f_{λ}) \subset supp (θ_{λ})$
より $(supp (θ_{λ} ⊙ f_{λ}))_{λ}$ は局所有限である（loc-fin）．よって，loc-fin-suppより，件の写像は連続である．

$1$ の分割と正規性

Finite Shrinking Lemma

$X$ を正規空間とし， $(U_{i})_{i \in [n]}$ を $X$ の有限開被覆とする．このとき， $X$ の有限開被覆 $(V_{i})_{i \in [n]}$ であって
$Cl (V_{i}) \subset U_{i}$
を満たすものが存在する．

$n > 0$ としてよい． $U_{0} \subset X$ は，閉集合 $C_{0} := X ∖ (U_{1} \cup \dots \cup U_{n}) \subset X$ の開近傍なので， $X$ の正規性より， $V_{0} \in τ (C_{0}, X)$ であって
$Cl (V_{0}) \subset U_{0}$
を満たすものが存在する． $C_{0} \subset V_{0}$ より $(V_{0}, U_{1}, \dots, U_{n})$ は $X$ の有限開被覆である．以下，同様にして $U_{i}$ を $V_{i}$ に取り替えていけばよい．

$X$ を位相空間とする．このとき次は同値である：

$X$ は正規空間である；
$X$ の任意の有限開被覆 $(U_{i})_{i \in [n]}$ に対して， $X$ 上の局所有限な $1$ の分割 $(f_{i})_{i}$ であって $(U_{i})_{i}$ に従属するものが存在する．

(i) $⟹$ (ii)

$(U_{i})_{i \in [n]}$ を $X$ の開被覆とする．finite-shrinkingより， $X$ の有限開被覆 $(V_{i})_{i}, (W_{i})_{i}$ であって
$Cl (W_{i}) \subset V_{i} \subset Cl (V_{i}) \subset U_{i}$
を満たすものが存在する．各 $i \in [n]$ に対して，Urysohnの補題より，連続写像 $g_{i} : X \to [0, 1]$ であって
$g_{i}^{\to} (Cl (W_{i})) \subset {1}, g_{i}^{\to} (X ∖ V_{i}) \subset {0}$
を満たすものが存在する．そこで
$g := \sum_{i = 0}^{n} g_{i} : X \to R$
とおくと， $(W_{i})_{i}$ が $X$ の被覆であることより，これは正値連続写像であるから，連続写像
$f_{i} := \frac{g_{i}}{g} : X \to [0, 1]$
が定まり，
$\sum_{i = 0}^{n} f_{i} = \frac{\sum_{i} g_{i}}{g} = 1_{X}$
が成り立つ．さらに
$carr (f_{i}) = carr (g_{i}) = X ∖ g_{i}^{\leftarrow} ({0}) \subset V_{i}$
より
$supp (f_{i}) \subset Cl (V_{i}) \subset U_{i}$
が成り立つ．

(ii) $⟹$ (i)

Urysohnの補題の言い換え（urysohn）より明らか．

finite-shrinking，normal-pouにおける“有限開被覆”は“局所有限開被覆”に弱めることができる．前者については，たとえばyamyamtopo補題4.8を参照せられたい．後者については同様に証明できる（cf. paracpt-pouの証明）．

$1$ の分割とパラコンパクト性

$X$ を位相空間とする． $X$ の任意の開被覆 $U_{∙}$ に対して，局所有限な開被覆であって $U_{∙}$ を細分するものが存在するとき， $X$ をパラコンパクト空間という．

パラコンパクト $T_{2}$ 空間は $T_{4}$ 空間である．

$X$ をパラコンパクト $T_{2}$ 空間とする．このとき $X$ の正規性を示せばよい．そこで $A_{0}, A_{1} \subset X$ を交わらない閉集合とする．

$A_{1} = {a_{1}}$ のとき

$X$ のHausdorff性より，各 $a \in A_{0}$ に対して，その開近傍 $U (a) \in τ (X)$ であって
$Cl (U (a)) \cap {a_{1}} = \emptyset$
を満たすものが存在する．そこで $U (A_{0}) := X ∖ A_{0}$ とおくと， $(U (x))_{x \in A_{0} \cup {A_{0}}}$ は $X$ の開被覆であるから，これを細分する局所有限な開被覆 $(W_{λ})_{λ \in Λ}$ が存在する．

任意の $a \in A_{0}$ に対して， $λ \in Λ$ であって $a \in W_{λ}$ となるものが存在するので，
$Λ_{0} := {λ \in Λ ∣ A_{0} \cap W_{λ} \neq \emptyset}$
とおくと，
$A_{0} \subset ⋃_{λ \in Λ_{0}} W_{λ} =: U_{0} (a_{1}) \in τ (X)$
が成り立つ．
任意の $λ \in Λ_{0}$ に対して，
$W_{λ} ⊄ X ∖ A_{0}$
より， $a \in A_{0}$ であって $W_{λ} \subset U (a)$ を満たすものが存在する．よって
$Cl (W_{λ}) \cap {a_{1}} \subset Cl (U (a)) \cap {a_{1}} = \emptyset$
となるので，cl-preservingより，
$Cl (U_{0} (a_{1})) \cap {a_{1}} = ⋃_{λ \in Λ_{0}} Cl (W_{λ}) \cap {a_{1}} = \emptyset,$
すなわち
$a_{1} \in X ∖ Cl (U_{0} (a_{1})) \in τ (X)$
が成り立つ．

一般の場合

前段より，各 $a \in A_{1}$ に対して，その開近傍 $V (a) := X ∖ Cl (U_{0} (a)) \in τ (X)$ は， $U_{0} (a) \cap V (a) = \emptyset$ より，
$A_{0} \cap Cl (V (a)) \subset U_{0} (a) \cap Cl (V (a)) = \emptyset$
を満たす．ここで $V (A_{1}) := X ∖ A_{1}$ とおくと， $(V (x))_{x \in A_{1} \cup {A_{1}}}$ は $X$ の開被覆であるから，これを細分する局所有限な開被覆 $(O_{μ})_{μ \in M}$ が存在する．

任意の $a \in A_{1}$ に対して， $μ \in M$ であって $a \in O_{μ}$ となるものが存在するので，
$M_{1} := {μ \in M ∣ A_{1} \cap O_{μ} \neq \emptyset}$
とおくと，
$A_{1} \subset ⋃_{μ \in M_{1}} O_{μ} =: V_{1} \in τ (X)$
が成り立つ．
任意の $μ \in M_{1}$ に対して，
$O_{μ} ⊄ X ∖ A_{1}$
より， $a \in A_{1}$ であって $O_{μ} \subset V (a)$ を満たすものが存在する．よって
$A_{0} \cap Cl (O_{μ}) \subset A_{0} \cap Cl (V (a)) = \emptyset$
となるので，cl-preservingより
$A_{0} \cap Cl (V_{1}) = A_{0} \cap ⋃_{μ \in M_{1}} Cl (O_{μ}) = \emptyset,$
すなわち
$A_{0} \subset X ∖ Cl (V_{1}) \in τ (X)$
が成り立つ．

Shrinking Lemma

$X$ をパラコンパクト $T_{2}$ 空間とし， $(U_{λ})_{λ \in Λ}$ をその開被覆とする．このとき， $X$ の局所有限な開被覆 $(V_{λ})_{λ}$ であって
$Cl (V_{λ}) \subset U_{λ}$
を満たすものが存在する．

各 $x \in X$ に対して， $λ_{x} \in Λ$ であって $x \in U_{λ_{x}}$ なるものを取ると， $X$ の正則性より， $W_{x} \in τ (X)$ であって
$x \in W_{x} \subset Cl (W_{x}) \subset U_{λ_{x}}$
を満たすものが存在する．したがって $(W_{x})_{x \in X}$ は $(U_{λ})_{λ}$ を細分する $X$ の開被覆である．いま $X$ はパラコンパクトなので， $(W_{x})_{x}$ を細分する局所有限な開被覆 $(O_{μ})_{μ \in M}$ が存在する．このとき写像 $r : M \to Λ$ であって
$Cl (O_{μ}) \subset U_{r (μ)}$
を満たすものが存在する．そこで各 $λ \in Λ$ に対して
$V_{λ} := ⋃_{μ \in r^{\leftarrow} ({λ})} O_{μ} \in τ (X)$
とおく．

任意の $x \in X$ に対して， $μ \in M$ であって $x \in O_{μ}$ なるものを取ると，
$x \in V_{r (μ)}$
が成り立つ．よって $(V_{λ})_{λ}$ は $X$ の開被覆である．
loc-finより $(V_{λ})_{λ}$ は局所有限である．
cl-preservingより，
$Cl (V_{λ}) = ⋃_{μ \in r^{\leftarrow} ({λ})} Cl (O_{μ}) \subset U_{λ}$
が成り立つ．

$X$ を $T_{1}$ 空間とする．このとき次は同値である：

$X$ はパラコンパクト $T_{2}$ 空間である；
$X$ の任意の開被覆 $(U_{λ})_{λ \in Λ}$ に対して， $X$ 上の局所有限な $1$ の分割 $(f_{λ})_{λ}$ であって $(U_{λ})_{λ}$ に従属するものが存在する．

(i) $⟹$ (ii)

shrinkingより， $X$ の局所有限な開被覆 $(V_{λ})_{λ}, (W_{λ})_{λ}$ であって
$Cl (W_{λ}) \subset V_{λ} \subset Cl (V_{λ}) \subset U_{λ}$
を満たすものが存在する．paracpt-haus-normalより $X$ は正規空間なので，各 $λ \in Λ$ に対して，Urysohnの補題より，連続写像 $g_{λ} : X \to [0, 1]$ であって
$g_{λ}^{\to} (Cl (W_{λ})) \subset {1}, g_{λ}^{\to} (X ∖ V_{λ}) \subset {0}$
を満たすものが存在する．後者より
$carr (g_{λ}) = X ∖ g_{λ}^{\leftarrow} ({0}) \subset V_{λ},$
したがって
$supp (g_{λ}) \subset Cl (V_{λ}) \subset U_{λ}$
が成り立つ．

cl-preservingより $(Cl (V_{λ}))_{λ}$ は局所有限なので，loc-finより $(supp (g_{λ}))_{λ}$ は局所有限である．
よって， $(W_{λ})_{λ}$ が $X$ の被覆であることと合わせて，正値連続写像
$g : X \to R; x \mapsto \sum_{λ \in Λ} g_{λ} (x)$
が定まる．
そこで連続写像 $f_{λ} : X \to [0, 1]$ を
$f_{λ} (x) := \frac{g_{λ} (x)}{g (x)}$
で定めると， $supp (f_{λ}) = supp (g_{λ})$ より $(supp (f_{λ}))_{λ}$ は局所有限であり，
$supp (f_{λ}) \subset U_{λ},$
および
$\sum_{λ \in Λ} f_{λ} = \frac{\sum_{λ} g_{λ}}{g} = 1_{X}$
が成り立つ．

(ii) $⟹$ (i)

normal-pouより $X$ は正規 $T_{1}$ 空間なので，とくにHausdorff空間である．よって，あとはパラコンパクト性を示せばよい．そこで $(U_{λ})_{λ \in Λ}$ を $X$ の開被覆とすると，仮定より局所有限な $1$ の分割 $(f_{λ})_{λ}$ であって
$supp (f_{λ}) \subset U_{λ}$
を満たすものが存在する．このとき，loc-finより， $(carr (f_{λ}))_{λ}$ は局所有限な $X$ の開被覆であり， $(U_{λ})_{λ}$ の細分になっている．

なめらかな $1$ の分割

normal-pou，paracpt-pouの証明を振り返ると，（有限）開被覆が与えられたとき，それに従属する局所有限な $1$ の分割を得るために，次のような段階を踏んでいた：

与えられた被覆を局所有限な被覆へ縮める（"shrinking property"）；
Urysohnの補題で連続写像族を得る；
局所有限和を取って正値連続写像を得る；
それで割る（“正規化”）．

したがって，(1)が可能な位相空間上の，(3),(4)で行う操作，すなわち局所有限和と商で閉じているような連続写像の集合 $F$ が与えられたとき，(2)における写像を $F$ から取ることができれば， $F$ の元からなる $1$ の分割が得られることになる．

以下，可微分多様体とその上のなめらかな函数全体のなす集合について，上記4段階が可能であることを見ていく．ただし，“可微分多様体”には第2可算性とHausdorff性を課すものとする．

被覆の収縮

可微分多様体上で被覆の収縮が可能であるためには，第2可算LCH空間がパラコンパクトであることがわかれば十分である．

第2可算LCH空間は相対コンパクト開集合からなる可算開基を持つ．

$X$ を第2可算LCH空間とし， $B \subset τ (X)$ をその可算開基とする．ここで
$B^{'} := {B \in B ∣ Cl (B) : compact}$
とおく．あとは $B^{'}$ が $X$ の開基であることを示せばよい．

$x \in U \in τ (X)$ とする． $X$ の局所コンパクト性より， $x$ の相対コンパクト開近傍 $V \in τ (x, X)$ であって $Cl (V) \subset U$ を満たすものが存在する．この $V \in τ (x, X)$ に対して， $B \in B$ であって $x \in B \subset V$ なるものが存在するが，
$Cl (B) \subset Cl (V)$
よりコンパクト空間 $Cl (V)$ の閉集合 $Cl (B)$ はコンパクトであるから， $B \in B^{'}$ を得る．

$X$ を第2可算LCH空間とする．このとき $X$ の相対コンパクト集合からなる可算開被覆 $(V_{n})_{n}$ であって
$Cl (V_{n}) \subset V_{n + 1}$
を満たすものが存在する．

$B = {B_{n} \in τ (X) ∣ n \in N}$ を相対コンパクト開集合からなる可算開基とする．

$V_{0} := B_{0}$ とおく．
$(V_{i})_{i \in [n]}$ まで定まったとする．このとき $Cl (V_{n})$ のコンパクト性より，
$m (n) := min {k \in N ∣ Cl (V_{n}) \subset B_{0} \cup \dots \cup B_{k}}$
が定まる．そこで
$V_{n + 1} := B_{0} \cup \dots \cup B_{m (n)} \cup B_{n + 1}$
とおくと，
$Cl (V_{n + 1}) = Cl (B_{0}) \cup \dots \cup Cl (B_{m (n)}) \cup Cl (B_{n + 1})$
はコンパクト集合の有限合併ゆえコンパクトであり，
$Cl (V_{n}) \subset V_{n + 1}$
が成り立つ．

以上より，相対コンパクト開集合列 $(V_{n})_{n}$ が得られた．さらに
$\forall n \in N, B_{n} \subset V_{n}$
より，
$X = ⋃_{n = 0}^{\infty} B_{n} \subset ⋃_{n = 0}^{\infty} V_{n} \subset X$
が成り立つので， $(V_{n})_{n}$ は $X$ の開被覆である．

$X$ を第2可算LCH空間とする．このとき $X$ の任意の開被覆 $(U_{λ})_{λ \in Λ}$ に対して，相対コンパクト開集合からなる局所有限な可算被覆 $(W_{n})_{n \in N}$ であって， $(Cl (W_{n}))_{n}$ が $(U_{λ})_{λ}$ の細分であるようなものが存在する．したがってとくに $X$ はパラコンパクト $T_{2}$ 空間である．

$(V_{n})_{n \in N}$ をsigma-cptで得られた相対コンパクト開被覆とし， $V_{- 2} := V_{- 1} := \emptyset$ とおく：
$Cl (V_{n - 2}) \subset V_{n - 1} \subset Cl (V_{n - 1}) \subset V_{n} \subset Cl (V_{n}) \subset V_{n + 1} .$

任意の $x \in Cl (V_{n}) ∖ V_{n - 1}$ に対して， $λ_{x} \in Λ$ であって $x \in U_{λ_{x}}$ なるものが存在する．このとき $x$ の開近傍
$(V_{n + 1} ∖ Cl (V_{n - 2})) \cap U_{λ_{x}} \subset X$
に対して， $X$ の局所コンパクト性より，相対コンパクト開近傍 $W_{x} \in τ (x, X)$ であって
$Cl (W_{x}) \subset (V_{n + 1} ∖ Cl (V_{n - 2})) \cap U_{λ_{x}}$
を満たすものが存在する．いま $K_{n} := Cl (V_{n}) ∖ V_{n - 1}$ はコンパクトであるから，その開被覆 $(W_{x})_{x \in K_{n}}$ は有限部分被覆を持つので，それを $(W_{k_{- 1} + \dots + k_{n - 1} + i})_{i \in [k_{n}]_{> 0}}$ とおく．ただし $k_{- 1} := - 1$ とする．

いま
$X = ⋃_{n = 0}^{\infty} V_{n} = ⋃_{n = 0}^{\infty} Cl (V_{n}) = ⋃_{n = 0}^{\infty} (Cl (V_{n}) ∖ V_{n - 1}) \subset ⋃_{n = 0}^{\infty} W_{n} \subset X$
であるから， $(W_{n})_{n}$ は $X$ の開被覆である．
$(Cl (W_{n}))_{n}$ は明らかに $(U_{λ})_{λ}$ の細分である．
任意の $x \in X$ に対して， $N \in N$ であって $x \in V_{N}$ なるものが存在する．このとき
${n \in N ∣ V_{N} \cap W_{n} \neq \emptyset} \subset [k_{0} + \dots + k_{N + 1}]$
より，左辺は有限集合である．

証明中の $W_{x}$ として，（あらかじめ与えられた）開基の元が取れる．

Urysohnの補題

$X$ を位相空間とし， $F \subset C (X) := {f : X \to R ∣ continuous}$ は局所有限和と商で閉じているとする：

$f_{λ} \in F, (supp (f_{λ}))_{λ} : loc.fin. ⟹ \sum_{λ} f_{λ} \in F$ ;
$f, g \in F, \forall x \in X, g (x) \neq 0 ⟹ f / g \in F$ .

任意の $a \in X$ と $U \in τ (a, X)$ とに対して， $f_{a} \in F$ であって

$\forall x \in X, f_{a} (x) \geq 0$ ;
$f_{a} (a) > 0$ ;
$supp (f_{a}) \subset U$ ;

を満たすものが存在するとき， $F$ は完全正則であるという（ことにする）．

$X$ を位相空間とし， $F \subset C (X)$ は完全正則であるとする．このとき，任意のコンパクト集合 $K \subset X$ とその開近傍 $U \in τ (K, X)$ とに対して， $f_{K} \in F$ であって

$\forall x \in X, f_{K} (x) \geq 0$ ;
$\forall x \in K, f_{K} (x) > 0$ ;
$supp (f_{K}) \subset U$ ;

を満たすものが存在する．

仮定より，各 $a \in K$ に対して， $f_{a} \in F$ であって

$\forall x \in X, f_{a} (x) \geq 0$ ;
$f_{a} (a) > 0$ ;
$supp (f_{a}) \subset U$ ;

を満たすものが存在する．このとき $f_{a}$ の連続性より， $V (a) \in τ (a, X)$ であって
$x \in V (a) ⟹ \frac{1}{2} f_{a} (a) < f_{a} (x)$
を満たすものが存在する．いま $K$ はコンパクトなので，その開被覆 $(V (a))_{a \in K}$ に対して， $a_{1}, \dots, a_{n} \in K$ であって
$K \subset V (a_{1}) \cup \dots \cup V (a_{n})$
を満たすものが存在する．そこで
$f_{K} := f_{a_{1}} + \dots + f_{a_{n}} \in F$
とおく．

明らかに $f_{K} (x) \geq 0$ が成り立つ．
任意の $x \in K$ に対して， $i \in [n]_{> 0}$ であって $x \in V (a_{i})$ となるものが存在するので，
$0 < \frac{1}{2} f_{a_{i}} (a_{i}) < f_{a_{i}} (x) \leq f_{K} (x)$
が成り立つ．
suppより
$supp (f_{K}) \subset supp (f_{a_{1}}) \cup \dots \cup supp (f_{a_{n}}) \subset U$
が成り立つ．

$X$ をパラコンパクトLCH空間とし， $F \subset C (X)$ は完全正則であるとする．このとき，交わらない任意の閉集合 $A_{0}, A_{1} \subset X$ に対して， $f \in F$ であって
$f^{\to} (X) \subset [0, 1], f^{\to} (A_{0}) \subset {0}, f^{\to} (A_{1}) \subset {1}$
を満たすものが存在する．

（ crainic Theorem 5.19 ）

$x \in X$ とする． $X$ の局所コンパクト性より，

$x \in A_{1} \subset X ∖ A_{0}$ のとき，相対コンパクト開近傍 $U_{x} \in τ (x, X)$ であって $Cl (U_{x}) \subset X ∖ A_{0}$ なるものが存在する；
$x \in X ∖ A_{1}$ のとき，相対コンパクト開近傍 $U_{x} \in τ (x, X)$ であって $Cl (U_{x}) \subset X ∖ A_{1}$ なるものが存在する．

こうして $X$ の開被覆 $(U_{x})_{x \in X}$ が得られるので， $X$ の局所有限な開被覆 $(V_{μ})_{μ \in M}$ であって $(U_{x})_{x}$ を細分するものが存在する．ここで
$\begin{aligned} M_{0} & := {μ \in M ∣ V_{μ} \cap A_{1} = \emptyset}, \\ M_{1} & := {μ \in M ∣ V_{μ} \cap A_{1} \neq \emptyset} \end{aligned}$
とおくと， $M = M_{0} ⊔ M_{1}$ が成り立つ．

いま $X$ はパラコンパクト $T_{2}$ 空間なので，shrinkingより，局所有限な開被覆 $(W_{μ})_{μ}$ であって
$Cl (W_{μ}) \subset V_{μ}$
を満たすものが存在する． $(V_{μ})_{μ}$ は相対コンパクト開被覆 $(U_{x})_{x}$ の細分であったから，各 $Cl (W_{μ})$ はコンパクトである．したがってcomp-regより， $f_{μ} \in F$ であって

$\forall x \in X, f_{μ} (x) \geq 0$ ;
$\forall x \in Cl (W_{μ}), f_{μ} (x) > 0$ ;
$supp (f_{μ}) \subset V_{μ}$ ;

を満たすものが存在する． $(V_{μ})_{μ}$ が局所有限であることから $(supp (f_{μ}))_{μ}$ は局所有限であり（loc-fin）， $(W_{μ})_{μ}$ が $X$ の被覆であることから $\sum_{μ} f_{μ} \in F$ は正値なので， $f \in F$ を
$f (x) := \frac{\sum_{μ \in M_{1}} f_{μ} (x)}{\sum_{μ \in M} f_{μ} (x)}$
で定めることができる．

$0 \leq f (x) \leq 1$ は明らか．
$x \in A_{0}$ とする．ここで $μ \in M_{1}$ であって $f_{μ} (x) > 0$ なるものが存在したとする．そこで $x^{'} \in X$ であって $V_{μ} \subset U_{x^{'}}$ なるものを取ると， $U_{x^{'}}$ の定め方と
$x \in supp (f_{μ}) \cap A_{0} \subset V_{μ} \cap A_{0} \subset U_{x^{'}} \cap A_{0} \neq \emptyset$
より $x^{'} \in X ∖ A_{1}$ でないとならないが，このとき $U_{x^{'}} \subset X ∖ A_{1}$ より
$V_{μ} \cap A_{1} \subset U_{x^{'}} \cap A_{1} = \emptyset$
となって $μ \in M_{1}$ に反する．よって
$f (x) = \frac{0}{\sum_{μ \in M} f_{μ} (x)} = 0$
が成り立つ．
$x \in A_{1}$ とする．このとき任意の $μ \in M_{0}$ に対して，
$x \notin V_{μ} \supset supp (f_{μ})$
より， $f_{μ} (x) = 0$ であるから，
$f (x) = \frac{\sum_{μ \in M_{1}} f_{μ} (x)}{\sum_{μ \in M_{1}} f_{μ} (x)} = 1$
が成り立つ．

隆起函数

以上見てきたところにより，可微分多様体 $X$ 上の， $C^{\infty} (X)$ の元からなる $1$ の分割が存在するためには，可微分写像全体のなす集合 $C^{\infty} (X)$ が完全正則であれば十分である．

$n \in N_{> 0}$ とし， $s, t \in R, 0 \leq s < t,$ とする．このとき， $C^{\infty}$ 級函数 $B_{s, t} : R^{n} \to R$ であって
$B_{s, t} (x) = {\begin{cases} 1 & , ∥ x ∥ \leq s \\ 0 & , ∥ x ∥ \geq t \end{cases}$
および
$s < ∥ x ∥ < t ⟹ 0 < B_{s, t} (x) < 1$
を満たすものが存在する．

Step. 1

写像 $e : R \to R$ を
$e (x) := {\begin{cases} 0 & , x \leq 0 \\ \exp (- \frac{1}{x}) & , x > 0 \end{cases}$
で定める．以下， $e$ が $C^{\infty}$ 級函数であることを示す．

Step. 1-1

$k \in N$ とする．任意の $x \in R_{> 0}$ に対して，
$\exp (\frac{1}{x}) = {(\exp (\frac{1}{(k + 1) x}))}^{k + 1} > {(\frac{1}{(k + 1) x})}^{k + 1},$
したがって
$\frac{1}{x^{k}} \exp (- \frac{1}{x}) < (k + 1)^{k + 1} x$
が成り立つので，
$lim_{x ↓ 0} \frac{1}{x^{k}} \exp (- \frac{1}{x}) = 0$
となる．よって，任意の多項式 $p \in R [u]$ に対して
$lim_{x ↓ 0} p (\frac{1}{x}) \exp (- \frac{1}{x}) = 0$
が成り立つ．

Step. 1-2

各 $k \in N$ に対して，多項式 $p_{k} \in R [u]$ であって
$\forall x \in R_{> 0}, e^{(k)} (x) = p_{k} (\frac{1}{x}) \exp (- \frac{1}{x})$
を満たすものが存在することを示す．

$p_{0} = 1$ とおけばよい．
$(p_{i})_{i \in [k]}$ まで定まったとし
$p_{k + 1} (u) := u^{2} (p_{k} (u) - p_{k}^{'} (u)) \in R [u]$
とおく．このとき， $x > 0$ に対して，
$\begin{aligned} e^{(k + 1)} (x) & = p_{k}^{'} (\frac{1}{x}) (- \frac{1}{x^{2}}) \cdot \exp (- \frac{1}{x}) + p_{k} (\frac{1}{x}) \cdot \frac{1}{x^{2}} \exp (- \frac{1}{x}) \\ = \frac{1}{x^{2}} (p_{k} (\frac{1}{x}) - p_{k}^{'} (\frac{1}{x})) \exp (- \frac{1}{x}) \\ = p_{k + 1} (\frac{1}{x}) \exp (- \frac{1}{x}) \end{aligned}$
が成り立つ．

以上より，任意の $k \in N$ に対して
$lim_{x \to 0} e^{(k)} (x) = 0$
が成り立つ．

Step. 1-3

$e$ は $R$ 上連続である．
$e$ が $C^{k}$ 級であるとする．このとき， $e^{(k)}$ は $R$ 上連続， $R ∖ {0}$ 上連続微分可能である．また，
$lim_{x \to 0} e^{(k + 1)} (x) = 0$
より， $e^{(k)}$ は $0$ において微分可能であり
$e^{(k + 1)} (0) = 0 = lim_{x \to 0} e^{(k + 1)} (x)$
が成り立つ．よって $e$ は $C^{k + 1}$ 級である．

Step. 2

$x \in R^{n}$ とする．

$∥ x ∥ \leq s (< t)$ のとき，
$e (∥ x ∥^{2} - s^{2}) + e (t^{2} - ∥ x ∥^{2}) = e (t^{2} - ∥ x ∥^{2}) > 0$
が成り立つ．
$s < ∥ x ∥$ のとき，
$e (∥ x ∥^{2} - s^{2}) + e (t^{2} - ∥ x ∥^{2}) \geq e (∥ x ∥^{2} - s^{2}) > 0$
が成り立つ．

したがって， $C^{\infty}$ 級函数 $B_{s, t} : R^{n} \to R$ を
$B_{s, t} (x) := \frac{e (t^{2} - ∥ x ∥^{2})}{e (∥ x ∥^{2} - s^{2}) + e (t^{2} - ∥ x ∥^{2})}$
で定めることができる．

$∥ x ∥ \leq s$ のとき， $e (∥ x ∥^{2} - s^{2}) = 0$ より， $B_{s, t} (x) = 1$ が成り立つ．
$t \leq ∥ x ∥$ のとき， $e (t^{2} - ∥ x ∥^{2}) = 0$ より， $B_{s, t} (x) = 0$ が成り立つ．
$s < ∥ x ∥ < t$ のとき， $e (∥ x ∥^{2} - s^{2}) > 0, e (t^{2} - ∥ x ∥^{2}) > 0$ より，
$0 < \frac{e (t^{2} - ∥ x ∥^{2})}{e (∥ x ∥^{2} - s^{2}) + e (t^{2} - ∥ x ∥^{2})} < 1$
が成り立つ．

実数 $s < t$ に対して， $C^{\infty}$ 級函数 $S_{s, t} : R \to R$ を
$S_{s, t} (x) := \frac{e (x - s)}{e (x - s) + e (t - x)}$
で定めると，

$x \leq s$ のとき， $e (x - s) = 0$ より， $S_{s, t} (x) = 0$ が成り立つ；
$s < x < t$ のとき， $e (x - s) > 0, e (t - x) > 0$ より， $0 < S_{s, t} (x) < 1$ が成り立つ．さらに，
$\begin{aligned} \frac{d S_{s, t}}{d x} (x) & = \frac{e^{'} (x - s) e (t - x) + e (x - s) e^{'} (t - x)}{(e (x - s) + e (t - x))^{2}} \\ = \frac{e (x - s) e (t - x)}{(e (x - s) + e (t - x))^{2}} \cdot (\frac{1}{(x - s)^{2}} + \frac{1}{(t - x)^{2}}) > 0 \end{aligned}$
であるから， $S_{s, t}$ は $[s, t]$ 上単調増加である；
$t \leq x$ のとき， $e (t - x) = 0$ より， $S_{s, t} (x) = 1$ が成り立つ．

$X$ を可微分多様体とする．このとき $C^{\infty} (X)$ は完全正則である．

（ $C^{\infty} (X)$ が局所有限和と商で閉じていることは認めることにする．）

$a \in X, U \in τ (a, X)$ とする． $a$ の周りの座標近傍 $(U_{a}, φ_{a})$ であって
$U_{a} \subset U, φ_{a} (a) = 0, B (0; 3) \subset φ_{a}^{\to} (U_{a})$
なるものを取り，写像 $f_{a} : X \to R$ を
$f_{a} (x) := {\begin{cases} B_{1, 2} (φ_{a} (x)) & , x \in U_{a} \\ 0 & , x \in X ∖ U_{a} \end{cases}$
で定める．

明らかに $f_{a} (x) \geq 0$ が成り立つ．
$f_{a} (a) = B_{1, 2} (0) = 1 > 0$ が成り立つ．
$carr (f_{a}) = φ_{a}^{\leftarrow} (B (0; 2))$ であるから，
$supp (f_{a}) = φ_{a}^{\leftarrow} (Cl (B (0; 2))) \subset φ_{a}^{\leftarrow} (B (0; 3)) \subset U_{a} \subset U$
が成り立つ．

あとは $f_{a}$ が $C^{\infty}$ 級であることを示せばよい．いま $(U_{a}, X ∖ supp (f_{a}))$ は $X$ の開被覆であるから， $f_{a} | U_{a}, f_{a} | X ∖ supp (f_{a})$ が $C^{\infty}$ 級であることを示せばよい．

$f_{a} | U_{a} = B_{1, 2} \circ φ_{a}$ は $C^{\infty}$ 級である．
いま $supp (f_{a}) \subset U_{a}$ であるから，
$X ∖ supp (f_{a}) = (X ∖ U_{a}) \cup (U_{a} ∖ supp (f_{a})) \subset (X ∖ U_{a}) \cup {x \in X ∣ f_{a} (x) = 0}$
となる．したがって， $f_{a} | X ∖ supp (f_{a})$ は定値写像 $0$ なので，とくに $C^{\infty}$ 級である．

$f_{a}$ は $U_{a}$ にコンパクト台を持つ可微分写像であって， $a$ のコンパクト近傍 $φ_{a}^{\leftarrow} (Cl (B (0; 1)))$ 上で一定値 $1$ を取る（cf. bump-fct）．コンパクト台を持つ可微分写像を一般に隆起函数という．

$X$ を可微分多様体とし， $K \subset X$ を非空コンパクト集合， $U \in τ (K, X)$ をその開近傍とする．このとき，コンパクト台を持つ可微分写像 $f : X \to R$ であって，
$f^{\to} (X) \subset [0, 1], f^{\to} (K) \subset {1}, supp (f) \subset U$
を満たすものが存在する（cf. loc-cpt定理30）．

comp-regより，可微分写像 $f_{K} : X \to R$ であって

$\forall x \in X, f_{K} (x) \geq 0$ ;
$\forall x \in K, f_{K} (x) > 0$ ;
$supp (f_{K}) \subset U$ ;

を満たすものが存在する．上の注意とcomp-regの証明より， $supp (f_{K})$ はコンパクトであるとしてよい．ここで
$t := min_{x \in K} f_{K} (x) > 0$
とおくと，可微分写像 $f := S_{0, t} \circ f_{K} : X \to R$ について，

明らかに $f^{\to} (X) \subset [0, 1]$ が成り立つ；
任意の $x \in K$ に対して， $t \leq f_{K} (x)$ より， $f (x) = S_{0, t} (f_{K} (x)) = 1$ が成り立つ；
$f (x) > 0 ⟺ f_{K} (x) > 0$ より， $supp (f) = supp (f_{K}) \subset U$ が成り立つ．

$C^{\infty} (X)$ は積でも閉じていたので，次が成り立つ：

$X$ を可微分多様体， $U \subset X$ をその開集合とし， $θ : X \to R$ を $U$ に台を持つ可微分写像とする．このとき，任意の可微分写像 $f : U \to R$ に対して，連続写像
$\tilde{f} := θ ⊙ f : X \to R; x \mapsto {\begin{cases} θ (x) f (x) & , x \in U \\ 0 & , x \in X ∖ U \end{cases}$
は $U$ に台を持つ可微分写像である（cf. ext-by-zero）．

明らかに
$supp (\tilde{f}) \subset supp (θ) \subset U$
が成り立つ．いま $(U, X ∖ supp (θ))$ は $X$ の開被覆であるから，あとは $\tilde{f} | U, \tilde{f} | X ∖ supp (θ)$ がともに $C^{\infty}$ 級であることを示せばよい．

$θ, f$ は $C^{\infty}$ 級なので， $\tilde{f} | U = (θ | U) \cdot f$ は $C^{\infty}$ 級である．
いま $supp (θ) \subset U$ であるから，
$X ∖ supp (θ) = (X ∖ U) \cup (U ∖ supp (θ)) \subset (X ∖ U) \cup {x \in X ∣ θ (x) = 0}$
となる．したがって， $\tilde{f} | X ∖ supp (θ)$ は定値写像 $0$ なので，とくに $C^{\infty}$ 級である．

$a \in U$ に対して，smooth-comp-regの証明にあるように $(U_{a}, φ_{a}), f_{a} =: B_{a, U}$ を取ると， $U$ にコンパクト台を持つ可微分写像 $B_{a, U} : X \to R$ について，
$x \in φ_{a}^{\leftarrow} (Cl (B (0; 1))) \subset U ⟹ (B_{a, U} ⊙ f) (x) = f (x)$
が成り立つ．したがって， $B_{a, U} ⊙ f : X \to R$ は $U$ にコンパクト台を持つ可微分写像であって， $f : U \to R$ の“拡張”になっている（cf. smooth-tietze）．

$X$ を可微分多様体， $(U_{λ})_{λ \in Λ}$ をその開被覆とし， $(θ_{λ})_{λ}$ を $C^{\infty} (X)$ の元からなる局所有限な $1$ の分割であって， $(U_{λ})_{λ}$ に従属するものとする．また， $(f_{λ} : U_{λ} \to R)_{λ}$ を可微分写像族とする．このとき，pou-gluingより，連続写像
$X \to R; x \mapsto \sum_{λ \in Λ} (θ_{λ} ⊙ f_{λ}) (x)$
が定まるが，これは可微分写像である．

smooth-ext-by-zeroより各 $θ_{λ} ⊙ f_{λ} : X \to R$ は可微分写像であり，
$supp (θ_{λ} ⊙ f_{λ}) \subset supp (θ_{λ})$
より $(supp (θ_{λ} ⊙ f_{λ}))_{λ}$ は局所有限である（loc-fin）．よって， $C^{\infty} (X)$ が局所有限和で閉じていることから，件の写像は可微分である．

なめらかな $1$ の分割

$X$ を可微分多様体とし， $(U_{λ})_{λ \in Λ}$ を $X$ の開被覆とする．このとき次が成り立つ：

コンパクト台を持つ $C^{\infty} (X)$ の元からなる局所有限な $1$ の分割 $(f_{n})_{n \in N}$ であって， $(supp (f_{n}))_{n}$ が $(U_{λ})_{λ}$ の細分であるようなものが存在する；
$C^{\infty} (X)$ の元からなる局所有限な $1$ の分割であって， $(U_{λ})_{λ}$ に従属するものが存在する．

refinement-LCH，shrinkingより，局所有限な相対コンパクト開被覆 $(V_{n})_{n \in N}, (W_{n})_{n \in N}$ であって，
$Cl (W_{n}) \subset V_{n} \subset Cl (V_{n}) \subset U_{{}^{\exists}λ_{n}}$
を満たすものが存在する．よって，paracpt-LCH-urysohnより， $g_{n} \in C^{\infty} (X)$ であって
$g_{n}^{\to} (X) \subset [0, 1], g_{n}^{\to} (Cl (W_{n})) \subset {1}, g_{n}^{\to} (X ∖ V_{n}) \subset {0}$
を満たすものが存在する．後者より
$carr (g_{n}) = X ∖ g_{n}^{\leftarrow} ({0}) \subset V_{n},$
したがって
$supp (g_{n}) \subset Cl (V_{n})$
が成り立つので， $supp (g_{n})$ はコンパクトである．
1. cl-preservingより $(Cl (V_{n}))_{n}$ は局所有限なので，loc-finより $(supp (g_{n}))_{n}$ は局所有限である．
2. よって， $(W_{n})_{n}$ が $X$ の被覆であることと合わせて，正値可微分写像
  $g : X \to R; x \mapsto \sum_{n \in N} g_{n} (x)$
  が定まる．
3. そこで可微分写像 $f_{n} : X \to R$ を
  $f_{n} (x) := \frac{g_{n} (x)}{g (x)}$
  で定めると，
  $supp (f_{n}) = supp (g_{n}) \subset Cl (V_{n}) \subset U_{λ_{n}}$
  より， $(supp (f_{n}))_{n}$ は $(U_{λ})_{λ}$ を細分する局所有限なコンパクト集合族であり，
  $f_{n}^{\to} (X) \subset [0, 1],$
  および
  $\sum_{n \in N} f_{n} = \frac{\sum_{n} g_{n}}{g} = 1_{X}$
  が成り立つ．
$(V_{n})_{n}, (f_{n})_{n}$ を(1)で得られたものとする．写像 $r : N \to Λ$ であって
$supp (f_{n}) \subset Cl (V_{n}) \subset U_{r (n)}$
なるものを取り，
$f_{λ}^{'} := \sum_{n \in r^{\leftarrow} ({λ})} f_{n} \in C^{\infty} (X)$
とおく．あとは，refinementと同様にすればよい．（或いは本節冒頭で見た一般原理からしたがう．）

なめらかな拡張

$X$ を可微分多様体， $A \subset X$ をその閉集合とし， $f : A \to R$ を連続写像とする．さらに，任意の $a \in A$ に対して， $U_{a} \in τ (a, X)$ と $f_{a} \in C^{\infty} (U_{a})$ であって
$f_{a} | A \cap U_{a} = f | A \cap U_{a}$
を満たすものが存在するとする．このとき，任意の開近傍 $U \in τ (A, X)$ に対して， $U$ に台を持つ可微分写像 $\tilde{f} : X \to R$ であって
$\tilde{f} | A = f$
を満たすものが存在する．

Step. 1

各 $a \in A$ に対して，仮定にあるように $U_{a}, f_{a}$ を取る．必要なら $U \cap U_{a}$ を考えることで $U_{a} \subset U$ としてよい．また， $U_{A} := X ∖ A, f_{A} = 0_{X}$ とおく．このとき $(U_{a})_{a \in A \cup {A}}$ は $X$ の開被覆であるから，smooth-pouより， $C^{\infty} (X)$ の元からなる局所有限な $1$ の分割 $(θ_{a})_{a}$ であって， $(U_{a})_{a}$ に従属するようなものが存在する．よって，smooth-pou-gluingより，可微分写像 $\tilde{f} : X \to R$ を
$\tilde{f} (x) := \sum_{a \in A \cup {A}} (θ_{a} ⊙ f_{a}) (x) = \sum_{a \in A} (θ_{a} ⊙ f_{a}) (x)$
で定めることができる．さらに，loc-fin-suppより
$supp (\tilde{f}) \subset ⋃_{a \in A} supp (θ_{a} ⊙ f_{a}) \subset ⋃_{a \in A} supp (θ_{a}) \subset ⋃_{a \in A} U_{a} \subset U$
が成り立つ．

Step. 2

$x \in A$ とする．このとき $x \notin U_{A} \supset supp (θ_{A})$ より $θ_{A} (x) = 0$ であり，各 $a \in A$ に対して， $θ_{a} ⊙ f_{a}$ の定義と $supp (θ_{a}) \subset U_{a}$ より，

$x \in U_{a}$ のとき，
$(θ_{a} ⊙ f_{a}) (x) = θ_{a} (x) f_{a} (x) = θ_{a} (x) f (x);$
$x \notin U_{a}$ のとき，
$(θ_{a} ⊙ f_{a}) (x) = 0, θ_{a} (x) = 0 ⇝ (θ_{a} ⊙ f_{a}) (x) = θ_{a} (x) f (x);$

であるから，
$\tilde{f} (x) = \sum_{a \in A} θ_{a} (x) f (x) = (θ_{A} (x) + \sum_{a \in A} θ_{a} (x)) f (x) = f (x)$
が成り立つ．

可微分写像による近似

$X$ を可微分多様体， $A \subset X$ をその閉集合とし， $f : X \to R, ε : X \to R_{> 0}$ を連続写像とする．このとき，連続写像 $f | A : A \to R$ がsmooth-tietzeの仮定を満たすならば，可微分写像 $\hat{f} : X \to R$ であって，
$\forall a \in A, \hat{f} (a) = f (a),$
および
$\forall x \in X, | \hat{f} (x) - f (x) | < ε (x)$
を満たすものが存在する．

smooth-tietzeより，可微分写像 $\tilde{f} : X \to R$ であって， $\tilde{f} | A = f | A$ を満たすものが存在する．そこで
$U_{A} := {x \in X ∣ | \tilde{f} (x) - f (x) | < ε (x)} \subset X$
とおくと，これは $A \subset X$ の開近傍である．ただし， $A = \emptyset$ のときは， $\tilde{f} := 0, U_{A} := \emptyset$ とおく．
各 $λ \in X ∖ A$ に対して，
$U_{λ} := {x \in X ∣ | f (λ) - f (x) | < ε (x)} \cap (X ∖ A)$
とおくと，これは $λ$ の $X$ における開近傍である．

$X$ の開被覆 $(U_{λ})_{λ \in {A} \cup (X ∖ A)}$ に対して，smooth-pouより， $C^{\infty} (X)$ の元からなる局所有限な $1$ の分割 $(θ_{λ})_{λ}$ であって， $(U_{λ})_{λ}$ に従属するものが存在する．そこで，可微分写像 $\hat{f} : X \to R$ を
$\hat{f} (x) := θ_{A} (x) \tilde{f} (x) + \sum_{λ \in X ∖ A} θ_{λ} (x) f (λ)$
で定める．

任意の $a \in A$ に対して，
$\hat{f} (a) = θ_{A} (a) \tilde{f} (a) + \sum_{λ \in X ∖ A} 0 \cdot f (λ) = 1 \cdot f (a) = f (a)$
が成り立つ．
任意の $x \in X$ に対して，
$\begin{aligned} | \hat{f} (x) - f (x) | & = | \hat{f} (x) - (θ_{A} (x) + \sum_{λ \in X ∖ A} θ_{λ} (x)) f (x) | \\ = | θ_{A} (x) (\tilde{f} (x) - f (x)) + \sum_{λ \in X ∖ A} θ_{λ} (x) (f (λ) - f (x)) | \\ \leq θ_{A} (x) | \tilde{f} (x) - f (x) | + \sum_{λ \in X ∖ A} θ_{λ} (x) | f (λ) - f (x) | \\ = θ_{A} (x) | \tilde{f} (x) - f (x) | + \sum_{\begin{array}{c} λ \in X ∖ A \\ x \in U_{λ} \end{array}} θ_{λ} (x) | f (λ) - f (x) | + \sum_{\begin{array}{c} λ \in X ∖ A \\ x \notin U_{λ} \end{array}} θ_{λ} (x) | f (λ) - f (x) | \\ = θ_{A} (x) | \tilde{f} (x) - f (x) | + \sum_{\begin{array}{c} λ \in X ∖ A \\ x \in U_{λ} \end{array}} θ_{λ} (x) | f (λ) - f (x) | \\ < θ_{A} (x) ε (x) + \sum_{\begin{array}{c} λ \in X ∖ A \\ x \in U_{λ} \end{array}} θ_{λ} (x) ε (x) \\ = (θ_{A} (x) + \sum_{λ \in X ∖ A} θ_{λ} (x)) ε (x) \\ = ε (x) \end{aligned}$
が成り立つ．

閉集合に対する隆起函数の存在

$X$ を可微分多様体とし， $A \subset X$ を閉集合， $U \in τ (A, X)$ をその開近傍とする．このとき可微分写像 $B_{A, U} : X \to R$ であって
$B_{A, U}^{\to} (X) \subset [0, 1], B_{A, U}^{\to} (A) \subset {1}, supp (B_{A, U}) \subset U$
を満たすものが存在する． $B_{A, U}$ を $U$ に台を持つ $A$ に対する隆起函数という．

$X$ の開被覆 $(U, X ∖ A)$ に従属する $1$ の分割 $(f, g)$ を取り， $B_{A, U} := f$ とおく．このとき
$B_{A, U}^{\to} (X) \subset [0, 1], supp (B_{A, U}) \subset U$
が成り立つ．また， $a \in A \subset X ∖ supp (g)$ のとき， $g (a) = 0$ より，
$B_{A, U} (a) = f (a) + g (a) = 1$
が成り立つ．

埋め込み定理

有限次元コンパクト可微分多様体は，ある有限次元Euclid空間に埋め込める．

$X$ を $n$ 次元コンパクト可微分多様体とする．各 $x \in X$ に対して，その周りの座標近傍 $(U_{x}, φ_{x})$ であって
$φ_{x} (x) = 0, B (0; 2) \subset φ_{x}^{\to} (U_{x})$
を満たすものを取る．また，
$W_{x} := φ_{x}^{\leftarrow} (B (0; 1)), A_{x} := Cl (W_{x}) \subset U_{x}$
とおく．このとき $(W_{x})_{x \in X}$ は $X$ の開被覆であるから， $x_{1}, \dots, x_{m} \in X$ であって
$X = ⋃_{i = 1}^{m} W_{x_{i}}$
を満たすものが存在する．ここで，各 $i \in [m]_{> 0}$ に対して， $U_{i} := U_{x_{i}}$ に台を持つ $A_{i} := A_{x_{i}}$ に対する隆起函数 $B_{i} := B_{A_{i}, U_{i}} \in C^{\infty} (X)$ を取り，可微分写像 $f : X \to R^{n m + m}$ を
$f (x) := ((B_{1} ⊙ φ_{1}) (x), \dots, (B_{m} ⊙ φ_{m}) (x), B_{1} (x), \dots, B_{m} (x)) \in R^{n} \times \dots \times R^{n} \times R \times \dots \times R$
で定める．ただし $φ_{i} := φ_{x_{i}}$ とおいた．このとき $f$ が単射嵌め込みであることを示せばよい．

$f (x) = f (y)$ とする． $x \in W_{i} := W_{x_{i}} \subset A_{i}$ なる $i \in [m]_{> 0}$ を取ると，
$1 = B_{i} (x) = B_{i} (y)$
より $y \in supp (B_{i}) \subset U_{i}$ であるから，
$φ_{i} (x) = B_{i} (x) φ_{i} (x) = (B_{i} ⊙ φ_{i}) (x) = (B_{i} ⊙ φ_{i}) (y) = B_{i} (y) φ_{i} (y) = φ_{i} (y)$
となり， $x = y$ を得る．よって $f$ は単射である．
$x \in X$ とする． $x \in W_{i}$ なる $i \in [m]_{> 0}$ を取ると， $W_{i}$ 上で $B_{i} = 1$ であるから，
$T_{x} f = T_{x} (f | W_{i}) = (\dots, T_{x} φ_{i}, \dots)$
となる．いま $T_{x} φ_{i}$ は（全）単射なので， $T_{x} f$ は単射である．よって $f$ は嵌め込みである．

参考文献

[1]

Albrecht Dold, Lectures on Algebraic Topology, Springer

[2]

John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, Springer

[3]

Jerzy Dydak, Partitions of unity, Top. Proc.

[4]

Marius Crainic, Partitions of unity, 閲覧日 2024年11月1日, https://webspace.science.uu.nl/~crain101/topologie11/chapter5.pdf

[5]

yamyamtopo, パラコンパクト性 PDF, 閲覧日 2024年10月31日, https://yamyamtopo.wordpress.com/2015/12/19/%e3%83%91%e3%83%a9%e3%82%b3%e3%83%b3%e3%83%91%e3%82%af%e3%83%88%e6%80%a7-pdf/

[6]

Unknown, 取得中..., Mathlog, アクセス日: Mon Nov 04 2024

[7]

Unknown, 取得中..., Mathlog, アクセス日: Mon Nov 04 2024

投稿日：2024年11月4日

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うすい

1の分割について

はじめに
$1$の分割
連続函数の台
局所有限な部分集合族
$1$の分割
開被覆に従属する$1$の分割
$1$の分割と正規性
$1$の分割とパラコンパクト性
なめらかな$1$の分割
被覆の収縮
Urysohnの補題
隆起函数
なめらかな$1$の分割
参考文献

1の分割について

はじめに

1の分割

連続函数の台

局所有限な部分集合族

1の分割

Step. 1

Step. 2

Step. 3

開被覆に従属する1の分割

1の分割と正規性

(i)⟹(ii)

(ii)⟹(i)

1の分割とパラコンパクト性

A1={a1}のとき

一般の場合

(i)⟹(ii)

(ii)⟹(i)

なめらかな1の分割

被覆の収縮

Urysohnの補題

隆起函数

Step. 1

Step. 1-1

Step. 1-2

Step. 1-3

Step. 2

なめらかな1の分割

なめらかな拡張

Step. 1

Step. 2

可微分写像による近似

閉集合に対する隆起函数の存在

埋め込み定理

参考文献

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$1$ の分割

$1$ の分割

開被覆に従属する $1$ の分割

$1$ の分割と正規性

(i) $⟹$ (ii)

(ii) $⟹$ (i)

$1$ の分割とパラコンパクト性

$A_{1} = {a_{1}}$ のとき

(i) $⟹$ (ii)

(ii) $⟹$ (i)

なめらかな $1$ の分割

なめらかな $1$ の分割