1の分割について

1. $$ \{x \in X \mid f(x)g(x) \neq 0\} = \{x \in X \mid f(x) \neq 0\} \cap \{x \in X \mid g(x) \neq 0\}$$
   の両辺の閉包を取って
   $$ \supp{f\cdot g} \subset \supp{f} \cap \supp{g}$$
   を得る．
2. $$ \{x \in X \mid f(x) = 0\} \cap \{x \in X \mid g(x) = 0\} \subset \{x \in X \mid f(x)+g(x) = 0\}$$
   であるから，両辺の開核を取ってから補集合を取ることで
   \begin{align} \supp{f+g} &= X \smallsetminus \I(\{x \in X \mid f(x) + g(x) = 0\})\\ &\subset X \smallsetminus (\I(\{x \in X \mid f(x) = 0\}) \cap \I(\{x \in X \mid g(x) = 0\}))\\ &= (X \smallsetminus \I(\{x \in X \mid f(x) = 0\})) \cup (X \smallsetminus \I(\{x \in X \mid g(x) = 0\}))\\ &= \supp{f} \cup \supp{g} \end{align}
   を得る（cf. loc-fin-supp）．

suppより
$$ \supp{\tilde{f}} = \supp{\tilde{f}|U} = \supp{(\theta|U) \cdot f} \subset \supp{\theta|U} = \supp{\theta} \subset U$$
が成り立つ．いま$(U,X \smallsetminus \supp{\theta})$は$X$の開被覆であるから，あとは$\tilde{f}|U,\,\tilde{f}|X \smallsetminus \supp{\theta}$がともに連続であることを示せばよい．

1. $\theta,f$は連続写像なので，$\tilde{f}|U = (\theta|U) \cdot f$は連続である．
2. いま$\supp{\theta} \subset U$であるから，
   $$ X \smallsetminus \supp{\theta} = (X\smallsetminus U) \cup (U \smallsetminus \supp{\theta}) \subset (X \smallsetminus U) \cup \{x \in X \mid \theta(x) = 0\}$$
   となる．したがって，$\tilde{f}|X \smallsetminus \supp{\theta}$は定値写像$0$なので，とくに連続である．

1. 明らか．
2. 一般に開集合$U \subset X$と部分集合$A \subset X$とに対して
   $$ U \cap A \neq \varnothing \iff U \cap \cl(A) \neq \varnothing$$
   が成り立つことからしたがう．
3. 1. 各$\lambda\in\Lambda$に対して
      $$ \mathrm{LHS} \supset \cl(A_{\lambda})$$
      が成り立つので，$\mathrm{LHS} \supset \mathrm{RHS}$を得る．
   2. $x \notin \mathrm{RHS}$とする．仮定より，$U \in \tau(x,X)$であって
      $$ \Lambda(x) := \{\lambda\in\Lambda \mid U \cap A_{\lambda} \neq \varnothing\} = \{\lambda\in\Lambda \mid U \cap \cl(A_{\lambda}) \neq \varnothing\}$$
      が有限集合となるようなものが存在する．そこで
      $$ V := U \cap \bigcap_{\lambda\in\Lambda(x)} (X \smallsetminus \cl(A_{\lambda})) \subset X$$
      とおくと，これは$x \in X$の開近傍であって
      $$ V \cap \bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_{\lambda} = U \cap \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_{\lambda} \smallsetminus \bigcup_{\lambda\in\Lambda(x)} \cl(A_{\lambda})\right) \subset U \cap \bigcup_{\lambda\in\Lambda\smallsetminus\Lambda(x)} \cl(A_{\lambda}) = \varnothing$$
      が成り立つ．よって$x \notin \mathrm{LHS}$を得る．

1. 任意の$x \in X$に対して，$U \in \tau(x,X)$であって
   $$ M_{0} := \{\mu \in M \mid U \cap B_{\mu} \neq \varnothing\}$$
   が有限集合となるものが存在する．このとき
   $$ \{\mu \in M \mid U \cap C_{\mu} \neq \varnothing\} \subset M_{0}$$
   より，左辺は有限集合である．よって$(C_{\mu})_{\mu}$は局所有限である．
2. 任意の$x \in X$に対して，$U \in \tau(x,X)$であって
   $$ M_{0} := \{\mu \in M \mid U \cap B_{\mu} \neq \varnothing\}$$
   が有限集合となるものが存在する．このとき，
   $$ U\cap A_{\lambda} \neq \varnothing \implies \exists \mu \in r^{\leftarrow}(\{\lambda\}),\ U \cap B_{\mu} \neq \varnothing$$
   より，
   $$ \{\lambda\in\Lambda \mid U \cap A_{\lambda} \neq \varnothing\} \subset r(M_{0})$$
   となるので，左辺は有限集合である．よって$(A_{\lambda})_{\lambda}$は局所有限である．

1. 任意の$x \in X$に対して，$U \in \tau(x,X)$であって
   $$ \Lambda_{0} := \{\lambda\in\Lambda \mid U \cap \supp{f_{\lambda}} \neq \varnothing\}$$
   が有限集合となるようなものを取ると，
   $$ f|U = \sum_{\lambda\in\Lambda_{0}} f_{\lambda}|U$$
   は連続写像の有限和ゆえ連続である．
2. $x \in \carr{f}$とすると，$\lambda_{x} \in \Lambda$であって$f_{\lambda_{x}}(x) \neq 0$なるものが存在するので，
   $$ x \in \carr{f_{\lambda_{x}}} \subset \supp{f_{\lambda_{x}}} \subset \bigcup_{\lambda\in\Lambda} \supp{f_{\lambda}}$$
   が成り立つ．仮定とcl-preservingより，上式最右辺は$X$の閉集合であるから，
   $$ \supp{f}\subset \bigcup_{\lambda\in\Lambda} \supp{f_{\lambda}}$$
   を得る．

$\varepsilon > 0$とする．このとき
$$ 1-\varepsilon < 1 = \sup\qty{\sum_{\lambda\in\Lambda_{0}} f(a) \,\middle|\, \Lambda_{0} \subset \Lambda:\text{finite}}$$
より，有限集合$\Lambda_{0} \subset \Lambda$であって
$$ 1-\varepsilon < \sum_{\lambda\in\Lambda_{0}} f_{\lambda}(a)$$
を満たすものが存在する．そこで
$$ f := \sum_{\lambda\in\Lambda_{0}} f_{\lambda} \colon X \to [0,1]$$
とおくと，これは連続写像であるから
$$ U:= \{x \in X \mid 1-\varepsilon < f(x)\} \subset X$$
は$a \in X$の開近傍である．あとは
$$ \{\lambda\in\Lambda \mid \exists x \in U,\ \varepsilon \leq f_{\lambda}(x)\} \subset \Lambda_{0}$$
を示せば十分である．そこで$\exists \lambda \in \mathrm{LHS} \smallsetminus \Lambda_{0} \neq \varnothing$とすると，$x \in U$であって$\varepsilon \leq f_{\lambda}(x)$なるものが存在するが，このとき
$$ 1 = (1-\varepsilon) + \varepsilon < \sum_{\lambda_{0}\in\Lambda_{0}}f_{\lambda_{0}}(x) + f_{\lambda}(x) \leq 1$$
となり不合理である．

$a \in X$とする．

1. $\sum_{\lambda\in\Lambda}f_{\lambda}(a) = 1$より
   $$ 0 < f_{\prescript{\exists}{}\lambda}(a) \leq \sup(f_{\bullet})(a)$$
   が成り立つ．
2. $\varepsilon > 0$とする．$U \in \tau(a,X)$であって
   $$ \Lambda_{a} := \{\lambda\in\Lambda \mid \exists x \in U,\ \varepsilon \leq f_{\lambda}(x)\}$$
   が有限集合となるようなものを取ると，
   $$ \sup(f_{\bullet})|U = \max_{\lambda\in\Lambda_{a}} f_{\lambda}|U$$
   は連続であるから，$V \in \tau(a,U) \subset \tau(a,X)$であって
   $$ x \in V \implies |\sup(f_{\bullet})(x) - \sup(f_{\bullet})(a)| < \varepsilon$$
   を満たすものが存在する．

Step. 1

各$\lambda \in \Lambda$に対して，
$$ 2g_{\lambda}(x) - \sup(g_{\bullet})(x) \leq 2g_{\lambda}(x) - g_{\lambda}(x) = g_{\lambda}(x) \leq 1$$
より，連続写像$h_{\lambda} \colon X \to [0,1]$を
$$ h_{\lambda}(x) := \max\{0, 2g_{\lambda}(x) - \sup(g_{\bullet})(x)\}$$
で定めることができる．このとき
$$ \carr{h_{\lambda}} \subset \{x\in X \mid 0 \leq 2g_{\lambda}(x) - \sup(g_{\bullet})(x)\} \in \tau^{c}(X)$$
であり，$x \in \mathrm{RHS}$のとき
$$ 0 < \frac{1}{2}\sup(g_{\bullet})(x) \leq g_{\lambda}(x)$$
より$x \in \carr{g_{\lambda}}$となる．したがって
$$ \supp{h_{\lambda}} \subset \{x\in X \mid 0 \leq 2g_{\lambda}(x) - \sup(g_{\bullet})(x)\} \subset \carr{g_{\lambda}}$$
が成り立つ．

Step. 2

$\carr{h_{\bullet}}$が局所有限であることを示す．そこで$a \in X$とする．このとき$\varepsilon := \sup(g_{\bullet})(a)/4 \in \mathbb{R}_{>0}$とおくと，$U_{0} \in \tau(a,X)$であって
$$ \Lambda_{0} := \{\lambda\in\Lambda \mid \exists x \in U_{0},\ \varepsilon \leq g_{\lambda}(x)\}$$
が有限集合となるようなもの，および$U_{1} \in \tau(a,X)$であって
$$ x \in U_{1} \implies |\sup(g_{\bullet})(x) - \sup(g_{\bullet})(a)| < \varepsilon$$
を満たすものが存在する．そこで$U := U_{0} \cap U_{1} \in \tau(a,X)$とおくと，任意の$(x,\lambda) \in U \times (\Lambda\smallsetminus\Lambda_{0})$に対して，
$$ 2\varepsilon = \frac{1}{2}\sup(g_{\bullet})(a) < \frac{3}{4}\sup(g_{\bullet})(a) = \sup(g_{\bullet})(a) - \varepsilon < \sup(g_{\bullet})(x)$$
より，
$$ 2g_{\lambda}(x) - \sup(g_{\bullet})(x) < 2\varepsilon - 2\varepsilon = 0,$$
したがって
$$ h_{\lambda}(x) = 0$$
が成り立つので，
$$ \{\lambda\in\Lambda \mid U \cap \carr{h_{\lambda}} \neq \varnothing\} \subset \Lambda_{0}$$
を得る．

Step. 3

任意の$x \in X$に対して，$\lambda\in\Lambda$であって$\sup(g_{\bullet})(x) = g_{\lambda}(x)$，したがって
$$ h_{\lambda}(x) = \sup(g_{\bullet})(x) > 0$$
となるようなものが存在する．よって
$$ h \colon X \to \mathbb{R};\ x \mapsto \sum_{\lambda\in\Lambda} h_{\lambda}(x)$$
は正値連続写像である．そこで連続写像$f_{\lambda} \colon X \to [0,1]$を
$$ f_{\lambda}(x) := \frac{h_{\lambda}(x)}{h(x)}$$
で定めると，
$$ \carr{f_{\lambda}} = \carr{h_{\lambda}},$$
および
$$ \sum_{\lambda\in\Lambda} f_{\lambda} = \frac{\sum_{\lambda\in\Lambda}h_{\lambda}}{h} = 1_{X}$$
が成り立つ．さらに，cl-preservingより$(\supp{f_{\lambda}})_{\lambda\in\Lambda}$は局所有限であり，
$$ \supp{f_{\lambda}} = \supp{h_{\lambda}} \subset \carr{g_{\lambda}}$$
が成り立つ．

$(g_{\mu})_{\mu}$を$(V_{\mu})_{\mu}$に従属する$1$の分割とする．matherより，$(g_{\mu})_{\mu}$は局所有限な$1$の分割であるとしてよい．仮定より，写像$r \colon M \to \Lambda$であって
$$ \forall \mu \in M,\ V_{\mu} \subset U_{r(\mu)}$$
を満たすものが存在する．各$\lambda \in \Lambda$に対して，cl-preservingより$(\supp{g_{\mu}})_{\mu\in r^{\leftarrow}(\{\lambda\})}$は局所有限なので，連続写像$f_{\lambda} \colon X \to [0,1]$を
$$ f_{\lambda}(x) := \sum_{\mu\in r^{\leftarrow}(\{\lambda\})} g_{\mu}(x)$$
で定めることができる．ただし，$r^{\leftarrow}(\{\lambda\}) = \varnothing$のときは，$f_{\lambda} := 0_{X}$とする．

1. loc-fin-suppより
   $$ \supp{f_{\lambda}} \subset \bigcup_{\mu\in r^{\leftarrow}(\{\lambda\})} \supp{g_{\mu}} \subset \bigcup_{\mu\in r^{\leftarrow}(\{\lambda\})} V_{\mu} \subset U_{\lambda}$$
   が成り立つ．
2. loc-finより部分集合族
   $$ \left(\bigcup_{\mu\in r^{\leftarrow}(\{\lambda\})} \supp{g_{\mu}}\right)_{\lambda\in\Lambda}$$
   は局所有限なので，ふたたびloc-finより，$(\supp{f_{\lambda}})_{\lambda}$は局所有限である．
3. 任意の$x \in X$に対して
   $$ \sum_{\lambda\in\Lambda} f_{\lambda}(x) = \sum_{\lambda\in\Lambda} \sum_{\mu\in r^{\leftarrow}(\{\lambda\})} g_{\mu}(x) = \sum_{\mu\in M} g_{\mu}(x) = 1$$
   が成り立つ．

• (i)$\implies$(ii)：明らか．
• (ii)$\implies$(iii)：refinement．
• (iii)$\implies$(iv)：明らか．
• (iv)$\implies$(i)：mather．

ext-by-zeroより各$\theta_{\lambda} \odot f_{\lambda} \colon X \to \mathbb{R}$は連続であり，
$$ \supp{\theta_{\lambda} \odot f_{\lambda}} \subset \supp{\theta_{\lambda}}$$
より$(\supp{\theta_{\lambda} \odot f_{\lambda}})_{\lambda}$は局所有限である（loc-fin）．よって，loc-fin-suppより，件の写像は連続である．

$n > 0$としてよい．$U_{0} \subset X$は，閉集合$C_{0} := X \smallsetminus (U_{1} \cup \cdots \cup U_{n}) \subset X$の開近傍なので，$X$の正規性より，$V_{0} \in \tau(C_{0},X)$であって
$$ \cl(V_{0}) \subset U_{0}$$
を満たすものが存在する．$C_{0} \subset V_{0}$より$(V_{0},U_{1},\ldots,U_{n})$は$X$の有限開被覆である．以下，同様にして$U_{i}$を$V_{i}$に取り替えていけばよい．

(i)$\implies$(ii)

$(U_{i})_{i\in[n]}$を$X$の開被覆とする．finite-shrinkingより，$X$の有限開被覆$(V_{i})_{i},(W_{i})_{i}$であって
$$ \cl(W_{i}) \subset V_{i} \subset \cl(V_{i}) \subset U_{i}$$
を満たすものが存在する．各$i \in [n]$に対して，Urysohnの補題より，連続写像$g_{i} \colon X \to [0,1]$であって
$$ g_{i}^{\rightarrow}(\cl(W_{i})) \subset \{1\},\ g_{i}^{\rightarrow}(X \smallsetminus V_{i}) \subset \{0\}$$
を満たすものが存在する．そこで
$$ g := \sum_{i=0}^{n} g_{i} \colon X \to \mathbb{R}$$
とおくと，$(W_{i})_{i}$が$X$の被覆であることより，これは正値連続写像であるから，連続写像
$$ f_{i}:= \frac{g_{i}}{g} \colon X \to [0,1]$$
が定まり，
$$ \sum_{i=0}^{n} f_{i} = \frac{\sum_{i}g_{i}}{g} = 1_{X}$$
が成り立つ．さらに
$$ \carr{f_{i}} = \carr{g_{i}} = X \smallsetminus g_{i}^{\leftarrow}(\{0\}) \subset V_{i}$$
より
$$ \supp{f_{i}} \subset \cl(V_{i}) \subset U_{i}$$
が成り立つ．

(ii)$\implies$(i)

Urysohnの補題の言い換え（urysohn）より明らか．

$X$をパラコンパクト$T_{2}$空間とする．このとき$X$の正規性を示せばよい．そこで$A_{0},A_{1} \subset X$を交わらない閉集合とする．

$A_{1} = \{a_{1}\}$のとき

$X$のHausdorff性より，各$a \in A_{0}$に対して，その開近傍$U(a)\in \tau(X)$であって
$$ \cl(U(a)) \cap \{a_{1}\} = \varnothing$$
を満たすものが存在する．そこで$U(A_{0}) := X \smallsetminus A_{0}$とおくと，$(U(x))_{x \in A_{0} \cup \{A_{0}\}}$は$X$の開被覆であるから，これを細分する局所有限な開被覆$(W_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$が存在する．

1. 任意の$a \in A_{0}$に対して，$\lambda\in\Lambda$であって$a \in W_{\lambda}$となるものが存在するので，
   $$ \Lambda_{0} := \{\lambda\in\Lambda \mid A_{0} \cap W_{\lambda} \neq \varnothing\}$$
   とおくと，
   $$ A_{0} \subset \bigcup_{\lambda\in\Lambda_{0}} W_{\lambda} =: U_{0}(a_{1}) \in \tau(X)$$
   が成り立つ．
2. 任意の$\lambda \in \Lambda_{0}$に対して，
   $$ W_{\lambda} \not\subset X \smallsetminus A_{0}$$
   より，$a \in A_{0}$であって$W_{\lambda} \subset U(a)$を満たすものが存在する．よって
   $$ \cl(W_{\lambda}) \cap \{a_{1}\} \subset \cl(U(a)) \cap \{a_{1}\} = \varnothing$$
   となるので，cl-preservingより，
   $$ \cl(U_{0}(a_{1})) \cap \{a_{1}\} = \bigcup_{\lambda\in\Lambda_{0}} \cl(W_{\lambda}) \cap \{a_{1}\} = \varnothing,$$
   すなわち
   $$ a_{1} \in X \smallsetminus \cl(U_{0}(a_{1})) \in \tau(X)$$
   が成り立つ．

一般の場合

前段より，各$a \in A_{1}$に対して，その開近傍$V(a) := X \smallsetminus \cl(U_{0}(a)) \in \tau(X)$は，$U_{0}(a) \cap V(a) = \varnothing$より，
$$ A_{0} \cap \cl(V(a)) \subset U_{0}(a) \cap \cl(V(a)) = \varnothing$$
を満たす．ここで$V(A_{1}) := X \smallsetminus A_{1}$とおくと，$(V(x))_{x\in A_{1}\cup\{A_{1}\}}$は$X$の開被覆であるから，これを細分する局所有限な開被覆$(O_{\mu})_{\mu\in M}$が存在する．

1. 任意の$a \in A_{1}$に対して，$\mu\in M$であって$a \in O_{\mu}$となるものが存在するので，
   $$ M_{1} := \{\mu \in M \mid A_{1} \cap O_{\mu} \neq \varnothing\}$$
   とおくと，
   $$ A_{1} \subset \bigcup_{\mu\in M_{1}} O_{\mu} =: V_{1} \in \tau(X)$$
   が成り立つ．
2. 任意の$\mu \in M_{1}$に対して，
   $$ O_{\mu} \not\subset X \smallsetminus A_{1}$$
   より，$a \in A_{1}$であって$O_{\mu} \subset V(a)$を満たすものが存在する．よって
   $$ A_{0} \cap \cl(O_{\mu}) \subset A_{0} \cap \cl(V(a)) = \varnothing$$
   となるので，cl-preservingより
   $$ A_{0} \cap \cl(V_{1}) = A_{0} \cap \bigcup_{\mu \in M_{1}} \cl(O_{\mu}) = \varnothing,$$
   すなわち
   $$ A_{0} \subset X \smallsetminus \cl(V_{1}) \in \tau(X)$$
   が成り立つ．

各$x \in X$に対して，$\lambda_{x} \in \Lambda$であって$x \in U_{\lambda_{x}}$なるものを取ると，$X$の正則性より，$W_{x} \in \tau(X)$であって
$$ x \in W_{x} \subset \cl(W_{x}) \subset U_{\lambda_{x}}$$
を満たすものが存在する．したがって$(W_{x})_{x\in X}$は$(U_{\lambda})_{\lambda}$を細分する$X$の開被覆である．いま$X$はパラコンパクトなので，$(W_{x})_{x}$を細分する局所有限な開被覆$(O_{\mu})_{\mu\in M}$が存在する．このとき写像$r \colon M \to \Lambda$であって
$$ \cl(O_{\mu}) \subset U_{r(\mu)}$$
を満たすものが存在する．そこで各$\lambda\in\Lambda$に対して
$$ V_{\lambda} := \bigcup_{\mu\in r^{\leftarrow}(\{\lambda\})} O_{\mu} \in \tau(X)$$
とおく．

1. 任意の$x \in X$に対して，$\mu\in M$であって$x \in O_{\mu}$なるものを取ると，
   $$ x \in V_{r(\mu)}$$
   が成り立つ．よって$(V_{\lambda})_{\lambda}$は$X$の開被覆である．
2. loc-finより$(V_{\lambda})_{\lambda}$は局所有限である．
3. cl-preservingより，
   $$ \cl(V_{\lambda}) = \bigcup_{\mu\in r^{\leftarrow}(\{\lambda\})} \cl(O_{\mu}) \subset U_{\lambda}$$
   が成り立つ．

(i)$\implies$(ii)

shrinkingより，$X$の局所有限な開被覆$(V_{\lambda})_{\lambda}, (W_{\lambda})_{\lambda}$であって
$$ \cl(W_{\lambda}) \subset V_{\lambda} \subset \cl(V_{\lambda}) \subset U_{\lambda}$$
を満たすものが存在する．paracpt-haus-normalより$X$は正規空間なので，各$\lambda \in \Lambda$に対して，Urysohnの補題より，連続写像$g_{\lambda} \colon X \to [0,1]$であって
$$ g_{\lambda}^{\rightarrow}(\cl(W_{\lambda})) \subset \{1\},\ g_{\lambda}^{\rightarrow}(X \smallsetminus V_{\lambda}) \subset \{0\}$$
を満たすものが存在する．後者より
$$ \carr{g_{\lambda}} = X \smallsetminus g_{\lambda}^{\leftarrow}(\{0\}) \subset V_{\lambda},$$
したがって
$$ \supp{g_{\lambda}} \subset \cl(V_{\lambda}) \subset U_{\lambda}$$
が成り立つ．

1. cl-preservingより$(\cl(V_{\lambda}))_{\lambda}$は局所有限なので，loc-finより$(\supp{g_{\lambda}})_{\lambda}$は局所有限である．
2. よって，$(W_{\lambda})_{\lambda}$が$X$の被覆であることと合わせて，正値連続写像
   $$ g \colon X \to \mathbb{R};\ x \mapsto \sum_{\lambda\in\Lambda} g_{\lambda}(x)$$
   が定まる．
3. そこで連続写像$f_{\lambda} \colon X \to [0,1]$を
   $$ f_{\lambda}(x) := \frac{g_{\lambda}(x)}{g(x)}$$
   で定めると，$\supp{f_{\lambda}} = \supp{g_{\lambda}}$より$(\supp{f_{\lambda}})_{\lambda}$は局所有限であり，
   $$ \supp{f_{\lambda}} \subset U_{\lambda},$$
   および
   $$ \sum_{\lambda\in\Lambda} f_{\lambda} = \frac{\sum_{\lambda} g_{\lambda}}{g} = 1_{X}$$
   が成り立つ．

(ii)$\implies$(i)

normal-pouより$X$は正規$T_{1}$空間なので，とくにHausdorff空間である．よって，あとはパラコンパクト性を示せばよい．そこで$(U_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$を$X$の開被覆とすると，仮定より局所有限な$1$の分割$(f_{\lambda})_{\lambda}$であって
$$ \supp{f_{\lambda}} \subset U_{\lambda}$$
を満たすものが存在する．このとき，loc-finより，$(\carr{f_{\lambda}})_{\lambda}$は局所有限な$X$の開被覆であり，$(U_{\lambda})_{\lambda}$の細分になっている．

$X$を第2可算LCH空間とし，$\mathcal{B} \subset \tau(X)$をその可算開基とする．ここで
$$ \mathcal{B}' := \{B \in \mathcal{B} \mid \cl(B):\text{compact}\}$$
とおく．あとは$\mathcal{B}'$が$X$の開基であることを示せばよい．

$x \in U \in \tau(X)$とする．$X$の局所コンパクト性より，$x$の相対コンパクト開近傍$V \in \tau(x,X)$であって$\cl(V) \subset U$を満たすものが存在する．この$V \in \tau(x,X)$に対して，$B \in \mathcal{B}$であって$x \in B \subset V$なるものが存在するが，
$$ \cl(B) \subset \cl(V)$$
よりコンパクト空間$\cl(V)$の閉集合$\cl(B)$はコンパクトであるから，$B \in \mathcal{B}'$を得る．

$\mathcal{B} = \{B_{n} \in \tau(X) \mid n \in \mathbb{N}\}$を相対コンパクト開集合からなる可算開基とする．

1. $V_{0} := B_{0}$とおく．
2. $(V_{i})_{i\in[n]}$まで定まったとする．このとき$\cl(V_{n})$のコンパクト性より，
   $$ m(n) := \min\{k\in\mathbb{N} \mid \cl(V_{n}) \subset B_{0} \cup\cdots\cup B_{k}\}$$
   が定まる．そこで
   $$ V_{n+1} := B_{0} \cup\cdots\cup B_{m(n)} \cup B_{n+1}$$
   とおくと，
   $$ \cl(V_{n+1}) = \cl(B_{0}) \cup\cdots\cup \cl(B_{m(n)}) \cup \cl(B_{n+1})$$
   はコンパクト集合の有限合併ゆえコンパクトであり，
   $$ \cl(V_{n}) \subset V_{n+1}$$
   が成り立つ．

以上より，相対コンパクト開集合列$(V_{n})_{n}$が得られた．さらに
$$ \forall n \in \mathbb{N},\ B_{n} \subset V_{n}$$
より，
$$ X = \bigcup_{n=0}^{\infty} B_{n} \subset \bigcup_{n=0}^{\infty} V_{n} \subset X$$
が成り立つので，$(V_{n})_{n}$は$X$の開被覆である．

$(V_{n})_{n\in\mathbb{N}}$をsigma-cptで得られた相対コンパクト開被覆とし，$V_{-2} := V_{-1} := \varnothing$とおく：
$$ \cl(V_{n-2}) \subset V_{n-1} \subset \cl(V_{n-1}) \subset V_{n} \subset \cl(V_{n}) \subset V_{n+1}.$$

任意の$x \in \cl(V_{n})\smallsetminus V_{n-1}$に対して，$\lambda_{x} \in \Lambda$であって$x \in U_{\lambda_{x}}$なるものが存在する．このとき$x$の開近傍
$$ (V_{n+1} \smallsetminus \cl(V_{n-2})) \cap U_{\lambda_{x}} \subset X$$
に対して，$X$の局所コンパクト性より，相対コンパクト開近傍$W_{x} \in \tau(x,X)$であって
$$ \cl(W_{x}) \subset (V_{n+1} \smallsetminus \cl(V_{n-2})) \cap U_{\lambda_{x}}$$
を満たすものが存在する．いま$K_{n} := \cl(V_{n}) \smallsetminus V_{n-1}$はコンパクトであるから，その開被覆$(W_{x})_{x \in K_{n}}$は有限部分被覆を持つので，それを$(W_{k_{-1} + \cdots + k_{n-1}+i})_{i\in[k_{n}]_{>0}}$とおく．ただし$k_{-1} := -1$とする．

1. いま
   $$ X= \bigcup_{n=0}^{\infty} V_{n} = \bigcup_{n=0}^{\infty} \cl(V_{n}) = \bigcup_{n=0}^{\infty} (\cl(V_{n})\smallsetminus V_{n-1}) \subset \bigcup_{n=0}^{\infty} W_{n} \subset X$$
   であるから，$(W_{n})_{n}$は$X$の開被覆である．
2. $(\cl(W_{n}))_{n}$は明らかに$(U_{\lambda})_{\lambda}$の細分である．
3. 任意の$x \in X$に対して，$N \in \mathbb{N}$であって$x \in V_{N}$なるものが存在する．このとき
   $$ \{n\in\mathbb{N} \mid V_{N} \cap W_{n} \neq \varnothing\} \subset [k_{0} + \cdots+ k_{N+1}]$$
   より，左辺は有限集合である．

仮定より，各$a \in K$に対して，$f_{a} \in \mathcal{F}$であって

1. $\forall x \in X,\ f_{a}(x) \geq 0$;
2. $f_{a}(a) > 0$;
3. $\supp{f_{a}} \subset U$;

を満たすものが存在する．このとき$f_{a}$の連続性より，$V(a) \in \tau(a,X)$であって
$$ x \in V(a) \implies \frac{1}{2} f_{a}(a) < f_{a}(x)$$
を満たすものが存在する．いま$K$はコンパクトなので，その開被覆$(V(a))_{a\in K}$に対して，$a_{1},\ldots,a_{n} \in K$であって
$$ K \subset V(a_{1}) \cup\cdots\cup V(a_{n})$$
を満たすものが存在する．そこで
$$ f_{K} := f_{a_{1}} + \cdots+ f_{a_{n}} \in \mathcal{F}$$
とおく．

1. 明らかに$f_{K}(x) \geq 0$が成り立つ．
2. 任意の$x \in K$に対して，$i \in [n]_{>0}$であって$x \in V(a_{i})$となるものが存在するので，
   $$ 0 < \frac{1}{2} f_{a_{i}}(a_{i}) < f_{a_{i}}(x) \leq f_{K}(x)$$
   が成り立つ．
3. suppより
   $$ \supp{f_{K}} \subset \supp{f_{a_{1}}} \cup\cdots\cup \supp{f_{a_{n}}} \subset U$$
   が成り立つ．

$x \in X$とする．$X$の局所コンパクト性より，

1. $x \in A_{1} \subset X \smallsetminus A_{0}$のとき，相対コンパクト開近傍$U_{x} \in \tau(x,X)$であって$\cl(U_{x}) \subset X \smallsetminus A_{0}$なるものが存在する；
2. $x \in X \smallsetminus A_{1}$のとき，相対コンパクト開近傍$U_{x} \in \tau(x,X)$であって$\cl(U_{x}) \subset X \smallsetminus A_{1}$なるものが存在する．

こうして$X$の開被覆$(U_{x})_{x \in X}$が得られるので，$X$の局所有限な開被覆$(V_{\mu})_{\mu\in M}$であって$(U_{x})_{x}$を細分するものが存在する．ここで
\begin{align} M_{0} &:= \{\mu\in M \mid V_{\mu} \cap A_{1} = \varnothing\},\\ M_{1} &:= \{\mu\in M \mid V_{\mu} \cap A_{1} \neq \varnothing\} \end{align}
とおくと，$M = M_{0} \sqcup M_{1}$が成り立つ．

いま$X$はパラコンパクト$T_{2}$空間なので，shrinkingより，局所有限な開被覆$(W_{\mu})_{\mu}$であって
$$ \cl(W_{\mu}) \subset V_{\mu}$$
を満たすものが存在する．$(V_{\mu})_{\mu}$は相対コンパクト開被覆$(U_{x})_{x}$の細分であったから，各$\cl(W_{\mu})$はコンパクトである．したがってcomp-regより，$f_{\mu} \in \mathcal{F}$であって

1. $\forall x \in X,\ f_{\mu}(x) \geq 0$;
2. $\forall x \in \cl(W_{\mu}),\ f_{\mu}(x) >0$;
3. $\supp{f_{\mu}} \subset V_{\mu}$;

を満たすものが存在する．$(V_{\mu})_{\mu}$が局所有限であることから$(\supp{f_{\mu}})_{\mu}$は局所有限であり（loc-fin），$(W_{\mu})_{\mu}$が$X$の被覆であることから$\sum_{\mu} f_{\mu} \in \mathcal{F}$は正値なので，$f \in \mathcal{F}$を
$$ f(x) := \frac{\sum_{\mu\in M_{1}} f_{\mu}(x)}{\sum_{\mu\in M} f_{\mu}(x)}$$
で定めることができる．

1. $0 \leq f(x) \leq 1$は明らか．
2. $x \in A_{0}$とする．ここで$\mu \in M_{1}$であって$f_{\mu}(x) > 0$なるものが存在したとする．そこで$x' \in X$であって$V_{\mu} \subset U_{x'}$なるものを取ると，$U_{x'}$の定め方と
   $$ x \in \supp{f_{\mu}} \cap A_{0} \subset V_{\mu} \cap A_{0} \subset U_{x'} \cap A_{0} \neq \varnothing$$
   より$x' \in X \smallsetminus A_{1}$でないとならないが，このとき$U_{x'} \subset X \smallsetminus A_{1}$より
   $$ V_{\mu} \cap A_{1} \subset U_{x'} \cap A_{1} = \varnothing$$
   となって$\mu \in M_{1}$に反する．よって
   $$ f(x) = \frac{0}{\sum_{\mu\in M} f_{\mu}(x)} = 0$$
   が成り立つ．
3. $x \in A_{1}$とする．このとき任意の$\mu \in M_{0}$に対して，
   $$ x \notin V_{\mu} \supset \supp{f_{\mu}}$$
   より，$f_{\mu}(x) = 0$であるから，
   $$ f(x) = \frac{\sum_{\mu\in M_{1}} f_{\mu}(x)}{\sum_{\mu\in M_{1}} f_{\mu}(x)} = 1$$
   が成り立つ．

Step. 1

写像$\mathsf{e} \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$を
$$ \mathsf{e}(x) := \begin{cases} 0 &, x \leq 0\\ \exp\qty(-\frac{1}{x}) &, x>0 \end{cases}$$
で定める．以下，$\mathsf{e}$が$\mathcal{C}^{\infty}$級函数であることを示す．

Step. 1-1

$k \in \mathbb{N}$とする．任意の$x \in \mathbb{R}_{>0}$に対して，
$$ \exp\qty(\frac{1}{x}) = \left(\exp\qty(\frac{1}{(k+1)x})\right)^{k+1} > \qty(\frac{1}{(k+1)x})^{k+1},$$
したがって
$$ \frac{1}{x^{k}} \exp\qty(-\frac{1}{x}) < (k+1)^{k+1}x$$
が成り立つので，
$$ \lim_{x\downarrow 0} \frac{1}{x^{k}} \exp\qty(-\frac{1}{x}) = 0$$
となる．よって，任意の多項式$p \in \mathbb{R}[u]$に対して
$$ \lim_{x\downarrow 0} p\qty(\frac{1}{x}) \exp\qty(-\frac{1}{x}) = 0$$
が成り立つ．

Step. 1-2

各$k \in \mathbb{N}$に対して，多項式$p_{k}\in\mathbb{R}[u]$であって
$$ \forall x \in \mathbb{R}_{>0},\ \mathsf{e}^{(k)}(x) = p_{k}\qty(\frac{1}{x}) \exp\qty(-\frac{1}{x})$$
を満たすものが存在することを示す．

1. $p_{0} = 1$とおけばよい．
2. $(p_{i})_{i\in[k]}$まで定まったとし
   $$ p_{k+1}(u) := u^{2}(p_{k}(u)-p_{k}'(u)) \in \mathbb{R}[u]$$
   とおく．このとき，$x > 0$に対して，
   \begin{align} \mathsf{e}^{(k+1)}(x) &= p_{k}'\qty(\frac{1}{x})\qty(-\frac{1}{x^{2}})\cdot \exp\qty(-\frac{1}{x}) + p_{k}\qty(\frac{1}{x}) \cdot \frac{1}{x^{2}} \exp\qty(-\frac{1}{x})\\ &= \frac{1}{x^{2}}\left(p_{k}\qty(\frac{1}{x}) - p_{k}'\qty(\frac{1}{x})\right) \exp\qty(-\frac{1}{x})\\ &= p_{k+1}\qty(\frac{1}{x}) \exp\qty(-\frac{1}{x}) \end{align}
   が成り立つ．

以上より，任意の$k \in \mathbb{N}$に対して
$$ \lim_{x\to 0} \mathsf{e}^{(k)}(x) = 0$$
が成り立つ．

Step. 1-3

1. $\mathsf{e}$は$\mathbb{R}$上連続である．
2. $\mathsf{e}$が$\mathcal{C}^{k}$級であるとする．このとき，$\mathsf{e}^{(k)}$は$\mathbb{R}$上連続，$\mathbb{R}\smallsetminus\{0\}$上連続微分可能である．また，
   $$ \lim_{x\to 0} \mathsf{e}^{(k+1)}(x) = 0$$
   より，$\mathsf{e}^{(k)}$は$0$において微分可能であり
   $$ \mathsf{e}^{(k+1)}(0) = 0 = \lim_{x\to 0} \mathsf{e}^{(k+1)}(x)$$
   が成り立つ．よって$\mathsf{e}$は$\mathcal{C}^{k+1}$級である．

Step. 2

$x \in \mathbb{R}^{n}$とする．

1. $\|x\| \leq s\ (< t)$のとき，
   $$ {\mathsf{e}(\|x\|^{2}-s^{2}) + \mathsf{e}(t^{2}-\|x\|^{2})} = \mathsf{e}(t^{2}-\|x\|^{2}) > 0$$
   が成り立つ．
2. $s < \|x\|$のとき，
   $$ {\mathsf{e}(\|x\|^{2}-s^{2}) + \mathsf{e}(t^{2}-\|x\|^{2})} \geq \mathsf{e}(\|x\|^{2}-s^{2}) > 0$$
   が成り立つ．

したがって，$\mathcal{C}^{\infty}$級函数$\mathsf{B}_{s,t} \colon \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$を
$$ \mathsf{B}_{s,t}(x) := \frac{\mathsf{e}(t^{2}-\|x\|^{2})}{\mathsf{e}(\|x\|^{2}-s^{2}) + \mathsf{e}(t^{2}-\|x\|^{2})}$$
で定めることができる．

1. $\|x\| \leq s$のとき，$\mathsf{e}(\|x\|^{2}-s^{2}) = 0$より，$\mathsf{B}_{s,t}(x) = 1$が成り立つ．
2. $t \leq \|x\|$のとき，$\mathsf{e}(t^{2}-\|x\|^{2}) = 0$より，$\mathsf{B}_{s,t}(x) = 0$が成り立つ．
3. $s < \|x\| < t$のとき，$\mathsf{e}(\|x\|^{2}-s^{2}) > 0,\,\mathsf{e}(t^{2}-\|x\|^{2})>0$より，
   $$ 0 < \frac{\mathsf{e}(t^{2}-\|x\|^{2})}{\mathsf{e}(\|x\|^{2}-s^{2}) + \mathsf{e}(t^{2}-\|x\|^{2})} < 1$$
   が成り立つ．

$a \in X, U \in \tau(a,X)$とする．$a$の周りの座標近傍$(U_{a},\varphi_{a})$であって
$$ U_{a} \subset U,\ \varphi_{a}(a) = 0,\ B(0;3) \subset \varphi_{a}^{\rightarrow}(U_{a})$$
なるものを取り，写像$f_{a} \colon X \to \mathbb{R}$を
$$ f_{a}(x) := \begin{cases} \mathsf{B}_{1,2}(\varphi_{a}(x)) &, x \in U_{a}\\ 0 &, x \in X \smallsetminus U_{a} \end{cases} $$
で定める．

1. 明らかに$f_{a}(x) \geq 0$が成り立つ．
2. $f_{a}(a) = \mathsf{B}_{1,2}(0) = 1 > 0$が成り立つ．
3. $\carr{f_{a}} = \varphi_{a}^{\leftarrow}(B(0;2))$であるから，
   $$ \supp{f_{a}} = \varphi_{a}^{\leftarrow}(\cl(B(0;2))) \subset \varphi_{a}^{\leftarrow}(B(0;3)) \subset U_{a} \subset U$$
   が成り立つ．

あとは$f_{a}$が$\mathcal{C}^{\infty}$級であることを示せばよい．いま$(U_{a}, X \smallsetminus \supp{f_{a}})$は$X$の開被覆であるから，$f_{a}|U_{a},\,f_{a}|X \smallsetminus \supp{f_{a}}$が$\mathcal{C}^{\infty}$級であることを示せばよい．

1. $f_{a}|U_{a} = \mathsf{B}_{1,2} \circ \varphi_{a}$は$\mathcal{C}^{\infty}$級である．
2. いま$\supp{f_{a}} \subset U_{a}$であるから，
   $$ X \smallsetminus \supp{f_{a}} = (X \smallsetminus U_{a}) \cup (U_{a} \smallsetminus \supp{f_{a}}) \subset (X \smallsetminus U_{a}) \cup \{x \in X \mid f_{a}(x) = 0\}$$
   となる．したがって，$f_{a}|X \smallsetminus \supp{f_{a}}$は定値写像$0$なので，とくに$\mathcal{C}^{\infty}$級である．

comp-regより，可微分写像$f_{K} \colon X \to \mathbb{R}$であって

1. $\forall x \in X,\ f_{K}(x) \geq 0$;
2. $\forall x \in K,\ f_{K}(x) > 0$;
3. $\supp{f_{K}} \subset U$;

を満たすものが存在する．上の注意とcomp-regの証明より，$\supp{f_{K}}$はコンパクトであるとしてよい．ここで
$$ t := \min_{x\in K} f_{K}(x) > 0$$
とおくと，可微分写像$f:= \mathsf{S}_{0,t} \circ f_{K} \colon X \to \mathbb{R}$について，

1. 明らかに$f^{\rightarrow}(X) \subset [0,1]$が成り立つ；
2. 任意の$x \in K$に対して，$t \leq f_{K}(x)$より，$f(x) = \mathsf{S}_{0,t}(f_{K}(x)) = 1$が成り立つ；
3. $f(x) > 0 \iff f_{K}(x) > 0$より，$\supp{f} = \supp{f_{K}} \subset U$が成り立つ．

明らかに
$$ \supp{\tilde{f}} \subset \supp{\theta} \subset U$$
が成り立つ．いま$(U,X \smallsetminus \supp{\theta})$は$X$の開被覆であるから，あとは$\tilde{f}|U,\,\tilde{f}|X \smallsetminus \supp{\theta}$がともに$\mathcal{C}^{\infty}$級であることを示せばよい．

1. $\theta,f$は$\mathcal{C}^{\infty}$級なので，$\tilde{f}|U = (\theta|U) \cdot f$は$\mathcal{C}^{\infty}$級である．
2. いま$\supp{\theta} \subset U$であるから，
   $$ X \smallsetminus \supp{\theta} = (X\smallsetminus U) \cup (U \smallsetminus \supp{\theta}) \subset (X \smallsetminus U) \cup \{x \in X \mid \theta(x) = 0\}$$
   となる．したがって，$\tilde{f}|X \smallsetminus \supp{\theta}$は定値写像$0$なので，とくに$\mathcal{C}^{\infty}$級である．

smooth-ext-by-zeroより各$\theta_{\lambda} \odot f_{\lambda} \colon X \to \mathbb{R}$は可微分写像であり，
$$ \supp{\theta_{\lambda} \odot f_{\lambda}} \subset \supp{\theta_{\lambda}}$$
より$(\supp{\theta_{\lambda} \odot f_{\lambda}})_{\lambda}$は局所有限である（loc-fin）．よって，$\mathcal{C}^{\infty}(X)$が局所有限和で閉じていることから，件の写像は可微分である．

1. refinement-LCH，shrinkingより，局所有限な相対コンパクト開被覆$(V_{n})_{n\in\mathbb{N}}, (W_{n})_{n\in\mathbb{N}}$であって，
   $$ \cl(W_{n}) \subset V_{n} \subset \cl(V_{n}) \subset U_{\prescript{\exists}{}\lambda_{n}}$$
   を満たすものが存在する．よって，paracpt-LCH-urysohnより，$g_{n} \in \mathcal{C}^{\infty}(X)$であって
   $$ g_{n}^{\rightarrow}(X) \subset [0,1],\ g_{n}^{\rightarrow}(\cl(W_{n})) \subset \{1\},\ g_{n}^{\rightarrow}(X \smallsetminus V_{n}) \subset \{0\}$$
   を満たすものが存在する．後者より
   $$ \carr{g_{n}} = X \smallsetminus g_{n}^{\leftarrow}(\{0\}) \subset V_{n},$$
   したがって
   $$ \supp{g_{n}} \subset \cl(V_{n})$$
   が成り立つので，$\supp{g_{n}}$はコンパクトである．
   1. cl-preservingより$(\cl(V_{n}))_{n}$は局所有限なので，loc-finより$(\supp{g_{n}})_{n}$は局所有限である．
   2. よって，$(W_{n})_{n}$が$X$の被覆であることと合わせて，正値可微分写像
      $$ g \colon X \to \mathbb{R};\ x \mapsto \sum_{n\in\mathbb{N}} g_{n}(x)$$
      が定まる．
   3. そこで可微分写像$f_{n} \colon X \to \mathbb{R}$を
      $$ f_{n}(x) := \frac{g_{n}(x)}{g(x)}$$
      で定めると，
      $$ \supp{f_{n}} = \supp{g_{n}} \subset \cl(V_{n}) \subset U_{\lambda_{n}}$$
      より，$(\supp{f_{n}})_{n}$は$(U_{\lambda})_{\lambda}$を細分する局所有限なコンパクト集合族であり，
      $$ f_{n}^{\rightarrow}(X) \subset [0,1],$$
      および
      $$ \sum_{n\in\mathbb{N}} f_{n} = \frac{\sum_{n} g_{n}}{g} = 1_{X}$$
      が成り立つ．
2. $(V_{n})_{n},(f_{n})_{n}$を(1)で得られたものとする．写像$r \colon \mathbb{N} \to \Lambda$であって
   $$ \supp{f_{n}} \subset \cl(V_{n}) \subset U_{r(n)}$$
   なるものを取り，
   $$ f'_{\lambda} := \sum_{n\in r^{\leftarrow}(\{\lambda\})} f_{n} \in \mathcal{C}^{\infty}(X)$$
   とおく．あとは，refinementと同様にすればよい．（或いは本節冒頭で見た一般原理からしたがう．）

Step. 1

各$a \in A$に対して，仮定にあるように$U_{a},f_{a}$を取る．必要なら$U \cap U_{a}$を考えることで$U_{a} \subset U$としてよい．また，$U_{A} := X \smallsetminus A, f_{A} = 0_{X}$とおく．このとき$(U_{a})_{a\in A \cup \{A\}}$は$X$の開被覆であるから，smooth-pouより，$\mathcal{C}^{\infty}(X)$の元からなる局所有限な$1$の分割$(\theta_{a})_{a}$であって，$(U_{a})_{a}$に従属するようなものが存在する．よって，smooth-pou-gluingより，可微分写像$\tilde{f} \colon X \to \mathbb{R}$を
$$ \tilde{f}(x) := \sum_{a\in A \cup \{A\}} (\theta_{a}\odot f_{a})(x) = \sum_{a \in A} (\theta_{a}\odot f_{a})(x)$$
で定めることができる．さらに，loc-fin-suppより
$$ \supp{\tilde{f}} \subset \bigcup_{a \in A} \supp{\theta_{a} \odot f_{a}} \subset \bigcup_{a \in A} \supp{\theta_{a}} \subset \bigcup_{a\in A} U_{a} \subset U$$
が成り立つ．

Step. 2

$x \in A$とする．このとき$x \notin U_{A} \supset \supp{\theta_{A}}$より$\theta_{A}(x) = 0$であり，各$a\in A$に対して，$\theta_{a} \odot f_{a}$の定義と$\supp{\theta_{a}} \subset U_{a}$より，

1. $x \in U_{a}$のとき，
   $$ (\theta_{a}\odot f_{a})(x)= \theta_{a}(x) f_{a}(x) = \theta_{a}(x)f(x);$$
2. $x \notin U_{a}$のとき，
   $$ (\theta_{a}\odot f_{a})(x) = 0,\ \theta_{a}(x) = 0\ \leadsto\ (\theta_{a} \odot f_{a})(x) = \theta_{a}(x)f(x);$$

であるから，
$$ \tilde{f}(x) = \sum_{a \in A} \theta_{a}(x) f(x) = \left(\theta_{A}(x) + \sum_{a \in A}\theta_{a}(x)\right) f(x) = f(x)$$
が成り立つ．

1. smooth-tietzeより，可微分写像$\tilde{f} \colon X \to \mathbb{R}$であって，$\tilde{f}|A = f|A$を満たすものが存在する．そこで
   $$ U_{A} := \{x\in X \mid |\tilde{f}(x) - f(x)| < \varepsilon(x)\} \subset X$$
   とおくと，これは$A \subset X$の開近傍である．ただし，$A = \varnothing$のときは，$\tilde{f}:=0,\,U_{A} := \varnothing$とおく．
2. 各$\lambda\in X \smallsetminus A$に対して，
   $$ U_{\lambda} := \{x \in X \mid |f(\lambda)-f(x)|< \varepsilon(x)\}\cap (X \smallsetminus A)$$
   とおくと，これは$\lambda$の$X$における開近傍である．

$X$の開被覆$(U_{\lambda})_{\lambda\in\{A\} \cup (X \smallsetminus A)}$に対して，smooth-pouより，$\mathcal{C}^{\infty}(X)$の元からなる局所有限な$1$の分割$(\theta_{\lambda})_{\lambda}$であって，$(U_{\lambda})_{\lambda}$に従属するものが存在する．そこで，可微分写像$\hat{f} \colon X \to \mathbb{R}$を
$$ \hat{f}(x) := \theta_{A}(x)\tilde{f}(x) + \sum_{\lambda\in X \smallsetminus A} \theta_{\lambda}(x)f(\lambda)$$
で定める．

1. 任意の$a \in A$に対して，
   $$ \hat{f}(a) = \theta_{A}(a)\tilde{f}(a) + \sum_{\lambda\in X \smallsetminus A} 0 \cdot f(\lambda) = 1 \cdot f(a) = f(a)$$
   が成り立つ．
2. 任意の$x \in X$に対して，
   \begin{align} |\hat{f}(x)-f(x)| &= \left| \hat{f}(x) - \left(\theta_{A}(x)+\sum_{\lambda\in X \smallsetminus A} \theta_{\lambda}(x)\right)f(x) \right|\\ &= \left|\theta_{A}(x)(\tilde{f}(x)-f(x)) + \sum_{\lambda\in X \smallsetminus A} \theta_{\lambda}(x)(f(\lambda)-f(x))\right|\\ &\leq \theta_{A}(x)|\tilde{f}(x)-f(x)| + \sum_{\lambda\in X \smallsetminus A} \theta_{\lambda}(x) |f(\lambda)-f(x)|\\ &= \theta_{A}(x)|\tilde{f}(x)-f(x)| + \sum_{\substack{\lambda\in X \smallsetminus A\\ x \in U_{\lambda}}} \theta_{\lambda}(x) |f(\lambda)-f(x)| + \sum_{\substack{\lambda \in X \smallsetminus A\\ x \notin U_{\lambda}}} \theta_{\lambda}(x) |f(\lambda)-f(x)|\\ &= \theta_{A}(x)|\tilde{f}(x)-f(x)| + \sum_{\substack{\lambda\in X\smallsetminus A\\x \in U_{\lambda}}} \theta_{\lambda}(x)|f(\lambda)-f(x)|\\ &< \theta_{A}(x)\varepsilon(x) + \sum_{\substack{\lambda\in X\smallsetminus A\\x \in U_{\lambda}}} \theta_{\lambda}(x)\varepsilon(x)\\ &= \left(\theta_{A}(x) + \sum_{\lambda\in X \smallsetminus A} \theta_{\lambda}(x)\right) \varepsilon(x)\\ &= \varepsilon(x) \end{align}
   が成り立つ．

$X$の開被覆$(U,X\smallsetminus A)$に従属する$1$の分割$(f,g)$を取り，$\mathsf{B}_{A,U} := f$とおく．このとき
$$ \mathsf{B}_{A,U}^{\rightarrow}(X) \subset [0,1],\ \supp{\mathsf{B}_{A,U}} \subset U$$
が成り立つ．また，$a \in A \subset X \smallsetminus \supp{g}$のとき，$g(a) = 0$より，
$$ \mathsf{B}_{A,U}(a) = f(a) + g(a) = 1$$
が成り立つ．

$X$を$n$次元コンパクト可微分多様体とする．各$x \in X$に対して，その周りの座標近傍$(U_{x},\varphi_{x})$であって
$$ \varphi_{x}(x) = 0,\ B(0;2) \subset \varphi_{x}^{\rightarrow}(U_{x})$$
を満たすものを取る．また，
$$ W_{x} := \varphi_{x}^{\leftarrow}(B(0;1)),\ A_{x} := \cl(W_{x}) \subset U_{x}$$
とおく．このとき$(W_{x})_{x\in X}$は$X$の開被覆であるから，$x_{1},\ldots,x_{m} \in X$であって
$$ X = \bigcup_{i=1}^{m} W_{x_{i}}$$
を満たすものが存在する．ここで，各$i\in[m]_{>0}$に対して，$U_{i} := U_{x_{i}}$に台を持つ$A_{i} := A_{x_{i}}$に対する隆起函数$\mathsf{B}_{i} := \mathsf{B}_{A_{i},U_{i}} \in \mathcal{C}^{\infty}(X)$を取り，可微分写像$f \colon X \to \mathbb{R}^{nm+m}$を
$$ f(x) := ((\mathsf{B}_{1} \odot \varphi_{{1}})(x),\ldots,(\mathsf{B}_{m} \odot \varphi_{{m}})(x),\mathsf{B}_{1}(x),\ldots,\mathsf{B}_{m}(x)) \in \mathbb{R}^{n} \times\cdots\times \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R} \times\cdots\times \mathbb{R}$$
で定める．ただし$\varphi_{i} := \varphi_{x_{i}}$とおいた．このとき$f$が単射嵌め込みであることを示せばよい．

1. $f(x) = f(y)$とする．$x \in W_{i} := W_{x_{i}} \subset A_{i}$なる$i\in[m]_{>0}$を取ると，
   $$ 1 = \mathsf{B}_{i}(x) = \mathsf{B}_{i}(y)$$
   より$y \in \supp{\mathsf{B}_{i}} \subset U_{{i}}$であるから，
   $$ \varphi_{i}(x)= \mathsf{B}_{i}(x) \varphi_{i}(x) = (\mathsf{B}_{i} \odot \varphi_{i})(x) = (\mathsf{B}_{i} \odot \varphi_{i})(y) = \mathsf{B}_{i}(y) \varphi_{i}(y) = \varphi_{i}(y)$$
   となり，$x=y$を得る．よって$f$は単射である．
2. $x \in X$とする．$x \in W_{{i}}$なる$i\in[m]_{>0}$を取ると，$W_{{i}}$上で$\mathsf{B}_{i} = 1$であるから，
   $$ T_{x}f = T_{x}(f|W_{i}) = (\ldots,T_{x}\varphi_{i},\ldots)$$
   となる．いま$T_{x}\varphi_{i}$は（全）単射なので，$T_{x}f$は単射である．よって$f$は嵌め込みである．