ド・モルガン則から始めてボレル・カンテリの第1,2補題を証明するまで

$$ $$
$$ \begin{array}{l} \text{もし猿がキーボードをでたらめに叩き続けたら、}\\ \text{いつか偶然にシェイクスピアの作品を書き上げることがあるのだろうか？} \end{array} $$

Def.

Prop&Proof.

1. 任意に $x\in\Omega$ をとる。このとき、
   $$ \begin{aligned} x\in\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right)^c &\Leftrightarrow x\notin\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \\ &\Leftrightarrow \neg\bigl(\exists n\in\mathbb N_{>0}\ \ x\in A_n\bigr) \\ &\Leftrightarrow \forall n\in\mathbb N_{>0}\ \ x\notin A_n \\ &\Leftrightarrow \forall n\in\mathbb N_{>0}\ \ x\in A_n^c \\ &\Leftrightarrow x\in\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n^c \end{aligned} $$
   したがって、任意の $x\in\Omega$ に対して
   $$ x\in\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right)^c \Leftrightarrow x\in\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n^c $$
   が成り立つ。
   集合の外延性より、
   $$ \left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right)^c = \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n^c $$
   を得る。
   $ $
2. 任意に $x\in\Omega$ をとる。このとき、
   $$ \begin{aligned} x\in\left(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n\right)^c &\Leftrightarrow x\notin\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \\ &\Leftrightarrow \neg\bigl(\forall n\in\mathbb N_{>0}\ \ x\in A_n\bigr) \\ &\Leftrightarrow \exists n\in\mathbb N_{>0}\ \ x\notin A_n \\ &\Leftrightarrow \exists n\in\mathbb N_{>0}\ \ x\in A_n^c \\ &\Leftrightarrow x\in\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n^c \end{aligned} $$
   したがって、任意の $x\in\Omega$ に対して
   $$ x\in\left(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n\right)^c \Leftrightarrow x\in\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n^c $$
   が成り立つ。
   集合の外延性より、
   $$ \left(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n\right)^c = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n^c $$
   を得る。

-以上より、$1$ と $2$ が成り立つ。
$$ \Box$$

$\mathcal F$ は $\Omega$ 上の $\sigma$-加法族であるから、補集合と可算和集合について閉じている。すなわち、
$$ E\in\mathcal F\Rightarrow E^c\in\mathcal F $$
および
$$ E_1,E_2,\ldots\in\mathcal F \Rightarrow \bigcup_{k=1}^{\infty}E_k\in\mathcal F $$
が成り立つ。ただし、補集合は $\Omega$ に関する補集合であり、
$$ E^c:=\Omega\setminus E $$
である。仮定より、任意の $k\in\mathbb N_{>0}$ に対して
$$ E_k\in\mathcal F $$
である。
したがって、補集合の閉性より、任意の $k\in\mathbb N_{>0}$ に対して
$$ E_k^c\in\mathcal F $$
である。
ゆえに、可算和集合の閉性より、
$$ \bigcup_{k=1}^{\infty}E_k^c\in\mathcal F $$
である。再び、補集合の閉性から、
$$ \left(\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k^c\right)^c\in\mathcal F $$
である。
一方、集合列に対するド・モルガンの法則($1$つ前で示した命題)より、
$$ \left(\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k^c\right)^c = \bigcap_{k=1}^{\infty}(E_k^c)^c $$
である。また、任意の $k\in\mathbb N_{>0}$ に対して
$$ (E_k^c)^c=E_k $$
であるから、
$$ \left(\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k^c\right)^c = \bigcap_{k=1}^{\infty}E_k $$
である。したがって、
$$ \bigcap_{k=1}^{\infty}E_k\in\mathcal F $$
である。
$$ \Box$$

各 $m\in\mathbb N$ に対して
$$ B_m:=\bigcup_{n=m}^{\infty}A_n $$
とおく。

1. まず、任意の $m\in\mathbb N$ に対して
   $$ B_m\in\mathcal F $$
   であることを示す。
   $m\in\mathbb N$ を任意に取る。仮定より、任意の $n\in\mathbb N$ に対して
   $$ A_n\in\mathcal F $$
   である。特に、任意の $n\ge m$ に対して
   $$ A_n\in\mathcal F $$
   である。したがって、$\mathcal F$ は可算和集合について閉じているので、
   $$ B_m = \bigcup_{n=m}^{\infty}A_n \in\mathcal F $$
   である。ゆえに、任意の $m\in\mathbb N$ に対して
   $$ B_m\in\mathcal F $$
   が成り立つ。
   $ $
2. 次に、$\{B_m\}_{m=1}^{\infty}$ は $\mathcal F$ の元からなる集合列であるから、
   ($1$つ前で示した)可算共通部分の可測性より、
   $$ \bigcap_{m=1}^{\infty}B_m\in\mathcal F $$
   である。

-最後に、$B_m$ の定義より、
$$ \bigcap_{m=1}^{\infty}B_m = \bigcap_{m=1}^{\infty}\bigcup_{n=m}^{\infty}A_n = \limsup_{n\to\infty}A_n $$
である。したがって、
$$ \limsup_{n\to\infty}A_n\in\mathcal F $$
が従う。
$$ \Box$$

各 $m\in\mathbb N_{>0}$ に対して
$$ C_m:=\bigcap_{n=m}^{\infty}A_n $$
とおく。

1. まず、任意の $m\in\mathbb N_{>0}$ に対して
   $$ C_m\in\mathcal F $$
   であることを示す。
   $m\in\mathbb N_{>0}$ を任意に取る。仮定より、任意の $n\in\mathbb N_{>0}$ に対して
   $$ A_n\in\mathcal F $$
   である。特に、任意の $n\ge m$ に対して
   $$ A_n\in\mathcal F $$
   である。
   したがって、可算共通部分の可測性(冒頭で示した命題)より、
   $$ C_m = \bigcap_{n=m}^{\infty}A_n \in\mathcal F $$
   である。ゆえに、任意の $m\in\mathbb N_{>0}$ に対して
   $$ C_m\in\mathcal F $$
   が成り立つ。
   $ $
2. 次に、$\{C_m\}_{m=1}^{\infty}$ は $\mathcal F$ の元からなる集合列であるから、$\mathcal F$ の可算和集合についての閉性より、
   $$ \bigcup_{m=1}^{\infty}C_m\in\mathcal F $$
   である。

-最後に、$C_m$ の定義より、
$$ \bigcup_{m=1}^{\infty}C_m = \bigcup_{m=1}^{\infty}\bigcap_{n=m}^{\infty}A_n = \liminf_{n\to\infty}A_n $$
である。したがって、
$$ \liminf_{n\to\infty}A_n\in\mathcal F $$
が従う。
$$ \Box$$

1. 次の事象列 $(B_n)_{n\in\mathbb N}$ を定める。
   $$ B_1:=A_1 $$
   また、$n\ge2$ に対して、
   $$ B_n:=A_n\setminus A_{n-1}\ (=A_n\cap A_{n-1}^{c}) $$
   と定める。
   各 $A_n$ は $\mathcal F$ の元であり、$\mathcal F$ は $\sigma$ 代数であるから、任意の $n\in\mathbb N$ に対して、
   $$ B_n\in\mathcal F $$
   である。
   $ $
2. まず、$B_1,B_2,B_3,\ldots$ は互いに素であることを示す。
   $m< n$ とする。このとき、
   $$ B_m\subseteq A_m\subseteq A_{n-1} $$
   である。一方、
   $$ B_n=A_n\setminus A_{n-1} $$
   であるから、
   $$ B_n\cap A_{n-1}=\varnothing $$
   である。したがって、
   $$ B_m\cap B_n=\varnothing $$
   である。よって、$B_1,B_2,B_3,\ldots$ は互いに素である。
   $ $
3. 次に、任意の $N\in\mathbb N$ に対して、
   $$ A_N=\bigcup_{n=1}^{N}B_n $$
   が成り立つことを示す。
   i)　$\bigcup_{n=1}^{N}B_n\subseteq A_N$ を示す。
   　　任意に
   $$ x\in\bigcup_{n=1}^{N}B_n $$
   　　をとる。このとき、集合族の和集合の定義より、ある $n\in\{1,2,\ldots,N\}$ が存在して、
   $$ x\in B_n $$
   　　である。$B_n\subseteq A_n$ であり、増大列の仮定より $A_n\subseteq A_N$ であるから、
   $$ x\in A_N $$
   　　である。よって、
   $$ \bigcup_{n=1}^{N}B_n\subseteq A_N $$
   　　である。
   $ $
   ii)　$A_N\subseteq\bigcup_{n=1}^{N}B_n$ を示す。
   　　任意に $x\in A_N$ をとる。
   　　■ $x\in A_1$ の場合
   　　　 このとき、$B_1=A_1$ より、
   $$ x\in B_1\subseteq\bigcup_{n=1}^{N}B_n $$
   　　　 である。
   　　■ $x\notin A_1$ の場合
   　　　 仮定より $x\in A_N$ であるから、
   $$ \{k\in\{1,2,\ldots,N\}\mid x\in A_k\} $$
   　　　は空でない有限集合である。したがって、その最小元を $m$ とおくことができる。
   　　　このとき、$x\notin A_1$ であるから、
   $$ m\ge2 $$
   　　　である。また、$m$ の最小性より、
   $$ x\notin A_{m-1} $$
   　　　である。一方、
   $$ x\in A_m $$
   　　　である。したがって、
   $$ x\in A_m\setminus A_{m-1}=B_m $$
   　　　である。よって、
   $$ x\in\bigcup_{n=1}^{N}B_n $$
   　　　である。
   　　以上より、いずれの場合も、
   $$ x\in\bigcup_{n=1}^{N}B_n $$
   　　である。したがって、
   $$ A_N\subseteq\bigcup_{n=1}^{N}B_n $$
   　　である。
   　i) と ii) より、
   $$ A_N=\bigcup_{n=1}^{N}B_n $$
   　である。
   $ $
4. さらに、
   $$ A=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n = \bigcup_{n=1}^{\infty}B_n $$
   である。実際、
   $$ \bigcup_{n=1}^{\infty}B_n \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n $$
   は $B_n\subseteq A_n$ より従う。
   逆に、任意に $x\in\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n$ をとる。このとき、集合族の和集合の定義より、
   ある $N\in\mathbb N$ が存在して $x\in A_N$ である。すでに示した等式より、
   $$ A_N=\bigcup_{n=1}^{N}B_n $$
   であるから、
   $$ x\in\bigcup_{n=1}^{N}B_n \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty}B_n $$
   である。
   したがって、
   $$ \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty}B_n $$
   である。よって、
   $$ A= \bigcup_{n=1}^{\infty}B_n $$
   である。
   $ $
5. $B_1,B_2,B_3,\ldots$ は互いに素であるから、確率測度の可算加法性より、
   $$ \mathbb P(A) = \mathbb P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n\right) = \sum_{n=1}^{\infty}\mathbb P(B_n) $$
   である。
   一方、任意の $N\in\mathbb N$ に対して、
   $$ \mathbb P(A_N) = \mathbb P\left(\bigcup_{n=1}^{N}B_n\right) = \sum_{n=1}^{N}\mathbb P(B_n) $$
   である。
   したがって、
   $$ \lim_{N\to\infty}\mathbb P(A_N) = \lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}\mathbb P(B_n) = \sum_{n=1}^{\infty}\mathbb P(B_n) = \mathbb P(A) $$
   である。

-以上より、
$$ \mathbb P(A)=\lim_{n\to\infty}\mathbb P(A_n) $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

$\mathcal F$ は $\sigma$ 代数であり、各 $A_n$ は $\mathcal F$ の元であるから、
可算共通部分の可測性(冒頭で示した命題)より、
$$ A=\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathcal F $$
である。

1. 次の事象列 $(B_n)_{n\in\mathbb N}$ を定める。
   $$ B_n:=A_1\setminus A_n \ (= A_1\cap A_n^c) $$
   と定める。
   各 $A_n$ は $\mathcal F$ の元であり、$\mathcal F$ は補集合と有限交叉で閉じているから、任意の $n\in\mathbb N$ に対して、
   $$ B_n\in\mathcal F $$
   である。
   $ $
2. $(B_n)_{n\in\mathbb N}$ は増大列であることを示す。
   任意の $n\in\mathbb N$ をとる。減少列の仮定より、
   $$ A_{n+1}\subseteq A_n $$
   である。したがって、補集合を考えると、
   $$ A_n^c\subseteq A_{n+1}^c $$
   である。よって、
   $$ A_1\cap A_n^c \subseteq A_1\cap A_{n+1}^c $$
   である。すなわち、
   $$ B_n\subseteq B_{n+1} $$
   である。したがって、$(B_n)_{n\in\mathbb N}$ は増大列である。
   $ $
3. 次に、
   $$ \bigcup_{n=1}^{\infty}B_n = A_1\setminus A $$
   を示す。
   i)　$\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n\subseteq A_1\setminus A$ を示す。
   　　任意に
   $$ x\in\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n $$
   　　をとる。このとき、集合族の和集合の定義より、ある $n\in\mathbb N$ が存在して、
   $$ x\in B_n $$
   　　である。したがって、
   $$ x\in A_1\setminus A_n $$
   　　である。よって、$x\in A_1$ かつ $x\notin A_n$ である。
   　　ここで、集合族の共通部分の定義より、
   $$ x\in\bigcap_{k=1}^{\infty}A_k \Longleftrightarrow \forall k\in\mathbb N,\ x\in A_k $$
   　　したがって、
   $$ \exists n\in\mathbb N,\ x\notin A_n \Longrightarrow \neg\left(\forall k\in\mathbb N,\ x\in A_k\right) \Longleftrightarrow x\notin\bigcap_{k=1}^{\infty}A_k $$
   　　ゆえに、
   $$ x\notin\bigcap_{k=1}^{\infty}A_k=A $$
   　　である。よって、
   $$ \bigcup_{n=1}^{\infty}B_n \subseteq A_1\setminus A $$
   　である。
   $ $
   ii)　$A_1\setminus A\subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n$ を示す。
   　　任意に $x\in A_1\setminus A$ をとる。
   　　このとき、$x\in A_1$ かつ $x\notin A$ である。また、
   $$ A=\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n $$
   　　であるから、集合族の共通部分の定義より、ある $n\in\mathbb N$ が存在して、
   $$ x\notin A_n $$
   　　である。したがって、
   $$ x\in A_1\setminus A_n=B_n $$
   　　である。よって、
   $$ x\in\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n $$
   　　である。したがって、
   $$ A_1\setminus A \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty}B_n $$
   　　である。
   i) と ii) より、
   $$ \bigcup_{n=1}^{\infty}B_n = A_1\setminus A $$
   である。
   $ $
4. 確率測度の下からの連続性を用いる。
   $(B_n)_{n\in\mathbb N}$ は増大列であるから、確率測度の下からの連続性より、
   $$ \mathbb P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n\right) = \lim_{n\to\infty}\mathbb P(B_n) $$
   である(直前に示した命題)。すでに
   $$ \bigcup_{n=1}^{\infty}B_n = A_1\setminus A $$
   を示したので、
   $$ \mathbb P(A_1\setminus A) = \lim_{n\to\infty}\mathbb P(B_n) $$
   である。
   $ $
5. $\mathbb P(B_n)$ を $\mathbb P(A_n)$ で表す。
   任意の $n\in\mathbb N$ に対して、減少列の仮定より、
   $$ A_n\subseteq A_1 $$
   である。したがって、
   $$ A_1=A_n\cup(A_1\setminus A_n) $$
   であり、この和は互いに素な和である。有限加法性より、
   $$ \mathbb P(A_1) = \mathbb P(A_n)+\mathbb P(A_1\setminus A_n) $$
   である。すなわち、
   $$ \mathbb P(B_n) = \mathbb P(A_1\setminus A_n) = \mathbb P(A_1)-\mathbb P(A_n) $$
   である。また、$A\subseteq A_1$ であるから、同様に、
   $$ \mathbb P(A_1\setminus A) = \mathbb P(A_1)-\mathbb P(A) $$
   である。したがって、
   $$ \mathbb P(A_1)-\mathbb P(A) = \lim_{n\to\infty}\{\mathbb P(A_1)-\mathbb P(A_n)\} $$
   である。右辺を整理すると、
   $$ \mathbb P(A_1)-\mathbb P(A) = \mathbb P(A_1)-\lim_{n\to\infty}\mathbb P(A_n) $$
   である。
   また、$A_{n+1}\subseteq A_n$ であるから、確率測度の単調性( 証明はコチラ )より
   $$ \mathbb P(A_{n+1})\le \mathbb P(A_n) $$
   である。
   したがって、$(\mathbb P(A_n))_{n\in\mathbb N}$ は下に有界な広義単調減少列であるから、極限
   $$ \lim_{n\to\infty}\mathbb P(A_n) $$
   が存在する。
   両辺から $\mathbb P(A_1)$ を引き、さらに両辺に $-1$ を掛けると、
   $$ \mathbb P(A) = \lim_{n\to\infty}\mathbb P(A_n) $$
   を得る。

-以上より、
$$ \mathbb P(A)=\lim_{n\to\infty}\mathbb P(A_n) $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

$n\in\mathbb N_{>0}$ に関する数学的帰納法を用いる。

1. $n=1$ の場合を示す。
   このとき、
   $$ \bigcup_{i=1}^1 A_i=A_1 $$
   であるから、
   $$ \mathbb P\Bigl(\bigcup_{i=1}^1 A_i\Bigr) = \mathbb P(A_1) = \sum_{i=1}^1 \mathbb P(A_i) $$
   が成り立つ。
   したがって、$n=1$ の場合は成立する。
   $ $
2. 帰納法の仮定をおく。
   ある $k\in\mathbb N_{>0}$ に対して、任意の事象 $E_1,\dots,E_k\in\mathcal F$ について
   $$ \mathbb P\Bigl(\bigcup_{i=1}^k E_i\Bigr)\le \sum_{i=1}^k \mathbb P(E_i) $$
   が成り立つと仮定する。
   $ $
3. $n=k+1$ の場合を示す。
   任意の事象 $A_1,\dots,A_{k+1}\in\mathcal F$ をとる。
   $\mathcal F$ は有限和について閉じているので、
   $$ \bigcup_{i=1}^{k}A_i\in\mathcal F $$
   である。
   また、
   $$ \bigcup_{i=1}^{k+1} A_i = \Bigl(\bigcup_{i=1}^{k} A_i\Bigr)\cup A_{k+1} $$
   である。
   ここで、任意の事象 $X,Y\in\mathcal F$ に対して、$2$つの事象に対する加法公式より
   $$ \mathbb P(X\cup Y) = \mathbb P(X)+\mathbb P(Y)-\mathbb P(X\cap Y) $$
   が成り立つ( 証明はコチラ )。
   さらに、確率は非負であるから、
   $$ \mathbb P(X\cap Y)\ge0 $$
   である。したがって、
   $$ \mathbb P(X\cup Y)\le \mathbb P(X)+\mathbb P(Y) $$
   が成り立つ。
   これを
   $$ X=\bigcup_{i=1}^{k} A_i,\qquad Y=A_{k+1} $$
   に適用すると、
   $$ \begin{aligned} \mathbb P\Bigl(\bigcup_{i=1}^{k+1} A_i\Bigr) &= \mathbb P\Bigl(\Bigl(\bigcup_{i=1}^{k} A_i\Bigr)\cup A_{k+1}\Bigr)\\ &\le \mathbb P\Bigl(\bigcup_{i=1}^{k} A_i\Bigr)+\mathbb P(A_{k+1}) \end{aligned} $$
   を得る。
   一方、帰納法の仮定を $E_i:=A_i$ $(i=1,\dots,k)$ に適用すれば、
   $$ \mathbb P\Bigl(\bigcup_{i=1}^{k} A_i\Bigr)\le \sum_{i=1}^{k} \mathbb P(A_i) $$
   である。
   したがって、
   $$ \begin{aligned} \mathbb P\Bigl(\bigcup_{i=1}^{k+1} A_i\Bigr) &\le \mathbb P\Bigl(\bigcup_{i=1}^{k} A_i\Bigr)+\mathbb P(A_{k+1})\\ &\le \sum_{i=1}^{k} \mathbb P(A_i)+\mathbb P(A_{k+1})\\ &= \sum_{i=1}^{k+1} \mathbb P(A_i) \end{aligned} $$
   が成り立つ。
   よって、$n=k+1$ の場合も成立する。
   以上より、数学的帰納法により、任意の $n\in\mathbb N_{>0}$ と任意の事象 $A_1,\dots,A_n\in\mathcal F$ に対して
   $$ \mathbb P\Bigl(\bigcup_{i=1}^{n} A_i\Bigr)\le \sum_{i=1}^{n} \mathbb P(A_i) $$
   が成り立つ。
   $$ \Box$$

任意に $n\in\mathbb N_{>0}$ をとり、任意に $A_1,\dots,A_n\in\mathcal F$ をとる。
$\mathcal F$ は補集合について閉じているので、各 $i\in\{1,\dots,n\}$ に対して
$$ A_i^c\in\mathcal F $$
である。
ド・モルガンの法則(冒頭で示した命題)より、
$$ \left(\bigcap_{i=1}^{n}A_i\right)^c = \bigcup_{i=1}^{n}A_i^c $$
が成り立つ。
したがって、補集合の確率公式より、
$$ \begin{aligned} \mathbb P\left(\bigcap_{i=1}^{n}A_i\right) &= 1-\mathbb P\left(\left(\bigcap_{i=1}^{n}A_i\right)^c\right)\\ &= 1-\mathbb P\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i^c\right) \end{aligned} $$
である。
ここで、有限個の場合の Boole の不等式を事象 $A_1^c,\dots,A_n^c$ に適用すると、
$$ \mathbb P\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i^c\right) \le \sum_{i=1}^{n}\mathbb P(A_i^c) $$
が成り立つ。
よって、
$$ -\mathbb P\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i^c\right) \ge -\sum_{i=1}^{n}\mathbb P(A_i^c) $$
である。
したがって、
$$ \begin{aligned} \mathbb P\left(\bigcap_{i=1}^{n}A_i\right) &= 1-\mathbb P\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i^c\right)\\ &\ge 1-\sum_{i=1}^{n}\mathbb P(A_i^c) \end{aligned} $$
である。
以上より、
$$ \mathbb P\left(\bigcap_{i=1}^{n}A_i\right) \ge 1-\sum_{i=1}^{n}\mathbb P(A_i^c) $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

各 $n\in\mathbb N_{>0}$ に対して、
$$ B_n:=\bigcup_{i=1}^{n}A_i $$
とおく。このとき、有限個の場合のボンフェローニ不等式($2$つ上で示した命題)より、
$$ \mathbb P(B_n) = \mathbb P\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right) \le \sum_{i=1}^{n}\mathbb P(A_i) $$
が成り立つ。また、
$$ B_n\subseteq B_{n+1} $$
であるから、$\{B_n\}_{n=1}^{\infty}$ は増大列である。さらに、
$$ \bigcup_{n=1}^{\infty}B_n = \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i $$
である。
したがって、確率測度の下からの連続性(本記事内で証明済み)より、
$$ \mathbb P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right) = \mathbb P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n\right) = \lim_{n\to\infty}\mathbb P(B_n) $$
である。
一方、任意の $n\in\mathbb N_{>0}$ に対して
$$ \mathbb P(B_n) \le \sum_{i=1}^{n}\mathbb P(A_i) $$
であるから、極限を取って、
$$ \lim_{n\to\infty}\mathbb P(B_n) \le \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\mathbb P(A_i) $$
を得る。右辺は無限級数の定義より、
$$ \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\mathbb P(A_i) = \sum_{i=1}^{\infty}\mathbb P(A_i) $$
である。ただし、右辺は $+\infty$ となる場合も許す。
よって、
$$ \mathbb P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right) \le \sum_{i=1}^{\infty}\mathbb P(A_i) $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

各 $n\in\mathbb N_{>0}$ に対して
$$ B_n:=\bigcup_{k=n}^{\infty}A_k $$
とおく。
まず、任意の $n\in\mathbb N_{>0}$ に対して、$\{A_k\}_{k=n}^{\infty}$ は $\mathcal F$ の元からなる可算列である。
したがって、定義より $\mathcal F$ は可算和集合について閉じているので、
$$ B_n=\bigcup_{k=n}^{\infty}A_k\in\mathcal F $$
である。
また、$B_n$ は(尾部)和集合であるから、
$$ B_{n+1}\subseteq B_n $$
が成り立つ。したがって、$\{B_n\}_{n=1}^{\infty}$ は減少列である。
さらに、上極限集合の定義より、
$$ \limsup_{n\to\infty}A_n = \bigcap_{n=1}^{\infty}B_n $$
である。
確率測度の上からの連続性(既に本記事内で示した)より、
$$ \mathbb P\left(\limsup_{n\to\infty}A_n\right) = \mathbb P\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}B_n\right) = \lim_{n\to\infty}\mathbb P(B_n) $$
である。
一方、任意の $n\in\mathbb N_{>0}$ に対して、確率測度の劣加法性より、
$$ \mathbb P(B_n) = \mathbb P\left(\bigcup_{k=n}^{\infty}A_k\right) \le \sum_{k=n}^{\infty}\mathbb P(A_k)\cdots① $$
である($1$つ上で示した命題)。
ここで、仮定より
$$ \sum_{k=1}^{\infty}\mathbb P(A_k)<\infty $$
であるから、収束する非負項級数の尾和は $0$ に収束する(補足を参照)。すなわち、
$$ \lim_{n\to\infty}\sum_{k=n}^{\infty}\mathbb P(A_k)=0 $$
である。
ここで、$B_n$ は事象であるから、確率測度の非負性より
$$ 0\le \mathbb P(B_n) $$
である。従って式①は、任意の $n\in\mathbb N_{>0}$ に対して
$$ 0\le \mathbb P(B_n) \le \sum_{k=n}^{\infty}\mathbb P(A_k) $$
が成り立つ。
したがって、はさみうちの原理より、
$$ \lim_{n\to\infty}\mathbb P(B_n)=0 $$
である。
ゆえに、
$$ \mathbb P\left(\limsup_{n\to\infty}A_n\right) = \lim_{n\to\infty}\mathbb P(B_n) = 0 $$
である。
$$ \Box$$

$x\in(0,1)$ とする。このとき、
$$ 1-x>0,\qquad e^{-x}>0 $$
である。また、$\log$ は $(0,\infty)$ 上で単調増加であるから、
$$ 1-x\le e^{-x} $$
を示すには、
$$ \log(1-x)\le \log(e^{-x})=-x $$
を示せば十分である。
そこで、
$$ g(x):=-x-\log(1-x) \qquad (0< x<1) $$
とおく。このとき、
$$ \log(1-x)\le -x $$
を示すことは、
$$ g(x)\ge0 $$
を示すことと同値である。
$g$ を微分すると、
$$ g'(x) = -1-\frac{-1}{1-x} = -1+\frac{1}{1-x} = \frac{x}{1-x} $$
である。$0< x<1$ ならば $x>0$ かつ $1-x>0$ であるから、
$$ g'(x)=\frac{x}{1-x}>0 $$
である。したがって、$g$ は $(0,1)$ 上で単調増加である。
また、
$$ \lim_{t\downarrow0}g(t) = \lim_{t\downarrow0}\{-t-\log(1-t)\} = 0 $$
である。ここで、任意の $x\in(0,1)$ に対して $0< t< x$ を満たす $t$ を取ると、$g$ は単調増加であるから
$$ g(t)\le g(x) $$
である。$t\downarrow0$ とすると、
$$ 0\le g(x) $$
を得る。
したがって、
$$ -x-\log(1-x)\ge0 $$
であり、
$$ \log(1-x)\le -x $$
が成り立つ。
$\log$ は単調増加であるから、両辺の指数を取って、
$$ 1-x\le e^{-x} $$
を得る。
$$ \Box$$

各 $n\ge m$ に対して
$$ p_n:=\mathbb P(A_n) $$
とおく。このとき、確率測度の値域より
$$ 0\le p_n\le1 $$
である。
また、各 $N\ge m$ に対して部分積を
$$ P_N:=\prod_{n=m}^{N}(1-p_n) $$
とおく。このとき、各 $1-p_n$ は $[0,1]$ に属するので、
$$ 0\le P_{N+1}\le P_N\le1 $$
である。したがって、$\{P_N\}_{N=m}^{\infty}$ は下に有界な広義単調減少列であるから、極限
$$ \lim_{N\to\infty}P_N $$
が存在する。

1. まず、ある $k\ge m$ が存在して
   $$ p_k=1 $$
   である場合を考える。このとき、
   $$ 1-p_k=0 $$
   であるから、任意の $N\ge k$ に対して
   $$ P_N=0 $$
   である。したがって、
   $$ \lim_{N\to\infty}P_N=0 $$
   である。
   $ $
2. 次に、任意の $n\ge m$ に対して
   $$ p_n<1 $$
   である場合を考える。
   ここで、任意の $x\in[0,1]$ に対して
   $$ 1-x\le e^{-x} $$
   が成り立つことから($1$つ上で示した命題)、任意の $n\ge m$ に対して
   $$ 1-p_n\le e^{-p_n} $$
   である。したがって、任意の $N\ge m$ に対して
   $$ P_N = \prod_{n=m}^{N}(1-p_n) \le \prod_{n=m}^{N}e^{-p_n} = \exp\left(-\sum_{n=m}^{N}p_n\right) $$
   である。仮定より、
   $$ \sum_{n=m}^{\infty}p_n = \sum_{n=m}^{\infty}\mathbb P(A_n) = \infty $$
   であるから、
   $$ S_N:=\sum_{n=m}^{N}p_n $$
   とおくと、
   $$ S_N\to\infty \qquad (N\to\infty) $$
   である。したがって、
   $$ e^{-S_N}\to0 \qquad (N\to\infty) $$
   である。
   以上より、任意の $N\ge m$ に対して
   $$ 0\le P_N\le e^{-S_N} $$
   であり、右辺は $0$ に収束する。したがって、はさみうちの原理より、
   $$ \lim_{N\to\infty}P_N=0 $$
   である。

-ゆえに、どちらの場合にも
$$ \prod_{n=m}^{\infty}\left(1-\mathbb P(A_n)\right)=0 $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

まず、ド・モルガンの法則(冒頭で示した命題)より、
$$ \left(\limsup_{n\to\infty}A_n\right)^c = \left(\bigcap_{m=1}^{\infty}\bigcup_{n=m}^{\infty}A_n\right)^c = \bigcup_{m=1}^{\infty} \left(\bigcup_{n=m}^{\infty}A_n\right)^c = \bigcup_{m=1}^{\infty}\bigcap_{n=m}^{\infty}A_n^c $$
である。
したがって、
$$ \mathbb P\left(\limsup_{n\to\infty}A_n\right)=1 $$
を示すには、
$$ \mathbb P\left( \bigcup_{m=1}^{\infty}\bigcap_{n=m}^{\infty}A_n^c \right)=0 $$
を示せばよい。
そこで、任意の $m\in\mathbb N_{>0}$ に対して
$$ \mathbb P\left(\bigcap_{n=m}^{\infty}A_n^c\right)=0 $$
を示す。
$m\in\mathbb N_{>0}$ を任意に固定する。各 $N\ge m$ に対して
$$ C_N:=\bigcap_{n=m}^{N}A_n^c $$
とおく。このとき、
$$ C_{N+1}\subseteq C_N $$
であるから、$\{C_N\}_{N=m}^{\infty}$ は減少列である。また、
$$ \bigcap_{N=m}^{\infty}C_N = \bigcap_{n=m}^{\infty}A_n^c $$
である。
確率測度の上からの連続性(記事内で既に示した)より、
$$ \begin{align} \mathbb P\left(\bigcap_{n=m}^{\infty}A_n^c\right) &= \lim_{N\to\infty}\mathbb P(C_N)\\ &= \lim_{N\to\infty} \mathbb P\left(\bigcap_{n=m}^{N}A_n^c\right) \end{align} $$
である。
ここで、仮定より $\{A_n\}_{n=1}^{\infty}$ は互いに独立であるから、
補事象列 $\{A_n^c\}_{n=1}^{\infty}$ も互いに独立である(証明要(後日更新))。したがって、任意の $N\ge m$ に対して
$$ \mathbb P\left(\bigcap_{n=m}^{N}A_n^c\right) = \prod_{n=m}^{N}\mathbb P(A_n^c) = \prod_{n=m}^{N}\left(1-\mathbb P(A_n)\right) $$
である( 補事象の公式 証明はコチラ )。
一方、仮定より
$$ \sum_{n=1}^{\infty}\mathbb P(A_n)=\infty $$
である。有限個の項を取り除いても発散性は変わらないので、
$$ \sum_{n=m}^{\infty}\mathbb P(A_n)=\infty $$
である。
ここで、(すでに記事内で示した)無限積に関する補題より、
$$ \sum_{n=m}^{\infty}\mathbb P(A_n)=\infty \Rightarrow \prod_{n=m}^{\infty}\left(1-\mathbb P(A_n)\right)=0 $$
である。したがって、
$$ \mathbb P\left(\bigcap_{n=m}^{\infty}A_n^c\right) = \lim_{N\to\infty} \prod_{n=m}^{N}\left(1-\mathbb P(A_n)\right) = \prod_{n=m}^{\infty}\left(1-\mathbb P(A_n)\right) = 0 $$
である。
$m\in\mathbb N_{>0}$ は任意であったから、任意の $m\in\mathbb N_{>0}$ に対して
$$ \mathbb P\left(\bigcap_{n=m}^{\infty}A_n^c\right)=0 $$
である。
したがって、可算劣加法性(記事内で既に証明済み)より、
$$ \mathbb P\left( \bigcup_{m=1}^{\infty}\bigcap_{n=m}^{\infty}A_n^c \right) \le \sum_{m=1}^{\infty} \mathbb P\left(\bigcap_{n=m}^{\infty}A_n^c\right) = \sum_{m=1}^{\infty}0 = 0 $$
である。確率測度の非負性より左辺は $0$ 以上であるから、
$$ \mathbb P\left( \bigcup_{m=1}^{\infty}\bigcap_{n=m}^{\infty}A_n^c \right)=0 $$
である。
ゆえに、
$$ \mathbb P\left(\left(\limsup_{n\to\infty}A_n\right)^c\right)=0 $$
である。したがって、
$$ \mathbb P\left(\limsup_{n\to\infty}A_n\right) = 1- \mathbb P\left(\left(\limsup_{n\to\infty}A_n\right)^c\right) = 1 $$
である。
$$ \Box$$