写像 ④
Def.
$A,B$ を集合とし、$f:A\to B$ を写像とする。
また、$S\subseteq A$ とする。このとき、$S$ の $f$ による像を、
$$
f(S)
:=
\{f(s)\mid s\in S\}
$$
で定義する。
$A,B$ を集合とし、$f:A\to B$ を写像とする。また、$S\subseteq A$ とする。
このとき、部分集合の像の定義より、
$$
f(S)
=
\{b\in B\mid \exists s\in S\ (b=f(s))\}
$$
と書ける。
すなわち、$f(S)$ は、$S$ の元を $f$ によって写した値全体の集合である。
$A,B$ を集合とし、$f:A\to B$ を写像とする。
$a\in A$ に対して、$f(a)$ は $a$ の $f$ による像であり、$B$ の元である。
すなわち、
$$
f(a)\in B
$$
である。
一方、$S\subseteq A$ に対して、$f(S)$ は $S$ の $f$ による像であり、$B$ の部分集合である。
すなわち、
$$
f(S)\subseteq B
$$
である。
したがって、元の像 $f(a)$ と部分集合の像 $f(S)$ を混同してはならない。
$A,B$ を集合とし、$f:A\to B$ を写像とする。また、$Y\subseteq B$ とする。
このとき、$Y$ の $f$ による逆像とは、
$$
f^{-1}(Y)
:=
\{a\in A\mid f(a)\in Y\}
$$
で定まる $A$ の部分集合のことをいう。
$A,B$ を集合とし、$f:A\to B$ を写像とする。また、$Y\subseteq B$ とする。
逆像の定義より、任意の $a\in f^{-1}(Y)$ に対して、
$$
a\in A
$$
である。
したがって、
$$
f^{-1}(Y)\subseteq A
$$
が成り立つ。
すなわち、$Y$ の逆像は、始域 (定義域) $A$ の元のうち、$f$ による値が $Y$ に属するもの全体の集合である。
記法
$$
f^{-1}(Y)
$$
は、$Y$ の $f$ による逆像を表す記法である。
逆写像は現時点で未定義であるが、これは、$f$ の逆写像が存在することを意味しない。
したがって、逆写像とは異なり、$f$ が全単射でない場合でも、任意の $Y\subseteq B$ に対して、
$$
f^{-1}(Y)
$$
は定義できる。
特に、ここでの $f^{-1}$ は、一般には $B$ の元を $A$ の元へ送る写像ではなく、$B$ の部分集合を $A$ の部分集合へ送る操作である。
$A,B$ を集合とし、$f:A\to B$ を写像とする。
任意の $Y\in\mathcal P(B)$ に対して、
$$
f^{-1}(Y)
=
\{a\in A\mid f(a)\in Y\}
$$
は $A$ の部分集合としてただ $1$ つ定まる。
したがって、逆像を取る操作は、$\mathcal P(B)$ の各元に対して、$\mathcal P(A)$ の元をただ $1$ つ対応させる。
ゆえに、逆像を取る操作は、
$$
f^{-1}:\mathcal P(B)\to\mathcal P(A)
$$
という写像として見ることができる。
このとき、
$$
Y\mapsto f^{-1}(Y)
$$
である。
$A,B$ を集合とし、$f:A\to B$ を写像とする。
また、$b\in B$ とする。単集合 $\{b\}\subseteq B$ の逆像は、
$$
f^{-1}(\{b\})
=
\{a\in A\mid f(a)\in\{b\}\}
$$
である。
単集合の性質(
証明はコチラ
)より、任意の $a\in A$ に対して、
$$
f(a)\in\{b\}
\Longleftrightarrow
f(a)=b
$$
である。したがって、
$$
f^{-1}(\{b\})
=
\{a\in A\mid f(a)=b\}
$$
と書ける。
これは、$b$ に写る始域 (定義域) の元全体の集合である。
Prop&Proof
$A,B$ を集合とし、$f:A\to B$ を写像とする。
このとき、任意の $Y\subseteq B$ と任意の $a\in A$ に対して、
$$
a\in f^{-1}(Y)
\Longleftrightarrow
f(a)\in Y
$$
が成り立つ。
任意に $Y\subseteq B$ と $a\in A$ をとる。
逆像の定義より、
$$
f^{-1}(Y)
=
\{x\in A\mid f(x)\in Y\}
$$
である。
したがって、内包表記の言い換え(
証明はコチラ(最後の命題)
)より、
$$
a\in f^{-1}(Y)
\Longleftrightarrow
a\in A\land f(a)\in Y
$$
である。
ここで、$a\in A$ であるから、
$$
a\in f^{-1}(Y)
\Longleftrightarrow
f(a)\in Y
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
この命題は、逆像の定義を元ごとに言い換えただけである。
今後、逆像を扱う証明では、まず
$$
a\in f^{-1}(Y)
$$
を
$$
f(a)\in Y
$$
に言い換えることが基本となる(ので敢えて取り上げた)。
$A,B$ を集合とし、$f:A\to B$ を写像とする。
このとき、任意の $X\subseteq A$ と任意の $Y\subseteq B$ に対して、
$$
f(X)\subseteq Y
\Longleftrightarrow
X\subseteq f^{-1}(Y)
$$
が成り立つ。
任意に $X\subseteq A$ と $Y\subseteq B$ をとる。
- $f(X)\subseteq Y\Longrightarrow X\subseteq f^{-1}(Y)$ を示す。
$$ f(X)\subseteq Y $$
と仮定する。
任意に $x\in X$ をとる。$X\subseteq A$ であるから、
$$ x\in A $$
である。
また、部分集合の像の定義より、
$$ f(x)\in f(X) $$
である。
仮定 $f(X)\subseteq Y$ より、
$$ f(x)\in Y $$
である。
したがって、逆像の定義より、
$$ x\in f^{-1}(Y) $$
である。
$x\in X$ は任意であったから、
$$ X\subseteq f^{-1}(Y) $$
である。
$ $ - $X\subseteq f^{-1}(Y)\Longrightarrow f(X)\subseteq Y$ を示す。
$$ X\subseteq f^{-1}(Y) $$
と仮定する。
任意に $y\in f(X)$ をとる。
部分集合の像の定義より、ある $x\in X$ が存在して、
$$ y=f(x) $$
である。
仮定 $X\subseteq f^{-1}(Y)$ より、
$$ x\in f^{-1}(Y) $$
である。逆像の定義より、
$$ f(x)\in Y $$
である。
$y=f(x)$ であるから、
$$ y\in Y $$
である。
$y\in f(X)$ は任意であったから、
$$ f(X)\subseteq Y $$
である。
-以上より、
$$
f(X)\subseteq Y
\Longleftrightarrow
X\subseteq f^{-1}(Y)
$$
である。
$$ \Box$$
$f(X)\subseteq Y$ は、$X$ のすべての元が $Y$ の中へ写るという意味である。
これは、$X$ のすべての元が $Y$ の逆像に属するという条件
$$
X\subseteq f^{-1}(Y)
$$
と同じである。
この同値は、像の包含を逆像の包含に言い換えるためによく使われる。
特に、
$$
f(X)\subseteq Y
$$
を直接示しにくい場合、
$$
X\subseteq f^{-1}(Y)
$$
を示す方が自然なことがある。
$A,B$ を集合とし、$f:A\to B$ を写像とする。
このとき、空集合の逆像は空集合である。すなわち、
$$
f^{-1}(\varnothing)=\varnothing
$$
が成り立つ。
集合の相等を示すために、両包含を示す。
- $f^{-1}(\varnothing)\subseteq\varnothing$ を示す。
$x\in f^{-1}(\varnothing)$ となる $x$ が存在すると仮定する。
逆像の定義より、
$$ f(x)\in\varnothing $$
である。
しかし、空集合には元が存在しないため、
$$ f(x)\in\varnothing $$
は成り立たない。これは矛盾である。
したがって、そのような $x$ は存在しない。
ゆえに、
$$ f^{-1}(\varnothing)\subseteq\varnothing $$
である。
$ $ - $\varnothing\subseteq f^{-1}(\varnothing)$ を示す。
空集合は任意の集合の部分集合である( 証明はコチラ )から、
$$ \varnothing\subseteq f^{-1}(\varnothing) $$
である。
-以上より、
$$
f^{-1}(\varnothing)=\varnothing
$$
である。
$$ \Box$$
$A,B$ を集合とし、$f:A\to B$ を写像とする。
このとき、終域 $B$ 全体の逆像は定義域全体である。すなわち、
$$
f^{-1}(B)=A
$$
が成り立つ。
集合の相等を示すために、両包含を示す。
- $f^{-1}(B)\subseteq A$ を示す。
任意に $x\in f^{-1}(B)$ をとる。
逆像の定義より、
$$ f^{-1}(B) = \{a\in A\mid f(a)\in B\} $$
である。したがって、$x\in A$ かつ $f(x)\in B$ である。
特に、
$$ x\in A $$
である。ゆえに、
$$ f^{-1}(B)\subseteq A $$
である。
$ $ - $A\subseteq f^{-1}(B)$ を示す。
任意に $x\in A$ をとる。
$f:A\to B$ は写像であるから、
$$ f(x)\in B $$
である。
したがって、逆像の定義より、
$$ x\in f^{-1}(B) $$
である。ゆえに、
$$ A\subseteq f^{-1}(B) $$
である。
-以上より、
$$
f^{-1}(B)=A
$$
である。
$$ \Box$$
$A,B$ を集合とし、$f:A\to B$ を写像とする。
このとき、任意の $Y\subseteq B$ に対して、
$$
f^{-1}(Y)=\varnothing
\Longleftrightarrow
Y\cap\operatorname{Im}(f)=\varnothing
$$
が成り立つ。
任意に $Y\subseteq B$ をとる。
- $f^{-1}(Y)=\varnothing\Longrightarrow Y\cap\operatorname{Im}(f)=\varnothing$ を示す。
対偶を示す。すなわち、
$$ Y\cap\operatorname{Im}(f)\ne\varnothing \Longrightarrow f^{-1}(Y)\ne\varnothing $$
を示す。
$$ Y\cap\operatorname{Im}(f)\ne\varnothing $$
と仮定する。
このとき、ある $y\in B$ が存在して、
$$ y\in Y\cap\operatorname{Im}(f) $$
である。したがって、
$$ y\in Y \quad\text{かつ}\quad y\in\operatorname{Im}(f) $$
である。
$y\in\operatorname{Im}(f)$ より、ある $a\in A$ が存在して、
$$ y=f(a) $$
である。
また、$y\in Y$ であるから、
$$ f(a)\in Y $$
である。
したがって、逆像の定義より、
$$ a\in f^{-1}(Y) $$
である。ゆえに、
$$ f^{-1}(Y)\ne\varnothing $$
である。
対偶より、
$$ f^{-1}(Y)=\varnothing \Longrightarrow Y\cap\operatorname{Im}(f)=\varnothing $$
である。
$ $ - $Y\cap\operatorname{Im}(f)=\varnothing\Longrightarrow f^{-1}(Y)=\varnothing$ を示す。
対偶を示す。すなわち、
$$ f^{-1}(Y)\ne\varnothing \Longrightarrow Y\cap\operatorname{Im}(f)\ne\varnothing $$
を示す。
$$ f^{-1}(Y)\ne\varnothing $$
と仮定する。
このとき、ある $a\in A$ が存在して、
$$ a\in f^{-1}(Y) $$
である。
逆像の定義より、
$$ f(a)\in Y $$
である。
また、$a\in A$ であるから、写像の像の定義より、
$$ f(a)\in\operatorname{Im}(f) $$
である。したがって、
$$ f(a)\in Y\cap\operatorname{Im}(f) $$
である。ゆえに、
$$ Y\cap\operatorname{Im}(f)\ne\varnothing $$
である。
対偶より、
$$ Y\cap\operatorname{Im}(f)=\varnothing \Longrightarrow f^{-1}(Y)=\varnothing $$
である。
-以上より、
$$
f^{-1}(Y)=\varnothing
\Longleftrightarrow
Y\cap\operatorname{Im}(f)=\varnothing
$$
である。
$$ \Box$$
逆像 $f^{-1}(Y)$ が空であるとは、$Y$ に写る入力が存在しないという意味である。
一方、
$$
Y\cap\operatorname{Im}(f)=\varnothing
$$
とは、$Y$ が $f$ の実際の値として現れる元を含まないという意味である。
したがって、この $2$ つは同じ状況を、定義域側と終域側からそれぞれ表したものである。
$A,B$ を集合とし、$f:A\to B$ を写像とする。
このとき、任意の $Y\subseteq B$ に対して、
$$
f^{-1}(Y)=A
\Longleftrightarrow
\operatorname{Im}(f)\subseteq Y
$$
が成り立つ。
任意に $Y\subseteq B$ をとる。
- $f^{-1}(Y)=A\Longrightarrow \operatorname{Im}(f)\subseteq Y$ を示す。
$$ f^{-1}(Y)=A $$
と仮定する。
任意に $y\in\operatorname{Im}(f)$ をとる。
像の定義より、ある $a\in A$ が存在して、
$$ y=f(a) $$
である。仮定より、
$$ A=f^{-1}(Y) $$
であるから、
$$ a\in f^{-1}(Y) $$
である。
逆像の定義より、
$$ f(a)\in Y $$
である。
$y=f(a)$ であるから、
$$ y\in Y $$
である。
$y\in\operatorname{Im}(f)$ は任意であったから、
$$ \operatorname{Im}(f)\subseteq Y $$
である。
$ $ - $\operatorname{Im}(f)\subseteq Y\Longrightarrow f^{-1}(Y)=A$ を示す。
$$ \operatorname{Im}(f)\subseteq Y $$
と仮定する。
集合の相等を示すために、両包含を示す。
i) まず、逆像の定義より直ちに、
$$ f^{-1}(Y)\subseteq A $$
である。
ii) 次に、$A\subseteq f^{-1}(Y)$ を示す。
任意に $a\in A$ をとる。像の定義より、
$$ f(a)\in\operatorname{Im}(f) $$
である。
仮定 $\operatorname{Im}(f)\subseteq Y$ より、
$$ f(a)\in Y $$
である。
逆像の定義より、
$$ a\in f^{-1}(Y) $$
である。
$a\in A$ は任意であったから、
$$ A\subseteq f^{-1}(Y) $$
である。
したがって、
$$ f^{-1}(Y)=A $$
である。
-以上より、
$$
f^{-1}(Y)=A
\Longleftrightarrow
\operatorname{Im}(f)\subseteq Y
$$
である。
$$ \Box$$
前に示した命題
$$
f(X)\subseteq Y
\Longleftrightarrow
X\subseteq f^{-1}(Y)
$$
は、部分集合の像と逆像を結びつける基本原理である。
今回の命題は、この基本原理に $X=A$ を代入した特別な場合として理解できる。
実際、$X=A$ とおくと、
$$
f(A)\subseteq Y
\Longleftrightarrow
A\subseteq f^{-1}(Y)
$$
が得られる。
ここで、
$$
\operatorname{Im}(f)=f(A)
$$
である(
証明はコチラ
)から、左辺は
$$
\operatorname{Im}(f)\subseteq Y
$$
と同値である。
また、逆像の定義より常に
$$
f^{-1}(Y)\subseteq A
$$
である。したがって、
$$
A\subseteq f^{-1}(Y)
$$
が成り立つことは、
$$
f^{-1}(Y)=A
$$
が成り立つことと同値である。
以上より、
$$
f^{-1}(Y)=A
\Longleftrightarrow
\operatorname{Im}(f)\subseteq Y
$$
は、前の命題
$$
f(X)\subseteq Y
\Longleftrightarrow
X\subseteq f^{-1}(Y)
$$
において $X=A$ とした場合から直ちに従う。
すなわち、今回の命題は、像と逆像をつなぐ基本原理の定義域全体版である。
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