対応 ⑤
空集合を表す記号には、主に $\varnothing$ と $\emptyset$ がある。
そこで、本ノート『数学概論』では、下記のルールに従って使い分けることとする。
- 集合としての空集合そのものを表す場合には、$\varnothing$ を用いる。
- 対応や写像などにおける空対応や空写像のように、
空である射を記号として表す場合には、$\emptyset_{X}$ を用いる。 - 零函数は空写像ではないので、$\emptyset$ ではなく、零を表す記号 $0_{X}$ を用いる。
-ここで $X$ には何らかの表記が入る。
Def.
$A,B$ を集合とする。$A$ から $B$ への対応 $\emptyset_{A,B}$ を
$$
\emptyset_{A,B}:=(A,B,\varnothing)
$$
で定義する。
この対応を、ここでは $A$ から $B$ への空値対応という。
$A,B$ を集合とする。
空集合は任意の集合の部分集合(
証明はこちら
)であるから、
$$
\varnothing\subseteq A\times B
$$
である。したがって、
$$
\emptyset_{A,B}:=(A,B,\varnothing)
$$
は $A$ から $B$ への対応を定める。
この対応を、ここでは $A$ から $B$ への空値対応という。
空値対応 $\emptyset_{A,B}$ は、始集合が空であることを意味するのではなく、グラフが空集合であることを意味する。
空値対応の始集合は $A$ であり、終集合は $B$ である。
ただし、そのグラフが空集合であるため、任意の $a\in A$ に対して
$$
\emptyset_{A,B}(a)=\varnothing
$$
となる。
したがって、$A\ne\varnothing$ の場合でも、空値対応
$$
\emptyset_{A,B}
$$
は存在する。
$A,B$ を集合とし、$\emptyset_{A,B}:=(A,B,\varnothing)$ を $A$ から $B$ への空値対応とする。
このとき、任意の $a\in A$ に対して、
$$
\emptyset_{A,B}(a)=\varnothing
$$
が成り立つ。
実際、対応の値の定義より、
$$
\emptyset_{A,B}(a)
=
\{b\in B\mid (a,b)\in\varnothing\}
$$
である。
しかし、空集合 $\varnothing$ には元が存在しないため、任意の $b\in B$ に対して
$$
(a,b)\notin\varnothing
$$
である。
したがって、
$$
\emptyset_{A,B}(a)=\varnothing
$$
である。
$A,B$ を集合とし、$M\subseteq B$ とする。
このとき、
$$
R_M
:=
A\times M
$$
と定める。
この $R_M$ を用いて、
$$
\Gamma_M
:=
(A,B,R_M)
$$
と定める。
この対応 $\Gamma_M$ を、ここでは $M$ を値にもつ定値対応という。
$A,B$ を集合とし、$M\subseteq B$ とする。
定値対応の定義より、
$$
R_M
=
A\times M
$$
である。
いま、$M\subseteq B$ であるから、
$$
A\times M\subseteq A\times B
$$
が成り立つ(
証明はコチラ
)。
したがって、
$$
R_M\subseteq A\times B
$$
である。
ゆえに、$3$ つ組
$$
\Gamma_M
=
(A,B,R_M)
$$
は $A$ から $B$ への対応である。
$A,B$ を集合とし、$M\subseteq B$ とする。
$\Gamma_M=(A,B,R_M)$ を $M$ を値にもつ定値対応とする。
このとき、任意の $a\in A$ に対して、
$$
\Gamma_M(a)=M
$$
が成り立つ。
実際、任意に $a\in A$ をとる。
対応の値の定義より、
$$
\Gamma_M(a)
=
\{b\in B\mid (a,b)\in R_M\}
$$
である。
また、$R_M=A\times M$ であるから、
$$
\begin{align}
\Gamma_M(a)
&=
\{b\in B\mid (a,b)\in A\times M\}\\
&=
\{b\in B\mid a\in A\land b\in M\}\\
&=
\{b\in B\mid b\in M\}\\
&=
M
\end{align}
$$
である。
最後の等号では、$M\subseteq B$ を用いた。
したがって、任意の $a\in A$ に対して、
$$
\Gamma_M(a)=M
$$
が成り立つ。
$A=\varnothing$ の場合、任意の $M\subseteq B$ に対して、
$$
A\times M=\varnothing
$$
である(
証明はコチラ
)。
したがって、この場合、
$$
\Gamma_M=(\varnothing,B,\varnothing)
$$
となる。
特に、$M,N\subseteq B$ であっても、
$$
\Gamma_M=\Gamma_N
$$
となることがある。
このとき、
$$
\forall a\in A\quad \Gamma_M(a)=M
$$
は真であるが、これは実際に値をもつ点 $a\in A$ が存在するという意味ではない。
$A=\varnothing$ であるため、確認すべき $a\in A$ が存在せず、反例も存在しないという意味で(空虚に)真である。
$M=\varnothing$ の場合も、
$$
\varnothing\subseteq B
$$
である(
証明はコチラ
)から、定値対応を定義できる。
このとき、
$$
R_\varnothing
=
A\times\varnothing
=
\varnothing
$$
である。
したがって、
$$
\Gamma_\varnothing
=
(A,B,R_\varnothing)
=
(A,B,\varnothing)
=
\emptyset_{A,B}
$$
である。
すなわち、空集合を値にもつ定値対応は、$A$ から $B$ への空値対応と一致する。
この場合、任意の $a\in A$ に対して、
$$
\Gamma_\varnothing(a)=\varnothing
$$
である。
$A$ を集合とする。$A$ 上の対角関係を
$$
\Delta_A
:=
\{(x,y)\in A\times A\mid x=y\}
$$
で定義する。
この $\Delta_A$ を用いて、
$$
I_A
:=
(A,A,\Delta_A)
$$
と定める。
この対応 $I_A$ を、$A$ 上の恒等対応という。
$A$ を集合とする。
対角関係の定義より、
$$
\Delta_A
=
\{(x,y)\in A\times A\mid x=y\}
$$
である。
したがって、定義より明らかに
$$
\Delta_A\subseteq A\times A
$$
である。
ゆえに、$3$ つ組
$$
I_A
=
(A,A,\Delta_A)
$$
は $A$ から $A$ への対応である。
$A$ を集合とし、$I_A=(A,A,\Delta_A)$ を $A$ 上の恒等対応とする。
このとき、任意の $x\in A$ に対して、
$$
I_A(x)=\{x\}
$$
が成り立つ。
実際、任意に $x\in A$ をとる。対応の値の定義より、
$$
I_A(x)
=
\{y\in A\mid (x,y)\in\Delta_A\}
$$
である。
また、対角関係の定義より、
$$
\Delta_A
=
\{(u,v)\in A\times A\mid u=v\}
$$
であるから、任意の $y\in A$ に対して、
$$
(x,y)\in\Delta_A
\Longleftrightarrow
x=y
$$
が成り立つ。
したがって、
$$
\begin{align}
I_A(x)
&=
\{y\in A\mid (x,y)\in\Delta_A\}\\
&=
\{y\in A\mid x=y\}\\
&=
\{x\}
\end{align}
$$
である。最後の等号では、$x\in A$ を用いた(
証明はコチラ
)。
ゆえに、任意の $x\in A$ に対して、
$$
I_A(x)=\{x\}
$$
が成り立つ。
(写像はまだ未定義であるが...)写像としての恒等写像は
$$
\operatorname{id}_A:A\to A
$$
であり、任意の $x\in A$ に対して
$$
\operatorname{id}_A(x)=x
$$
を満たす。
一方、恒等対応は
$$
I_A=(A,A,\Delta_A)
$$
であり、任意の $x\in A$ に対して
$$
I_A(x)=\{x\}
$$
を満たす。
したがって、恒等写像は $x$ に $A$ の元 $x$ を対応させるが、恒等対応は $x$ に $A$ の部分集合 $\{x\}$ を対応させる。
ただし、恒等写像のグラフと恒等対応のグラフは、いずれも $A$ 上の対角関係 $\Delta_A$ である。
$A$ を集合とし、$I_A=(A,A,\Delta_A)$ を $A$ 上の恒等対応とする。
対応のグラフの定義より、
$$
G(I_A)=\Delta_A
$$
である。
すなわち、
$$
G(I_A)
=
\{(x,y)\in A\times A\mid x=y\}
$$
である。
したがって、恒等対応のグラフは $A$ 上の対角関係である。
Prop&Proof
$A,B$ を集合とし、$\emptyset_{A,B}:=(A,B,\varnothing)$ を $A$ から $B$ への空値対応とする。
このとき、任意の $S\subseteq A$ に対して、
$$
\emptyset_{A,B}(S)=\varnothing
$$
が成り立つ。
任意に $S\subseteq A$ をとる。
集合の像の定義より、
$$
\emptyset_{A,B}(S)
=
\{b\in B\mid \exists a\in S\ ((a,b)\in\varnothing)\}
$$
である。
- $\emptyset_{A,B}(S)\subseteq\varnothing$ を示す。
仮に、ある $x\in\emptyset_{A,B}(S)$ が存在するとする。
このとき、集合の像の定義より、
$$ x\in B \ \land\ \exists a\in S\ ((a,x)\in\varnothing) $$
が成り立つ。
したがって、ある $a\in S$ が存在して、
$$ (a,x)\in\varnothing $$
が成り立つ。
しかし、空集合 $\varnothing$ には元が存在しないため、
$$ (a,x)\in\varnothing $$
は成り立たない。これは矛盾である。
ゆえに、$\emptyset_{A,B}(S)$ に属する元は存在しない。
したがって、
$$ \emptyset_{A,B}(S)\subseteq\varnothing $$
である。
$ $ - $\varnothing\subseteq\emptyset_{A,B}(S)$ を示す。
空集合は任意の集合の部分集合である( 証明はこちら )から、
$$ \varnothing\subseteq\emptyset_{A,B}(S) $$
が成り立つ。
-以上より、
$$
\emptyset_{A,B}(S)\subseteq\varnothing
\ \land \
\varnothing\subseteq\emptyset_{A,B}(S)
$$
である。
したがって、外延性により、
$$
\emptyset_{A,B}(S)=\varnothing
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
$A,B$ を集合とし、$\Gamma=(A,B,R)$ を $A$ から $B$ への対応とする。
このとき、
$$
\Gamma=\emptyset_{A,B}
\Longleftrightarrow
\operatorname{dom}(\Gamma)=\varnothing
$$
が成り立つ。
- $\Gamma=\emptyset_{A,B}\Longrightarrow\operatorname{dom}(\Gamma)=\varnothing$ を示す。
$\Gamma=\emptyset_{A,B}$ と仮定する。
対応の相等の定義より、
$$ \Gamma=(A,B,R)=\emptyset_{A,B}=(A,B,\varnothing) $$
であるから、
$$ R=\varnothing $$
である。
対応の定義域の定義より、
$$ \operatorname{dom}(\Gamma) = \{a\in A\mid \exists b\in B\ ((a,b)\in R)\} $$
である。
いま、$R=\varnothing$ であるから、
$$ \operatorname{dom}(\Gamma) = \{a\in A\mid \exists b\in B\ ((a,b)\in\varnothing)\} $$
である。
空集合 $\varnothing$ には元が存在しないため、任意の $a\in A$ と $b\in B$ に対して、
$$ (a,b)\notin\varnothing $$
である。
したがって、
$$ \operatorname{dom}(\Gamma)=\varnothing $$
である。
$ $ - $\operatorname{dom}(\Gamma)=\varnothing\Longrightarrow\Gamma=\emptyset_{A,B}$ を示す。
$\operatorname{dom}(\Gamma)=\varnothing$ と仮定する。
$\Gamma=(A,B,R)$ であり、$\emptyset_{A,B}=(A,B,\varnothing)$ であるから、対応の相等の定義より、$R=\varnothing$ を示せばよい。
背理法で示す。
$$ R\ne\varnothing $$
と仮定する。このとき、ある $(a,b)\in R$ が存在する。
また、$\Gamma=(A,B,R)$ は $A$ から $B$ への対応であるから、
$$ R\subseteq A\times B $$
である。したがって、
$$ a\in A\land b\in B $$
である。
対応の定義域の定義より、
$$ a\in\operatorname{dom}(\Gamma) $$
が成り立つ。
しかし、仮定より、
$$ \operatorname{dom}(\Gamma)=\varnothing $$
であるから、
$$ a\in\varnothing $$
となる。これは、空集合 $\varnothing$ に元が存在しないことに矛盾する。
したがって、
$$ R=\varnothing $$
である。
ゆえに、
$$ \Gamma=(A,B,R)=(A,B,\varnothing)=\emptyset_{A,B} $$
である。
-以上より、
$$
\Gamma=\emptyset_{A,B}
\Longleftrightarrow
\operatorname{dom}(\Gamma)=\varnothing
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
$A,B$ を集合とし、$\Gamma=(A,B,R)$ を $A$ から $B$ への対応とする。
このとき、
$$
\Gamma=\emptyset_{A,B}
\Longleftrightarrow
\operatorname{ran}(\Gamma)=\varnothing
$$
が成り立つ。
- $\Gamma=\emptyset_{A,B}\Longrightarrow\operatorname{ran}(\Gamma)=\varnothing$ を示す。
$\Gamma=\emptyset_{A,B}$ と仮定する。
対応の相等の定義より、
$$ \Gamma=(A,B,R)=\emptyset_{A,B}=(A,B,\varnothing) $$
であるから、
$$ R=\varnothing $$
である。
値域の定義より、
$$ \operatorname{ran}(\Gamma) = \{b\in B\mid \exists a\in A\ ((a,b)\in R)\} $$
である。
いま $R=\varnothing$ であるから、
$$ \operatorname{ran}(\Gamma) = \{b\in B\mid \exists a\in A\ ((a,b)\in\varnothing)\} $$
である。
空集合 $\varnothing$ には元が存在しないため、任意の $a\in A$ と任意の $b\in B$ に対して、
$$ (a,b)\notin\varnothing $$
である。
したがって、
$$ \operatorname{ran}(\Gamma)=\varnothing $$
である。
$ $ - $\operatorname{ran}(\Gamma)=\varnothing\Longrightarrow\Gamma=\emptyset_{A,B}$ を示す。
$\operatorname{ran}(\Gamma)=\varnothing$ と仮定する。
$\Gamma=(A,B,R)$ であり、$\emptyset_{A,B}=(A,B,\varnothing)$ であるから、対応の相等の定義より、$R=\varnothing$ を示せばよい。
背理法で示す。
$$ R\ne\varnothing $$
と仮定する。このとき、ある $(a,b)\in R$ が存在する。
また、$\Gamma=(A,B,R)$ は $A$ から $B$ への対応であるから、
$$ R\subseteq A\times B $$
である。
したがって、
$$ a\in A\land b\in B $$
である。
値域の定義より、
$$ b\in\operatorname{ran}(\Gamma) $$
が成り立つ。
しかし、仮定より、
$$ \operatorname{ran}(\Gamma)=\varnothing $$
であるから、
$$ b\in\varnothing $$
となる。これは、空集合 $\varnothing$ に元が存在しないことに矛盾する。
したがって、
$$ R=\varnothing $$
である。ゆえに、
$$ \Gamma=(A,B,R)=(A,B,\varnothing)=\emptyset_{A,B} $$
である。
-以上より、
$$
\Gamma=\emptyset_{A,B}
\Longleftrightarrow
\operatorname{ran}(\Gamma)=\varnothing
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
$A,B$ を集合とし、$M\subseteq B$ とする。
$\Gamma_M=(A,B,A\times M)$ を $M$ を値にもつ定値対応とする。
このとき、任意の $S\subseteq A$ に対して、
$$
\Gamma_M(S)
=
\begin{cases}
\varnothing & (S=\varnothing),\\
M & (S\ne\varnothing)
\end{cases}
$$
が成り立つ。
任意に $S\subseteq A$ をとる。
対応の集合の像の定義より、
$$
\Gamma_M(S)
=
\{b\in B\mid \exists a\in S\ ((a,b)\in A\times M)\}
$$
である。
- $S=\varnothing$ の場合を示す。
$S=\varnothing$ と仮定する。
このとき、
$$ \Gamma_M(\varnothing) = \{b\in B\mid \exists a\in\varnothing\ ((a,b)\in A\times M)\} $$
である。
空集合 $\varnothing$ には元が存在しないため、任意の $b\in B$ に対して、
$$ \exists a\in\varnothing\ ((a,b)\in A\times M) $$
は成り立たない。
したがって、$\Gamma_M(\varnothing)$ に属する元は存在しない。
ゆえに、
$$ \Gamma_M(\varnothing)=\varnothing $$
である。
$ $ - $S\ne\varnothing$ の場合を示す。
$S\ne\varnothing$ と仮定する。
示すべきことは、
$$ \Gamma_M(S)=M $$
である。
外延性により、$2$ つの包含関係を示す。
i) $\Gamma_M(S)\subseteq M$ を示す。
任意に $b\in\Gamma_M(S)$ をとる。
集合の像の定義より、
$$ b\in B \land \exists a\in S\ ((a,b)\in A\times M) $$
が成り立つ。
したがって、ある $a\in S$ が存在して、
$$ (a,b)\in A\times M $$
が成り立つ。直積の定義より、
$$ a\in A\land b\in M $$
である。したがって、
$$ b\in M $$
である。ゆえに、
$$ \Gamma_M(S)\subseteq M $$
である。
$ $
ii) $M\subseteq\Gamma_M(S)$ を示す。
任意に $b\in M$ をとる。
$M\subseteq B$ であるから、
$$ b\in B $$
である。
また、$S\ne\varnothing$ であるから、ある $a_0\in S$ が存在する。
$S\subseteq A$ であるから、
$$ a_0\in A $$
である。
$b\in M$ であるから、直積の定義より、
$$ (a_0,b)\in A\times M $$
である。
したがって、集合の像の定義より、
$$ b\in\Gamma_M(S) $$
である。ゆえに、
$$ M\subseteq\Gamma_M(S) $$
である。
-以上より、
$$
\Gamma_M(S)\subseteq M
\quad
\text{かつ}
\quad
M\subseteq\Gamma_M(S)
$$
である。
したがって、外延性により、
$$
\Gamma_M(S)=M
$$
である。1. と 2. より、任意の $S\subseteq A$ に対して、
$$
\Gamma_M(S)
=
\begin{cases}
\varnothing & (S=\varnothing),\\
M & (S\ne\varnothing)
\end{cases}
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
$A,B$ を集合とし、$M\subseteq B$ とする。
$\Gamma_M=(A,B,A\times M)$ を $M$ を値にもつ定値対応とする。
このとき、
$$
\operatorname{dom}(\Gamma_M)
=
\begin{cases}
A & (M\ne\varnothing),\\
\varnothing & (M=\varnothing)
\end{cases}
$$
が成り立つ。
対応の定義域の定義より、
$$
\operatorname{dom}(\Gamma_M)
=
\{a\in A\mid \Gamma_M(a)\ne\varnothing\}
$$
である。
また、定値対応の値の性質(定値対応の注記を参照)より、任意の $a\in A$ に対して、
$$
\Gamma_M(a)=M
$$
が成り立つ。
- $M\ne\varnothing$ の場合を示す。
$M\ne\varnothing$ と仮定する。
このとき、任意の $a\in A$ に対して、
$$ \Gamma_M(a)=M\ne\varnothing $$
である。
したがって、対応の定義域の定義より、任意の $a\in A$ に対して、
$$ a\in\operatorname{dom}(\Gamma_M) $$
が成り立つ。
ゆえに、
$$ A\subseteq\operatorname{dom}(\Gamma_M) $$
である。
一方、対応の定義域の定義より、
$$ \operatorname{dom}(\Gamma_M)\subseteq A $$
である。
したがって、外延性により、
$$ \operatorname{dom}(\Gamma_M)=A $$
である。
$ $ - $M=\varnothing$ の場合を示す。
$M=\varnothing$ と仮定する。
このとき、任意の $a\in A$ に対して、
$$ \Gamma_M(a)=M=\varnothing $$
である。
したがって、任意の $a\in A$ に対して、
$$ \Gamma_M(a)\ne\varnothing $$
は成り立たない。
ゆえに、対応の定義域の定義より、任意の $a\in A$ に対して、
$$ a\notin\operatorname{dom}(\Gamma_M) $$
である。
したがって、$\operatorname{dom}(\Gamma_M)$ に属する元は存在しない。
ゆえに、
$$ \operatorname{dom}(\Gamma_M)=\varnothing $$
である。
-以上より、
$$
\operatorname{dom}(\Gamma_M)
=
\begin{cases}
A & (M\ne\varnothing),\\
\varnothing & (M=\varnothing)
\end{cases}
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
$A,B$ を集合とし、$M\subseteq B$ とする。
$\Gamma_M=(A,B,A\times M)$ を $M$ を値にもつ定値対応とする。
このとき、
$$
\operatorname{ran}(\Gamma_M)
=
\begin{cases}
\varnothing & (A=\varnothing),\\
M & (A\ne\varnothing)
\end{cases}
$$
が成り立つ。
対応の値域の定義より、
$$
\operatorname{ran}(\Gamma_M)
=
\{b\in B\mid \exists a\in A\ ((a,b)\in A\times M)\}
$$
である。
- $A=\varnothing$ の場合を示す。
$A=\varnothing$ と仮定する。
このとき、
$$ \operatorname{ran}(\Gamma_M) = \{b\in B\mid \exists a\in\varnothing\ ((a,b)\in \varnothing\times M)\} $$
である。
空集合 $\varnothing$ には元が存在しないため、任意の $b\in B$ に対して、
$$ \exists a\in\varnothing\ ((a,b)\in \varnothing\times M) $$
は成り立たない。
したがって、$\operatorname{ran}(\Gamma_M)$ に属する元は存在しない。
ゆえに、
$$ \operatorname{ran}(\Gamma_M)=\varnothing $$
である。
$ $ - $A\ne\varnothing$ の場合を示す。
$A\ne\varnothing$ と仮定する。
示すべきことは、
$$ \operatorname{ran}(\Gamma_M)=M $$
である。
外延性により、$2$ つの包含関係を示す。
i) $\operatorname{ran}(\Gamma_M)\subseteq M$ を示す。
任意に $b\in\operatorname{ran}(\Gamma_M)$ をとる。
対応の値域の定義より、
$$ b\in B \land \exists a\in A\ ((a,b)\in A\times M) $$
が成り立つ。
したがって、ある $a\in A$ が存在して、
$$ (a,b)\in A\times M $$
が成り立つ。
直積の定義より、
$$ a\in A\land b\in M $$
である。
したがって、
$$ b\in M $$
である。ゆえに、
$$ \operatorname{ran}(\Gamma_M)\subseteq M $$
である。
$ $
ii) $M\subseteq\operatorname{ran}(\Gamma_M)$ を示す。
任意に $b\in M$ をとる。
$M\subseteq B$ であるから、
$$ b\in B $$
である。
また、$A\ne\varnothing$ であるから、ある $a_0\in A$ が存在する。
$a_0\in A$ かつ $b\in M$ であるから、直積の定義より、
$$ (a_0,b)\in A\times M $$
である。したがって、
$$ \exists a\in A\ ((a,b)\in A\times M) $$
が成り立つ。
さらに、$b\in B$ であるから、対応の値域の定義より、
$$ b\in\operatorname{ran}(\Gamma_M) $$
である。ゆえに、
$$ M\subseteq\operatorname{ran}(\Gamma_M) $$
である。
-以上より、
$$
\operatorname{ran}(\Gamma_M)\subseteq M
\quad
\text{かつ}
\quad
M\subseteq\operatorname{ran}(\Gamma_M)
$$
である。
したがって、外延性により、
$$
\operatorname{ran}(\Gamma_M)=M
$$
である。1. と 2. より、
$$
\operatorname{ran}(\Gamma_M)
=
\begin{cases}
\varnothing & (A=\varnothing),\\
M & (A\ne\varnothing)
\end{cases}
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
$A$ を集合とし、$I_A=(A,A,\Delta_A)$ を $A$ 上の恒等対応とする。
ただし、
$$
\Delta_A
:=
\{(x,y)\in A\times A\mid x=y\}
$$
とする。
このとき、任意の $S\subseteq A$ に対して、
$$
I_A(S)=S
$$
が成り立つ。
任意に $S\subseteq A$ をとる。
集合の像の定義より、
$$
I_A(S)
=
\{y\in A\mid \exists x\in S\ ((x,y)\in\Delta_A)\}
$$
である。
外延性により、$2$ つの包含関係を示す。
- $I_A(S)\subseteq S$ を示す。
任意に $y\in I_A(S)$ をとる。
集合の像の定義より、
$$ y\in A \land \exists x\in S\ ((x,y)\in\Delta_A) $$
が成り立つ。
したがって、ある $x\in S$ が存在して、
$$ (x,y)\in\Delta_A $$
が成り立つ。
また、$S\subseteq A$ であるから、
$$ x\in A $$
である。
したがって、$x\in A$ かつ $y\in A$ であるから、
対角関係の定義より、
$$ (x,y)\in\Delta_A \Longleftrightarrow x=y $$
である。よって、
$$ x=y $$
である。
いま $x\in S$ かつ $x=y$ であるから、
$$ y\in S $$
である。
ゆえに、
$$ I_A(S)\subseteq S $$
である。
$ $ - $S\subseteq I_A(S)$ を示す。
任意に $y\in S$ をとる。
$S\subseteq A$ であるから、
$$ y\in A $$
である。また、
$$ y=y $$
であるから、対角関係の定義より、
$$ (y,y)\in\Delta_A $$
である。
さらに、$y\in S$ であるから、
$$ \exists x\in S\ ((x,y)\in\Delta_A) $$
が成り立つ。実際、$x=y$ とすればよい。
したがって、集合の像の定義より、
$$ y\in I_A(S) $$
である。ゆえに、
$$ S\subseteq I_A(S) $$
である。
-以上より、
$$
I_A(S)\subseteq S
\quad
\text{かつ}
\quad
S\subseteq I_A(S)
$$
である。したがって、外延性により、
$$
I_A(S)=S
$$
である。
$S\subseteq A$ は任意であったから、任意の $S\subseteq A$ に対して、
$$
I_A(S)=S
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
$A$ を集合とし、$I_A=(A,A,\Delta_A)$ を $A$ 上の恒等対応とする。
ただし、
$$
\Delta_A
:=
\{(x,y)\in A\times A\mid x=y\}
$$
とする。
このとき、
$$
\operatorname{dom}(I_A)=A
$$
かつ
$$
\operatorname{ran}(I_A)=A
$$
が成り立つ。
対応の定義域の定義より、
$$
\operatorname{dom}(I_A)
=
\{x\in A\mid I_A(x)\ne\varnothing\}
$$
である。
また、恒等対応の値の性質(恒等対応の注記を参照)より、任意の $x\in A$ に対して、
$$
I_A(x)=\{x\}
$$
である。
- $\operatorname{dom}(I_A)=A$ を示す。
まず、対応の定義域の定義より、
$$ \operatorname{dom}(I_A)\subseteq A $$
である。
次に、任意に $x\in A$ をとる。
このとき、
$$ I_A(x)=\{x\} $$
である。
単集合 $\{x\}$ は $x$ を元にもつから、
$$ \{x\}\ne\varnothing $$
である。したがって、
$$ I_A(x)\ne\varnothing $$
である。
よって、対応の定義域の定義より、
$$ x\in\operatorname{dom}(I_A) $$
である。ゆえに、
$$ A\subseteq\operatorname{dom}(I_A) $$
である。
したがって、外延性により、
$$ \operatorname{dom}(I_A)=A $$
である。
$ $ - $\operatorname{ran}(I_A)=A$ を示す。
対応の値域の定義より、
$$ \operatorname{ran}(I_A) = \{y\in A\mid \exists x\in A\ ((x,y)\in\Delta_A)\} $$
である。
外延性により、$2$ つの包含関係を示す。
i) $\operatorname{ran}(I_A)\subseteq A$ を示す。
対応の値域の定義より、明らかに
$$ \operatorname{ran}(I_A)\subseteq A $$
である。
$ $
ii) $A\subseteq\operatorname{ran}(I_A)$ を示す。
任意に $y\in A$ をとる。
このとき、
$$ y=y $$
であるから、対角関係の定義より、
$$ (y,y)\in\Delta_A $$
である。
また、$y\in A$ であるから、
$$ \exists x\in A\ ((x,y)\in\Delta_A) $$
が成り立つ。実際、$x=y$ とすればよい。
したがって、対応の値域の定義より、
$$ y\in\operatorname{ran}(I_A) $$
である。ゆえに、
$$ A\subseteq\operatorname{ran}(I_A) $$
である。
-以上より、
$$
\operatorname{ran}(I_A)\subseteq A
\quad
\text{かつ}
\quad
A\subseteq\operatorname{ran}(I_A)
$$
である。
したがって、外延性により、
$$
\operatorname{ran}(I_A)=A
$$
である。
以上より、
$$
\operatorname{dom}(I_A)=A
$$
かつ
$$
\operatorname{ran}(I_A)=A
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
$A$ を集合とし、$I_A=(A,A,\Delta_A)$ を $A$ 上の恒等対応とする。
ただし、
$$
\Delta_A
:=
\{(x,y)\in A\times A\mid x=y\}
$$
とする。
このとき、$I_A$ は全域的である。
全域的対応の定義より、$I_A$ が全域的であることを示すには、
$$
\operatorname{dom}(I_A)=A
$$
を示せばよい。
対応の定義域の定義より、
$$
\operatorname{dom}(I_A)
=
\{x\in A\mid I_A(x)\ne\varnothing\}
$$
である。
また、恒等対応の値の性質(恒等対応の注記を参照)より、任意の $x\in A$ に対して、
$$
I_A(x)=\{x\}
$$
である。
- $\operatorname{dom}(I_A)\subseteq A$ を示す。
対応の定義域の定義より、
$$ \operatorname{dom}(I_A) = \{x\in A\mid I_A(x)\ne\varnothing\} $$
であるから、明らかに
$$ \operatorname{dom}(I_A)\subseteq A $$
である。
$ $ - $A\subseteq\operatorname{dom}(I_A)$ を示す。
任意に $x\in A$ をとる。
恒等対応の値の性質より、
$$ I_A(x)=\{x\} $$
である(恒等対応の定義 注記を参照)。
単集合 $\{x\}$ は $x$ を元にもつから、
$$ \{x\}\ne\varnothing $$
である。したがって、
$$ I_A(x)\ne\varnothing $$
である。
よって、対応の定義域の定義より、
$$ x\in\operatorname{dom}(I_A) $$
である。
ゆえに、
$$ A\subseteq\operatorname{dom}(I_A) $$
である。
-以上より、
$$
\operatorname{dom}(I_A)\subseteq A
\land
A\subseteq\operatorname{dom}(I_A)
$$
である。
したがって、外延性により、
$$
\operatorname{dom}(I_A)=A
$$
である。
ゆえに、全域的対応の定義より、$I_A$ は全域的である。
$$ \Box$$
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