$$\newcommand{adari}[0]{\mathrm{adari}}
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\newcommand{ZZ}[0]{\mathbb{Z}}
$$
前の記事
の記法を用いる. $\EE$をflexion unit, $\OO$をその共役unitとする.
Dimorphic transport
$\MU$の中で$\OO$-symmetralな元全体を$\MU_{\os}$と表す.
前の記事
で$\GARI_{\asas}$が$\GARI$の部分群になっていることを示した. $\GARI_{\as}$の元$A$であって, $\swap(A)$が$\OO$-symmetralであり, $A$の長さ1部分が$\neg$不変であるようなもの全体を$\GARI_{\asos}$とする.
前の記事
で, $\ARI_{\alal}$と$\ARI_{\alol}$が同型であることを示した. 今回は$\GARI_{\asas}$と$\GARI_{\asos}$が同型になっていることを示す.
$\adgari(\ess),\adgari(\dess)$は群の同型$\GARI_{\asas}\to \GARI_{\asos}$を与える.
$A\in\GARI_{\asas}$とするとき, $\ess\in\GARI_{\as}$であるから,
\begin{align}
\adgari(\ess)(A)=\gari(\ess,A,\invgari(\ess))\in\GARI_{\as}
\end{align}
である. 次に, Ecalleの基本等式より,
\begin{align}
&\swap(\adgari(\ess)(A))\\
&=\swap(\fragari(\gari(\ess,A),\ess))\\
&=\fragira(\gira(\doss,\swap(A)),\doss)\\
&=\ganit(\oz)(\fragari(\gira(\doss,\swap(A)),\doss))
\end{align}
であり,
前の記事
の命題8より, $\swap(A)$は$\gush$不変であるから, 同じ記事の命題2より,
\begin{align}
\gira(\doss,\swap(A))=\gari(\doss,\swap(A))
\end{align}
となる. よって,
\begin{align}
\swap(\adgari(\ess)(A))=\ganit(\oz)(\adgari(\doss)(\swap(A)))
\end{align}
を得る. $\swap(A),\doss\in\GARI_{\as}$であるから,
\begin{align}
\swap(\adgari(\ess)(A))\in\MU_{\os}
\end{align}
である. $\adgari(\ess)(A)$の長さ1部分は$A$の長さ1部分と等しいから, $\neg$不変である. よって, $\adgari(\ess)(A)\in\GARI_{\asos}$であることが分かった. これより,
\begin{align}
\expari(\ARI_{\alol})&=\expari(\adari(\ess)(\ARI_{\alal}))\\
&=\adgari(\ess)(\expari(\ARI_{\alal}))\\
&=\adgari(\ess)(\GARI_{\asas})\\
&\subset \GARI_{\asos}
\end{align}
であることが分かった. $B\in\GARI_{\asos}$として, $A:=\logari(B)$とする. $A$の長さ$r-1$までが$\ARI_{\alol}$に含まれていると仮定すると, $A$は長さ$r-1$まで$\Epush$不変である. よって,
前の記事
の系1と
前の記事
の命題1から,
\begin{align}
C:=\adgari(\ess)^{-1}(B)=\expari(\adari(\ess)^{-1}(A))\in\GARI_{\as}
\end{align}
とすると, $C$は$\gush$不変である. よって, 上の議論と全く同様に,
\begin{align}
\swap(B)=\ganit(\oz)(\adgari(\doss)(\swap(C)))
\end{align}
を得るから,
\begin{align}
\swap(C)=\adgari(\doss)^{-1}(\ganit(\oz)^{-1}(\swap(B)))\in\GARI_{\as}
\end{align}
を得る. $C$の長さ1部分は$B$の長さ1部分と等しいから$\neg$不変である. よって, $C\in\GARI_{\asas}$となることから, $\adgari(\ess)(\GARI_{\asas})=\GARI_{\asos}$を得る. $\dess$の方も全く同様である.
証明から以下のことも分かったことになる.
$\expari(\ARI_{\alol})=\GARI_{\asos}$が成り立つ.
この系1を直接的に証明するのはおそらく簡単ではなく, dimorphic transportを経由することによって証明が簡潔になるというところが興味深いところである.
$\MU_{\os}$の性質
$\Ogantar:=\ganit(\oz)\circ\gantar\circ\ganit(\oz)^{-1}$とする. 定義から, $\MU_{\os}$の元は$\Ogantar$不変であることが分かる.
\begin{align}
\Ogantar&=-\invmu\circ\Omantar\\
&=\gaxit(\oz,\oz)\circ\gantar
\end{align}
が成り立つ.
\begin{align}
\Ogantar&=\ganit(\oz)\circ\gantar\circ\ganit(\oz)^{-1}\\
&=-\ganit(\oz)\circ\invmu\circ\mantar\circ\ganit(\oz)^{-1}\\
&=-\invmu\circ\ganit(\oz)\circ\mantar\circ\ganit(\oz)^{-1}\\
&=-\invmu\circ\Omantar
\end{align}
となって1つ目の等式を得る. 2つ目の等式は
前の記事
を用いると,
\begin{align}
\Ogantar&=-\invmu\circ\gaxit(\oz,\oz)\circ\Omantar\\
&=-\gaxit(\oz,\oz)\circ\invmu\circ\mantar\\
&=\gaxit(\oz,\oz)\circ\gantar
\end{align}
と示される.
$A$が$\Ogus$-neutralであるとは, $\ganit(\oz)^{-1}(A)$が$\gus$-neutralであることをいう. 定義から, $\MU_{\os}$の元は$\Ogus$-neutralである. それは
\begin{align}
\log_{\times}(\ganit(\oz)^{-1}(A))=\ganit(\oz)^{-1}(\log_{\times}(A))
\end{align}
が$\pus$-neutralであることを意味しており, それは
\begin{align}
\log_{\times}(A)
\end{align}
が$\Opus$-neutralであるという条件と同値である. よって,
前の記事
の命題3より, $\Ogus$-neutralであることは以下のように特徴づけられる.
$A\in\MU$が$\Ogus$-neutralであることは, 任意の$r\geq 2$に対し,
\begin{align}
&\sum_{i=1}^r\log_{\times}(A)(w_{i+1},\dots,w_r,w_1,\dots,w_i)\\
&=\sum_{i=1}^r\oz((w_1\cdots w_{i-1})\rfloor_{w_i})A({}_{w_1\cdots w_{i-1}}\lceil w_i\rceil_{w_{i+1}\cdots w_r})\oz({}_{w_i}(w_{i+1}\cdots w_r))
\end{align}
が成り立つことと同値である.
この右辺は
前の記事
の命題1より,
\begin{align}
(-1)^{r-1}A(w_1\diamond_{\OO}\cdots\diamond_{\OO}w_r)
\end{align}
と書き換えられる. このように書きかえると, この命題3は多重ゼータ値においてKawashima関係式から巡回和公式を導く際に用いられたTanaka-Wakabayashiの補題を一般の準シャッフル代数に拡張したものの特別な場合となっていることが分かる.
$\GARI_{\asos}$の性質
\begin{align}
\Egeg&:=\neg\circ\adgari(\es)\\
\Egush&:=\Egeg\circ\gantar\circ\swap\circ\Ogantar\circ\swap
\end{align}
とする.
$A\in\GARI_{\asos}$ならば, $A$は$\Egeg$不変, $\Egush$不変である.
前の記事
の定理4の証明と同様に,
\begin{align}
\Egeg&=\neg\circ\adgari(\fragari(\neg(\ess),\ess))\\
&=\neg\circ\adgari(\neg(\ess))\circ\adgari(\ess)^{-1}\\
&=\adgari(\ess)\circ\neg\circ\adgari(\ess)^{-1}
\end{align}
と書き換えられ,
前の記事
の命題7より, $\GARI_{\asas}$の元は$\neg$不変であるから, 定理1より, $A$は$\Egeg$不変である. 次に, $A$が$\gantar$不変, $\swap(A)$が$\Ogantar$不変であることを用いると,
\begin{align}
\Egush(A)&:=(\Egeg\circ\gantar\circ\swap\circ\Ogantar\circ\swap)(A)\\
&=(\Egeg\circ\gantar)(A)\\
&=\Egeg(A)\\
&=A
\end{align}
となるので$A$は$\Egush$不変である.
[1]
J. Ecalle, The flexion structure and dimorphy: flexion units, singulators, generators, and the enumeration of multizeta irreducibles, Asymptotics in dynamics, geometry and PDEs; generalized Borel summation. Vol. II, 2011, 27–211
[2]
T. Tanaka, N. Wakabayashi, An algebraic proof of the cyclic sum formula for multiple zeta values, Journal of Algebra, 2010, 766-778
