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大学数学基礎解説
文献あり

ABJ anomaly:経路積分における藤川の方法

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$$\newcommand{all}[1]{\left\langle#1\right\rangle} \newcommand{blr}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{car}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{di}[0]{\displaystyle} \newcommand{fr}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{lr}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{ma}[1]{\(\di{#1}\)} $$

ABJ anomalyに関していくつか記事を書きました。これらの記事ではどれも正準量子化の方法でABJ anomalyを扱いました。一方、経路積分形式でもABJ anomalyを扱うことができます。結論から言うと、経路積分では対称性変換のヤコビアンからアノマリーが生じます。経路積分で量子アノマリーを扱う方法を、それを最初に議論した藤川和男先生の名前を冠して「藤川の方法」と呼びます。

藤川の方法に基づく量子アノマリーに関しては、藤川先生の書かれた本がありますFujikawa2001。日本語であり、過度に難しい部分もなく、明快な論理展開でわかりやすく書かれています。本記事はこのRef.Fujikawa2001に基づきます(当該部分と基本的に同内容です)。ちなみに同テーマの英語の教科書もありますFujikawa2004。こちらは鈴木博先生との共著です。

以下ではEuclid空間での経路積分を扱います。計量は$g^{\mu\nu}=-\delta^{\mu\nu}$とします($\mu=1,2,3,4$)。よって$x^\mu$を座標として$x_\mu x^\mu<0$です。$\gamma$行列の定義に関してはAppendix 1をご参照ください。

経路積分は既知とします。これに関しては例えばRef.WatamuraPathIntに非常にコンパクトに説明されています。

計算の概要

最初に以下の議論の概要を述べておきます。

まずカイラル変換に伴う経路積分のヤコビアンを求めますが、その際重要なことは以下の2つです:

  1. Dirac演算子の固有関数で場を展開する
  2. ゲージ不変な正則化を施す

Dirac演算子の固有関数で場を展開すると、場の変換に伴い、経路積分の測度から、展開の基底のラベルに関する無限行列の行列式が生じます。この行列をwell-definedにするため、ゲージ不変な正則化を施します。具体的には、Dirac演算子の固有値を用いたdamping factorを導入して正則化します。この操作ののち、展開の基底を平面波にユニタリ−変換して計算することで具体的なヤコビアンが得られます。

ABJ anomalyは軸性ベクトルカレントの発散$\partial_\mu J_5^\mu$に関する量子アノマリーの寄与ですが、これを得るには$\partial_\mu J_5^\mu$とヤコビアンの関係を知る必要があります。これは後に述べるWard恒等式により得られます。その結果、$\partial_\mu J_5^\mu$は今まで書いた記事の結果と一致します。

カイラル変換に関するヤコビアン

ここではフェルミオンとU(1)ゲージ場の系を考えます。分配関数は経路積分により以下で与えられます:
\begin{align} Z&={\cal N}\int {\cal D}\bar\psi{\cal D}\psi{\cal D}A_\mu \exp\int d^4x \left[\bar\psi(i\not D-m)\psi-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\right], \\ \not D&:=\gamma^\mu D_\mu, \ D_\mu:=\partial_\mu -ieA_\mu,\\ F_{\mu\nu}&:=\frac{i}{e}[D_\mu,D_\nu]=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu \tag{1} \end{align}
ここで$\bar\psi:=\psi^\dagger\gamma_0$$\cal N$は規格化定数です。${\cal D}A_\mu$にはゲージ固定項が含まれているものとしますが、本記事の範囲では特に議論に関係しません。

これに局所的な微小カイラル変換を施します:
\begin{align} \begin{cases} \psi'(x)=e^{i\alpha(x)\gamma_5}\psi(x)\simeq\psi(x)+i\alpha(x)\gamma_5\psi(x),\\ \bar\psi'(x)=\bar\psi(x)e^{i\alpha(x)\gamma_5}\simeq \bar\psi(x)+\bar\psi(x)i\alpha(x)\gamma_5\tag{2} \end{cases} \end{align}
このとき経路積分のヤコビアンは以下で与えられます。

局所的なカイラル変換に関するヤコビアン1

Eq.(1)の経路積分にEq.(2)のカイラル変換を施したときのヤコビアン$J$は以下で与えられる。
\begin{align} \hspace{1cm}J&=\exp\left[ -2i\sum_n \int d^4x \varphi_n(x)^\dagger \alpha(x)\gamma_5\varphi_n(x)\right]\\ \end{align}
ここで$\varphi_n(x)$はDirac演算子$\not D$の固有関数である:
\begin{align} \hspace{1cm}\not D\varphi_n(x)=\lambda_n\varphi_n(x) \end{align}

Dirac演算子の固有関数$\varphi_n(x)$は正規直交条件を満たす。ここで$|n\rangle$をDirac演算子の固有状態、$|x\rangle$を位置の固有状態とすると$\varphi_n(x)=\langle x|n\rangle$と書ける。$\psi,\bar\psi$$\varphi_n, \varphi_n^\dagger$で展開すれば以下のようになる:
\begin{align} \begin{cases} \displaystyle \psi(x)=\sum_n a_n\varphi_n(x)=\sum_n \langle x|n\rangle a_n,\\ \displaystyle \bar \psi(x)=\sum_n \bar b_n \varphi^\dagger_n(x)=\sum_n\bar b_n\langle n|x\rangle \end{cases} \end{align}
ここで$a,\bar b$はGrassmann数。これを用いると${\cal D}\bar\psi{\cal D}\psi$$\Pi_n d\bar b_n da_n$で書き直すことができる:
\begin{align} {\cal D}\bar\psi {\cal D}\psi &=[\det \langle n|x\rangle \det \langle x|n\rangle]^{-1}\prod_{n=1} d\bar b_n da_n\\ &=[\det \int d^4x(\langle n|x\rangle \langle x|m\rangle)]^{-1}\prod_{n=1} d\bar b_n da_n\\ &=(\det \delta_{nm})^{-1}\prod_{n=1}d\bar b_n da_n\\ &=\prod_{n=1}d\bar b_n da_n \end{align}
これにより、連続的なインデックスをもつ関数を測度とする積分が、離散的な無限多重積分という取り扱いやすい形に変換される。

次に局所的なカイラル変換:$\psi\to e^{i\alpha(x)\gamma_5}\psi$に対する$a,\bar b$の変化を計算する。無限小カイラル変換に対して$\psi$は以下のように変換する:
\begin{align} \begin{cases} \psi'(x)=e^{i\alpha(x)\gamma_5}\psi(x)\simeq\psi(x)+i\alpha(x)\gamma_5\psi(x),\\ \bar\psi'(x)=\bar\psi(x)e^{i\alpha(x)\gamma_5}\simeq \bar\psi(x)+\bar\psi(x)i\alpha(x)\gamma_5,\\ \end{cases} \end{align}
ここで$\bar\psi$の変換の位相部分の符号はプラスであることに注意($\gamma_0$$\gamma_5$が反交換することによる)。これを用いて、カイラル変換を$a,\bar b$で書けば
\begin{align} \begin{cases} \displaystyle a_n'=a_n+\sum_m i\int d^4x \varphi(x)^\dagger\alpha(x)\gamma_5\varphi_m(x)a_m,\\ \displaystyle \bar b'_n=\bar b_n+\sum_m i\bar b_m\int d^4x\varphi^\dagger_m(x)\alpha(x)\gamma_5\varphi_n(x) \end{cases} \end{align}
となる。無限小カイラル変換に対する経路積分の測度の変化は以下のようになる:
\begin{align} \prod_{n=1}d\bar b_n'da'_n&=\det[\delta_{nm} +i\int d^4x \varphi_n(x)^\dagger\alpha(x)\gamma_5\varphi_m(x)]^{-1}\prod_{n=1}d\bar b_n\\ &\hspace{2cm}\times\det[\delta_{nm} +i\int d^4x \varphi_n(x)^\dagger\alpha(x)\gamma_5\varphi_m(x)]^{-1}\prod_{n=1}d a_n\\ &=\det[\delta_{nm} +i\int d^4x \varphi_n(x)^\dagger\alpha(x)\gamma_5\varphi_m(x)]^{-2} \prod_{n=1}d\bar b_nda_n \tag{1} \end{align}
ここで$1,A$をそれぞれ単位行列、微小な行列とすると
\begin{align} \det(1+A)^{-2}&\simeq \det(1-2A)\\ &=\exp({\rm tr}\ln(1-2A))\\ &\simeq\exp(-2{\rm tr}A) \end{align}
であるから、
\begin{align} {\rm Eq.}(1)= \exp\left[ -2i\sum_n \int d^4x \varphi_n(x)^\dagger \alpha(x)\gamma_5\varphi_n(x) \right]\prod_{n=1}d\bar b_nda_n \end{align}
である。以上から変換のヤコビアン$J$
\begin{align} J=\exp\left[ -2i\sum_n \int d^4x \varphi_n(x)^\dagger \alpha(x)\gamma_5\varphi_n(x) \right] \end{align}
である。${}_\blacksquare$

$J$を具体的に計算したいのですが、このままではwell-definedではないため、正則化する必要があります。これを以下のように正則化します:
\begin{align} \sum_{n=1} \int d^4x \ \alpha(x)\varphi_n^\dagger(x)\gamma_5\varphi(x) &\to \lim_{M\to \infty}\sum_{n=1}^\infty \int d^4x \ \alpha(x)\varphi_n^\dagger(x)\gamma_5 f((\lambda_n)^2)/M^2)\varphi_n(x)\\ &= \lim_{M\to \infty}\sum_{n=1}^\infty \int d^4x\ \alpha(x)\varphi_n^\dagger(x)\gamma_5 f(\not D^2/M^2)\varphi_n(x)\tag{2} \end{align}
ここで$f(x)$$x\to \infty$で速やかに0に近づく$f(0)=1$を満たす関数とします。これは固有値の大きいところで早く減少するdamping factorであり、ゲージ不変性を満たす良い正則化となっています。

これを計算するために、基底を$\{\phi_n(x)\}$から平面波$\{e^{ikx}\}$へユニタリ変換します。これは正準量子化の方法においてHeisenberg表示から相互作用表示に変換することに対応します(※脚注)。計算すると、最終的に以下を得ます:

局所的なカイラル変換に関するヤコビアン2

Eq.(2)において、基底を平面波へユニタリ変換してヤコビアンを計算すると
\begin{align} \hspace{1cm}J=\exp\left[-2i\int d^4x\ \alpha(x)\frac{e^2}{32\pi^2} \epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}F_{\mu\nu}F_{\alpha\beta}\right] \end{align}
を得る。

Eq.(2)から積分を取り除いたものを計算する。基底に関するトレースはその取り方に依存しないので
\begin{align} \lim_{M\to \infty}\sum_{n=1}^\infty \alpha(x)\varphi_n^\dagger(x)\gamma_5 f(\not D^2/M^2)\varphi_n(x) &=\lim_{M\to \infty}{\rm tr} \int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}e^{-ikx}\gamma_5 f(\not D^2/M^2)e^{ikx} \ \ \ \ ({\rm tr}\text{はDiracの足に関してとる})\\ &=\lim_{M\to \infty} {\rm tr} \int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}\gamma_5 f\left( (ik_\mu + D_\mu)^2/M^2-\frac{ie}{4}[\gamma^\mu,\gamma^\nu]F_{\mu\nu}/M^2 \right)\\ &\hspace{-3cm}=\lim_{M\to \infty} {\rm tr}\ M^4 \int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}\gamma_5 f\left( (ik_\mu + D_\mu/M)^2-\frac{ie}{4}[\gamma^\mu,\gamma^\nu]F_{\mu\nu}/M^2 \right) \ \ \ (k\to Mk\text{とした})\tag{3} \end{align}
を得ます(計算はAppendix 2参照のこと)。$ik_\mu+D_\mu/M\to ik_\mu$と置き直し、$f$$(ik_\mu)^2=-(k_\mu k^\mu)$のまわりで展開する。$f(-k_\mu k^\mu)$および$-\frac{ie}{4M^2}[\gamma^\mu,\gamma^\nu]F_{\mu\nu}f'(-k_\mu k^\mu)$の項はトレースをとると消える。3階微分以降の項は$M\to \infty$において消えるので、結局2階微分の項が残る:
\begin{align} \left.\text{Eq.}(3)\right|_{\text{finite for }M\to \infty} ={\rm tr}\gamma_5\frac{1}{2!} \left\{\frac{-ie}{4}[\gamma^\mu,\gamma^\nu]F_{\mu\nu}\right\}^2 \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} f''(-k_\mu k^\mu) \end{align}
これを計算すれば以下のようになる(Euclid空間であることに注意):
\begin{align} &\bullet \ \ {\rm tr}\gamma_5\frac{1}{2!}\left\{\frac{-ie}{4}[\gamma^\mu,\gamma^\nu]F_{\mu\nu}\right\}^2 =-\frac{e^2}{32}{\rm tr}(\gamma_5 [\gamma^\mu,\gamma^\nu][\gamma^\alpha,\gamma^\beta]) F_{\mu\nu}F_{\alpha\beta}\\ &\hspace{6.5cm}=\frac{e^2}{2}\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}F_{\mu\nu}F_{\alpha\beta} \ \ \ \ \ \ ({\rm tr}(\gamma_5 [\gamma^\mu,\gamma^\nu][\gamma^\alpha,\gamma^\beta])=-16\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}, \ \epsilon^{1234}=1)\\ &\bullet \ \ \int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}f''(-k_\mu k^\mu)=\frac{1}{(2\pi)^4}2\pi^2 \int \frac{1}{2}dx xf''(x)\\ &\hspace{5cm}=\frac{1}{16\pi^2}\int_0^\infty dx\ xf''(x)\\ &\hspace{5cm}=\frac{1}{16\pi^2}\left([xf'(x)]_0^\infty-\int_0^\infty dx f'(x)\right)\\ &\hspace{5cm}=\frac{1}{16\pi^2} \ \ \ \ \ \ (\lim_{x\to 0}xf'(x)=\lim_{x\to \infty} xf'(x)=0, f(0)=1, f(\infty)=0\text{とする}) \end{align}
以上より、カイラル変換に対するヤコビアン$J$
\begin{align} J=\exp\left[-2i\int dx^4\ \alpha(x)\frac{e^2}{32\pi^2} \epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}F_{\mu\nu}F_{\alpha\beta}\right] \end{align}
となる。${}_\blacksquare$

関数$f$$\lim_{x\to 0}xf'(x)=\lim_{x\to \infty} xf'(x)=0, f(0)=1, f(\infty)=0$という条件さえ満たしていれば、その関数形に依らずこの計算は一般に正しいです。これはアノマリーが系の詳細に依らない構造を持つことを示唆しています。

軸性ベクトルカレントの発散とヤコビアンの関係

Ward恒等式により、ヤコビアン$J$と軸性ベクトルカレントの発散に関係がつきます。Ward恒等式に関しては この記事 の冒頭に説明がありますが、以下を読めば十分かと思います。

カイラル変換に関するWard恒等式は以下のようになります。

カイラル変換に関するWard恒等式

$\psi,\bar\psi,A_\mu$に依存する演算子${\cal O}$の真空期待値$\langle{\cal O}\rangle$
\begin{align} \langle {\cal O}\rangle :=\int {\cal D}\bar\psi {\cal D}\psi {\cal D}A_\mu e^{iS}{\cal O} \end{align}
で定義する。このとき、局所カイラル変換に対し、$\alpha$の1次で
\begin{align} \partial_\mu\langle\bar\psi\gamma^\mu\gamma_5\psi\rangle = \langle 2im\bar\psi\gamma_5\psi\rangle +\langle 2i\frac{e^2}{32\pi^2}\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}F_{\mu\nu}F_{\alpha\beta}\rangle \end{align}
が成立する。

局所的なカイラル変換を$\psi,\bar\psi$に施した場を$\psi',\bar\psi'$とする。ここで分配関数の積分変数はダミー変数なので
\begin{align} {\cal N}\int{\cal D}\bar\psi{\cal D}\psi {\cal D}A_\mu\exp(iS) ={\cal N}\int{\cal D}\bar\psi'{\cal D}\psi'{\cal D}A_\mu \exp(iS') \end{align}
が成立する。ここで$S'$$\psi',\bar\psi'$で書かれた作用。以下変換パラメータ$\alpha$の1次の項を考える。${\cal D}\bar\psi'{\cal D}\psi'$はすでに計算したように
\begin{align} &{\cal D}\bar\psi'{\cal D}\psi'= {\cal D}\bar\psi{\cal D}\psi J,\\ &J=\exp\left[-2i\int dx^4\ \alpha(x)\frac{e^2}{32\pi^2} \epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}F_{\mu\nu}F_{\alpha\beta}\right] \end{align}
$S'=S+\delta S$とし、$\delta S$$\alpha$の1次を計算すると以下のようになる:
\begin{align} \delta S=\int d^4x \alpha(x)[\partial_\mu(\bar\psi \gamma^\mu\gamma_5\psi )-2im\bar\psi\gamma_5\psi] \end{align}
$\psi,\bar\psi,A_\mu$に依存する演算子${\cal O}$の真空期待値$\langle{\cal O}\rangle$
\begin{align} \langle {\cal O}\rangle :=\int {\cal D}\bar\psi {\cal D}\psi {\cal D}A_\mu e^{iS}{\cal O} \end{align}
で定義すると、$\alpha$の1次で
\begin{align} \left\langle \int d^4x\alpha(x)[\partial_\mu (\bar\psi \gamma^\mu \gamma_5\psi) -2im\bar\gamma_5\psi-2i\frac{e^2}{32\pi^2}\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta} F_{\mu\nu}F_{\alpha\beta}]\right\rangle=0 \end{align}
を得る。ここで$\alpha(x)$を点$x$近傍でデルタ関数的な山をもつ関数に選ぶと、以下の恒等式が成立する:
\begin{align} \partial_\mu\langle\bar\psi\gamma^\mu\gamma_5\psi\rangle = \langle 2im\bar\psi\gamma_5\psi\rangle +\langle 2i\frac{e^2}{32\pi^2}\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}F_{\mu\nu}F_{\alpha\beta}\rangle \end{align}
これは命題3の式である。${}_\blacksquare$

この表式はEuclidなので虚数単位がついてはいますが(さらには真空期待値をとってますが)、他の記事Mathlog1Mathlog2Mathlog3で導いた表式と一致しています。符号に関しては$\epsilon^{0123}$の定義が記事によって違うので注意してください。

ただし、上記のWard恒等式を導く際には摂動論を用いていないことに注意してください。この式は非摂動論的な表式です。その意味でこれまでの記事におけるABJ anomalyの導出とは違います。

おしまい。${}_\blacksquare$


(※脚注)場の量子論におけるHeisenberg表示は、すべての時間発展を場の演算子に担わせる形式。相互作用表示は、場の演算子に自由場の時間発展のみ担わせる形式です。


Appendix 1: Euclid空間での$\gamma$行列

以下Ref.Fujikawa2001$\gamma$行列に関するnotationです。

Euclid空間における$\gamma$行列

$\gamma^1,\gamma^2,\gamma^3,\gamma^4,\gamma_5$は以下を満たす:
\begin{align} &\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}=-2\delta^{\mu\nu}, \ \ \ {\gamma^\mu}^\dagger=-\gamma^\mu \ \ \ (\mu=1,2,3,4),\\ &\gamma_5:=-\gamma^1\gamma^2\gamma^3\gamma^4=\gamma_5^\dagger,\\ &\gamma_5\gamma^\mu=-\gamma^\mu\gamma_5. \end{align}

上記を満たす具体的な表示は例えば以下のようなものがあります:
\begin{align} \gamma_i= \begin{pmatrix} 0 & \sigma_i\\ -\sigma_i & 0 \end{pmatrix} \ \ \ (i=1,2,3), \ \ \ \gamma_4= \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix} , \ \ \ \gamma_5= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{align}
ただし各ブロックは$2\times 2$行列、$\sigma_i$はPauli行列。

Appendix 2: 本文Eq.(2)で使った等式の証明

本文Eq.(2)では次の等式を使っています:
\begin{align} f({\not D}^2)e^{ikx}=e^{ikx}f\left((ik_\mu+D_\mu)^2-\frac{ie}{4}[\gamma^\mu,\gamma^\nu]F_{\mu\nu}\right) \end{align}
以下これを示します。

まず$\not D^2=D_\mu D^\mu-\frac{ie}{4}[\gamma^\mu,\gamma^\nu]F_{\mu\nu}$が以下のように成立します:
\begin{align} {\not D}^2 &=\gamma^\mu\gamma^\nu D_\mu D_\nu\\ &=\left(\frac{1}{2}\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}+\frac{1}{2}[\gamma^\mu,\gamma^\nu]\right) D_\mu D_\nu\\ &=D_\mu D^\mu+\frac{1}{2}[\gamma^\mu,\gamma^\nu]\frac{1}{2}[D_\mu,D_\nu]\\ &=D_\mu D^\mu-\frac{ie}{4}[\gamma^\mu,\gamma^\nu]F_{\mu\nu} \tag{a1} \end{align}
次に
\begin{align} f(D_\mu D^\mu+c)e^{ikx}=e^{ikx}f((ik_\mu+D_\mu)^2+c) \end{align}
を示します($c$$e^{ikx}$と交換する量)。

単純な計算より以下が成立する:
\begin{align} D_\mu D^\mu e^{ikx} =e^{ikx}\left(-k^2-ie\partial_\mu A^\mu -2ieA_\mu(ik^\mu)-e^2A_\mu A^\mu\right) \end{align}
一方これも単純な計算より
\begin{align} (ik_\mu + D_\mu)^2=\left(-k^2-ie\partial_\mu A^\mu -2ieA_\mu(ik^\mu)-e^2A_\mu A^\mu\right) \end{align}
である。ただし式の右側には微分が作用する関数は存在しないとする。ゆえに
\begin{align} D_\mu D^\mu e^{ikx}=e^{ikx}(ik_\mu +D_\mu)^2 \end{align}
が成立する。以上から、$f$$D_\mu D^\mu+c$のべきで表されるなら
\begin{align} f(D_\mu D^\mu+c)e^{ikx} &=\sum_n \alpha_n(D_\mu D^\mu + c)^n e^{ikx} \ \ \ \ \ \ (\alpha_n: f\text{の展開係数})\\ &=\sum_n \alpha_n(D_\mu D^\mu + c)^{n-1} e^{ikx}((ik_\mu+D_\mu)^2+c)\\ &=\ ...\\ &=e^{ikx}\sum_n \alpha_n((ik_\mu+D_\mu)^2+c)^n\\ &=e^{ikx}f((ik_\mu+D_\mu)^2+c)\tag{a2} \end{align}
が成立する。${}_\blacksquare$

Eq.(a1)、およびEq.(a2)において$c$$-\frac{ie}{4}[\gamma^\mu,\gamma^\nu]F_{\mu\nu}$とすれば
\begin{align} f({\not D}^2)e^{ikx}=e^{ikx}f\left((ik_\mu+D_\mu)^2-\frac{ie}{4}[\gamma^\mu,\gamma^\nu]F_{\mu\nu}\right) \end{align}
を得ます。${}_\blacksquare$

参考文献

[1]
藤川和男, 経路積分と対称性の量子的破れ, 新物理学選書, 岩波書店, 2001
[2]
Fujikawa, K., Suzuki, H., Path Integrals and Quantum Anomalies, International series of monographs on physics No.122, Oxford Science Publications, 2004
投稿日:2023721

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