ABJ anomalyに関していくつか記事を書きました。これらの記事ではどれも正準量子化の方法でABJ anomalyを扱いました。一方、経路積分形式でもABJ anomalyを扱うことができます。結論から言うと、経路積分では対称性変換のヤコビアンからアノマリーが生じます。経路積分で量子アノマリーを扱う方法を、それを最初に議論した藤川和男先生の名前を冠して「藤川の方法」と呼びます。
藤川の方法に基づく量子アノマリーに関しては、藤川先生の書かれた本がありますFujikawa2001。日本語であり、過度に難しい部分もなく、明快な論理展開でわかりやすく書かれています。本記事はこのRef.Fujikawa2001に基づきます(当該部分と基本的に同内容です)。ちなみに同テーマの英語の教科書もありますFujikawa2004。こちらは鈴木博先生との共著です。
以下ではEuclid空間での経路積分を扱います。計量は
経路積分は既知とします。これに関しては例えばRef.WatamuraPathIntに非常にコンパクトに説明されています。
最初に以下の議論の概要を述べておきます。
まずカイラル変換に伴う経路積分のヤコビアンを求めますが、その際重要なことは以下の2つです:
Dirac演算子の固有関数で場を展開すると、場の変換に伴い、経路積分の測度から、展開の基底のラベルに関する無限行列の行列式が生じます。この行列をwell-definedにするため、ゲージ不変な正則化を施します。具体的には、Dirac演算子の固有値を用いたdamping factorを導入して正則化します。この操作ののち、展開の基底を平面波にユニタリ−変換して計算することで具体的なヤコビアンが得られます。
ABJ anomalyは軸性ベクトルカレントの発散
ここではフェルミオンとU(1)ゲージ場の系を考えます。分配関数は経路積分により以下で与えられます:
ここで
これに局所的な微小カイラル変換を施します:
このとき経路積分のヤコビアンは以下で与えられます。
Eq.(1)の経路積分にEq.(2)のカイラル変換を施したときのヤコビアン
ここで
Dirac演算子の固有関数
ここで
これにより、連続的なインデックスをもつ関数を測度とする積分が、離散的な無限多重積分という取り扱いやすい形に変換される。
次に局所的なカイラル変換:
ここで
となる。無限小カイラル変換に対する経路積分の測度の変化は以下のようになる:
ここで
であるから、
である。以上から変換のヤコビアン
である。
ここで
これを計算するために、基底を
Eq.(2)において、基底を平面波へユニタリ変換してヤコビアンを計算すると
を得る。
Eq.(2)から積分を取り除いたものを計算する。基底に関するトレースはその取り方に依存しないので
を得ます(計算はAppendix 2参照のこと)。
これを計算すれば以下のようになる(Euclid空間であることに注意):
以上より、カイラル変換に対するヤコビアン
となる。
関数
Ward恒等式により、ヤコビアン
カイラル変換に関するWard恒等式は以下のようになります。
で定義する。このとき、局所カイラル変換に対し、
が成立する。
局所的なカイラル変換を
が成立する。ここで
で定義すると、
を得る。ここで
これは命題3の式である。
この表式はEuclidなので虚数単位がついてはいますが(さらには真空期待値をとってますが)、他の記事Mathlog1Mathlog2Mathlog3で導いた表式と一致しています。符号に関しては
ただし、上記のWard恒等式を導く際には摂動論を用いていないことに注意してください。この式は非摂動論的な表式です。その意味でこれまでの記事におけるABJ anomalyの導出とは違います。
おしまい。
(※脚注)場の量子論におけるHeisenberg表示は、すべての時間発展を場の演算子に担わせる形式。相互作用表示は、場の演算子に自由場の時間発展のみ担わせる形式です。
以下Ref.Fujikawa2001の
上記を満たす具体的な表示は例えば以下のようなものがあります:
ただし各ブロックは
本文Eq.(2)では次の等式を使っています:
以下これを示します。
まず
次に
を示します(
単純な計算より以下が成立する:
一方これも単純な計算より
である。ただし式の右側には微分が作用する関数は存在しないとする。ゆえに
が成立する。以上から、
が成立する。
Eq.(a1)、およびEq.(a2)において
を得ます。