特殊な場合のSMDの収束

$E_{n-1}(a_{n-1})\diamond_{n-1}E_n (a_n)$
$=T^{n-1}(Q^{n-1}E_{n-1}(a_{n-1}))(Q^{n-1}E_n (a_n))$
$=T^{n-1}(Q^{n-1}T^{n-1}a_{n-1})(Q^{n-1}T^n a_n)$
$=T^{n-1}a_{n-1}T a_n$
$E_{n-2}(a_{n-2})\diamond_{n-2}(T^{n-1}a_{n-1}T a_n)$
$=T^{n-2}(Q^{n-2}T^{n-2}a_{n-2})(Q^{n-2}T^{n-1}a_{n-1}T a_n)$
$=T^{n-2}a_{n-2}Ta_{n-1}Ta_n$
これを続けると目標の式を得る. $\square$

$y^{`}(x)=y(x)$
$\iff xy'(x)=y(x)^2$
$$\iff \frac{y'(x)}{y(x)^2}=\frac{1}{x}$$
$$\iff \int_1^x\frac{y'(t)}{y^2(t)}dt=\int_1^x\frac{1}{t}dt$$
$$\iff \frac{1}{a}-\frac{1}{y(x)}=\ln (x)$$
$$\iff y(x)=\frac{1}{\frac{1}{a}-\ln (x)}$$
$\square$

$$y^{``}(x)=y(x)$$
$$\iff x(y^{`})'(x)=y^{`}(x)y(x)$$
$$\iff x(y^{`})'(x)=xy'(x)$$
$$\iff (y^{`})'(x)=y'(x)$$
$$\iff \int_1^x (y^{`})'(t) dx=\int_1^x y'(t)dx$$
$$\iff y^{`}(x)-b=y(x)-a$$
$a=b$なら超指数関数に等しい.
以下, $a\neq b$とする. $y$が定数でないことに注意する. また, 符号の変わる点以上は考えない.
$$y^{`}(x)-b=y(x)-a$$
$$\iff y^{`}(x)=y(x)+b-a$$
$$\iff xy'(x)=y(x)(y(x)+b-a)$$
$$\iff \frac{y'(x)}{y(x)(y(x)+b-a)}=\frac{1}{x}$$
$$\iff \int_1^x\frac{y'(t)}{y(t)(y(t)+b-a)}dt=\int_1^x\frac{1}{t}dt$$
$$\iff \frac{1}{b-a}\left(\ln\left({\frac{y(x)}{a}}\right)- \ln\left({\frac{y(x)+b-a}{a+b-a}}\right)\right)=\ln(x)$$
$$\iff \ln\left({\frac{y(x)}{a}}\right)- \ln\left({\frac{y(x)+b-a}{b}}\right)=\ln(x^{b-a})$$
$$\iff \left({\frac{y(x)}{a}}\right) \left({\frac{b}{y(x)+b-a}}\right)=x^{b-a}$$
$$\iff y(x)\left({\frac{b}{a}}\right)=(y(x)+b-a)x^{b-a}$$
$$\iff y(x)\left({\frac{b}{a}}-x^{b-a}\right)=x^{b-a}(b-a)$$
$$\iff y(x)=\frac{(b-a)x^{b-a}}{{\frac{b}{a}}-x^{b-a}}$$
$\square$

$f,g$を$[1,a]$上で定義される連続関数とし,
$\forall x\in [1,a], 0\leq f(x)\leq g(x) $とする.
$$Tf(a)=\exp(\int_1^a \frac{f(t)}{t}dt)\leq\exp(\int_1^a \frac{g(t)}{t}dt)=Tg(a)$$

$ $

$f,g$を$[a,1]$上で定義される連続関数とし,
$\forall x\in [a,1], 0\leq f(x)\leq g(x) $とする.
$$Tf(a)=\exp(\int_1^a \frac{f(t)}{t}dt)=\exp(-\int_a^1 \frac{f(t)}{t}dt)$$
$$\geq\exp(-\int_a^1 \frac{g(t)}{t}dt)=\exp(\int_1^a \frac{f(t)}{t}dt)=Tg(a)$$
$$\square$$

$t=e^{-s}$と置換すると, $s=-\ln t,\ -ds=\frac{1}{t}dt$だから,
$$Tf(e^{-x})=\exp\left(\int_1^{e^{-x}} \frac{f(t)}{t}dt\right)$$
$$=\exp\left(-\int_0^x f(e^{-s})ds\right)$$

WLOGで$x< y$と仮定できる.
平均値の定理より, $x< c< y$で$e^{-y}-e^{-x}=-e^{-c}(y-x)$なる$c$がとれる.
$0< c$より, $e^{-c}\leq 1$
$|e^{-y}-e^{-x}|=e^{-c}|y-x|\leq |y-x|$

$x>0$のとき, $0<1-e^{-x}$より下の主張も従う. $\square$

関数列$(f_n)_n$が$(0,e^{-c})$で広義一様収束するなら, 積分の一般論および$\exp$の連続性から,$p>0$を定数として, $(pTf_n)_n$も広義一様収束する.
よって, すべての$n$で$0< a_n\leq c$の場合について示せばいい.

★$[1,e^{-c})$において考える.

まず, $M_1(a_i)(x)=a_0 x^{a_1}\geq a_0=M_0(a_i)(x)$である.
また, $n$が「任意の正項数列$(a_i)_i$について$M_{n+1}(a_i)\geq M_{n}(a_i)$」
を満たすとすると$T$の単調性から,
$M_{n+2}(a_i)=a_0TM_{n+1}(a_{i+1})\geq a_0TM_{n}(a_{i+1})=M_{n+1}(a_i)$
より$n+1$でも成り立つ. よって帰納法より, $M_n(a_i)$は$n$について単調増加する. (ちなみに, ここまで有界性は用いていない.)

次に, $M_0(a_i)=a_0\leq c\leq \sxp_c$であり,
$n$が「任意の$n$で$0< a_n\leq c$となるような任意の数列$(a_i)_i$について$M_n(a_i)\leq \sxp_c$」とすると, $T$の単調性から, $M_{n+1}(a_i)=a_0TM_{n}(a_{i+1})\leq cT\sxp_c = \sxp_c$

よって, $M_n(a_i)$は$n$について単調な有界数列となるため, 広義一様収束する.

★$(0,1)$において考える.
数列$(a_i)_i$は固定し, $M_n(a_i)$を$M_n$と書く.
$\tilde{M}_{k,n}(u)=a_k T\cdots Ta_n(e^{-u})$とする.
$\tilde{M}_{n,n}(u)=a_n$であり,
$\tilde{M}_{k,n}(u)=a_k T (a_{k+1} T\cdots Ta_n)(e^{-u})$
$\displaystyle=a_k \exp\left(-\int_0^u(a_{k+1} T\cdots Ta_n)(e^{-s})ds\right) $ (補題7)
$\displaystyle=a_k \exp\left(-\int_0^u \tilde{M}_{k+1,n}(s) ds\right) $
が成り立ち,
$\displaystyle M_n(x)=\tilde{M}_{0,n}(-\ln x)=a_0 \exp\left(-\int_0^{-\ln x} \tilde{M}_{1,n}(s) ds\right)$が成り立つ.
($-\ln x>0$であることに注意.)

$n\geq 1,\ u=-\ln x\ (>0)$とする.
$0\leq k\leq n-1,\ s\in[0,u]$について
$\displaystyle |\tilde{M}_{k,n}(s)-\tilde{M}_{k,n-1}(s)|\leq \frac{c^{n-k+1} s^{n-k}}{(n-k)!}$を示す.

$\tilde{M}_{n-1,n}(s)=a_{n-1}e^{-a_n s},\ \tilde{M}_{n-1,n-a}(s)=a_{n-1}$だから,
$|\tilde{M}_{n-1,n}(s)-\tilde{M}_{n-1,n-1}(s)|=a_{n-1}(1-e^{-a_n s})\leq a_{n-1}a_n s\leq c^2 s$

$k\leq n-2$, $\displaystyle \forall s\in[0,u],\ |\tilde{M}_{k+1,n}(s)-\tilde{M}_{k+1,n-1}(s)|\leq \frac{c^{n-k} s^{n-k-1}}{(n-k-1)!}$とする.
$$\displaystyle |\tilde{M}_{k,n}(s)-\tilde{M}_{k,n-1}(s)|$$
$$ =a_k\left| \exp\left(-\int_0^s\tilde{M}_{k+1,n}(\sigma)d\sigma\right) - \exp\left(-\int_0^s\tilde{M}_{k+1,n-1}(\sigma)d\sigma\right)\right|$$
$$\leq a_k \left|\int_0^s\tilde{M}_{k+1,n}(\sigma)d\sigma - \int_0^s\tilde{M}_{k+1,n-1}(\sigma)d\sigma\right|$$
$$\leq a_k \int_0^s |\tilde{M}_{k+1,n}(\sigma)-\tilde{M}_{k+1,n-1}(\sigma)|d\sigma\leq c \int_0^s \frac{c^{n-k} \sigma^{n-k-1}}{(n-k-1)!}d\sigma$$
$$=\frac{c^{n-k+1}s^{n-k}}{(n-k)!}$$

よって任意の$k$で成立. 特に$k=1$とすると,
$\displaystyle |\tilde{M}_{1,n}(s)-\tilde{M}_{1,n-1}(s)|\leq \frac{c^{n} s^{n-1}}{(n-1)!}$

よって,
$$|M_n(x) - M_{n-1}(x)|$$
$$=a_0\left|\exp\left(-\int_0^u \tilde{M}_{1,n}(s)ds\right)-\exp\left(-\int_0^u \tilde{M}_{1,n-1}(s)ds\right)\right|$$
$$\leq a_0\left|\int_0^u \tilde{M}_{1,n}(s)ds-\int_0^u \tilde{M}_{1,n-1}(s)ds\right|$$
$$\leq a_0\int_0^u\left| \tilde{M}_{1,n}(s)ds- \tilde{M}_{1,n-1}(s)\right|ds$$
$$\leq c\int_0^u\frac{c^{n} s^{n-1}}{(n-1)!}ds=\frac{c^{n+1} u^{n}}{n!}$$

$$\sum_{k=1}^{N}|M_{k}(x)-M_{k-1}(x)|\leq \sum_{k=1}^{N}\frac{c^{n+1} u^{n}}{n!}\leq c(e^{cu}-1)$$
より, $\displaystyle M_N-M_0=\sum_{k=1}^{N}(M_{k}-M_{k-1})$の右辺の級数は絶対収束する.
よって$M_N$は$(0,1]$で広義一様収束する.
$\square$

仮定から,
$M_{n+1}(a_i)^{`}=M_n(a_{i+1})$は$M(a_{i+1})$に広義一様収束する
$$M_{n+1}(a_i)^{`}(x)=\frac{xM_{n+1}(a_i)'(x)}{M_{n+1}(a_i)(x)}$$
であるから, $\displaystyle M_{n+1}(a_i)'(x)=\frac{M_{n+1}(a_i)^{`}(x)\cdot M_{n+1}(a_i)(x)}{x}$は$\displaystyle\frac{M(a_{i+1})(x)\cdot M(a_i)(x)}{x}$に広義一様収束する.
よって, 微分と極限が交換でき,
$$M(a_i)'(x)=\frac{M(a_{i+1})(x)\cdot M(a_i)(x)}{x}$$
$$\therefore M(a_{i+1})(x)=\frac{xM(a_i)'(x)}{M(a_i)(x)}=M(a_i)^{`}(x)\ \square$$