直積集合 ⑯

Prop & Proof

まず、対称差の定義より
$$ A\triangle B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A) $$
である( 詳しくはコチラ )。したがって
$$ (A\triangle B)\times C=((A\setminus B)\cup(B\setminus A))\times C $$
である。ここで、既知の分配法則( 証明はコチラ )
$$ (E\cup F)\times C=(E\times C)\cup(F\times C) $$
を $E=A\setminus B,\ F=B\setminus A$ に適用すると
$$ ((A\setminus B)\cup(B\setminus A))\times C = ((A\setminus B)\times C)\cup((B\setminus A)\times C) $$
を得る。
さらに、既知の差集合公式( 証明はコチラ )
$$ (E\setminus F)\times C=(E\times C)\setminus(F\times C) $$
を $E=A,\ F=B$ および $E=B,\ F=A$ に適用すると
$$ (A\setminus B)\times C=(A\times C)\setminus(B\times C) $$
および
$$ (B\setminus A)\times C=(B\times C)\setminus(A\times C) $$
が成り立つ。
したがって
$$ (A\triangle B)\times C = ((A\times C)\setminus(B\times C))\cup((B\times C)\setminus(A\times C)) $$
を得る。
ここで、再び対称差の定義より
$$ (A\times C)\triangle(B\times C) = ((A\times C)\setminus(B\times C))\cup((B\times C)\setminus(A\times C)) $$
であるから、
$$ (A\triangle B)\times C=(A\times C)\triangle(B\times C) $$
が従う。
$$ \Box$$

対称差の定義より
$$ B\triangle C=(B\setminus C)\cup(C\setminus B) $$
である。
したがって
$$ A\times(B\triangle C) = A\times\bigl((B\setminus C)\cup(C\setminus B)\bigr) $$
となる。
ここで、直積の和集合への分配法則( 証明はコチラ )より
$$ A\times\bigl((B\setminus C)\cup(C\setminus B)\bigr) = \bigl(A\times(B\setminus C)\bigr)\cup\bigl(A\times(C\setminus B)\bigr) $$
が成り立つ。
さらに、直積と差集合の公式( 証明はコチラ )より
$$ A\times(B\setminus C)=(A\times B)\setminus(A\times C) $$
および
$$ A\times(C\setminus B)=(A\times C)\setminus(A\times B) $$
が成り立つ。
したがって
$$ A\times(B\triangle C) = \bigl((A\times B)\setminus(A\times C)\bigr) \cup \bigl((A\times C)\setminus(A\times B)\bigr) $$
を得る。
一方、対称差の定義より
$$ (A\times B)\triangle(A\times C) = \bigl((A\times B)\setminus(A\times C)\bigr) \cup \bigl((A\times C)\setminus(A\times B)\bigr) $$
である。
よって
$$ A\times(B\triangle C)=(A\times B)\triangle(A\times C) $$
が成り立つ。
$$ \Box$$