直積集合 ⑩

Prop & Proof

まず、$A_1,A_2\subseteq X$ より、
$$ A_1\cap A_2\subseteq X $$
である( 証明はコチラ )。また、$B\subseteq Y$ であるから、直積の単調性より、
$$ (A_1\cap A_2)\times B\subseteq X\times Y $$
である( 証明はコチラ )。
一方、$A_1\subseteq X$ かつ $B\subseteq Y$ より、
$$ A_1\times B\subseteq X\times Y $$
である( 証明はコチラ )。同様に、$A_2\subseteq X$ かつ $B\subseteq Y$ より、
$$ A_2\times B\subseteq X\times Y $$
である( 証明はコチラ )。したがって、共通部分の部分集合性より、
$$ (A_1\times B)\cap(A_2\times B)\subseteq X\times Y $$
である( 証明はコチラ )。
ゆえに、両辺はともに $X\times Y$ の部分集合である。したがって、$X\times Y$ の部分集合としての等号判定により、任意の $(x,y)\in X\times Y$ について
$$ (x,y)\in (A_1\cap A_2)\times B \ \Leftrightarrow\ (x,y)\in (A_1\times B)\cap(A_2\times B) $$
を示せばよい。
$ $
任意の $(x,y)\in X\times Y$ をとる。

1. 左辺について、直積集合と共通部分の定義より
   $$ (x,y)\in (A_1\cap A_2)\times B \ \Leftrightarrow\ (x\in A_1\cap A_2\ \land\ y\in B) $$
   さらに共通部分の定義より
   $$ x\in A_1\cap A_2\ \Leftrightarrow\ (x\in A_1\ \land\ x\in A_2) $$
   であるから
   $$ (x,y)\in (A_1\cap A_2)\times B \ \Leftrightarrow\ (x\in A_1\ \land\ x\in A_2\ \land\ y\in B) $$
   を得る。
   $ $
2. 一方で、右辺について、共通部分と直積集合の定義より
   $$ (x,y)\in (A_1\times B)\cap(A_2\times B) \ \Leftrightarrow\ ((x,y)\in A_1\times B\ \land\ (x,y)\in A_2\times B) $$
   さらに直積集合の定義より
   $$ (x,y)\in A_1\times B\ \Leftrightarrow\ (x\in A_1\ \land\ y\in B) $$
   $$ (x,y)\in A_2\times B\ \Leftrightarrow\ (x\in A_2\ \land\ y\in B) $$
   であるから
   $$ (x,y)\in (A_1\times B)\cap(A_2\times B) \ \Leftrightarrow\ (x\in A_1\ \land\ y\in B\ \land\ x\in A_2\ \land\ y\in B) $$
   よって
   $$ (x,y)\in (A_1\times B)\cap(A_2\times B) \ \Leftrightarrow\ (x\in A_1\ \land\ x\in A_2\ \land\ y\in B)\quad \because\ \text{連言の交換律・結合律・冪等律} $$
   $ $

-以上より任意の $(x,y)\in X\times Y$ について左辺と右辺は同値である。
従って
$$ (A_1\cap A_2)\times B=(A_1\times B)\cap(A_2\times B) $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

まず、$A_1,A_2\subseteq X$ かつ $B\subseteq Y$ より、
$$ (A_1\cup A_2)\times B\subseteq X\times Y $$
であり( 証明はコチラ① , 証明はコチラ② )、かつ
$$ (A_1\times B)\cup(A_2\times B)\subseteq X\times Y $$
である( 証明はコチラ① , 証明はコチラ② )。
したがって集合の外延性より、任意の $(x,y)\in X\times Y$ について
$$ (x,y)\in (A_1\cup A_2)\times B\ \Leftrightarrow\ (x,y)\in (A_1\times B)\cup(A_2\times B) $$
を示せばよい。
$ $
任意の $(x,y)\in X\times Y$ をとる。

1. 左辺について、直積集合と和集合の定義より
   $$ (x,y)\in (A_1\cup A_2)\times B \ \Leftrightarrow\ (x\in A_1\cup A_2\ \land\ y\in B) $$
   さらに和集合の定義より
   $$ x\in A_1\cup A_2\ \Leftrightarrow\ (x\in A_1\lor\ x\in A_2) $$
   であるから
   $$ (x,y)\in (A_1\cup A_2)\times B \ \Leftrightarrow\ ((x\in A_1\lor\ x\in A_2)\ \land\ y\in B) $$
   を得る。
   $ $
2. 一方で、右辺について、和集合と直積集合の定義より
   $$ (x,y)\in (A_1\times B)\cup(A_2\times B) \ \Leftrightarrow\ ((x,y)\in A_1\times B\lor\ (x,y)\in A_2\times B) $$
   さらに直積集合の定義より
   $$ (x,y)\in A_1\times B\ \Leftrightarrow\ (x\in A_1\ \land\ y\in B) $$
   $$ (x,y)\in A_2\times B\ \Leftrightarrow\ (x\in A_2\ \land\ y\in B) $$
   であるから
   $$ (x,y)\in (A_1\times B)\cup(A_2\times B) \ \Leftrightarrow\ ((x\in A_1\ \land\ y\in B)\ \lor\ (x\in A_2\ \land\ y\in B)) $$
   ここで命題論理の分配法則 証明はコチラ より
   $$ ((x\in A_1\lor\ x\in A_2)\ \land\ y\in B) \ \Leftrightarrow\ ((x\in A_1\ \land\ y\in B)\ \lor\ (x\in A_2\ \land\ y\in B)) $$
   が成り立つ。
   $ $

-従って任意の $(x,y)\in X\times Y$ について左辺と右辺は同値であるから、
$$ (A_1\cup A_2)\times B=(A_1\times B)\cup(A_2\times B) $$
が成り立つ。
$$ \Box$$